2.1.2 两角和与差的正弦公式 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

2.1.2　两角和与差的正弦公式 [课时跟踪检测] 1.sin 50°sin 80°-cos 130°sin 10°= (　　) A.- B. C.- D. 解析：选B　原式=sin 50°cos 10°+cos 50°sin 10°=sin(50°+10°)=sin 60°=.故选B. 2.在△ABC中，A=，cos B=，则sin C= (　　) A. B.- C. D.- 解析：选A　sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=(cos B+)=×=. 3.在△ABC中，若sin(B+C)=2sin Bcos C，则这个三角形一定是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 解析：选D　因为sin(B+C)=2sin Bcos C，所以sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C.则sin Bcos C-cos Bsin C=0，即sin(B-C)=0.又0<B<π，0<C<π，所以-π<B-C<π.所以B-C=0，即B=C，所以△ABC一定是等腰三角形. 4.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC，ED，则sin∠CED= (　　) A. 　　　B. C. 　　　D. 解析：选B　由题意知sin∠BEC=，cos∠BEC=，又∠CED=-∠BEC，所以sin∠CED=sincos∠BEC-cossin∠BEC=×-×=. 5.(多选)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，将角α的终边逆时针旋转90°得到角β，则下列结论正确的是 (　　) A.tan α= B.cos β=- C.sin(α-β)=-1 D.sin=- 解析：选ACD　由题意知sin α=-，cos α=-，β=α+90°，则tan α==，故A正确; cos β=cos(α+90°)=-sin α=，故B错误; α-β=-90°，则sin(α-β)=sin(-90°)=-1，故C正确; sin β=cos α=-，则sin=(sin β-cos β)=×=-，故D正确. 6.函数f(x)=sin+cos的最小正周期和最大值分别是 (　　) A.3π和 B.3π和2 C.6π和 D.6π和2 解析：选C　因为f(x)=sin +cos =sin，所以最小正周期T==6π.因为≤1，所以f(x)max=.故选C. 7.设α∈，β∈，且tan α=，则下列结论正确的是 (　　) A.3α-β= B.3α+β= C.2α-β= D.2α+β= 解析：选C　∵tan α==， ∴sin αcos β=cos α+cos αsin β， ∴sin(α-β)=cos α=sin， 又α-β∈-α∈. ∴α-β=-α，即2α-β=. 8. (5分)已知sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，则sin(α+β)=　　　　.  解析：∵sin α+cos β=1，　① cos α+sin β=0，　② ∴①2+②2，得1+2(sin αcos β+cos αsin β)+1=1. ∴sin αcos β+cos αsin β=-. ∴sin(α+β)=-. 答案：- 9. (5分) (2022·北京高考)若函数f(x)=Asin x-cos x的一个零点为，则A=　　　　;f=　　　　.  解析：依题意得f=A×-×=0，解得A=1，所以f(x)=sin x-cos x=2sin，所以f=2sin=-. 答案：1　- 10.(5分)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=，β是第三象限角，则sin=　　　　.  解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α-β)-α]=-sin β=，sin β=-. 所以sin=sin βcos+cos βsin =×+× =+=. 答案： 11. (5分)已知向量a=，b=(4，4cos α-)，若a⊥b，则sin=　　　　.  解析：因为a⊥b，所以a·b=4sin+4cos α-=0，即2sin α+6cos α-=4sin-=0，则sin=.所以sin=sin=-sin=-. 答案：- 12. (5分)已知cos α=，sin(α+β)=，0<α<，0<β<，则角β的值为　　　　.  解析：因为0<α<，cos α=，所以sin α=. 又因为0<β<，所以0<α+β<π. 因为sin(α+β)=<sin α， 所以cos(α+β)=-. 所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=. 又因为0<β<，所以β=. 答案： 13.(10分)已知锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(3，4). (1)求sin的值; (4分) (2)若锐角β满足cos(α+β)=-，求sin β的值. (6分) 解：(1)因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(3，4)， 所以sin α=，cos α=. 所以sin=sincos α+cossin α =×=. (2)因为α，β均为锐角，所以α+β∈(0，π). 因为cos(α+β)=-<0，所以α+β∈.所以sin(α+β)=.所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×+×=. 14.(10分)求证：sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α=sin β. 证明：∵sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α =sin[(α+β)+α]-2cos(α+β)sin α =sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α-2cos(α+β)sin α =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =sin[(α+β)-α]=sin β， ∴sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α=sin β. ∴原式得证. 15.(15分)(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=cos B，且a2+b2-c2=ab. (1)求B; (5分) (2)若△ABC的面积为3+，求c. (10分) 解：(1)在△ABC中a2+b2-c2=ab， 由余弦定理可知cos C===. 因为C∈(0，π)，所以C=. 因为sin C=cos B，所以cos B=， 又B∈(0，π)，所以B=. (2)由(1)可得B=，C=，则A=π--=，sin A=sin=sin=×+×=， 由正弦定理得==，从而a=·c=c，b=·c=c， 由三角形面积公式，可知S△ABC=absin C=·c·c·=c2， 由已知△ABC的面积为3+，可得c2=3+，所以c=2. 学科网（北京）股份有限公司 $