北京工大实验学校2024-2025学年九年级下学期数学3月学情自测

2024-2025学年北京工大实验学校九年级（下）月考数学试卷 （3月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3.如图，，，则的大小为（ ） A.36° B.44° C.54° D.63° 4.已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. B. C. D.9 6.十二边形的外角和是（ ） A.180° B.360° C.1800° D.2160° 7.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 8.如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE．设，，，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 10.分解因式：______． 11.方程的解为______． 12.在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点和，则m的值为______． 13.某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下： 使用寿命 灯泡只数 5 10 12 17 6 根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只． 14.如图，直线AD，BC交于点O，，若，，，则的值为______． 15.如图，OA是的半径，BC是的弦，于点D，AE是的切线，AE交OC的延长线于点E.若，，则线段AE的长为______． 16.学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B、C，D、E，F、G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间／分钟 9 9 7 9 7 10 2 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟． 三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题5分） 计算：． 18.（本小题5分） 解不等式组：． 19.（本小题5分） 已知，求代数式的值． 20.（本小题6分） 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，，． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若，，，求BC的长． 21.（本小题6分） 对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长． （书法作品选自《启功法书》） 22.（本小题5分） 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C. （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 23.（本小题5分） 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下： a.16名学生的身高： 161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175； b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 166.75 m n （1）写出表中m，n的值； （2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 162 165 165 166 166 乙组学生的身高 161 162 164 165 175 （3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______． 24.（本小题6分） 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分，． （1）求证DB平分，并求的大小； （2）过点C作交AB的延长线于点F，若，，求此圆半径的长． 25.（本小题5分） 某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略，部分内容如下． 每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800，要求清洗后的清洁度为0.990． 方案一：采用一次清洗的方式： 结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990． 方案二：采用两次清洗的方式： 记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990 对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容． （Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”； （Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象； 结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）； （2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“＞”“＝”或“＜”）． 26.（本小题6分） 在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． （1）若对于，，有，求t的值； （2）若对于，，都有，求t的取值范围． 27.（本小题7分） 在中，，于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE． （1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点； （2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接AE，EF，直接写出的大小，并证明． 28.（本小题7分） 在平面直角坐标系xOy中，的半径为1．对于的弦AB和外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条是的切线，另一条是线段AB的垂线，则称点C是弦AB的“关联点”． （1）如图，点，，． ①在点，，中，弦的“关联点”是______； ②若点C是弦的“关联点”，直接写出OC的长______． （2）已知点，，对于线段MN上一点S，存在的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围． 答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：，故选：B． 用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值． 2.【答案】A 【解析】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键． 3.【答案】C 【解析】解：因为，， 所以， 因为， 所以． 故选：C． 先求出的度数，然后根据，即可得出答案． 本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，根据角的和差首先求出的度数． 4.【答案】B 【解析】解：∵，∴，∴，∴， 故选：B． 根据不等式的性质，进行计算即可解答． 本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 5.【答案】C 【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得． 故选：C． 若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于m的等式，即可求解． 此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系： （1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根． 6.【答案】B 【解析】解：十二边形的外角和是360°． 故选B． 根据任何多边形的外角和是360°即可求解． 本题考查了多边形的外角和，理解任何多边形的外角和是360度是关键． 7.【答案】A 【解析】解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，分别是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是，故选：A． 根据概率的意义，即可解答． 本题考查了概率的意义，掌握概率的意义是解题的关键． 8.【答案】D 【解析】解：①过点D作，交AE于点F；过点B作，交FD于点G． ∵，，∴． 又∵，∴，∴四边形ABGF为矩形． 同理可得，四边形BCDG也为矩形． ∴． ∴在中，斜边直角边．故①正确． ②∵，∴， ∴在中，． ∵，∴．故②正确． ③∵，∴， 又∵，∴，∴． ∵，∴，∴． ∴． ∵， ∴，∴． 故③正确． 故选：D． ①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可； ②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答； ③将c用a和b表示出来，再进行比较． 本题考查全等三角形的性质．虽然是选择题，但计算量不小，比较繁琐，需要细心、耐心． 9.【答案】 【解析】解：由题意得：，解得：，故答案为：． 根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键． 10.【答案】 【解析】解：． 故答案为：． 先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解． 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底． 11.【答案】 【解析】解：方程两边同时乘以得，，∴． 检验：把代入，且方程左边=右边． ∴原分式方程的解为． 依据题意，由分式方程的解法即可得解． 本题主要考查了分式方程的解法，解题时要熟练掌握并灵活运用． 12.【答案】3 【解析】解：∵函数的图象经过点， ∴，∴反比例函数的关系式为， 又∵在反比例函数的关系式为的图象上，∴， 故答案为：3． 将点代入反比例函数可求出k的值，进而确定反比例函数关系式，再把点代入计算即可． 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法． 13.【答案】460 【解析】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为（只）． 故答案为：460． 用1000乘以使用寿命不小于2200小时的百分比即可． 本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用． 14.【答案】 【解析】解：∵，，∴， ∵，，∴， 故答案为：． 根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 15.【答案】 【解析】解：∵OA是的半径，AE是的切线，∴， ∵，， ∴和是等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴， 故答案为：． 根据切线的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据垂径定理得到，于是得到结论． 本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质定理是解题的关键． 16.【答案】53 28 【解析】解：由题意得：（分钟）， 即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟； 假设这两名学生为甲、乙， ∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成， ∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟， 然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟， 最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟， ∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟）， 故答案为：53，28． 将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案． 本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键． 17.【答案】解：原式． 【解析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算． 本题考查的是实数的运算，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键． 18．【答案】解：， 解不等式①得：，解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 19．【答案】解：∵，∴， ∴， ∴的值为2． 【解析】根据已知可得，然后利用分式的基本性质化简分式，再把代入化简后的式子进行计算即可解答． 本题考查了分式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 20.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，， ∵，∴，即， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵，∴平行四边形AECF是矩形； （2）解：∵四边形AECF是矩形，∴， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴， 即BC的长为． 【解析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，再证是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数定义得，即可解决问题． 本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 21.【答案】解：设天头长为6x，地头长为4x，则左、右边的宽为x， 根据题意得，，解得， ， 答：边的宽为4cm，天头长为24cm． 【解析】若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长． 本题考查了一元一次方程的应用，正确地理解题意列出方程是解题的关键． 22.【答案】解：（1）把点，代入得：，， 解得：，，∴该函数的解析式为， 由题意知点C的纵坐标为4，当时，解得：，∴； （2）由（1）知：当时，， 因为当时，函数的值大于函数的值且小于4， 所以当过点时满足题意，代入得：， 解得：． 【解析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可． 本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 23.【答案】解：（1）数据按由小到大的顺序排序：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175， 则舞蹈队16名学生的中位数为，众数为； （2）甲组； （3）170 172． 【解析】解：（1）见答案； （2）甲组学生身高的平均值是：， 甲组学生身高的方差是： ， 乙组学生身高的平均值是：， 乙组学生身高的方差是： ， ∵，∴甲组舞台呈现效果更好． 故答案为：甲组； （3）∵168，168，172的平均数为， 且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于， ∴数据的差别较小， 可供选择的有170，172， 平均数为：， 方差为：， ∴选出的另外两名学生的身高分别为170和172． 故答案为：170，172． （1）根据众数和中位数的定义进行计算； （2）根据方差的计算式计算方差，然后根据方差的意义进行比较； （3）根据方差进行比较． 本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． 24.【答案】（1）证明：∵，， ∴，∴BD平分， ∵BD平分，∴， ∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴， ∴， ∴，∴，∴； （2）解：∵，， ∴，∴， ∵，∴BD是圆的直径，∴BD垂直平分AC，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∵BD是圆的直径，∴圆的半径长是4． 【解析】（1）由圆周角定理得到，而，因此，得到BD平分，由圆内接四边形的性质得到，即可求出； （2）由垂径定理推出是等边三角形，得到由，得到，由平行线的性质求出，由圆内接四边形的性质求出，得到，由直角三角形的性质得到，因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4． 本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到，由垂径定理推出是等边三角形． 25.【答案】解：（Ⅰ）表格如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 √ 0.989 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.988 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ （Ⅱ）函数图象如下： 4； （1）11.3； （2）＜． 【解析】解：（Ⅰ）表格如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 √ 0.989 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.988 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ （Ⅱ）函数图象如下： 由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小． 故答案为：4； （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，， 即可节水约11.3个单位质量． 故答案为：11.3； （2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到， 第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度， 故答案为：＜． （Ⅰ）直接在表格中标记即可； （Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小； （1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可； （2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990． 本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键． 26.【答案】解：（1）∵对于，，有， ∴，∴，∴． ∵对称轴为，∴． （2）∵，，∴，， ∵，，∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ∴，即． 【解析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可， （2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出与的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答． 本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 27.【答案】（1）证明：由旋转的性质得：，， ∵，∴， ∴，∴，∴，即D是MC的中点； （2）， 证明：如图，延长FE到H使，连接CH，AH， ∵，∴DE是FCH的中位线，∴，， 由旋转的性质得：，，∴， ∵，∴，是等腰三角形， ∴，， 设，，则，， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， 在和中，，∴（SAS），∴， ∵，∴，即， 【解析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （2）延长FE到H使，连接CH，AH，可得DE是的中位线，然后求出， 设，，求出，证明（SAS），得到， 再根据等腰三角形三线合一证明即可． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 28.【答案】 【解析】解：（1）①由关联点的定义可知，若直线CA，CB中一经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦AB的“关联点”：点，，，，， ∴直线经过点O，且与相切，∴是弦的“关联点”， 又∵和横坐标相等，与都位于直线上， ∴与相切，经过点O，∴是弦的“关联点”， 故答案为：； ②∵，，设，如图1，共有两种情况， a.若与相切，AC经过点O， 则，所在直线为：， 解得：，∴，∴； b.若与相切，经过点O， 则、所在直线为：，解得：， ∴，∴， 综上，，故答案为：； （2）∵线段MN上一点S，存在的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”， 又∵弦PQ随着S的变动在一定范围内变动，且，，， ∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂线上，如图2， ①当S位于点时，MP为的切线，作， ∵，的半径为1，且MP为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； 根据勾股定理得，， 根据勾股定理， 同理，， 当S位于点时，的临界值为和； ②当S位于经过点O的MN的垂直平分线上即点K时， ∵点，， ∴， ∴， 又∵的半径为1， ∴， ∴三角形OPQ为等边三角形， ∴在此情况下，，， ∴当S位于经过点O的MN的垂直平分线上即点K时，的临界值为1和， ∴在两种情况下，PQ的最小值在内，最大值在； 综上所述，t的取值范围为或． （1）根据题目中关联点的定义分情况讨论即可； （2）根据，两点来求最值情况，共有两种情况，分别位于S在过点O的、MN的垂线上，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 本题是圆的综合题，考查了最值问题，切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握新概念“关联点”是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $