8.1.2 三角形的内角和与外角和（第3课时：三角形的外角的定义和性质） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

8.1.2 三角形的内角和与外角和 （第3课时：三角形的外角的定义和性质） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．如图，在中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 2．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质，可得，由对顶角相等，可得，根据三角形外角的性质，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，中，借助直角三角板作边上的高，将三角板按如图所示摆放，其中点A，B，E在同一直线上，点E，C，D在同一直线上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的外角进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 4．将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形木板上，直尺的一边经过三角形的顶点C，并与交于点D，直尺的另一边分别交于点E，F，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质以及三角形的外角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 5．如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据直角三角形两锐角互余求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． 6．如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的性质，得出，再根据是的外角，求解即可． 【详解】解：如图，设与的交点为， ∵，， ∴， ∵是的外角， ∴． 二、填空题 7．如图，_________．（填“>”或“<”） 【答案】< 【分析】根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角进行解答即可． 【详解】解：根据三角形外角的性质得到． 8．如图，边延长线上有一点，平分的外角，，，则的度数是_______ 度． 【答案】75 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，熟知三角形的外角性质及角平分线的定义是解题的关键． 先求出的度数，再结合三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：平分，， ． ， ． 故答案为：75． 三、解答题 9．如图，在中，点在边的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质．根据三角形的外角性质得，结合，即可证明． 【详解】证明：由三角形的外角性质得， ∵， ∴，即． 10．如图，已知，． (1)求证：； (2)如图，点E是线段上一点，若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质证明即可； （2）根据得到，结合三角形的外角的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 11．如图，已知，平分，平分，点D是射线上一动点，连接，当D点在射线（不包括B点）上滑动时 (1)求度数； (2)的度数是否发生变化？若不变请求出度数？若变化，说明理由． 【答案】(1) (2)的度数不会发生变化，度数是 【分析】（1）根据，得出，根据平分，平分，得出，则，再根据三角形内角和定理即可得． （2）根据三角形外角的性质和，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵点D是射线上一动点， ∴， ∵， ∴． 故的度数不会发生变化，度数是． 【B能力提升】 1．一副直角三角板如图放置，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、三角形外角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据直角三角板的性质求出，由平行线的性质得到，利用三角形外角和定理进行求解即可． 【详解】解：如图，与交于点， 由题可得， ， ， ． 2．如图是某款铲子的侧面示意图，已知，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．利用平行线的性质求得，，，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，直线，一块含角的直角三角板的顶点在直线上，，两点在平面上移动，使直角边与直线相交．其中，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，三角形的外角性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，，，求出，再通过平行线的性质得出，最后由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4．如图，，点在线段上，分别交，于点，点在线段上，于点，的角平分线与的角平分线交于点，若，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及角平分线的定义，熟知平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．延长交于点，令的度数为，用分别表示出和，据此得出的度数，再结合求出的值，进一步得出的度数，据此求出的度数即可． 【详解】解：延长交于点， 令的度数为， ． 平分， ． ， ，． ， ∴， ， ． 平分， ， ． ， ． ， ∴， ． ， ． 故答案为：． 5．在数学社团活动中，小晋将一副含角的直角三角板（） 与两行平行的横格线（直线）结合，探究角度之间的关系． (1)如图1，当三角板的直角顶点C落在线段上，且斜边与直线平行时，求的度数． (2)如图2，在（1）的条件下将三角板绕点C顺时针旋转，使两直角边分别与直线交于点D，E．请猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在图2的基础上，小晋作的平分线，作的平分线．若交于点H，则是否发生变化，若不变求出度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)不变， 【分析】（1）根据“两直线平行内错角相等”可得答案； （2）根据三角形内角和定理得出答案； （3）先根据三角形的外角的性质得和，再根据角平分线的定义得，进而得出，则此题可解． 【详解】（1）解：如图所示，， ∴， ； （2）解：猜想，理由如下： ，， ； （3）解：不变， ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴， 即． ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．【背景】如图，直线，点在直线和之间，且，该角的两边分别交直线，于点E，F． 【感知】（1）如图1，当点在过点和点的直线的左侧时，过点作，求的度数； 【探究】（2）如图2，当点在过点和点的直线的右侧时，求的度数； 【拓展】（3）如图3，若的角平分线交直线于点，延长交直线于点，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，三角形外角的性质及角平分线的定义，过拐点作平行线是解题的关键： （1）根据平行线的性质，已知条件，平行公理，进行作答即可； （2）过点作，根据平行线的性质，角的和差关系进行求解即可； （3）根据平行线的性质，角平分线的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ．     ， ， ， ．     ， ； （2）如图，过点作， ． ， ， ， ， ， ；     （3）平分， ．     ， ， ， ，即． ， ， ． 【C综合与实践】 1．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．    【提出问题】 小明提出：如图①，和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 (1)请你帮小明解决这个问题，并说明理由． (2)如图②，求，，的数量关系，并说明理由． (3)如图③，已知，，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，熟知平行线的性质与三角形外角的性质是解题的关键． （1）由平行线的性质推出，得到即可解决问题； （2）由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到； （3）延长交于点L，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，与相交于点理由如下： ， ， ， ． （3）解：如图③，延长交于点L，    ∵， ∴， ∴， ∴． 2．【问题情景】我们知道，多边形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫作多边形的外角． 如图1所示，、、是的三个外角，下面我们来探究、、和三内角之间的数量关系． 【方法感悟】解：因为在中，，所以．因为，所以．所以．同理可得：，． 因此，我们得到一个重要的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【解决问题】 (1)已知：如图2，与分别为的两个外角，请直接利用上述结论，试探究与的数量关系． (2)已知：如图3，在中，，分别平分和，试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由外角的性质可得，，相加并结合三角形的内角和定理即可得到结论； （2）由角平分线的性质可得，，，则，结合三角形的内角和定理可得． 【详解】（1）解：根据题意可得，，， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1.2 三角形的内角和与外角和 （第3课时：三角形的外角的定义和性质） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．如图，在中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，借助直角三角板作边上的高，将三角板按如图所示摆放，其中点A，B，E在同一直线上，点E，C，D在同一直线上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形木板上，直尺的一边经过三角形的顶点C，并与交于点D，直尺的另一边分别交于点E，F，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，_________．（填“>”或“<”） 8．如图，边延长线上有一点，平分的外角，，，则的度数是_______ 度． 三、解答题 9．如图，在中，点在边的延长线上，．求证：． 10．如图，已知，． (1)求证：； (2)如图，点E是线段上一点，若，且，求的度数． 11．如图，已知，平分，平分，点D是射线上一动点，连接，当D点在射线（不包括B点）上滑动时 (1)求度数； (2)的度数是否发生变化？若不变请求出度数？若变化，说明理由． 【B能力提升】 1．一副直角三角板如图放置，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图是某款铲子的侧面示意图，已知，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线，一块含角的直角三角板的顶点在直线上，，两点在平面上移动，使直角边与直线相交．其中，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 4．如图，，点在线段上，分别交，于点，点在线段上，于点，的角平分线与的角平分线交于点，若，则的度数是______． 5．在数学社团活动中，小晋将一副含角的直角三角板（） 与两行平行的横格线（直线）结合，探究角度之间的关系． (1)如图1，当三角板的直角顶点C落在线段上，且斜边与直线平行时，求的度数． (2)如图2，在（1）的条件下将三角板绕点C顺时针旋转，使两直角边分别与直线交于点D，E．请猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在图2的基础上，小晋作的平分线，作的平分线．若交于点H，则是否发生变化，若不变求出度数；若变化，请说明理由． 6．【背景】如图，直线，点在直线和之间，且，该角的两边分别交直线，于点E，F． 【感知】（1）如图1，当点在过点和点的直线的左侧时，过点作，求的度数； 【探究】（2）如图2，当点在过点和点的直线的右侧时，求的度数； 【拓展】（3）如图3，若的角平分线交直线于点，延长交直线于点，求的度数． 【C综合与实践】 1．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．    【提出问题】 小明提出：如图①，和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 (1)请你帮小明解决这个问题，并说明理由． (2)如图②，求，，的数量关系，并说明理由． (3)如图③，已知，，，求的度数． 2．【问题情景】我们知道，多边形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫作多边形的外角． 如图1所示，、、是的三个外角，下面我们来探究、、和三内角之间的数量关系． 【方法感悟】解：因为在中，，所以．因为，所以．所以．同理可得：，． 因此，我们得到一个重要的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【解决问题】 (1)已知：如图2，与分别为的两个外角，请直接利用上述结论，试探究与的数量关系． (2)已知：如图3，在中，，分别平分和，试探究与的数量关系． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $