2.1.3 两角和与差的正切公式（教学设计）-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

教学设计 2.1.3 两角和与差的正切公式的教学设计 一、基本信息 课题 2.1.3 两角和与差的正切公式 学科 数学 教材版本 湘教版高中数学必修第二册 年级 高一 课时 1 课时 二、教学目标 1. 数学抽象：理解两角和与差的正切公式的推导逻辑，把握公式的结构特征，体会三角函数之间的转化关系. 2. 逻辑推理：能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出正切公式，明确公式成立的前提条件，掌握公式的变形形式. 3. 数学运算：能够熟练运用两角和与差的正切公式进行化简、求值和简单证明，掌握角的拆分与组合技巧. 4. 数学建模：能运用正切公式解决简单的实际角度计算问题，体会三角函数的工具性价值. 三、教学重难点 （一）教学重点 1. 两角和与差的正切公式的推导过程. 2. 两角和与差的正切公式的结构特征及直接应用. 3. 公式的逆用与变形应用. （二）教学难点 1. 公式成立的条件及适用范围. 2. 灵活运用角的变换（拆分、组合）解决三角函数问题. 3. 结合角的范围判断正切值的符号及角的大小. 四、教学方法与教具准备 （一）教学方法 启发式教学法、探究式教学法、讲练结合法、类比迁移法 （二）教具准备 多媒体课件（展示公式推导过程、几何直观图）、三角板、直尺、彩色粉笔（标注公式结构特征） 五、教学过程 （一）复习回顾与情境导入（5 分钟） 1. 复习旧知 · 默写两角和与差的正弦、余弦公式： · 提问：正切函数与正弦、余弦函数的关系是什么？（，） 2. 情境引入 · 提出问题：已知，，能否不通过求、、、，直接求出和的值？ · 引导学生思考：能否利用已有的正弦、余弦和角公式，推导出正切的和角公式？ · 设计意图：通过类比迁移，激发学生的探究欲望，自然引出本节课课题. （二）新知探究（25 分钟） 1. 两角和的正切公式推导 · 推导过程： 由正切的定义， 将分子分母分别展开： 为了将式子转化为仅含和的形式，分子分母同时除以（，）： 2. 两角差的正切公式推导 · 引导学生用代替，代入两角和的正切公式： 由，化简得： 3. 公式成立的条件 · 组织学生讨论：上述公式在什么情况下不成立？ · 总结：公式成立的条件是 ，，， · 补充：当上述条件不满足时，不能使用正切公式，需改用正弦、余弦公式求解. 4. 公式结构特征分析 · 引导学生观察公式，总结记忆口诀：“分子同号，分母异号”. · 强调：分子是两角正切的和（差），与和（差）角的符号一致；分母是 1 减去（加上）两角正切的乘积，与和（差）角的符号相反. · 公式变形： （三）例题讲解（10 分钟） 例 1（基础运算） 已知，，其中，，求和的值. · 解： · 设计意图：巩固公式的直接应用，强调代入数值时的符号处理. 例 2（角的变换） 已知，求的值. · 解： 由两角和的正切公式， 解方程： ，得 · 设计意图：引导学生掌握 “整体代换” 思想，学会将已知角与所求角建立联系. 例 3（公式逆用） 计算： · 解： 因为，所以原式可变形为： · 设计意图：让学生体会公式逆用的技巧，培养逆向思维能力. （四）课堂练习（3 分钟） 1. 填空： · ；. · 已知，，且均为锐角，则 . 2. 计算：. （五）课后小结（2 分钟） 1. 两个公式： · 两角和的正切： · 两角差的正切： 2. 一个前提：公式成立的条件（）. 3. 三种应用：公式的正用、逆用、变形用. 4. 一种思想：转化与化归思想（将未知角转化为已知角，将正切转化为正弦、余弦）. 六、板书设计 2.1.3 两角和与差的正切公式 一、公式推导 二、公式内容 1. 2. 成立条件： 变形公式： 三、例题解答区 例 1： 例 2： 例 3： 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $