精品解析：广东省汕头市第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025—2026学年度第一学期期中考试 高二级数学科试题 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用列举法写出全集，再利用并集、补集的定义求解作答. 【详解】依题意，全集，而，有， 所以 故选：B 2. 已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算可得，利用复数的几何意义即可得出结果. 【详解】由题意知，， 所以复数z在复平面上对应的点为，在第四象限. 故选：D 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由关于坐标轴的对称性与坐标间的关系判断． 【详解】点关于平面对称的点的横，竖坐标不变，纵坐标为相反数，因此对称点的坐标是． 故选：D． 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求的值. 【详解】因为，故，故， 故选：C. 5. 棱长为2的正方体的外接球的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方体的性质求其外接球的直径，再利用球体体积公式求外接球体积. 【详解】由题设，正方体的外接球的直径， ∴外接球的体积. 故选：B 6. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，列出方程，去掉两直线重合的情况，即可得到结果. 【详解】由直线与直线平行，可得:，解得． 故选:B. 7. 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：作辅助线构造三角形，根据余弦定理以及勾股定理可求得结果；解法二：根据向量的线性运算以及数量积的运算可求得结果. 【详解】解法一：在内过点C作，且，连接，， 所以为二面角的平面角. 易知平面，而四边形为矩形，所以， 故平面，因而， ， ； 解法二：由，， 得，，． 因为， 所以， 则， 解得，． 故选：C. 8. 已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积的最小值. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知事件满足，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用集合间的关系，得，即可求解；对于B，利用互斥事件的概率公式，即可求解；对于C和D，利用相互独立事件的判断方法和概率公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，所以，故A正确； 对于B，因为与互斥，则，故B正确； 对于C，因为，则， 所以与相互独立，故C正确； 对于D，因为与相互独立，又， 所以，故D错误. 故选：ABC 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 的值域为 C. 将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于原点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，根据周期公式即可判断A正确，对选项B，根据定义域为，，即可判断B正确，对选项C，根据题意得到平移后的解析式为，再判断其不是奇函数，即可判断C错误，对选项D，根据，即可判断D正确. 【详解】对选项A，，周期，故A正确. 对选项B，，定义域为，， 所以，即的值域为，故B正确. 对选项C，将的图象向左平移个单位长度得到 ，定义域为， ， 所以不是奇函数，不关于原点对称，故C错误. 对选项D，，故的图象关于直线对称，故D正确. 故选：ABD 11. 已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成的角为，则下列说法不正确的是（ ） A. 圆锥的高为 B. 圆锥的侧面积为 C. 二面角的大小为 D. 圆锥侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用勾股定理及三角形面积公式可判定A，利用扇形面积公式可判定B，作辅助线确定二面角的平面角，计算可判定C，利用扇形的弧长与半径可计算圆心角确定D项. 【详解】对于A，由母线与互相垂直，的面积为2可知， 而与圆锥底面所成的角为，即，A错误； 对于B，由上可知，则圆锥的侧面积为，B错误； 对于C，取的中点D，连接， 则，所以，则为二面角的一个平面角， 由题意易知，故C正确； 对于D，圆锥侧面展开图的圆心角为，故D错误. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，焦点在轴上，则椭圆的标准方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，且焦点在轴上，即可得椭圆方程. 【详解】因为，，则， 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程是. 故答案为：. 13. 一组数据5，5，7，，10的平均数为7，则其方差为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据方差的计算公式即可求解. 【详解】由题意可得，则， 所以方差为， 故答案为： 14. 中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，则正四棱台的体积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，求出棱台的高，结合给定条件求出上下两个底面的面积，利用棱台体积公式求解即可. 【详解】如图，作，，， 因为正四棱台，， 所以，，而在面中， 所以，故四边形是平行四边形， 同理可得四边形是平行四边形， 而，所以平行四边形是矩形， 所以，，由题意得， 所以，故， 因为，所以，解得， 由勾股定理得，所以， 同理可得，因为四边形是平行四边形， 所以，故，由勾股定理得， 所以，设正方形面积为， 正方形面积为，四棱台体积为， 所以，， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是作出辅助线，然后利用几何关系求出高，结合给定条件求出两个底面的面积，得到所要求的体积即可． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，. （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：由题知面，又面，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以， 又，所以四边形是正方形，得到， 又，面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，得到面，利用线面垂直的性质得到，再利用几何关系得到，再由线面垂直的判断定理，即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，求得，，再利用线线角的向量求法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系，因为， 则，， 得到，， 设直线与所成角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为. 【点睛】 16. 已知圆：，直线：. （1）当为何值时，直线与圆相切； （2）设直线过定点，为圆上任一点，求中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相切，结合点到直线的距离公式即可求解， （2）根据中点坐标公式，结合相关点法即可求解. 【小问1详解】 由：可得：， 所以圆心，半径为， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为：， 解得：， 所以当时，直线与圆相切. 【小问2详解】 由直线可得点坐标为 设点，圆上一点为， 因为为中点，故满足，变形得. 代入圆的方程得：， 化简得； 所以点的轨迹方程为. 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求B； （2）A的角平分线与C的角平分线相交于点D，，，求和． 【答案】（1） （2）, 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理化简即可得到结果； （2）由题意可得，然后由余弦定理即可得到，然后在中，由等面积法即可得到，从而求得. 【小问1详解】 由余弦定理可得，，整理可得， 则，且，所以 【小问2详解】 因为分别是的角平分线，连接，则为的角平分线，即点为三角形的内心， 则 ， 又因为，， 在中，由余弦定理可得， ， 则， 过点，分别做的垂线，垂足为， 在中，， 可得，即 在直角三角形中， 则 18. 如图1，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点. （1）求二面角的余弦值： （2）试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法计算可得结果；方法二：根据二面角定义作出二面角的平面角，即可求出二面角的余弦值. （2）方法一：设，利用线面角的向量表示计算可得当时，满足题意；方法二：根据题意作出直线与平面所成角的平面角，计算可知当时，满足题意. 【小问1详解】 方法一：依题意，，而平面， 则平面，在平面内过点作，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 因此，所以二面角的余弦值为． 方法二：依题意，，而平面， 则平面，在平面内过作于，则， 而平面，则平面，而平面，则， 在平面内过作于，连接，如图， 而平面，则平面，又平面， 因此，为二面角的平面角， 在中，，则，， 在中，，则，， 于是，所以二面角的余弦值为. 【小问2详解】 假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 方法一：，设， 则，而平面的一个法向量为． 依题意，得，解得， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 方法二：作于，如图所示： 由（1）得平面，又平面，则平面平面， 又平面平面，平面，则平面， 因此为与平面所成的角， 在中，由余弦定理得，， 设，则，， 于是，解得， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 19. 已知圆：，回答下列问题. （1）已知圆的圆心在直线上，且经过，两点，求圆与圆相交所得公共弦长； （2）若过点且斜率为的直线与圆交于，两点，其中为坐标原点，且，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心，结合圆的定义列方程求解的值，得圆心的坐标，确定圆的半径，得圆的标准方程，根据两圆的位置关系确定相交弦所在直线方程，求解相交所得公共弦长即可； （2）设直线的方程为，设，，联立直线与圆确定交点坐标关系，结合向量数量积的坐标运算确定直线方程，从而得的值. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，所以设圆心， 因为圆经过，两点，所以， 所以，解得， 所以圆的半径为， 所以圆的方程为； 又因为圆：， 两圆方程作差可得，即直线， 又圆：的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离， 则与相交所得公共弦长为. 【小问2详解】 由条件可设直线的方程为， 设，， 联立方程， 整理得， 所以，， 因为， ， 解得，经检验，直线与圆有交点， 所以直线的方程为， 故圆心在直线上， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中考试 高二级数学科试题 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 棱长为2的正方体的外接球的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 7. 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（ ） A. B. 6 C. D. 8. 已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知事件满足，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 的值域为 C. 将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于原点对称 D. 的图象关于直线对称 11. 已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成的角为，则下列说法不正确的是（ ） A. 圆锥的高为 B. 圆锥的侧面积为 C. 二面角的大小为 D. 圆锥侧面展开图的圆心角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，焦点在轴上，则椭圆的标准方程是________. 13. 一组数据5，5，7，，10的平均数为7，则其方差为_______________. 14. 中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，则正四棱台的体积为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，. （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值. 16. 已知圆：，直线：. （1）当为何值时，直线与圆相切； （2）设直线过定点，为圆上任一点，求中点的轨迹方程. 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求B； （2）A的角平分线与C的角平分线相交于点D，，，求和． 18. 如图1，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点. （1）求二面角的余弦值： （2）试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 19. 已知圆：，回答下列问题. （1）已知圆的圆心在直线上，且经过，两点，求圆与圆相交所得公共弦长； （2）若过点且斜率为的直线与圆交于，两点，其中为坐标原点，且，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $