隐零点问题 课件-2027届高三数学一轮复习

培优专题（二） 隐零点问题 1 类型一 类型二 类型三 教师备用习题 作业手册 答案核查【听】 答案核查【作】 2 隐零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接求解出来．在 函数、不等式与导数的综合题目中常会遇到隐零点问题，一般对函 数的零点设而不求，借助整体代换和过渡，再结合题目条件，利用 函数的性质巧妙求解.隐零点的处理思路： 第一步：用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，其中 难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函 数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换， 如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等 解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 3 例1 已知函数 . （1）求函数 的单调区间； 解：，其定义域为 ， ，令，得 . 当时，， 函数在 上单调递增； 当时，， 函数在 上单调递减. 故的单调递增区间是，单调递减区间是 . 类型一 等量代换 4 （2）求证：函数的图象在 轴上方. 证明： ， 则，易知在 上单调递增， ，， 存在 ，使得， 即，即 . 当时，,单调递减； 当 时，, 单调递增. 5 ， ， 函数的图象在 轴上方. [总结反思] 隐零点的具体数值或表达式是求不出来的,我们只能得到一个隐零点 所满足的等式.所谓等量代换,即利用隐零点满足的等式对需要处理的 目标进行整体代换. 7 自测题 已知函数 ． （1）当时，求 的单调区间； 解：当时，, ， 则 . 设，，则 恒成立， 又，所以当时，， 单调递减，当时，，单调递增， 所以 的单调递减区间为，单调递增区间为 . 8 （2）当时，恒成立，求 的取值范围． 解：， ， 设， ， 则，所以在 上单调递增， 又，，所以存在 ， 使得，即， 当时，， 单调递减， 当时，， 单调递增， 所以当时， 取得极小值，也是最小值， 9 所以 ，所以，即 ， 设，易知单调递增，且 ， 由，解得.故的取值范围是 . 例2 [2025·广东珠海模拟] 已知函数 ． （1）当时，讨论 的零点个数； 解：由题可得 . 当时，，则在 上单调递减， 令，解得 ， 当时，在内只有一个零点． 当 时，，在 上单调递减. 类型二 数值估计 11 ， ， ， 又 ，在 内有一个零点， 又在 上单调递减， 当时，在 内只有一个零点． 综上，当时， 只有一个零点． （2）当时，证明：在区间 内存在唯一的零点； 证明：当时，， ， 当时， ，在 上单调递增. ， ， 在区间 内存在唯一的零点． 13 （3）若对于任意的，都有 ，求整数 的最大值． 解：，且， ， 令，则， . 由（2）知，在上单调递增， 且在区间 内存在唯一的零点， 设该零点为，则 ， 故当时,,即,则在 上单调递减， 当时,,即,则在 上单调递增， 14 ， ，故整数 的最大值为3． [总结反思] 1.所谓数值估计,主要是指利用函数零点存在定理对隐零点的大致范 围进行估计.一般来说,隐零点数值估计的精确度越高,越有利于问题的 解决. 2.函数零点问题的“卡点”的方法有: （1）直接取点:方便计算、与参数有关、便于判断正负. （2）将次要部分放缩为常数. 16 自测题 已知函数的图象在点 为自然对数的底数 处的切线的斜率为4． （1）求实数 的值； 解：，， 函数的图象在点 处的切线的 斜率为4，，即，解得 . 17 （2）若，且对任意恒成立，求 的 最大值． 解：由（1）知 ． 对任意 恒成立， 对任意恒成立. 令 ，， 则 . 18 令，，则 ， ，，在 上单调递增， ，， 存在 ，使得. 当时，，函数 单调递减； 当时，，函数 单调递增. ， ., ,又, 的最大值为3. 例3 已知函数， . （1）求 的极值； 解：因为，所以，当时， ，当 时，，所以在上单调递增，在 上 单调递减，所以当时，取得极大值， 无极小值. 类型三 常量变量化 20 （2）证明： . 证明：令 ， 则 ，令， 则在 上恒成立,所以在上单调递增， 又 ，， 所以存在，使得 ，即 . 21 当时，，， 单调递减， 当时，，， 单调递增， 故 . 令，则在 上恒 成立,所以在 上单调递减,所以 ， 所以,所以 ． 22 [总结反思] 所谓常量变量化,即将目标表达式化为关于隐零点的代数式之后,把隐 零点看成自变量,把考查目标看成关于隐零点的函数来处理. 23 自测题 已知，函数 . （1）当时，求曲线在点 处的切线与两坐标轴 围成的三角形的面积； 解：当时，，， 切线的斜率 . ,切点坐标为,曲线 在点处 的切线方程为 ,即 , 切线与坐标轴交点的坐标分别为,, 所求三角形的面积为 ． 24 （2）若恒成立，求 的取值范围. 解： , . 设,，则, 在 上单调递增，即在 上单调递增. 当时，,当时， ， 当时, , ,恒成立. 25 当时, , ,, 存在唯一的 ，使得 ， 即， 当时, ,当时, , , 恒成立. 当时，, 不恒成立， 不符合题意.综上所述，实数的取值范围是 . 【备选理由】例1考查利用隐零点数值估计解决指数、对数函数结合 的恒成立问题，难度较大； 例1 ［配例2使用］已知函数 . （1）求曲线在点 处的切线方程； 解：由题可得，所以 ， 又 ，所以曲线在点处的切线方程为 ． 教 师 备 用 习 题 27 （2）若对任意的， 恒成立，求实数 的取值范围． 解：由，得 ． 令，，则 ． 令，则 ， 所以 是增函数，又， ，所以存在唯一的，使得 ． 教 师 备 用 习 题 28 当时，，则， 单调递减， 当时，，则， 单调递增， 所以 ． 由， 得 ，即 ． 令，则 ， 所以 是增函数， 教 师 备 用 习 题 又，，所以 ， 两边取自然对数,得,即 ,所以 ， 由①②得 ． 所以，即，所以实数的取值范围是 ． 教 师 备 用 习 题 例2 ［配例3使用］[2025·济南一模] 已知, ，函数 ， . （1）当时，求 的极值. 【备选理由】例2对隐零点考查零点代换，难度不大，第（3）问通 过几何转化解决双参数问题，有一定的综合性和难度. 教 师 备 用 习 题 31 解：当时，， ， 当时，，函数单调递增， 此时 既无极大值也无极小值. 当时，当时，，函数 单调递减， 当时，，函数 单调递增， 所以函数的极小值是 ，无极大值. 教 师 备 用 习 题 32 （2）若 存在零点. （ⅰ）当时，求 的取值范围； 解：当时，因为函数存在零点，所以 有解， 若，则无解，不符合题意，所以 . 令，则 ， ①若,则，则在 上单调递增， 所以，此时 不存在零点； 教 师 备 用 习 题 33 ②若，令,易知在 上单调递增， 又， ， 所以存在,使得，即 ， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以，解得 ， 因为在上单调递增， 所以 ，即的取值范围是 . 教 师 备 用 习 题 34 （ⅱ）求证： . 证明：因为函数存在零点， 所以关于的方程 有实数根，设为，且 ， 若，则，该式不成立，故 . 故，考虑直线 ， 所以表示原点与直线上的动点 之 间的距离，则，所以 ， 教 师 备 用 习 题 35 当时，要证， 只需证 ，即证 . 令, ， 则 ， 令，，则, 所以 在上单调递增，所以 . 即,则在 上单调递增， 故，故，即 成立. 教 师 备 用 习 题 作业手册 37 1.已知函数,证明: . 证明：设, ， 则 ， 令， ， 则 ，所以在 上单调递增， 又, ， 所以存在，使得，即 . 作 业 手 册 1 2 3 4 38 当时，，所以在 上单调递减， 当时，，所以在 上单调递增， 所以 ， 所以，即 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 2.已知函数,证明: . 证明：要证，只需证 . 令, ，则， 易知在 上单调递增， 因为 ， ，所以存在， 使得 ， 即 . 作 业 手 册 1 2 3 4 40 当时，，则在 上单调递减； 当时，，则在 上单调递增. 所以当时， 取得最小值 . 令 ,由二次函数的性质可知, 在 上单调递减,所以,即 ， 所以，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 3.已知函数 ． （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数 的值； 解：由题可得 ，所以， ， 所以曲线在点处的切线方程为 ， 因为切线经过点，所以，解得 ． 作 业 手 册 1 2 3 4 42 （2）若对任意，都有（ 为自然对数的底 数），求证： ． 证明：设，则 ， 设，则 ， 因为在 上单调递增， 所以当时， ，当时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 作 业 手 册 1 2 3 4 43 所以 . 令 ， 则 ， 所以在 上单调递减, 因为 ，所以，所以 ． 作 业 手 册 1 2 3 4 4.[2025·北京海淀区一模节选] 已知函数 ． （1）若为上的单调函数，求 的取值范围； 解：若为 上的增函数，则在 上恒成立， 即对 恒成立，即对 恒成立， 又，所以 . 若为上的减函数，则在 上恒成立， 即对 恒成立，即对 恒成立， 又，所以 . 综上所述,若为上的单调函数,则 的取值范围为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 45 （2）若函数，求证： 可以取无数个值，使 得 都恰有三个不同的零点． 证明：，其定义域为 ， 又，所以 为奇函数， 又，所以只需证明可以取无数个值， 使得在 上有一个零点即可. 作 业 手 册 1 2 3 4 46 ,令 ,则 ， 当时,由（1）可知,在 上单调递减,又， 所以在 上恒成立,所以在上单调递减， 又, ,所以存在,使得 . 当时，，单调递增； 当 时，， 单调递减. 故当时, ,又 ，所以存在，使得. 作 业 手 册 1 2 3 4 综上所述，当时， 在上存在唯一零点， 即当时， 恰好有三个零点，所以可以取无数个值， 使得 都恰有三个不同的零点. 作 业 手 册 1 2 3 4 类型一 例1（1）</m>的单调递增区间是<m></m>，单调递减区间是<m></m>.（2）略 自测题（1）<m></m>的单调递减区间为<m></m>，单调递增区间为<m></m>.（2）<m> <m> 类型二 例2（1）当<m></m>时，<m></m>只有一个零点．（2）略（3）< 3 自测题（1） （2） 3 类型三 例3（1）当<m></m>时，<m></m>取得极大值<m></m>，<m></m>无极小值. （2）略 自测题（1）<m></m>,<m><m></m>．（2）<m> <m></ 答 案 核 查 49 1.略 2.略 3.（1）</m>（2）略 4.（1） ></m>（2）略 答 案 核 查 $