第8节 指数函数课件-2027届高三数学一轮复习

第8节　指数函数 课标要求 1. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 2. 理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 目录/ CONTENTS 考点一 指数函数的图象及应用 01 考点二 指数函数的性质及应用 02 提能点 指数型函数性质的综合问题 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 指数函数的图象及应用 目 录 1. 指数函数的概念 一般地，函数y＝ （a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是 自变量，定义域是R，a是底数. 提醒：形如y＝kax（y＝ax＋k）（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数 叫做指数型函数，只有k＝1时，y＝ax才是指数函数. ax　 高中总复习·数学 目 录 2. 指数函数的图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 高中总复习·数学 目 录 底数 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域为 ，值域为 ⁠ 图象过定点 ⁠ 当x＞0时，恒有y＞1； 当x＜0时，恒有0＜y＜ 1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜ 0时，恒有y＞1 ⁠函数 ⁠函数 R　 （0，＋∞）　 （0，1）　 增　 减　 高中总复习·数学 目 录 提醒：指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象和性质跟a的取值有关， 应分a＞1与0＜a＜1来研究. 结论：（1）函数y＝ax与y＝（ ）x（a＞0，且a≠1）的图象关于y轴 对称； （2）作指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象，应抓 住三个关键点：（1，a），（0，1），（－1， ）； （3）底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a＞1， 还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”. 高中总复习·数学 目 录 （1）已知函数f（x）＝（x－a）（x－b）（a＞b）的图象如图所 示，则g（x）＝ax－b的图象可能是（　C　） C 高中总复习·数学 目 录 解析： 根据函数f（x）＝（x－a）（x－b）（a＞b）的图象可知0＜ b＜1＜a，再由指数函数的图象及性质可知，g（x）＝ax－b单调递增， 可排除A、B；且与y轴交点为（0，1－b），又0＜b＜1，所以1－b∈ （0，1），即交于y轴正半轴上，排除D. 故选C. 高中总复习·数学 目 录 （2）若直线y＝2a与函数y＝｜ax－1｜（a＞0，且a≠1）的图象有两个 交点，则a的取值范围是 ⁠. 解析：y＝｜ax－1｜的图象是由y ＝ax的图象先向下平移1个单位长 度，再将x轴下方的图象翻折到x 轴上方，保持x轴上及其上方的图 象不变得到的.当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不符合题 意；当0＜a＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1， 即0＜a＜ .综上可知，a的取值范围是 . （0， ） 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否 过这些点，若不满足，则排除. 2. 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入 手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不 确定时应注意分类讨论. 3. 有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象， 数形结合求解. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）（2025·山东德州调研）函数y＝ 图象的大致形状是 （　C　） C 解析： ∵y＝ ＝ ∴根据指数函数图象即可判断 选项C符合. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式 为（　ABC　） A. a＝b B. 0＜b＜a C. a＜b＜0 D. 0＜a＜b ABC 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函 数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示，由图象知，当a ＝b＝0时，3a＝6b＝1，故A正确；作出直线y＝k， 当k＞1时，若3a＝6b＝k，则0＜b＜a，故B正确； 作出直线y＝m，当0＜m＜1时，若3a＝6b＝m，则 a＜b＜0，故C正确；当0＜a＜b时，易得2b＞1，则 3a＜3b＜2b·3b＝6b，故D错误. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 指数函数的性质及应用 目 录 角度1　比较大小 （2023·天津高考3题）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则 a，b，c的大小关系为（　　） A. c＞a＞b B. c＞b＞a C. a＞b＞c D. b＞a＞c √ 解析： 　∵指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞ 1.010.5，故b＞a.∵幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞ 0.60.5，故a＞c.∴b＞a＞c.故选D. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 比较指数式的大小的方法 （1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小（也可化 成同指数，利用幂函数的单调性进行比较）； （2）不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小； （3）在同一坐标系中作出它们的函数图象，借助图象得出大小关系. 高中总复习·数学 目 录 角度2　解简单的指数方程或不等式 若 ≤ ，则函数y＝2x的值域是（　　） A. B. C. D. [2，＋∞） √ 解析： 　 ＝（2－2）x－2＝2－2x＋4，∴ ≤2－2x＋4，即x2＋1≤ －2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2－3， 21]，即为 . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 解指数不等式的常用方法 （1）性质法：解形如af（x）＞ag（x）的不等式，可借助函数y＝ax的单调性 求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论； （2）隐含性质法：解形如af（x）＞b的不等式，可先将b转化为以a为底数 的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解； （3）图象法：解形如af（x）＞bf（x）的不等式，可利用对应的函数图象 求解. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是 （　B　） A. a＞b＞c B. c＞b＞a C. b＞c＞a D. a＞c＞b 解析： 因为函数y＝0.3x，y＝0.7x在R上是减函数，所以0＜0.30.7＜ 0.30.3＜0.30＝1，0.70.3＜0.70＝1，又因为幂函数y＝x0.3在（0，＋∞） 上单调递增，0.3＜0.7，所以0＜0.30.3＜0.70.3，所以0＜a＜b＜1，而函 数y＝1.2x是R上的增函数，所以c＝1.20.3＞1.20＝1，所以c＞b＞a.故 选B. B 高中总复习·数学 目 录 （2）（2025·湖北武汉质检）已知p：ax＜1（a＞1），q：2x＋1－x＜2， 则p是q的（　B　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：∵ax＜1，当a＞1时，y＝ax是增函数，∴p： {x｜x＜0}.对于不等式 ＜x＋2，作出函数y＝ 与y＝x＋2的图象，如图所示.由图象可知，不等 式 ＜x＋2的解集为{x｜－1＜x＜0}，∴q：{x｜ －1＜x＜0}.又∵{x｜－1＜x＜0}⫋{x｜x＜0}，∴p 是q的必要不充分条件. B 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 指数型函数性质的综 合问题 目 录 教材母题：〔人A必修一P161 复习参考题12题〕对于函数f（x）＝a－ （a∈R）， （1）探索函数f（x）的单调性； （2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？ 细研教材：由教材母题知，指数型函数的单调性及奇偶性可利用定义来进 行分析判断，一般地，指数型函数f（x）＝ 是单调的奇函数. 高中总复习·数学 目 录 变式1　若f（x）＝ 是奇函数，则a＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. ±1 √ 解析： 　因为f（x）为奇函数，所以f（x）＋f（－x）＝0，即 ＋ ＝0，解得a＝±1. 高中总复习·数学 目 录 变式2　已知函数f（x）＝a－ 是R上的奇函数，则f（x）的值域 为 ⁠. 解析：易知a＝1，则f（x）＝1－ ，因为2x＋1＞1，所以0＜ ＜ 2，则－1＜1－ ＜1，即f（x）的值域为（－1，1）. （－1，1） 高中总复习·数学 目 录 变式3　已知函数f（x）＝ . （1）试判断函数f（x）的奇偶性和单调性； 解： 因为ex＞0，所以ex＋1＞1，所以函数f（x）的定义域为R， 又f（－x）＝ ＝－ ＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数. f（x）＝ ＝ ＝1－ ，函数y＝ex＋1是增函数， 所以函数y ＝ 是减函数，函数y＝－ 是增函数，故f（x）＝ ＝1－ 是增函数. 高中总复习·数学 目 录 （2）当x∈[0，ln 5]时，求函数f（x）的最值. 解： 由（1）知，函数f（x）在R上为增函数，当x＝0时，f（x） min＝f（0）＝0， 当x＝ln 5时，f（x）max＝f（ln 5）＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1. 若函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）满足f（2）＝81，则f（ － ） ＝（　　） A. ± B. ±3 C. D. 3 √ 解析： 　因为f（2）＝a2＝81，又a＞0，所以a＝9，从而f（x）＝ 9x，f（ － ）＝ ＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 2. 函数f（x）＝ax－2＋1（其中a＞0，a≠1）的图象恒过的定点是 （　　） A. （2，1） B. （2，2） C. （1，1） D. （1，2） √ 解析： 　令x－2＝0，得x＝2，f（2）＝2，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 函数f（x）＝1－e｜x｜的图象大致是（　　） √ 解析： 　易知f（x）为偶函数，且f（x）＝1－e｜x｜≤0，A正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. （2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）上单调 递减，则实数a的取值范围是（　　） A. （－∞，－2] B. [－2，0） C. （0，2] D. [2，＋∞） √ 解析： 　设t＝x（x－a），易知函数y＝2t是增函数.因为f（x）＝2x （x－a）在（0，1）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x （x－a）在（0，1）上单调递减.因为函数t＝x（x－a）在（ －∞， ）上单调递减，所以 ≥1，即a≥2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. Gompertz曲线用于生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿 瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其 公式为：f（x）＝k （其中k＞0，b＞0，a为参数）.某研究员打算 利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a＝e.若x＝ 1表示该新产品今年的年产量，估计明年（x＝2）的产量将是今年的e倍， 那么b的值为（e为自然对数的底数）（　　） A. B. C. －1 D. ＋1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由a＝e，得到f（x）＝k· ，∴当x＝1时，f（1）＝ k· ；当x＝2时，f（2）＝k· .依题意，明年（x＝2）的产量将是 今年的e倍，得： ＝ ＝e，∴ － ＝1，即b2＋b－1＝0， 解得b＝ .∵b＞0，∴b＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知函数f（x）＝ ＋a（a∈R），则（　　） A. 函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞） B. 函数f（x）的值域为R C. 当a＝1时，函数f（x）是奇函数 D. 当a＝2时，f（－x）＋f（x）＝2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由2x－1≠0，解得x≠0，所以函数f（x）的定义域为（－ ∞，0）∪（0，＋∞），A正确；因为2x＞0，当2x－1＞0时， ＞0， 所以 ＋a＞a；当－1＜2x－1＜0时， ＜－2，所以 ＋a＜－2 ＋a.综上，函数f（x）的值域为（－∞，－2＋a）∪（a，＋∞），B错 误；当a＝1时，f（x）＝ ＋1＝ （x≠0），则f（－x）＝ ＝－ ＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数，C正确；当a＝2时， f （x）＝ ＋2＝ ＋1，f（－x）＋f（x）＝ ＋1＋ ＋1＝ 2，D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 已知f（x）＝ 为奇函数，则f（1）＝ 　　​ 　　. 解析：由题意可知f（x）＋f（－x）＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝0，所以2x－2－x＋ax＝0，所以x－（－x＋ax）＝0，解得 a＝2，所以f（x）＝ ，故f（1）＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 若函数f（x）＝ 的图象与平行线y＝m，y＝n，m≠n有且仅有 三个交点，则实数m＋n的取值范围是 ⁠. 解析：f（x）＝ 的图象如图所示，不妨设m ＞n，因为f（x）＝ 的图象与平行线y＝m， y＝n，m≠n有且仅有三个交点，所以由图可知m＝1，0＜n＜1，所以1＜m＋n＜2，即实数m＋n的取值范围是（1，2）. （1，2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 函数y＝ax（a＞0，且a≠1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为 ， 则函数y＝3a2x－1在[0，1]上的最大值为 ⁠. 解析：∵指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）在定义域上是单调函数，又y ＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为 ，∴a0＋a1＝1＋a＝ ，解得a ＝ ，∴y＝3a2x－1＝3·（ ）2x－1＝12·（ ）x，∵函数y＝（ ）x在定 义域上为减函数，∴y＝12·（ ）x在[0，1]上单调递减，∴f（x）＝ 12·（ ）x在[0，1]上的最大值为f（0）＝12. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）已知函数f（x）＝ . （1）若m＝1，判断f（x）在区间［ ，＋∞）上的单调性并证明； 解： 当m＝1时，f（x）＝ ， f（x）在［ ，＋∞）上单调递增. 证明如下：记u＝x2－x＋1，任取 ≤x1＜x2， 则u1－u2＝（ －x1＋1）－（ －x2＋1）＝（x1－x2）（x1＋x2－ 1）， 因为 ≤x1＜x2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 所以x1－x2＜0，x1＋x2－1＞0， 所以（x1－x2）（x1＋x2－1）＜0， 即有u1－u2＜0，所以u1＜u2， 所以 ＜ ，即f（x1）＜f（x2）， 所以f（x）在［ ，＋∞）上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）若f（x）的值域是[，＋∞），求m的取值范围. 解： f（x）的值域是[，＋∞）， 即 ≥ ＝ ， 所以mx2－x＋1≥ 且取到最小值 ， 所以有（mx2－x＋1）min＝ . ①当m＝0时，不符合要求； ②当m≠0时，则有m＞0且 ＝ ，解得m＝ . 综上可知，m＝ ，即m的取值范围是{ }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 已知正数a，b满足aea＝bln b＝2，则（　　） A. a＜1＜b B. a＜b＜1 C. a＞1＞b D. a＞b＞1 √ 解析： 　由aea＝bln b＝2，得方程ex＝ 的实根 为a，方程ln x＝ 的实根为b，在同一平面直角坐 标系下画出y＝ex，y＝ln x，y＝ 的图象，显 然a＜1＜b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是 （　　） A. a＜b B. 若a＜0，则b＜a＜0 C. ｜a｜＜｜b｜ D. 若0＜a＜log32，则ab＜ba √ √ √ 解析： 如图，由指数函数的图象可知，0＜a＜b 或者b＜a＜0，所以A错误，B、C正确；D选项中，0＜ a＜log32⇒0＜a＜b＜1，则有ab＜aa＜ba，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 已知奇函数f（x）＝ （x∈R），对任意t∈R，不等式f（t2－ 2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，则k的取值范围是 ⁠. 解析：f（x）＝ ＝ －1可得f（x）为减函数，又因为f（x）是奇 函数，所以f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，可转化为f（t2－2t） ＜－f（2t2－k）＝f（k－2t2）恒成立，所以t2－2t＞k－2t2，即k＜3t2 －2t恒成立.由于3t2－2t＝3（t－ ）2－ ≥－ ，则k＜－ ，所以k的取 值范围是（－∞，－ ）. （－∞，－ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在 常数M＞0，都有－M≤f（x）≤M成立，则称f（x）是D上的有界函 数，其中M称为函数f（x）的上界.已知f（x）＝4x＋a·2x－2. （1）当a＝－2时，求函数f（x）在（0，＋∞）上的值域，并判断函数f （x）在（0，＋∞）上是否为有界函数，请说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解： 当a＝－2时， f（x）＝4x－2×2x－2＝（2x－1）2－3， 令2x＝t，由x∈（0，＋∞），可得t∈（1，＋∞）. 令g（t）＝（t－1）2－3，有g（t）＞－3， 可得函数f（x）的值域为（－3，＋∞）， 故函数f（x）在（0，＋∞）上不是有界函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）若函数f（x）在（－∞，0）上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围. 解： 由题意，当x∈（－∞，0）时，－2≤4x＋a·2x－2≤2， 可化为0≤4x＋a·2x≤4， 必有a·2x≥0且a≤ －2x. 令2x＝k，由x∈（－∞，0），可得k∈（0，1）， 由a·2x≥0恒成立，可得a≥0， 令h（k）＝ －k（0＜k＜1）， 可知函数h（k）为减函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 有h（k）＞h（1）＝4－1＝3， 由a≤ －2x恒成立，可得a≤3， 若故函数f（x）在（－∞，0）上是以2为上界的有界函数，则实数a的取 值范围为[0，3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $