2026年四川省内江市第一中学九年级 二模考试数学试题

**基本信息** 聚焦数学核心素养，融合文旅数据、方舱配送等时代热点与开封铁塔、杨辉三角等文化素材，梯度设计适配初三二模综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|实数、科学记数法、三视图等|第2题以2024文旅数据考科学记数法，体现数据意识| |填空题|8/40|因式分解、圆锥计算、动态几何等|第15题结合圆形纸片剪拼考圆锥高，培养空间观念| |解答题|8/84|函数综合、统计、圆与几何综合等|第20题铁塔测量问题，融合解直角三角形与实际应用；第28题二次函数与几何动态最值，考察推理能力|

内江一中初2026届初三二模数学试题 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．实数的绝对值是（    ） A． B． C． D．1 2．据统计，2024年元旦假期，某市推出多项文旅活动，共接待游客204.58万人次，实现旅游收入14.12亿元．将数据1412000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（    ）    A．  B．  C．  D．   4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   6．函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 7．为了解全市中学生的视力情况，随机抽取某校50名学生的视力情况作为其中一个样本，整理样本数据如图，则这50名学生视力情况的中位数和众数分别是（    ）    A．4.8，4.8 B．13，13 C．4.7，13 D．13，4.8 8．正八边形如图所示，与交于点O，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．某方舱医院采购A,B两种型号的机器人进行院内物资配送．已知每小时A型机器人配送的物资比B型机器人少200件；配送800件物资A型机器人所用的时间比型机器人多40分钟，两种型号机器人每小时分别配送多少件物资？若设型机器人每小时配送x件，根据题意可列方程为（    ） A．B．C． D． 10．如图，在中，，D、E分别为中点，连接相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 11．若干个数，第一个数记为，规定运算：，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（    ） A． B． C． D．3 12．如图，中，，，边上的高，点，，分别在边，，上，且四边形为正方形，点，，分别在边，，上，且四边形为正方形，…，按此规律操作下去，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13．分解因式：_________． 14．若a，b为实数，且b＝＋－11，则a＋b的立方根为_________． 15．如图，将半径为的圆形纸片剪去圆心角为的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是_________cm． 16．如图，在矩形中，为边上一点，连接，作点关于对称的点，连接．若，点到边的距离之比为，则_________． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17．（10分）(1)计算：； (2)化简：． 18．（9分）如图，在中，，D是中点、F是中点，是的外角的平分线，延长交于点E．连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 19．（9分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．    (1)请将条形统计图补充完整； (2)在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； (3)甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 20．（9分）开封铁塔又名“开宝寺塔”，坐落在开封城东北隅铁塔公园内，因塔身全部以褐色琉璃瓦镶嵌，远看酷似铁色，故称为“铁塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组对该铁塔进行测量．如图，他们在远处一山坡坡脚处，测得铁塔顶端M的仰角为，沿山坡向上走35m到达处，测得铁塔顶端的仰角为．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算铁塔的高度ME（结果精确到1m，参考数据：）． 21．（11分）如图，一次函数与函数的图象交于两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围； (3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． B卷（共60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22．如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式=_________． 23. 已知的三边、、满足，则的面积为_________． 24．如图，是等边三角形，，点在上，，直线，垂足为，分别是边，直线上的动点，则的最小值是_________． 25．如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落在点C处，双曲线经过点C，则的值是_________． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 26．阅读材料：教材为大家介绍了杨辉三角． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数；等等． 利用上面的规律，完成以下问题： (1)的展开式为_________； (2)的展开式中共有_________项，从右往左第二项的系数是_________； (3)计算：． 27．如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，求的值． 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点F为抛物线顶点时，过点F作轴，垂足为点E，交于点D，连接，求的面积； (3)如图2，连接，点E是线段上（不与点O、B重合）的点，过点E作轴，交抛物线于点F，交于点D，点P是线段上一动点，过P作轴，垂足为Q，点G为线段的中点，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A A D D A A B B 题号 11 12 答案 D D 1．B 【详解】解：|   故选B 2．C 【详解】∵， 故选C． 3．A 【详解】 从上面看是四个小正方形，如图所示：  ， 故选：A． 4．A 【详解】解：，故选项此符合题意． 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意． ，故此选项不符合题意． ，故此选项不符合题意． 故选： 5．D 【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意． 故选D． 6．D 【详解】∵有意义， ∴x+1≠0，2-3x≥0， 解得：且， 故选D. 7．A 【详解】解：由图可知，视力为4.8的学生人数最多，因此众数是4.8， 将50名学生视力情况按从小到大顺序排列，第25和26位都是4.8，因此中位数是4.8， 故选A． 8．A 【详解】解：∵正八边形，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．B 【详解】解：设型机器人每小时配送x件，列方程为， 故选B． 10．B 【详解】如图所示，连接，      ∵D、E分别为中点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 11．D 【详解】解：当时，则 ， ， ， ， … 由此可知，的值每三个一循环， ∵2022÷3=674， ∴， 故选：D． 12．D 【详解】解：∵边上的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴和的相似比为， 同理：和的相似比为， ∴和的相似比为， 依此得：和的相似比为， ∴和的相似比为， ∴，即， ∴， 故选：D． 13． 【详解】解： ． 14．-2 【详解】解：∵b＝＋－11 ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴a＋b的立方根为2． 故答案为2． 15．12 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，根据题意得， 解得， 所以圆锥的高为． 故答案为12 16． 【详解】解：如图，过点作于，交于， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， ， 点到边的距离之比为， ， ，， 由轴对称的性质可得：垂直平分， ，， ， ， ， ，即， 解得：， ∴ 故答案为：． 17．(1) (2)(或) 【详解】解：（1） ； （2） ． 18．(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵是外角的平分线， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵F为的中点，D为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，点D为中点， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵D为的中点， ∴，， ∴， ∴．    19．(1)见解析 (2)；． (3) 【详解】（1）解：总人数为（人） ∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，      （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为， 选择A大学的大约有（人） 故答案为：；． （3）列表如下， 甲乙 共有9种等可能结果，其中有3种符合题意， ∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为． 20．约55米 【详解】 解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得： ，， 在中，， ∴设米，则米， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴（米），（米）， 设米， 在中，， ∴（米）， ∴米，米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴（米）， ∴铁塔的高度约为55米． 21．(1)， (2) (3)点P的坐标为或 【详解】（1）解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； （3）解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 22．2033 【详解】解：是两个不相等的实数，且满足， m、n是一元二次方程的两个不相等的实数根， ， 又， = = = =2033． 故答案为：2033． 23． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，，， 解得：，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， ∴的面积为 故答案为：． 24． 【详解】解：如图，作D关于直线的对称点G，连接，则， ∵直线， ∴， ∴， 即G、B、D、C在一条直线上， ∴， ∵G、D关于直线对称， ∴， 由垂线段最短可知当时，有最小值． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 即的最小值是． 故答案为：． 25． 【详解】解：连接OC、BC，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N， ∵AB=AC，∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵直线与双曲线交于A，B两点， ∴OA=OB， ∴CO⊥AB，∠BCO=∠ACB=30°， ∴， ∵∠BOC=90°， ∴∠BOM+∠CON=90°， ∵∠BOM+∠MBO=90°， ∴∠CON=∠MBO， ∵∠BMO=∠ONC=90°， ∴△BOM∽△OCN， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 26．(1) (2)， (3)64 【详解】（1）解：根据杨辉三角第6行的6个数分别为，，，，， ∴， 故答案为：． （2）解：根据规律可知的展开式共有项， ∴的展开式中共有10项， 又根据题意可总结出所有项的系数成对称关系， ∴从右往左第二项的系数与从左往右第二项的系数相等， 根据题干规律可发现每个展开式的系数从左往右第二项的系数都为， ∴的展开式从左往右第二项的系数为， ∴的展开式从右往左第二项的系数为； 故答案为：，． （3）解：通过规律可知， 令得到， ∴． 27．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：如图1，连接，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图2，过P作于点E， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 28．(1) (2)4 (3)8 【详解】（1）在中，当时，， ∴．在中，， ∴，即， 将分别代入中，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵， ∴， 设所在直线的函数表达式为， 将分别代入中， 得解得 ∴所在直线的函数表达式为， 当时，， ∴． ∴， ∴． （3）设，其中， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时， ∴， ∴， 如图3，连接，易得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当E、Q、G共线时，取最小值，即取最小值， 如图3，过点G作于点H，易得，，则， ∴， ∴当线段的长度取得最大值时，的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $