8.1.3 三角形的三边关系 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

8.1.3 三角形的三边关系 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．以下列各线段长为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、， ∴长度为的线段能组成三角形，选项A符合题意； B、， ∴长度为的线段不能组成三角形，选项B不符合题意； C、 ， ∴长度为的线段不能组成三角形，选项 C不符合题意； D、 ， ∴长度为的线段不能组成三角形，选项D不符合题意． 2．若一个三角形的两边长分别是7，14，则它的第三边长不可能是（    ） A．8 B．12 C．15 D．21 【答案】D 【分析】先根据定理求出第三边长的取值范围，再判断哪个选项不符合范围即可． 【详解】解：设三角形的第三边长为x， ∵两边长分别为7和14， ∴， 即， ∴第三边长不可能是21． 3．如图，工人师傅砌门时，为使长方形门框不变形，常用木条将其固定，这种做法的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的内角和等于 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形具有稳定性的概念，利用场景联想概念是解题的关键． 根据场景得到为使长方形门框不变形，常用木条将其固定，选择其使用的原理是三角形具有稳定性即可． 【详解】解：为使长方形门框不变形，常用木条将其固定，其使用的原理是三角形具有稳定性， 故选：D． 4．已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号合并同类项即可． 【详解】解：∵的三边长分别为，，， 根据三角形三边关系，可得，， ∴，， ∴ ． 5．如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地．下列关系正确的是（   ） 甲：，路程为； 乙：，路程为． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图中角度相等判断点、分别在线段、上，进而利用三角形的三边关系判断即可得解． 【详解】解：由图甲可知，，； 由图乙可知，，， 点在线段上，点在线段上．如图所示， ，， ． 又， 在中，由三角形三边关系可知：， ， 即． 6．若的周长为16，则的长可能为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系、求不等式的解集，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 由题意得，再利用三角形两边之和大于第三边，确定的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵的周长为16， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长可能为7． 故选：A． 二、填空题 7．已知a，b，c是三角形的三边，其中，，则c的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系求解，三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，代入已知的值即可得到的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系可知，第三边满足， 将，代入得，即． 故答案为：． 8．如图，在中，，将平移6个单位长度得到，M是的中点，则的最大值为______． 【答案】10 【分析】如图，连接，根据题意得到，，然后根据三角形三边关系求解． 【详解】解：如图，连接， 由平移得， 因为点M是的中点， 所以， 因为 所以当点A在上时，取得最大值，即的长度， 因为 所以的最大值为10． 三、解答题 9．已知的三边分别为．若满足． (1)___________，___________； (2)若为整数，求的周长． 【答案】(1)4；1 (2) 【分析】（1）几个非负数的和为0，则这几个非负数的值都为0，据此可得答案； （2）根据三角形的三边的关系求出b的取值范围，结合b为整数求出b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， 又∵为整数， ∴， ∴的周长． 10．已知的三边长分别为7、2、a． (1)化简． (2)若a为奇数，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，绝对值，熟练掌握绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系可得，所以，然后可去绝对值，进而问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，再结合a为奇数，可以确定，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为7、2、a， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：由（1）中过程可知， 又∵a为奇数， ∴， ∴的三边长分别为7、2、7，有两边相等， ∴是等腰三角形． 【B能力提升】 1．将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3，利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，得折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3， 由三角形的三边关系，得，解得， 观察四个选项可知，m的值不可能为6． 2．如图1，直线l及同侧两点A，B，要在直线l上找一点C，使 最大，其做法为：连接并延长，交直线l于点C，可证点C即为所求．如图2，直线l及两侧两点A，B，在直线l上找一点C，使最大．下列图中所画点C的位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形的三边关系的应用，如图，作关于直线的对称点，作直线交直线于，即可得到结论． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作直线交直线于，连接， 则， ∴， 此时最大． 故选：B 3．已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系： （1）根据题意可得，，求得，，根据三角形三边关系，可得； （2）根据三角形三边关系，可得，，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，． ，． 根据三角形三边关系，可得，即． 为整数， 的最小值为3． （2）解：根据三角形三边关系，可得，，， ． 4．已知四条线段的长度为a，b，c，p（它们是从小到大的连续正整数），且． (1)求p的值； (2)已知a，b，x为三角形的三条边长，若x为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）易得，，，代入，求解即可； （2）根据三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 则，解得． （2）解：由（1）可知：，， 根据三边关系可知：，即， ∵x为整数， ∴x的最大值为6， ∴三角形周长的最大值为． 5．如图1，图2，在中，是的角平分线． (1)若，的长为偶数，则符合条件的共有 个； (2)如图1，若F为线段上一点，过点F作于点E，，． ①求的度数； ②如图2，若F为线段延长线上一点，其余条件不变，直接写出的度数． 【答案】(1)2 (2)①；② 【分析】本题考查了三角形三条边的关系， （1）先三角形三边的关系求出的取值范围，再根据的长为偶数求解即可； （2）①过点A作于M，先求出，由角平分线的定义得，进而可求出，求出，进而可求出的度数； ②过点A作于M，由①可知，根据可求出的度数． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵的长为偶数， ∴或6， ∴符合条件的共有2个， 故答案为：2； （2）①如图1，过点A作于M， 在中，， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点A作于M， 由①可知， ∵， ∴， ∴． 【C综合与实践】 1．综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：． 【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：．       【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是 ．    【答案】直接应用：见解析；深化应用：见解析；拓展应用： 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理： 直接应用：根据三角形三边关系得到，在不等式两边都加上即可得到结论； 深化应用：延长交于点D，根据三角形三边关系得到①，②， 利用即可推出； 拓展应用：根据三角形三边关系得到，，，将三个关系式相加并整理，结合三角形的周长即可得到答案． 【详解】解：[直接应用]：由三角形三边关系得，， ∴，即； [深化应用]：如图，延长交于点D， ∵①，②， ∴得， ∴， 即； [拓展应用]：在中，， 同理，，， 得，， ∴, 得， ∵点是内的任意一点，当点无限接近三角形的某一顶点时，就无限接近三角形的周长，但始终小于三角形的周长， ∴， ∴， 故答案为：． 2．我们规定，若三角形满足：①各边互不相等且均为整数；②最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，则称此三角形为“比高三角形”，其中k叫作“比高系数”． (1)如图，在中，于点，请判断是否是“比高三角形”．若是，请求出其“比高系数”；若不是，请说明理由； (2)若周长为的是“比高三角形”，且一边长为，则的“比高系数”为______． 【答案】(1)不是“比高三角形”，理由见解析 (2)3或2 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，三角形三边关系的应用等知识． （1）先根据题意得出为最短边上的高，为最长边上的高，再根据等面积法求出，最后根据“比高三角形”的定义判断即可． （2）根据三角形三边关系结合“比高三角形”的定义得出的三边长分别为，，或，，．设最短边上的高为，最长边上的高为，再结合三角形的面积计算以及“比高三角形”的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：不是“比高三角形”，理由如下： ∵， ∴为最短边上的高，为最长边上的高， ∵， ∴， ∴，k不是整数， ∴不是“比高三角形”； （2）解：∵周长为的是“比高三角形”，且一边长为， ∴为的最长边， 当其中一边为时，则另外一边为，此时不满足各边互不相等且均为整数的条件， 故的三边长分别为，，或，，． 设最短边上的高为，最长边上的高为， 当三边长分别为，，时， ， 解得：，即， 当三边长分别为，，．时， ， 解得：，即， 综上所述， 的“比高系数"k为3或2． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1.3 三角形的三边关系 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．以下列各线段长为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．若一个三角形的两边长分别是7，14，则它的第三边长不可能是（    ） A．8 B．12 C．15 D．21 3．如图，工人师傅砌门时，为使长方形门框不变形，常用木条将其固定，这种做法的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的内角和等于 D．三角形具有稳定性 4．已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 5．如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地．下列关系正确的是（   ） 甲：，路程为； 乙：，路程为． A． B． C． D． 6．若的周长为16，则的长可能为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 二、填空题 7．已知a，b，c是三角形的三边，其中，，则c的取值范围是______． 8．如图，在中，，将平移6个单位长度得到，M是的中点，则的最大值为______． 三、解答题 9．已知的三边分别为．若满足． (1)___________，___________； (2)若为整数，求的周长． 10．已知的三边长分别为7、2、a． (1)化简． (2)若a为奇数，判断的形状，并说明理由． 【B能力提升】 1．将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图1，直线l及同侧两点A，B，要在直线l上找一点C，使 最大，其做法为：连接并延长，交直线l于点C，可证点C即为所求．如图2，直线l及两侧两点A，B，在直线l上找一点C，使最大．下列图中所画点C的位置正确的是（   ） A．B．C． D． 3．已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 4．已知四条线段的长度为a，b，c，p（它们是从小到大的连续正整数），且． (1)求p的值； (2)已知a，b，x为三角形的三条边长，若x为整数，求三角形周长的最大值． 5．如图1，图2，在中，是的角平分线． (1)若，的长为偶数，则符合条件的共有 个； (2)如图1，若F为线段上一点，过点F作于点E，，． ①求的度数； ②如图2，若F为线段延长线上一点，其余条件不变，直接写出的度数． 【C综合与实践】 1．综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：． 【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：．       【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是 ．    2．我们规定，若三角形满足：①各边互不相等且均为整数；②最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，则称此三角形为“比高三角形”，其中k叫作“比高系数”． (1)如图，在中，于点，请判断是否是“比高三角形”．若是，请求出其“比高系数”；若不是，请说明理由； (2)若周长为的是“比高三角形”，且一边长为，则的“比高系数”为______． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $