8.1.2 三角形中的倒角模型 练习 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

乾坤未定，你我皆是黑马 三角形的中倒角模型 【模型1—8字模型】 模型1：结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D 模型2：条件：AP平分∠BAD，PC平分∠BCD；结论：∠P＝(∠B＋∠D) 【例1】如图，在由线段AB、CD、DF、BF、CA组成的平面图形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 例1图 变1图 变2图 【变式练习1】：如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【变式练习2】：如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，。 （1）若，则＝________度； （2）若，则＝________度。 【答案】（1）；（2）． 【变式练习3】下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应__________（填“增加”或“减少”）________度． 变3图 变4图 例2图 【答案】减少 10 【变式练习4】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为_____________． 【答案】1080° 【模型2—A字模型】 模型1（A字模型）：结论： 模型2（老鹰抓小鸡）：结论： 模型3（帽子）：结论：∠DBA＋∠ACE＝∠BAC＋∠180o 【例2】如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【变式练习5】：如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为_________． 【答案】 变5图 变6图 变7图 【变式练习6】：如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【变式练习7：如图为一个简易的“人”字梯，已知∠1＝120°，则∠2－∠3＝（　　） 【答案】60度 【模型3—飞镖模型】 图1 图2 图3 基本模型：条件：如图1，结论：①∠BCD＝∠A＋∠B＋∠D；②AB＋AD＞BC＋CD； 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；结论：∠O＝(∠A＋∠C)； 拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD；结论：∠O＝(∠D－∠B)； 例3：如图，点E在BC上，ED⊥AC于F，交BA的延长线于D，已知∠D＝30°，∠C＝20°，则∠B的度数是______。 例3图 变8图 变9图 【变式练习8】：如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A＝70°，∠BCD＝120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD________（填“增大”或“减小”）______________°。 【答案】增大 10 【变式练习9】：如图：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝__________。 【解析】180度 变9图 变10图 变11图 【变式练习10】：如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B＋∠C＝60°，∠D＝70°，则∠1＋∠2＝__________。 【解析】：50 【变式练习10】：如图：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝__________。 【解析】180度 【变式练习11】：如图：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝__________。 【解析】180度 变12图 变13图 例4图 【变式练习12】：如图：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝__________。 【解析】180度 【变式练习13】：如图：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝__________。 【解析】180度 【模型4—高分模型】    模型：条件：AE平分∠BAC，AD⊥BC，（FG⊥BC）∠C＞∠B；结论：∠DAE＝ (∠C－∠B) 例4：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD延长线上的一点，过点F作EF⊥BC于点G，若B＝32°，C＝68°，则∠AEF的度数为_____________。 【答案】18度 【变式练习14】：如图，在△ABC中，E为△ABC角平分线AM的延长线上一点，过点E作ED⊥BC于点D，若∠B＝45°∠CAE＝2∠E，则∠C的度数为_________度。 【解析】：75 【模型5—双角平分线模型】 变14图 模型1图 模型2图 模型1：条件：OB、OC是△ABC的内角平分线，延长BO与△ABC的一个外角平分线相交于点D，△ABC的另两个外角平分线相交于点E 结论1：∠BOC＝90o＋∠A； ∠BEC＝90o－∠A； ∠D＝∠A 模型2：条件：若，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是。 例5图 变15图 例5：如下图，在△ABC中，BO、CO分别平分．若，则＝______。 【答案】 【变式练习15】：如图，在△ABC中，∠C＝110°，AE是△ABC的外角∠BAD的平分线，BF平分∠ABC与AE的反向延长线相交于点F，则△F的度数为________。 【答案】55 【变式练习16】：如图，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点，若∠E＝46°，则∠C＝________度。 变16图 变17图 【变式练习17】：如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB＝_________度。 【变式练习18】：如图，在△ABC中，分别平分，为外角的平分线，交的延长线于点E，记．给出下列结论：①；②；③；④。其中正确的是________．（填序号）   【答案】①④ 变18图 变19图 变20图 【变式练习19】：如图，在△ABC中，，是的平分线，是△ABC的外角的平分线，是△ABC的外角的平分线，以下结论正确的是______________。（填序号） ①；②；③；④；⑤∠ADC＝90o－∠ABD；⑥BD平分∠ADC。 【答案】（1）（2）（3）（5）（6） 【变式练习20】：如图，在△ABC中，∠A＝90o，BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论①∠CEG＝2∠DCA；②∠DFE＝130o；③∠DFB＝∠A；④∠ADC＝∠GCD；⑤CA平分∠BCG，其中正确的结论是（    ） A：①②③ B：①③④ C：①③④⑤ D：①②③④ 【答案】B 【模型6—翻折模型】 图3 图4 1、如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C＝∠1＋∠2； 2、如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C＝∠2－∠1。 例6：如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，则这种数量关系是（ ） A：∠A＝∠1＋∠2 B：2∠A＝∠1＋∠2 C：3∠A＝2(∠1＋∠2) D：4∠A＝3(∠1＋∠2) 【解析 】：B 【变式练习21】：5、如图，已知三角形纸片ABC中，∠A＝70o，∠B＝79o，将纸片的一角折叠，使点C落则在△ABC内，若∠1＝30o，则∠2的度数为（    ） A：29° B：30° C：31° D：32° 变21图 变22图 变23图 【解析】：D 【变式练习22】：如图，点M、N分别在AB，AC上，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，点A落在点处。若∠＝28o，∠B＝120o，则∠的度数为（    ） A：148° B：116° C：32° D：30° 【答案】B 【变式练习23】：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90o，∠A＜∠B，M是斜边AB的中点，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，则∠A ＝_______°． 【变式练习24】：如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝115°，则∠1＋∠2的度数为____________度。 【解析】100度 变24图 变25图 *【变式练习25】：三角形ABC中，∠A＝64o，∠B＝90o，∠C＝26o，点D是AC边上的点，点E是BC边上的点，沿ED折叠三角形CDE，点C落在点G处。当三角形DEG的三边与三角形ABC的三边至少有一组边平行时，∠ADG＝_______度。 【答案】或或或或或 综 合 题 型 1、七年级数学下册第章平面图形的认识二第页第题如下：如图，，点、分别在、上运动不与点重合，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点． 【特殊探究】当时， ______； 【推理论证】随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； 【拓展探究】如图，在图的基础上分别作与的平分线，交于点，则 ______； 【拓展探究】如图，若将图中的“”拓展为一般情况，即，点是射线反向延长线上的一个动点，连接，与的平分线相交于点，延长交直线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【详解】解：特殊探究：，， ， 平分，平分， ，， 又， ， 故答案为：； 推理论证：的大小不会变，，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 即的大小不会变，； 拓展探究：如图，设与交于点， 平分，平分， ，， 平分，平分， ，， ， 由推理论证可知，， ， ， ， 故答案为：； 拓展探究：，理由如下： 平分，平分， ，， ，， ， ， ， 与的平分线相交于点， ，， ， ， ， ，，． 2、探究问题 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______； （2）如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______； （3）如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； （4）如图4，如果，，当时，则的度数为______． 【详解】（1）在中，，在中，， ∵，∴故答案为： （2）设，， ∵，分别平分，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为： （3）由（2）可知：， ∵，∴，∴，∴， （4）如图4，延长、交于点，设，， ∴，，∴，∴， ∴，∴， ∴，，， ∴故答案为： 3、综合与探究 提出问题： 小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系． 解决问题： （1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系． ①若，则________；若，则________； ②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由； 应用拓展： （2）如图2，将△ABC改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，在△ABC中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系． 【详解】解：（1）①∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若，则； 若，则； 故答案为：，； ②由①得； 故答案为：； （2）的平分线及一个外角的平分线相交于点， ，． ， ． ， ． ， ． ． ； （3），理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 没有比脚更长的路，没有比人更高的山，只有脚踏实地才能走得更高更远！ 11 学科网（北京）股份有限公司 $