精品解析：北京市第十三中学分校2025-2026学年下学期 5月验收 九年级 数学试卷

2025-2026学年度北京市第十三中学分校 初三5月验收九年级数学试卷 考生须知 1．本试卷共7页． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在试卷密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 一、选择题（共8小题，每小题2分） 1. 如图，下列图形中是左图空心圆柱的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：空心圆柱的俯视图是： ． 2. 如图，直线，，是直线上两点，，是直线上两点，于点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义以及直角三角形的两个锐角互余；由垂直的关系求出的度数，再由“两直线平行，内错角相等”得到的度数． 【详解】 3. 截至2025年底，全国累计发电装机容量约3900000000千瓦，预计到2026年底，全国发电装机容量累计将是2025年底的1.1倍，达到千瓦，的值用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据倍数关系求出的值，再根据科学记数法的表示方法得到结果． 【详解】解：∵ 2025年底全国累计发电装机容量为千瓦，2026年底容量是2025年底的倍， ∴， ∴． 4. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由数轴可得，即可判断D，则由不等式的性质得到，再根据不等式的性质即可判断A、B，根据有理数的乘法法则即可判断C． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴，，， 故B正确． 5. 京剧是国粹戏曲，分为生、旦、净、丑四大行当．某剧场开展京剧文化体验活动，制作了一个质地均匀且可以自由转动的圆形转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，分别标注“生、旦、净、丑”，指针的位置固定、转动的转盘停止后，其中的某个标注的扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），小明和小刚各转动一次转盘，两人恰好体验同一行当的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图列举出所有可能的情况和两人恰好体验同一行当的情况，然后利用概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有16种等可能的情况，其中两人恰好体验同一行当的情况有4种， ∴两人恰好体验同一行当的概率是． 6. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后解关于m的不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得，， 故选：A． 7. 如图，点为射线上一点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，以为圆心，长为半径画圆，交射线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点不重合），连接交于点，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知：和，由垂径定理可得出，，，由不确定大小则无法判断． 【详解】解：根据作图可知：，， ∴，， ∴，， ∵不确定大小， ∴无法判断得出． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，，四边形为正方形，将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形．给出下面四个结论： 当时，点的纵坐标是； 点与原点距离的最小值是； 若点在轴正半轴上，则点的横坐标是； 若直线将正方形分为面积相等的两部分，则点的纵坐标是． 上述结论中，所有正确的结论的序号是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，由四边形是正方形，得，，，通过勾股定理得，根据旋转性质可知，当时，，则，此时三点共线，三点共线，从而可判断；由，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，故当三点共线时，即可判断；若在轴正半轴上，先求出，过作轴于点，则，证明，则，所以点的横坐标是，即可判断；过作轴于点，过作轴于点，连接，，交点为，则，同理可得，所以，，设，，则，，通过中点坐标得，根据题意得，解得：，故纵坐标为，从而判断． 【详解】解：如图，连接，， 由，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 由旋转性质可知：， 当时，， ∴，此时三点共线，三点共线，如图， ∴， ∴轴， 由旋转性质可知， ∵， ∴， ∴纵坐标为，故正确； ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当三点共线时，如图，有最小值，为，故错误； 若在轴正半轴上， 在中，，， ∴， 如图，过作轴于点，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的横坐标是，故错误； 如图，过作轴于点，过作轴于点，连接，，交点为，则， 同理可得：， ∴，， 设，， ∴， ∴， ∵直线将正方形分为面积相等的两部分， ∴直线过正方形中心，即点在上， ∴，解得：， ∴纵坐标为，故正确， 综上所述，正确的结论是． 二、填空题（共8小题，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 10. 分解因式：＝_____ 【答案】a（a＋4）（a－4） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再运用平方差公式分解即可. 【详解】 . 故答案为：a(a+4)(a-4) 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 合并同类项、移项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 12. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时，满足条件，此时，，且，故不满足，故可以说明该命题是假命题． 13. 一个多边形的每个内角等于，则这个多边形的边数为_________条． 【答案】12 【解析】 【详解】多边形内角和为180º（n-2）,则每个内角为180º（n-2）／n＝,n=12,所以应填12. 14. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点坐标为，则点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】把代入正比例函数得出，根据两点关于原点对称，即可求解． 【详解】解：把代入正比例函数 得，解得， ∴， ∵反比例函数与正比例函数的图象的交点关于原点对称，则两点关于原点对称， ∴点坐标为 ． 15. 如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质． 连接，先证，再证明为的中位线，问题即可得解． 【详解】解：连接，如图， 正方形的边长为4，点是对角线上一点， ，，，， 线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ，， ，即， ， ， 点为中点， 为的中位线， ， ， ， ． 16. 某校科学实验小组需完成编号为A，B，C，D，E，F，G，H的八项工作，要求如下： ①A，B，C完成后才能开始G； ②C，D，E完成后才能开始H； ③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作． 各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示： 工作编号 A B C D E F G H 时间 7 15 9 10 5 1 7 2 （1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要______分钟； （2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从A工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为______． 【答案】 ①. 22 ②. C，E，G 【解析】 【分析】本题考查统筹优化问题，解题思路是根据题目给出的前置限制，分别对多人合作和两人合作的情况安排工作顺序，计算最短总时间，确定甲需要完成的工作。 【详解】（1）多名学生合作时，满足前置工作要求，前置工作可并行完成，因此： 当做的前置工作，三个都要完成，最长的时间为B：分钟，G还要7分钟，则G这路需要（分钟）， 当做的前置工作，三个都要完成，最长的时间为D：分钟，H还要2分钟，则H这路需要（分钟）， 且工作的时间为1分钟，可以任意安排， 则至少需要分钟； （2）所有工作总时间为（分钟），甲乙两名学生，最短总时间不低于（分钟），可尝试分配得到刚好总时间为的方案： 甲先做（分钟），接着做（分钟），再做（分钟），最后做（分钟），总时长分钟，满足要求， 乙做（分钟），接着做（分钟），再做（分钟），最后做（分钟），总时长，满足所有前置限制， 因此甲除以外，还需完成C，E，G． 三、解答题（本题共68分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集是． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ， 由得， 原式． 20. 如图，在中，，，分别为，中点，连接，过点作的垂线，与直线交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，分别为，中点， ， ，为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 为中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一与三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再结合是的中点，证明四边形是平行四边形，结合证明其为矩形； （2）过点作于点，结合锐角三角函数定义，先求出相关线段长度，再结合矩形的性质，转化为求对应边的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点． 在中，， 设，则， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 在中，． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图像经过点，反比例函数的图像经过点． （1）求m，n的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入可求得m的值，将点代入可求n的值；利用待定系数法即可求解； （2）求得直线经过点时的解析式，求得此直线必过，以及反比例函数为过，再利用数形结合思想即可求解． 【小问1详解】 解：∵函数的图像经过点， ∴ ； ∵反比例函数的图像经过点 ∴，即； 【小问2详解】 解：当时， ， 即 必过 由（1）可知：，即反比例函数为：， 当时，， 即， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值， ∴，即． 当，函数与函数在上，有交点，不符合题意， ∴． 22. 油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨长度与长伞骨长度之比为，短伞骨与长伞骨连接点恰为长伞骨的三等分点，伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多．求这个油纸伞的伞柄长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先理解题意，结合短伞骨长度与长伞骨长度之比为，设短伞骨长度为，则长伞骨长度为，又因为伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设短伞骨长度为， 则长伞骨长度为， 依题意，得， 解得， ∴． 答：这个油纸伞的伞柄长． 23. 某企业对员工进行综合素质测试，该测试包括理论知识和实践操作两部分．理论知识测试满分分，实践操作测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，实践操作测试成绩为各位评委打分之和．按理论知识测试成绩占，实践操作测试成绩占计算综合成绩．甲、乙、丙三名员工理论知识测试的成绩分别为83分，85分，86分．对评委给三名员工的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．评委给甲、乙的打分的折线图： b．评委给丙的打分：5，6，8，8，8，8，9，10，10，10； c．评委给三名员工的打分的中位数、众数、方差及实践操作测试成绩： 中位数 众数 方差 实践操作测试成绩 甲 10 1.84 84 乙 8.5 87 （1）表中的值为______，的值为______； （2）表中______1.84（填“>”“=”或“<”）； （3）企业按如下方式评估员工的综合素质：首先比较综合成绩，综合成绩更大者综合素质更高；若综合成绩相等，则比较评委给员工打分的平均数，平均数较大者综合素质更高．评估结果：这三名员工按综合素质由高到低依次为______． 【答案】（1） ， （2） （3） 乙、甲、丙 【解析】 【分析】（1）根据折线图读出甲、乙的得分数据，将甲的得分从小到大排列，找出中间两个数的平均数即为中位数；找出乙的得分中出现次数最多的数即为众数． （2）计算乙的平均数，利用方差公式计算乙的方差，或者通过观察数据的波动程度判断方差大小，再与甲的方差进行比较． （3）根据加权平均数公式分别计算甲、乙、丙的综合成绩，若综合成绩相同，则比较实践操作测试成绩的平均数，从而确定排名顺序． 【小问1详解】 解：由折线图可知，甲的次得分为：， 将甲的得分从小到大排列为：， 处于中间位置的两个数分别是和则甲的中位数， 由折线图可知，乙的次得分为：， 其中出现了次，出现次数最多则乙的众数， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：乙的平均数为， 乙的方差 ， 因为， 所以， 故答案为：． 【小问3详解】 解：丙的实践操作测试成绩为， 甲的综合成绩为， 乙的综合成绩为， 丙的综合成绩为， 因为， 所以乙的综合成绩最高甲和丙的综合成绩相等， 比较实践操作测试成绩的平均数甲的实践操作测试成绩平均数为， 丙的实践操作测试成绩平均数为， 因为， 所以甲的综合素质高于丙， 综上所述，这三名员工按综合素质由高到低依次为乙、甲、丙， 故答案为：乙、甲、丙． 24. 如图，为直径，是的切线，连接交于点为上一点，连接并延长交于点，交切线于点，若． （1）求证：为中点 （2）连接交于点，若，，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为直径，是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即为中点． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，再由，即可证明结论； （2）连接，证明，可得，则，设,则，，证明，可得，在中，利用勾股定理列方程可得，可得，，再证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为直径， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设,则，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∵为直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 25. 某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件），得到数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的的值（件） 0 8 16 24 40 46 54 56 56 进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，如图所示． （1）观察曲线上件分拣后，当第_____个周期时，首次超过35. （2）表中_____，_____，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线； （3）①若选用，开机后至少_____分钟后，值基本恒定； ②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，结合题目所给信息，将进行排序_____（用“＜”连接）． 【答案】（1）5 （2）32，51， 作图如下： （3）①；② 【解析】 【分析】（1）观察图象即可求解； （2）由图可知每个周期增长件即可得到；由5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，可得第5个周期到第9个周期增加量依次为件，件，件，件，据此可得；再描点作图即可； （3）①观察图象即可；②根据的位置即可判断． 【小问1详解】 解：由图可知，当第5个周期时，首次超过35； 【小问2详解】 解：进入上件分拣后前5个周期，每个周期增长件， （件）； 5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少， 第5个到第6个周期增加6件，第8个周期到第9个周期增加2件， 第5个周期到第9个周期增加量依次为件，件，件，件才符合题意， ； 作图略 【小问3详解】 解：①由图可知开机后至少 分钟后，值基本恒定； ②由图可知开机后前5分钟， 的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟． ∴对应的周期分别为，，， 曲线在最下方，在最上方，在中间， ． 26. 在平面直角坐标系中，已知二次函数过点和， （1）求出，，的值 （2）将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值且不超过，求的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，涉及二次函数解析式的求解、函数间的距离计算、分段讨论二次函数的最值以及不等式的求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质以及分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，将已知点的坐标代入函数表达式，通过待定系数法求解，，的值； （2）先表示出，两点的纵坐标，进而得到两点距离的表达式，将问题转化为求含绝对值的二次函数在指定区间上的最大值问题；再结合二次函数的对称轴、区间端点及顶点处的函数值，通过分段讨论确定最大值的约束条件，进而求解的取值范围． 【小问1详解】 解：函数过点， ， 函数过点，， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得， 设点，， 则，， 设点与点的距离为，则， 设，， ，则问题转化为：当时，存在最大值且最大值不超过， 的对称轴为， 时，时， 的最大值只能在或顶点处取得， 或， ①若，即时， 最大值， 解得：， 的取值范围为； ②若，即时， 最大值， 解得：， 的取值范围为； 综上所述，的取值范围为． 27. 如图，在中，，，D为线段上一点，连接，，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，点F是中点，连接． （1）连接，求的度数（用含的式子表示）； （2）用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 解：，证明如下： 作于点，作于点，则， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在上截取，则， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵为的中点， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等腰直角三角形，得到，根据角的和差关系即可得出结果； （2）作于点，作于点，根据三线合一和斜边上的中线得到，证明，得到，，进而推出，，在上截取，根据三角形的中位线定理和中垂线的性质，即可得出结果． 【小问1详解】 解：连接， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． （1）如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； （2）已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； （3）已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数的图像与性质等知识点，能够掌握数形结合和极限思维是解题的关键． （1）根据题意可设为，为，根据待定系数法即可求得为，为，将分别代入上式，可得和，进而求出答案； （2）直线一条过点旋转的直线，可以先确定一条直线，根据定义画出图像，结合平行的性质，可以将进行平移，且，所以可以得到点坐标，从而利用待定系数法求解； （3）根据线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，确定点的运动轨迹，然后可以确定与该轨迹有交点的圆的位置，从而可以求出半径的范围． 【小问1详解】 解：∵过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长， ∴，， 设为，为， 将点，点分别代入上面两个式子，即，， ∴，， ∴为，为， 将分别代入上面两个式子，即，， ∴点和 ∴， ∴线段关于直线的纵影长为． 【小问2详解】 解： 是一条过点旋转的直线，如图，根据定义可知，当线段关于直线的纵影长为4时，，则或， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 综上所述，或． 【小问3详解】 过点分别作直线和直线的平行线，分别交轴于点，， 当线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为时，， 如图，当，位于点两侧时，，过点作，与轴交于，与轴交于， 设， 与平行； ， ， 与平行， ， ， ， 则， ，即点的横坐标为， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 此时点的运动轨迹如图所示， 如图，当，位于点同侧时，设， 当在第一象限， 设过点分别与直线和直线平行的直线为，， 代入得，则， 故，， 令得，，， ，即在直线上运动， ， ， 同理可以找到在第二象限，第三象限和第四象限的运动轨迹，如下图， 整理可得完整的运动轨迹，以为圆心，为半径的圆需与此轨迹有交点， 当刚好与轨迹相切时，， 当过点时，， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度北京市第十三中学分校 初三5月验收九年级数学试卷 考生须知 1．本试卷共7页． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在试卷密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 一、选择题（共8小题，每小题2分） 1. 如图，下列图形中是左图空心圆柱的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线，，是直线上两点，，是直线上两点，于点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年底，全国累计发电装机容量约3900000000千瓦，预计到2026年底，全国发电装机容量累计将是2025年底的1.1倍，达到千瓦，的值用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 京剧是国粹戏曲，分为生、旦、净、丑四大行当．某剧场开展京剧文化体验活动，制作了一个质地均匀且可以自由转动的圆形转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，分别标注“生、旦、净、丑”，指针的位置固定、转动的转盘停止后，其中的某个标注的扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），小明和小刚各转动一次转盘，两人恰好体验同一行当的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点为射线上一点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，以为圆心，长为半径画圆，交射线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点不重合），连接交于点，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，，四边形为正方形，将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形．给出下面四个结论： 当时，点的纵坐标是； 点与原点距离的最小值是； 若点在轴正半轴上，则点的横坐标是； 若直线将正方形分为面积相等的两部分，则点的纵坐标是． 上述结论中，所有正确的结论的序号是（） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 10. 分解因式：＝_____ 11. 方程的解为________． 12. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______． 13. 一个多边形的每个内角等于，则这个多边形的边数为_________条． 14. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点坐标为，则点坐标为_____． 15. 如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则_____． 16. 某校科学实验小组需完成编号为A，B，C，D，E，F，G，H的八项工作，要求如下： ①A，B，C完成后才能开始G； ②C，D，E完成后才能开始H； ③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作． 各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示： 工作编号 A B C D E F G H 时间 7 15 9 10 5 1 7 2 （1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要______分钟； （2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从A工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为______． 三、解答题（本题共68分） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，，，分别为，中点，连接，过点作的垂线，与直线交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图像经过点，反比例函数的图像经过点． （1）求m，n的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出k的取值范围． 22. 油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨长度与长伞骨长度之比为，短伞骨与长伞骨连接点恰为长伞骨的三等分点，伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多．求这个油纸伞的伞柄长． 23. 某企业对员工进行综合素质测试，该测试包括理论知识和实践操作两部分．理论知识测试满分分，实践操作测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，实践操作测试成绩为各位评委打分之和．按理论知识测试成绩占，实践操作测试成绩占计算综合成绩．甲、乙、丙三名员工理论知识测试的成绩分别为83分，85分，86分．对评委给三名员工的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．评委给甲、乙的打分的折线图： b．评委给丙的打分：5，6，8，8，8，8，9，10，10，10； c．评委给三名员工的打分的中位数、众数、方差及实践操作测试成绩： 中位数 众数 方差 实践操作测试成绩 甲 10 1.84 84 乙 8.5 87 （1）表中的值为______，的值为______； （2）表中______1.84（填“>”“=”或“<”）； （3）企业按如下方式评估员工的综合素质：首先比较综合成绩，综合成绩更大者综合素质更高；若综合成绩相等，则比较评委给员工打分的平均数，平均数较大者综合素质更高．评估结果：这三名员工按综合素质由高到低依次为______． 24. 如图，为直径，是的切线，连接交于点为上一点，连接并延长交于点，交切线于点，若． （1）求证：为中点 （2）连接交于点，若，，求的值． 25. 某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件），得到数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的的值（件） 0 8 16 24 40 46 54 56 56 进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，如图所示． （1）观察曲线上件分拣后，当第_____个周期时，首次超过35. （2）表中_____，_____，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线； （3）①若选用，开机后至少_____分钟后，值基本恒定； ②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，结合题目所给信息，将进行排序_____（用“＜”连接）． 26. 在平面直角坐标系中，已知二次函数过点和， （1）求出，，的值 （2）将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值且不超过，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，D为线段上一点，连接，，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，点F是中点，连接． （1）连接，求的度数（用含的式子表示）； （2）用等式表示与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． （1）如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； （2）已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； （3）已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $