函数的零点问题课件-2027届高三数学一轮复习

函数的零点问题 重难解读 　　利用导数研究函数的零点问题是高考的热点，主要涉及判断、证明或 讨论函数零点的个数、已知函数零点存在情况求参数及由函数零点性质研 究其他问题等，多以解答题的形式出现，难度较大. 目录/ CONTENTS 考点一 数形结合研究函数的零点 01 考点二 函数性质法研究函数的零点 02 课时跟踪训练 03 01 PART 考点一 数形结合研究函数的 零点 目 录 （2025·天津高考20题改编）已知函数f（x）＝ax－（ln x）2. （1）a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； 解： 当a＝1时，f（x）＝x－（ln x）2，定义域为（0，＋∞），f'（x） ＝1－ ，f'（1）＝1，f（1）＝1，则所求的切线方程为y－1＝x－1， 即x－y＝0. 高中总复习·数学 目 录 （2）若f（x）有3个零点，试求a的取值范围. 解：由f（x）＝0，可得a＝ ， 令g（x）＝ （x＞0），f（x）有3个零点等价于g（x）的图象 与直线y＝a有3个不同交点. g'（x）＝ ＝ . 令g'（x）＝0，解得x＝1或x＝e2. 当x变化时，g'（x），g（x）的变化如表所示： 高中总复习·数学 目 录 x （0，1） 1 （1，e2） e2 （e2，＋∞） g'（x） － 0 ＋ 0 － g（x） 单调递减 0 单调递增 ​ 单调递减 且x→0＋时，g（x）→＋∞，x→＋∞时，g（x）→0. 故g（x）的大致图象如图所示. 由图可知a的取值范围是（ 0， ）. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可 将参数分离出来后，用自变量x表示不含参数的函数，作出该函数的图 象，根据图象特征求参数范围. 高中总复习·数学 目 录 练1 已知函数f（x）＝ex－ （a∈R），讨论函数f（x）的零点个数. 解：由f（x）＝0，得xex＝a（x≠0）. 设h（x）＝xex（x≠0），得h'（x）＝（x＋1）ex， 令h'（x）＞0，得x＞－1且x≠0，令h'（x）＜0，得x＜ －1， 所以h（x）在（－1，0）和（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，－1）上单调递减， 所以h（x）min＝h（－1）＝－ . 又x＜0时，h（x）＜0，x＞0时，h（x）＞0， 高中总复习·数学 目 录 据此可画出h（x）的大致图象如图. 所以当a＜－ 或a＝0时，f（x）无零点； 当a＝－ 或a＞0时，f（x）有一个零点； 当－ ＜a＜0时，f（x）有两个零点. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 函数性质法研究函数 的零点 目 录 （2026·河北省级联测）已知函数f（x）＝－aex－ sin x－1在区间 （0， ）内有唯一极值点x1，其中a∈R，e为自然对数的底数. （1）求实数a的取值范围； 解： f'（x）＝－aex－ cos x，当x∈（0， ）时， cos x∈（0，1）， ①当a≥0时，f'（x）＜0，f（x）在（0， ）内单调递减，没有极值 点，不符合题意； 高中总复习·数学 目 录 ②当a＜0时，y＝－aex与y＝－ cos x均在（0， ）内单调递增，故f' （x）在（0， ）内单调递增，因为f'（0）＝－a－1，f'（ ）＝－a ＞ 0，所以f'（0）＝－a－1＜0，得a＞－1， 此时f'（x）在（0， ）内有唯一零点x1， 所以当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0； 当x∈（x1， ）时，f'（x）＞0. 所以f（x）在（0， ）内有唯一极小值点x1，符合题意. 综上，实数a的取值范围为（－1，0）. 高中总复习·数学 目 录 （2）证明：f（x）在区间（0， ）内有唯一零点. 解：证明：由（1）知－1＜a＜0，所以当x∈［ ， ）时，f'（x）＝－ aex－ cos x＞0， 所以f（x）＝－aex－ sin x－1在［ ， ）上单调递增.结合（1）知当 x∈（0，x1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x1， ）时，f' （x）＞0，f（x）单调递增. 所以当x∈（0，x1）时，f（x）＜f（0）＝－a－1＜0，则f（x1）＜0. 又因为f（ ）＝－a ＞0， 所以f（x）在（x1， ）内有唯一零点，即f（x）在（0， ）内有唯一 零点. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最 值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数 形结合的方法确定函数存在零点的条件. 高中总复习·数学 目 录 练2 已知函数f（x）＝2ln x－x2＋m在［ ，e］上有两个零点，求实数m 的取值范围. 解：由题意得f'（x）＝ －2x＝ ，因为x∈［ ，e］，所 以由f'（x）＝0，解得x＝1. 当 ≤x＜1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当1＜x≤e时，f' （x）＜0，函数f（x）单调递减，故当x＝1时，函数f（x）取得最大 值，f（x）max＝f（1）＝m－1， 高中总复习·数学 目 录 又f（ ）＝m－2－ ，f（e）＝m＋2－e2，且f（ ）＞f（e），由f （x）在［ ，e］上有两个零点可得 解得1＜ m≤2＋ . 故实数m的取值范围是（1，2＋ ］. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：50分钟，满分：50分） 目 录 1 2 3 4 1. （10分）已知函数f（x）＝（x－1）ex－x2，试求f（x）的零点个数. 解：由题可得f'（x）＝xex－2x＝x（ex－2）， 令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝ln 2， 令f'（x）＜0，解得0＜x＜ln 2； 令f'（x）＞0，解得x＜0或x＞ln 2， 所以f（x）的单调递减区间为（0，ln 2），单调递增区间为（－∞， 0），（ln 2，＋∞）. 高中总复习·数学 目 录 由于f（0）＝－1＜0，则f（x）在（－∞，0）上无零点； 由于f（ln 2）＝2（ln 2－1）－（ln 2）2＜0，则f（x）在（0，ln 2）上无 零点； 由于f（2）＝e2－4＞0，则f（x）在（ln 2，2）上存在唯一零点. 综上，函数f（x）在R上存在唯一零点. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 2. （10分）已知函数f（x）＝ －x（a＞0，a≠1）有2个零点，试比 较ln a与 的大小关系. 解：函数f（x）有2个零点等价于方程 －x＝0有两 个根， 即 ＝x⇒ln ＝ln x⇒2xln a＝ln x⇒2ln a＝ 有两 个根， 令h（x）＝ ，则h'（x）＝ ， 令h'（x）＝ ＝0⇒x＝e， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 当x∈（0，e）时，h'（x）＞0，当x∈（e，＋∞） 时，h'（x）＜0，所以h（x）在（0，e）内单调递 增，在（e，＋∞）上单调递减，所以h（x）max＝h （e）＝ ， 当x→0时，h（x）→－∞，当x→＋∞时，h（x）→0， 作出h（x）的大致图象如图所示. 所以要使得2ln a＝ 有两个根，则2ln a∈（0， ）， 即0＜2ln a＜ ，所以ln a＜ . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 3. （15分）已知函数f（x）＝ln x＋ax＋2. （1）若函数f（x）在x＝1处取得极值，求a的值； 解：因为f（x）＝ln x＋ax＋2（x＞0），则f'（x）＝ ＋a＝ ， 因为函数f（x）在x＝1处取得极值，所以f'（1）＝1＋a＝0，解得a＝ －1， 当a＝－1时，可得f'（x）＝ ， 当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减， 所以当x＝1时，函数f（x）取得极大值，符合题意，故a＝－1. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）若函数f（x）在定义域内存在两个零点，求a的取值范围. 解： f'（x）＝ ，其中x＞0， 当a≥0时，可得f'（x）＞0，f（x）单调递增，此时函数f（x）至多有 一个零点，不符合题意； 当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝－ ， 当x∈（ 0，－ ）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈（ － ，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减， 所以当x＝－ 时，f（x）取得极大值，也是最大值， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 最大值为f（ － ）＝ln（ － ）＋a·（ － ）＋2＝1－ln（－a）， 又当x→0时，f（x）→－∞；当x→＋∞时，f（x）→－∞， 所以要使函数f（x）有两个零点，需满足f（ － ）＞0， 即1－ln（－a）＞0，解得－e＜a＜0. 所以实数a的取值范围是（－e，0）. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 4. （15分）已知函数f（x）＝ax与g（x）＝logax（a＞0，且a≠1）. （1）求曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程； 解： 由题可知g（1）＝0，g'（x）＝ ，故g'（1）＝ ， 于是曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝ . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）若a＞1，h（x）＝f（x）－g（x）恰有两个零点，求实数a的取 值范围. 解： h（x）＝f（x）－g（x）恰有两个 零点，即方程ax＝logax恰有两正根， 若a＞1，则ax＝logax＞1，于是x＞1， 由ax＝logax＝ ，得ax·ln a＝ln x， ax·x·ln a＝x·ln x，于是ax·ln ax＝x·ln x. 设m（x）＝xln x（x＞1），则m'（x）＝ln x＋1＞0，于是函数m（x）在（1，＋∞）上单调递增，由m（ax）＝m（x）可得ax＝x， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 即方程ax＝x有两根，等价于方程ln a＝ 有两 正根， 设l（x）＝ （x＞1），则l'（x）＝ ， 由l'（x）＞0得1＜x＜e，由l'（x）＜0得x＞e，故l（x）在（1，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减， 结合当x→1时，l（x）→0，当x→＋∞时，l（x）→0，且x∈（1，＋∞）时，l（x）＝ ＞0，画出l（x）的图象，如图，由方程ln a＝ 有两正根并结合l（x）的图象，得0＜ln a＜ ，从而1＜a＜ . 故实数a的取值范围是（ 1， ）. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 $