2.1.2 两角和与差的正弦公式（教学设计）-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

教学设计 2.1.2 两角和与差的正弦公式的教学设计 一、基本信息 课题 2.1.2 两角和与差的正弦公式 学科 数学 教材版本 湘教版高中数学必修第二册 年级 高一 课时 1 课时 二、教学目标 1. 数学抽象：理解两角和与差的正弦公式的推导逻辑，体会三角恒等变换中 “转化与化归” 的核心思想，感知公式的一般性与普适性. 2. 逻辑推理：能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式，独立推导两角和与差的正弦公式，掌握公式的结构特征和内在联系. 3. 数学运算：熟练运用两角和与差的正弦公式进行三角函数的化简、求值与简单证明，掌握公式的正用、逆用及简单变形. 4. 直观想象：结合诱导公式的几何意义和单位圆模型，理解公式推导的本质，建立代数运算与几何图形的联系. 三、教学重难点 （一）教学重点 1. 两角和与差的正弦公式的推导过程. 2. 两角和与差的正弦公式的结构特征及直接应用. 3. 公式的逆用与简单变形应用. （二）教学难点 1. 两角和与差的正弦公式中符号的准确记忆与区分. 2. 灵活运用公式进行角的变换和综合运算. 四、教学方法与教具准备 （一）教学方法 启发式教学法、探究式教学法、讲练结合法、类比学习法 （二）教具准备 多媒体课件（展示单位圆、公式推导动画）、三角板、彩色粉笔、三角函数诱导公式卡片 五、教学过程 （一）复习回顾与情境导入（5 分钟） 1. 复习旧知 · 两角和与差的余弦公式： · 诱导公式五、六： ， ， 2. 情境引入 · 提问：我们已经掌握了两角和与差的余弦公式，能否利用已学知识，推导出和的表达式？ · 引导：正弦函数与余弦函数可以通过诱导公式相互转化，我们可以尝试将正弦的和角问题转化为余弦的差角问题来解决. · 设计意图：通过回顾旧知搭建知识桥梁，引导学生用转化思想探究新知，自然引出本节课课题. （二）新知探究（25 分钟） 1. 两角和的正弦公式推导 · 转化：利用诱导公式，将正弦和角转化为余弦差角 · 展开：套用两角差的余弦公式 · 化简：再次利用诱导公式替换 ， 因此得到： 2. 两角差的正弦公式推导 · 方法：将替换为，代入两角和的正弦公式 · 化简：利用奇偶性， 因此得到： 3. 公式结构特征与记忆技巧 · 适用范围：、为任意角. · 结构特征：“正余余正，符号相同”. · 左边是两角和（差）的正弦，右边是两项的和（差）； · 每一项都是一个角的正弦乘以另一个角的余弦； · 左右两边的运算符号完全相同. · 对比区分：与余弦公式 “余余正正，符号相反” 对比记忆，避免混淆. （三）例题讲解（10 分钟） 例 1（基础求值） 已知，是第二象限角，，是第三象限角，求和的值. · 解： 因为是第二象限角，所以 因为是第三象限角，所以 · 设计意图：巩固公式的直接应用，强化学生对三角函数象限符号的判断能力. 例 2（公式逆用） 化简求值： (1) ；(2) · 解： (1) (2) 逆用两角差的正弦公式： · 设计意图：让学生体会公式的双向性，掌握公式逆用的技巧，提升运算灵活性. （四）课堂练习（3 分钟） 1. 填空： · 已知，，、均为第二象限角，则 . · . 2. 判断： · 对任意角、，都有.（ ） · .（ ） （五）课后小结（2 分钟） 1. 两个核心公式： 2. 一个记忆口诀：正余余正，符号相同. 3. 三种应用方式：公式的正用、逆用、变形用. 4. 一种数学思想：转化与化归思想（将正弦问题转化为余弦问题推导）. 六、板书设计 2.1.2 两角和与差的正弦公式 一、公式推导 1. 两角和的正弦 2. 两角差的正弦 二、核心公式 记忆口诀：正余余正，符号相同 三、公式应用 · 正用：已知单角三角函数求两角和差 · 逆用：化简形如的式子 四、例题解答区 （此处预留空间用于现场板书例 1、例 2 的详细解答过程） 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $