第1节导数的概念及运算课件-2027届高三数学一轮复习

第1节　导数的概念及运算 课标要求 1. 了解导数的概念，能根据导数的定义求部分简单函数的导数. 2. 通过函数图象，理解导数的几何意义. 3. 掌握导数的基本运算，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数. 目录/ CONTENTS 考点一 导数的基本概念 01 考点二 导数的基本运算 02 考点三 导数的几何意义 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 导数的基本概念 目 录 1. 平均变化率 对于函数y＝f（x），我们把比值 ，即 ＝ 　 　 叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率. 提醒：Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0. 　 高中总复习·数学 目 录 2. 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限， 则称y＝f（x）在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝ x0处的导数（也称为瞬时变化率），记作f'（x0）或y' ，即f'（x0） ＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 3. 导函数 当x变化时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数 （简称导数）.y＝f（x）的导函数有时也记作y'，即f'（x）＝y'＝ . 高中总复习·数学 目 录 题组练透 1. 设f（x）在x＝x0处可导，下列式子与f'（x0）相等的是（　　） A. B. C. D. √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A， ＝－ ＝－f'（x0），A错误；对于B， ＝f'（x0），B正确；对于C， ＝2 ＝2f'（x0），C错 误；对于D， ＝－ ＝ －f'（x0），D错误.故选B. 高中总复习·数学 目 录 2. 已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设 ＝a，则下列不等式正确的是（　　） A. a＜f'（2）＜f'（4） B. f'（2）＜a＜f'（4） C. f'（4）＜f'（2）＜a D. f'（2）＜f'（4）＜a √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　从函数的图象可知，函数值在[2，4]上增长的越来越快，故函 数在[2，4]上各点处的斜率也越来越大.因为 ＝a，所以f' （2）＜a＜f'（4），故选B. 高中总复习·数学 目 录 3. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却 和加热.已知在第x h时，原油的温度（单位：℃）为f（x）＝x2－7x＋15 （其中0≤x≤8）.则第2 h～4 h中，原油温度的平均变化率为 ⁠ ，第6 h时原油温度的瞬时变化率为 ，在第6 h附近原油 的温度在 .（填“上升”或“下降”） －1 ℃/h 5 ℃/h　 上升 高中总复习·数学 目 录 解析：第2 h～4 h中，原油温度的平均变化率为 ＝－1 （℃/h）.第6 h时原油温度的瞬时变化率为f'（6），由导数的定义， ＝ ＝ ＝ ＝Δx＋5，故f'（6）＝ ＝ （Δx＋5）＝5，由f' （6）＞0，故在第6 h附近原油的温度在上升. 高中总复习·数学 目 录 练后悟通 求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤 （1）求平均变化率 ＝ ； （2）求瞬时变化率，即取极限 ，得到f'（x0）. 提醒　函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势， 其正负号反映了变化的方向，｜f'（x）｜的大小反映了变化的快慢. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 导数的基本运算 目 录 1. 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝ ⁠ f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ sin x f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ cos x f'（x）＝ ⁠ 0　 αxα－1　 cos x　 － sin x　 高中总复习·数学 目 录 基本初等函数 导数 f（x）＝ex f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ln x f'（x）＝ ⁠ f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝ ⁠ ex　 axln a　 　 　 高中总复习·数学 目 录 2. 导数的运算法则 （1）[f（x）±g（x）]'＝ ⁠； （2）[f（x）g（x）]'＝ ⁠； （3）［ ］'＝ 　 　（g（x）≠0）. 3. 复合函数的导数 复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数 间的关系为y'x＝ ⁠. 结论：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数，周期函数 的导函数还是周期函数. f'（x）±g'（x）　 f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　 　 y'u·u'x　 高中总复习·数学 目 录 （1）已知函数f（x）＝ex－f'（1）x，则（　C　） A. f（1）＝－ B. f'（1）＝－ C. f（2）＝e2－e D. f'（2）＝e2－e 解析： 因为f（x）＝ex－f'（1）x，所以f'（x）＝ex－f'（1），则f' （1）＝e－f'（1），所以f'（1）＝ ，则f（x）＝ex－ x，所以f（1）＝ ，f'（2）＝e2－ ，f（2）＝e2－e.故选C. C 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕下列求导运算正确的是（　ABC　） A. （x＋ ）'＝1－ B. [（x2＋2） sin x]'＝2x sin x＋（x2＋2） cos x C. （ ）'＝ D. [ln（3x＋2）]'＝ 解析：（x＋ ）'＝1－ ，故A正确；[（x2＋2）· sin x]'＝2x sin x＋（x2 ＋2） cos x，故B正确；（ ）'＝ ＝ ，故C正确；[ln（3x ＋2）]'＝ ，故D错误. ABC 高中总复习·数学 目 录 规律方法 函数求导应遵循的原则 （1）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、 商，再利用运算法则求导； （2）抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解； （3）复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）已知函数f（x）＝ln x＋x，g（x）是函数f（2x＋1）的导函 数，则g（0）＝（　D　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： ∵f（x）＝ln x＋x，∴f（2x＋1）＝ln（2x＋1）＋2x＋1，则f' （2x＋1）＝ ＋2，即g（x）＝ ＋2，∴g（0）＝4. D 高中总复习·数学 目 录 （2）设函数f（x）＝ ，若f'（1）＝ ，则a＝ ⁠. 解析：∵函数f（x）＝ ，∴f'（x）＝ ，∴f'（1）＝ .又∵f'（1）＝ ，∴ ＝ ，解得a＝1. 1 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 导数的几何意义 目 录 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f'（x0）.｜f'（x0）｜越大，曲线在x＝x0处的切线越“陡峭”. 提醒：区分在点处的切线与过点处的切线 （1）在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条； （2）过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 高中总复习·数学 目 录 角度1　求切线方程 （1）（2026·山东济南模拟）曲线y＝ln 在点（0，0）处的切线方 程为（　C　） A. y＝x－1 B. y＝x＋1 C. y＝2x D. y＝－2x 解析： 函数y＝ln 的定义域为（－1，1），因为y＝ln ＝ln（1＋ x）－ln（1－x），所以y'＝ ＋ ，当x＝0时，y'＝1＋1＝2，y＝0， 所以曲线y＝ln 在点（0，0）处的切线方程为y＝2x. C 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·贵州贵阳模拟）过点P（1，－3）作曲线y＝f（x）＝2x3－ 3x的切线，则切线方程为 ⁠. 解析：设切点为（a，2a3－3a），因为y＝f（x）＝2x3－3x，则f'（x） ＝6x2－3，所以切线的斜率k＝f'（a）＝6a2－3，故切线方程为y－（2a3 －3a）＝（6a2－3）（x－a）.因为切线过点P（1，－3），所以－3－ （2a3－3a）＝（6a2－3）（1－a），解得a＝0或a＝ ，则切点坐标为 （0，0）或（ ， ），故切线方程为3x＋y＝0或21x－2y－27＝0. 3x＋y＝0或21x－2y－27＝0 高中总复习·数学 目 录 角度2　求切点坐标或参数 （1）已知曲线f（x）＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝ 0垂直，则点P的坐标为（　C　） A. （1，3） B. （－1，3） C. （1，3）或（－1，3） D. （1，－3） 解析： 设切点P（x0，y0），f'（x）＝3x2－1，又直线x＋2y－1＝0的斜 率为－ ，所以f'（x0）＝3 －1＝2，所以 ＝1，所以x0＝±1，又切点 P（x0，y0）在y＝f（x）上，所以y0＝ －x0＋3，所以当x0＝1时，y0 ＝3；当x0＝－1时，y0＝3.所以切点P为（1，3）或（－1，3）. C 高中总复习·数学 目 录 （2）（2025·全国Ⅰ卷12题）若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条 切线，则a＝ ⁠. 解析：设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为（x0， ＋x0 ＋a），由y＝ex＋x＋a得y'＝ex＋1，所以y' ＝ ＋1＝2，解得 x0＝0，所以切点坐标为（0，1＋a），又切点（0，1＋a）在切线y＝2x ＋5上，所以1＋a＝5，解得a＝4. 4 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲 线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是y－f（x0）＝f' （x0）·（x－x0）；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已 知点在切线上求解. 2. 处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的关系列出参数 的方程：（1）切点处的导数是切线的斜率；（2）切点在切线上；（3） 切点在曲线上. 提醒　注意曲线上点的横坐标的取值范围. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）（2024·全国甲卷6题）设函数f（x）＝ ，则曲线y＝f （x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 （　A　） A. B. C. D. A 高中总复习·数学 目 录 解析： f'（x）＝ ，所以f'（0）＝ 3，所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x－0）， 即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为（0，1），（－ ，0）， 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ×1× ＝ ，故选A. 高中总复习·数学 目 录 （2）若函数f（x）＝x－ ＋aln x存在与x轴平行的切线，则实数a的取 值范围为 ⁠. 解析： f'（x）＝1＋ ＋ （x＞0），依题意得f'（x）＝1＋ ＋ ＝0有解，即－a＝x＋ 有解，∵x＞0，∴x＋ ≥2，当且仅当x＝1时取 等号，∴－a≥2，即a≤－2. （－∞，－2] 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1. 下列求导运算正确的是（　　） A. （ x－ ）'＝1－ B. [log5（2x＋1）]'＝ C. （5x）'＝5xlog5x D. （x2 cos x）'＝2x cos x－x2 sin x √ 解析： 　对于A， '＝1＋ ，对于B，[log5（2x＋1）]'＝ ，对于C，（5x）'＝5xln 5.故A、B、C错误，D正确. 高中总复习·数学 目 录 2. 函数y＝f（x）的图象如图，则导函数y＝f'（x）的大致图象为（　　） √ 解析： 　由导数的几何意义可知，f'（x）为常数，且f'（x）＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 若函数f（x）满足 ＝2，则 ＝（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 √ 解析： 　因为 ＝2，所以 ＝ － ＝－ ×2＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. （2025·贵州六盘水一模）将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝ m时球的体积膨胀率为 ，则m＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 √ 解析： 　因为V＝ R3，体积的增加量ΔV＝ m3－ ＝ （m3－ 1），所以 ＝ ＝ ，所以m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝ －3（舍去）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. （2026·陕西榆林模拟）已知函数f（x）＝aln x＋x2的图象在x＝1处的 切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝（　　） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 √ 解析： 　因为f（x）＝aln x＋x2，所以f'（x）＝ ＋2x.又函数f（x） 的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，所以f'（1）＝a＋2＝3，解 得a＝1，则f（x）＝ln x＋x2，所以f（1）＝1，代入切线方程得3－1＋b ＝0，解得b＝－2，故a＋b＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－ 4x，设两曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点处的切线相同，则实数m 的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 √ 解析： 　依题意，设曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点（x0，y0） 处的切线相同.∵f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－4x，∴f'（x）＝ 2x，h'（x）＝ －4，∴ 即 ∵x0＞0，∴x0＝1，m＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 〔多选〕某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t （单位：h）近似满足函数关系V（t）＝H（10－ t）3（H为常数）， 其图象如图所示.记此堆雪从开始融化到停止融化的平均融化速度为 （单 位：m3/h），t1，t2，t3，t4时刻的瞬时融化速度分别为v1，v2，v3，v4 （单位：m3/h），那么下列各式中正确的是（　　） A. v1＜ B. v2＞ C. v3＋ ＞0 D. v4＋ ＜0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　根据题意， ＝ ，反映的是V（t）图象与坐 标轴交点连线的斜率，瞬时融化速度v1，v2，v3，v4分别是函数图象在 t1，t2，t3，t4四点处切线的斜率，必有v1＜ ，v4＋ ＜0，故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. （2025·成都川大附中模拟）若点P是曲线y＝ln x－x2上任意一点，则 点P到直线l：x＋y－4＝0距离的最小值为 ⁠. 解析：过点P作曲线y＝ln x－x2的切线，当切线与直线l：x＋y－4＝0平 行时，点P到直线l：x＋y－4＝0的距离最小.设切点为P（x0，y0）（x0 ＞0），又y'＝ －2x，所以切线斜率k＝ －2x0，由题意知 －2x0＝－ 1，解得x0＝1或x0＝－ （舍），所以P（1，－1），此时点P到直线l： x＋y－4＝0的距离d＝ ＝2 . 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 过点（0，0）作曲线y＝ax（a＞0且a≠1）的切线，则切点的纵坐标 为 ⁠. 解析：设切点的坐标为（t，at），由y＝ax，得y'＝axln a，所以y' ＝atln a，所以过切点的切线方程为y－at＝atln a（x－t），把（0，0） 代入得，0－at＝atln a（0－t），即1＝tln a，所以t＝ ，则切点坐标 为（ ， ），即（ ， ），即（ ，e），所以切点的纵坐 标为e. e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）已知函数f（x）＝x3－4x2＋5x－4. （1）求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； 解： 因为f'（x）＝3x2－8x＋5，所以f'（2）＝1， 又f（2）＝－2，所以曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y－ （－2）＝x－2，即x－y－4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）求经过点A（2，－2）的曲线f（x）的切线方程. 解： 设切点坐标为（x0， －4 ＋5x0－4）， 因为f'（x0）＝3 －8x0＋5，所以切线方程为y－（－2）＝（3 －8x0 ＋5）（x－2）， 又切线过点（x0， －4 ＋5x0－4），所以 －4 ＋5x0－2＝（3 －8x0＋5）·（x0－2）， 整理得（x0－2）2（x0－1）＝0，解得x0＝2或x0＝1， 所以经过点A（2，－2）的曲线f（x）的切线方程为x－y－4＝0或y＋2 ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. （2026·河北石家庄质检）过点A（1，2）与曲线f（x）＝x3＋x相切 的直线方程为（　　） A. 4x＋y－4＝0 B. 4x－y－1＝0或7x－4y－1＝0 C. 4x－y＋2＝0 D. 4x－y－2＝0或7x－4y＋1＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为f（x）＝x3＋x，所以f'（x）＝3x2＋1.若点A是切点，则 k＝f'（1）＝4，则切线方程为y－2＝4（x－1），即4x－y－2＝0；若点 A不是切点，设切点为B（t，t3＋t），则曲线f（x）在点B处的切线斜 率为kAB＝f'（t）＝3t2＋1，又因为直线AB的斜率为kAB＝ ，则3t2 ＋1＝ ，化简可得（2t＋1）（t－1）2＝0，解得t＝－ （注意 t≠1），所以切线斜率为f'（－ ）＝ ，则切线方程为y－2＝ （x－ 1），即7x－4y＋1＝0，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知函数f（x）＝xln x，若0＜x1＜x2，则以下结论中正确 的是（　　） A. f（x1）＜f（x2） B. x2f（x1）＜x1f（x2） C. f'（x1）＜f'（x2） D. x2f'（x1）＜x1f'（x2） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　f'（x）＝（xln x）'＝（x）'ln x＋x（ln x）'＝ln x＋1.对于 A，取x1＝ ，x2＝ ，则f（x1）＝－ ，f（x2）＝－ ＝－ ＜f （x1），故A错误；对于B， ＝ln x，由ln x1＜ln x2得 ＜ ，即x2f（x1）＜x1f（x2），故B正确；对于C，f'（x1）＝ln x1＋ 1，f'（x2）＝ln x2＋1，由ln x1＜ln x2得f'（x1）＜f'（x2），故C正确；对于 D，取x1＝1，x2＝e，则f'（x1）＝1，f'（x2）＝2，所以x2f'（x1）＝e，x1f' （x2）＝2，x2f'（x1）＞x1f'（x2），故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 〔创新设问〕（2026·山东淄博模拟改编）已知定义在R上的函数f （x），f'（x）为f（x）的导函数，f'（x）定义域也是R，f（x）满足f （x＋1 012）－f（1 015－x）＝4x＋1，则 f'（i）＝ ⁠. 解析：对f（x＋1 012）－f（1 015－x）＝4x＋1两边同时求导得f'（x＋1 012）＋f'（1 015－x）＝4，即f'（x）＋f'（2 027－x）＝4，则f'（1）＋f' （2 026）＝4，f'（2）＋f'（2 025）＝4，…，f'（1 013）＋f'（1 014）＝ 4，则 f'（i）＝4×1 013＝4 052. 4 052 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）设函数f（x）＝ax－ ，曲线y＝f（x）在点（2，f（2）） 处的切线方程为7x－4y－12＝0. （1）求f（x）的解析式； 解： 方程7x－4y－12＝0可化为y＝ x－3， 当x＝2时，y＝ ， 又∵f'（x）＝a＋ ，∴ 解得 ∴f（x）＝x－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）证明曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围 成的三角形面积为定值，并求此定值. 解： 设P（x0，y0）为曲线y＝f（x）上任一点， 由f'（x）＝1＋ 知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y－（x0－ ） ＝（1＋ ）（x－x0）. 令x＝0，得y＝－ ， ∴切线与直线x＝0的交点坐标为（0，－ ）. 令y＝x，得y＝x＝2x0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 ∴切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0，2x0）. ∴曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的 三角形的面积S＝ ·｜2x0｜＝6. 故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三 角形面积为定值，且此定值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $