专题06 图形的变化7大考点（云南专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题06 图形的变化 7大考点概览 考点01 轴对称 考点02 中心对称 考点03 相似图形的性质 考点04相似三角形 考点05 锐角三角函数 考点06 解直角三角形 考点07 投影与视图 轴对称 考点01 1．（2026·云南昆明·一模）下列选项中，含有轴对称图形汉字的是（  ） A．吉祥 B．如意 C．万事 D．顺遂 2．（2026·云南·一模）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·云南保山·一模）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项属于轴对称图形的是（   ） A．优 B．秀 C．品 D．质 4．（2026·云南文山·一模）汉字的对称性，是镌刻在方块字里的独特美学，从结构形态到文化意蕴，都散发着平衡、和谐的独特魅力．下列汉字中，不能看作轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·云南大理·一模）下列四个选项所描述的图形中，不是轴对称图形的为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正方形 D．线段 6．（2026·云南红河·一模）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 7．（2026·云南昆明·一模）下列是某校数学社团成员用AI软件设计的四幅图案，是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 8．（2026·云南昭通·一模）下列汉字中，是轴对称图形的是（    ） A．日 B．新 C．月 D．异 中心对称 考点02 1．（2026·云南红河·一模）在一节人工智能实践课上，学生利用AI设计了四个融入红河州哈尼梯田元素的图标，其中可以看作中心对称图形的是（　　） A．B．C． D． 2．（2026·云南楚雄·一模）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·云南·一模）点关于原点的对称点为点，则点的坐标为_____． 相似图形的性质 考点03 1．（2026·云南·一模）如图，在中，，分别交，于，，若：：2，，则的长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 2．（2026·云南·一模）如图，线段相交于点，，若，，则线段的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（2026·云南红河·一模）如图，若，且，则_____． 4．（2026·云南保山·一模）如图，，且，则________． 相似三角形 考点04 1．（2026·云南昆明·一模）如图，在中，，是上一点，过点作于点．若，则（  ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·一模）如图，在中，已知，分别是，边上的点，且．若，则（  ） A． B． C． D． 3．（2026·云南文山·一模）如图，在中，为直角，点在上，于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·云南大理·一模）如图，与交于点，且．若则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·云南红河·一模）如图，在中，点、分别在、上，且、，若的面积为9，则的面积为（    ） A．8 B．16 C．27 D． 6．（2026·云南昭通·一模）如图，在中，点D、E分别在、边上，且．若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．（2026·云南楚雄·一模）如图，在中，，点D，E分别是，的中点，交于点F，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·云南临沧·一模）如图，，，则与的周长之比为________． 9．（2026·云南红河·一模）如图，是四边形的外接圆，为的直径，延长至点，连接，，使得，． (1)求的度数： (2)求证：是的切线； (3)探究：若，试问是否为定值？如果是，请求出这个定值，并用含的代数式表示：如果不是，请说明理由． 10．（2026·云南文山·一模）如图，是的直径，是的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于，是的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)若，试探究线段之间的数量关系． 11．（2026·云南昆明·一模）如图，在中，，以为直径的过线段的中点，连接，过点作于点．若点是上与点位于异侧的一个动点（），连接，，过点作交于点，，交于点． (1)的长度是___________； (2)求证：直线是的切线； (3)请探究在点的运动过程中，的值是否改变？若不变，请求出此值；若改变，请说明理由． 12．（2026·云南昭通·一模）如图，在矩形中，点E是边上一点，连接、，且，过点A、B分别作和的平行线，两条平行线交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 锐角三角函数 考点05 1．（2026·云南·一模）如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则 （  ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·一模）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·云南保山·一模）如图，在中，．若，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·云南大理·一模）如图，在中，．若，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·云南红河·一模）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第9个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（2026·云南昆明·一模）如图，菱形的对角线与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 7．（2026·云南昆明·一模）小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒的边与竖直放置的档案盒的边夹角，，档案盒长．小宇同学用学过的数学知识计算出了每个档案盒的厚度，它是（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 8．（2026·云南临沧·一模）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·云南楚雄·一模）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·云南文山·一模）如图，在中，为直角，，，则的值为__________． 11．（2026·云南昭通·一模）在中，，，，则的值是_____________． 12．（2026·云南红河·一模）计算： 13．（2026·云南红河·一模）计算：． 14．（2026·云南昆明·一模）如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)如图，过点作的角平分线与的延长线交于点．若，，求的面积． 15．（2026·云南昆明·一模）计算：． 16．（2026·云南·一模）计算：． 17．（2026·云南楚雄·一模）计算：． 18．（2026·云南保山·一模）计算：． 19．（2026·云南文山·一模）计算：． 20．（2026·云南大理·一模）计算： 21．（2026·云南玉溪·一模）计算：． 22．（2026·云南昭通·一模）计算：． 23．（2026·云南昆明·一模）计算：． 24．（2026·云南昆明·一模）计算：． 25．（2026·云南临沧·一模）计算：． 26．（2026·云南·一模）计算： 27．（2026·云南·一模）计算：． 解直角三角形 考点06 1．（2026·云南大理·一模）如图，平行四边形中，点在对角线的延长线上，于点，过点作交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求线段的长． 2．（2026·云南曲靖·一模）为促进学生身心健康发展，学校组织全体师生开展秋季远足实践活动．如图A，B，C，D是四个打卡地，此次远足路线分为“访山”线：和“寻海”线：，其中B在A的正东方向处，C在A的南偏东方向，C也在B的南偏西方向，D在A的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求“寻海”线的长度（结果保留小数点后一位）； (2)若七年级选择走“访山”线，九年级选择走“寻海”线，已知“访山”线长度约为，七年级比九年级提前6分钟出发，两个年级全程匀速前进（忽略全程途中停留时间），九年级的平均行走速度是七年级的1.2倍，结果两个年级同时返回到出发点A，求七年级的平均行走速度． 投影与视图 考点07 1．（2026·云南红河·一模）下列是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（   ） A．球体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 2．（2026·云南昆明·一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（  ） A．长方体 B．正方体 C．圆锥 D．圆柱 3．（2026·云南·一模）如图所示的图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（  ） A．正方体 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱 4．（2026·云南保山·一模）某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（   ） A．正方体 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥 5．（2026·云南玉溪·一模）下列图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．三棱锥 C．三棱柱 D．圆锥 6．（2026·云南红河·一模）如图是一个几何体的主视图，则这个几何体不可能是（    ） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱锥 7．（2026·云南昭通·一模）下图是由3个相同的小立方体组成的几何体，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·云南昆明·一模）下列几何体中，俯视图是三角形的是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·云南临沧·一模）某班教室里的一个装饰品是由几个几何体组成的，其中一个几何体的三视图如图所示．这个几何体是（   ） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 10．（2026·云南·一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（   ） A．正方体 B．长方体 C．圆锥 D．三棱柱 11．（2026·云南·一模）下列几何体中，俯视图是三角形的是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·云南楚雄·一模）如图是一个长方体的主视图和左视图，由视图中标注的尺寸可计算出该长方体的体积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 13．（2026·云南大理·一模）如图所示是由几个大小相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，则这个立体图形可能是（   ） A． B． C． D． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 图形的变化 7大考点概览 考点01 轴对称 考点02 中心对称 考点03 相似图形的性质 考点04相似三角形 考点05 锐角三角函数 考点06 解直角三角形 考点07 投影与视图 轴对称 考点01 1．（2026·云南昆明·一模）下列选项中，含有轴对称图形汉字的是（  ） A．吉祥 B．如意 C．万事 D．顺遂 【答案】A 【分析】轴对称图形的定义为：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．根据轴对称图形的定义，判断各选项中的汉字，找出含有轴对称图形汉字的选项即可． 【详解】解：A选项：汉字“吉”沿竖中线折叠后，直线两旁部分可完全重合，是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：“如”、“意”都不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：“万”、“事”都不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：“顺”、“遂”都不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 2．（2026·云南·一模）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 3．（2026·云南保山·一模）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项属于轴对称图形的是（   ） A．优 B．秀 C．品 D．质 【答案】C 【分析】沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A 、“优”不存在直线能使折叠后直线两旁部分完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； B、“秀”不存在直线能使折叠后直线两旁部分完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； C、“品”沿竖直中线折叠后，直线两旁部分可完全重合，是轴对称图形，符合题意； D、“质”不存在直线能使折叠后直线两旁部分完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； 4．（2026·云南文山·一模）汉字的对称性，是镌刻在方块字里的独特美学，从结构形态到文化意蕴，都散发着平衡、和谐的独特魅力．下列汉字中，不能看作轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义分析即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知 D选项不是轴对称图形． 5．（2026·云南大理·一模）下列四个选项所描述的图形中，不是轴对称图形的为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正方形 D．线段 【答案】B 【详解】解：等腰三角形沿底边中线所在直线折叠，直线两旁部分可完全重合，是轴对称图形，故A不符合题意； 普通直角三角形不存在能使它折叠后完全重合的直线，只有特殊的等腰直角三角形才是轴对称图形， 选项B中直角三角形泛指任意直角三角形，不一定是轴对称图形，故B符合题意； 正方形沿对边中点连线或对角线折叠可完全重合，是轴对称图形，故C不符合题意； 线段沿它的中垂线或自身所在直线折叠可完全重合，是轴对称图形，故D不符合题意； 6．（2026·云南红河·一模）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意. 7．（2026·云南昆明·一模）下列是某校数学社团成员用AI软件设计的四幅图案，是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，对四个选项逐一分析，即可解答． 【详解】解：A、两个黑点分别位于右上和左下，找不到一条直线使折叠后两侧完全重合，不是轴对称图形； B、图形上下、左右的文字/符号都不相同，无法找到对称轴使两侧重合，不是轴对称图形； C、左侧是，右侧是无穷大符号，二者不同，折叠后无法重合，不是轴对称图形； D、沿竖直中线（或水平中线）折叠后，直线两侧部分可以完全重合，是轴对称图形． 8．（2026·云南昭通·一模）下列汉字中，是轴对称图形的是（    ） A．日 B．新 C．月 D．异 【答案】A 【详解】解：平面内，沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形， A、选项“日”存在竖直和水平对称轴，折叠后两边完全重合，是轴对称图形； B、选项“新”不存在这样的直线，折叠后无法使两边完全重合，不是轴对称图形； C、选项“月”不存在这样的直线，折叠后无法使两边完全重合，不是轴对称图形； D、选项“异”不存在这样的直线，折叠后无法使两边完全重合，不是轴对称图形． 中心对称 考点02 1．（2026·云南红河·一模）在一节人工智能实践课上，学生利用AI设计了四个融入红河州哈尼梯田元素的图标，其中可以看作中心对称图形的是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、该图形绕中心旋转后能与原图形重合， 是中心对称图形，故本选项符合题意； B、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合， 不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合， 不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合， 不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2．（2026·云南楚雄·一模）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此可得答案． 【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 3．（2026·云南·一模）点关于原点的对称点为点，则点的坐标为_____． 【答案】 【详解】关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数， 已知点的坐标为， 因此点的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为. 相似图形的性质 考点03 1．（2026·云南·一模）如图，在中，，分别交，于，，若：：2，，则的长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】首先，依据平行线分线段成比例定理确定线段间的比例关系；接着，代入已知的和的值求出；最后，通过计算出的长度． 【详解】， ． ，且， 代入得到． 解得：． ． 2．（2026·云南·一模）如图，线段相交于点，，若，，则线段的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】首先由得到，得到，然后结合得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴． 3．（2026·云南红河·一模）如图，若，且，则_____． 【答案】 【分析】先证明，得到，再根据比例的性质，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·云南保山·一模）如图，，且，则________． 【答案】 /0.5 【分析】利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 相似三角形 考点04 1．（2026·云南昆明·一模）如图，在中，，是上一点，过点作于点．若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·云南·一模）如图，在中，已知，分别是，边上的点，且．若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．（2026·云南文山·一模）如图，在中，为直角，点在上，于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过证明三角形相似得出对应边成比例，进而求出所求式子的值． 【详解】解：因为，， 所以， 在与中， ， ∴， 所以， 设，则； 设，则； 设，则， 所以． 4．（2026·云南大理·一模）如图，与交于点，且．若则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定与性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵与交于点，且， ∴， ∵， ∴． 5．（2026·云南红河·一模）如图，在中，点、分别在、上，且、，若的面积为9，则的面积为（    ） A．8 B．16 C．27 D． 【答案】B 【分析】由得出，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴的面积为． 6．（2026·云南昭通·一模）如图，在中，点D、E分别在、边上，且．若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据两边成比例且夹角相等证明相似，再根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 7．（2026·云南楚雄·一模）如图，在中，，点D，E分别是，的中点，交于点F，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，得相似比．再根据点D，E分别是，的中点，得，从而求得，则，即；然后由点D是的中点，求得，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴相似比． ∵点D，E分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点D是的中点， ∴为的中线， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·云南临沧·一模）如图，，，则与的周长之比为________． 【答案】 【分析】根据，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 9．（2026·云南红河·一模）如图，是四边形的外接圆，为的直径，延长至点，连接，，使得，． (1)求的度数： (2)求证：是的切线； (3)探究：若，试问是否为定值？如果是，请求出这个定值，并用含的代数式表示：如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，定值为 【分析】（1）通过直径所对的圆周角等于90度即可得出答案； （2）先通过等腰三角形的性质，得到，推出，接着利用外角，推出，得到，最后通过得证； （3）连接，不妨设，由题意可知，先证明，得到，再证明，那么，得到，即，最后代入化简计算即可． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴； ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （3）解：是定值，定值为，理由如下： 连接，不妨设，由题意可知， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∵是直径， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·云南文山·一模）如图，是的直径，是的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于，是的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)若，试探究线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，即可求解； （2）利用垂径定理求得，推出，即可得到，据此即可证明是的切线； （3）构造，证明，得到①，再证明，得到②，再结合直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴， 则是等腰直角三角形． ∴； （2）证明：如图，连接． ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：如图，过点G作交于点H，使． ∵， ∴， ∴， 则①． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 则②． ①与②等号左右两边分别相加得，． 则． ∵是的直径， ∴． ∵在中，， ∴， 则． 代入得，． 11．（2026·云南昆明·一模）如图，在中，，以为直径的过线段的中点，连接，过点作于点．若点是上与点位于异侧的一个动点（），连接，，过点作交于点，，交于点． (1)的长度是___________； (2)求证：直线是的切线； (3)请探究在点的运动过程中，的值是否改变？若不变，请求出此值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)不变，16 【分析】（1）由圆周角定理可得，即，再结合题意得出是的垂直平分线，由垂直平分线的性质即可得出结果； （2）连接，证明是的中位线，得出，从而可得，即可得证； （3）过点作于点，过点作于点，则，证明，得出，再证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，最后证明得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴，即， 又∵是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴的长度是4； （2）证明：连接，如图： ， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线 ， ，即， 是的半径，且， 直线是的切线． （3）解：的值是定值16．理由如下： 如图：过点作于点，过点作于点， 则， 是的直径， 又， ， ，即， 同理可得， ，即， ，， 四边形是平行四边形，， ， 在和中， ， ， ， 又，且， ． 【点睛】直径所对的圆周角是直角；相似三角形的对应边成比例 12．（2026·云南昭通·一模）如图，在矩形中，点E是边上一点，连接、，且，过点A、B分别作和的平行线，两条平行线交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，再结合一个角是直角，即可判定矩形； （2）证明，根据相似三角形对应边成比例，求出，则，再结合矩形对角线相等求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 又， ． ∴四边形是矩形． （2）解：在矩形中，， ． ， ． ， 又， ． ， ，， ， ， ， ∴在矩形中，． 锐角三角函数 考点05 1．（2026·云南·一模）如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则 （  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出的长，由直径求出半径的长，利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：是的直径，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 2．（2026·云南·一模）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据余弦的定义计算的值即可． 【详解】解：由题可得图， ∵在中，，，， ∴由勾股定理得 ， 根据余弦定义可得 ． 3．（2026·云南保山·一模）如图，在中，．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦函数定义即可求解． 【详解】解：在中，，，， 则． 4．（2026·云南大理·一模）如图，在中，．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，，，， ∴． 5．（2026·云南红河·一模）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第9个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据余弦的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意可得，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， 6．（2026·云南昆明·一模）如图，菱形的对角线与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵，， ∴． 7．（2026·云南昆明·一模）小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒的边与竖直放置的档案盒的边夹角，，档案盒长．小宇同学用学过的数学知识计算出了每个档案盒的厚度，它是（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用正弦定义求出即可求解． 【详解】解：由题意，在中，，，， ∴， ∴， ∴档案盒的厚度为． 8．（2026·云南临沧·一模）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． ∴． 9．（2026·云南楚雄·一模）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． 10．（2026·云南文山·一模）如图，在中，为直角，，，则的值为__________． 【答案】/0.6 【分析】根据边长求解余弦值即可． 【详解】解：在中，， 所以． 11．（2026·云南昭通·一模）在中，，，，则的值是_____________． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理求出的长. 再根据直角三角形中锐角正切函数的定义计算的值即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 12．（2026·云南红河·一模）计算： 【答案】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，算术平方根进行计算即可求解． 【详解】解：原式 13．（2026·云南红河·一模）计算：． 【答案】0 【分析】先根据零指数幂、绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式乘方的运算法则分别化简每一项，再合并计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 14．（2026·云南昆明·一模）如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)如图，过点作的角平分线与的延长线交于点．若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)50 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定定理进行证明； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义得出相等的边，假设出未知数，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 四边形是矩形； （2）解：， ， 又平分， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 设，由勾股定理可得， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：（负值已舍）， ， ． 15．（2026·云南昆明·一模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 16．（2026·云南·一模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 17．（2026·云南楚雄·一模）计算：． 【答案】 【分析】先分别计算零次幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的平方和特殊角的三角函数值，再按照有理数加减运算法则依次计算得出结果． 【详解】解： ． 18．（2026·云南保山·一模）计算：． 【答案】7 【分析】分别计算算式中的算术平方根，绝对值，零指数幂运算，负整数指数幂及特殊角的三角函数值，再计算结果即可， 【详解】解： ． 19．（2026·云南文山·一模）计算：． 【答案】 【分析】分别计算绝对值、乘方、零指数幂、特殊三角函数值以及负整数指数幂，然后按照运算顺序进行加减运算． 【详解】解： ． 20．（2026·云南大理·一模）计算： 【答案】8 【详解】解： ． 21．（2026·云南玉溪·一模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 22．（2026·云南昭通·一模）计算：． 【答案】 【分析】先计算零指数幂、乘方、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 23．（2026·云南昆明·一模）计算：． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂的意义、零指数幂的意义、乘方的性质、绝对值的性质以及特殊角的锐角三角函数值即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 24．（2026·云南昆明·一模）计算：． 【答案】4 【分析】根据绝对值、负整数指数幂、零次幂、二次根式、特殊角的三角函数值，依次计算再相加减即可． 【详解】解：原式． 25．（2026·云南临沧·一模）计算：． 【答案】． 【分析】根据二次根式的性质、绝对值化简、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂进行化简，再计算加减即可． 【详解】解： ． 26．（2026·云南·一模）计算： 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质，乘方，零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行化简，再计算即可． 【详解】解：原式 ． 27．（2026·云南·一模）计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值等逐步计算即可求解． 【详解】 ． 解直角三角形 考点06 1．（2026·云南大理·一模）如图，平行四边形中，点在对角线的延长线上，于点，过点作交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形即可； （2）根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴， ∵， 四边形是平行四边形． ∵ 平行四边形是菱形． （2）解：∵， ， ∵，， 在中，， ， ， ∵四边形是菱形， ， 又∵， 在中，， ， ． 2．（2026·云南曲靖·一模）为促进学生身心健康发展，学校组织全体师生开展秋季远足实践活动．如图A，B，C，D是四个打卡地，此次远足路线分为“访山”线：和“寻海”线：，其中B在A的正东方向处，C在A的南偏东方向，C也在B的南偏西方向，D在A的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求“寻海”线的长度（结果保留小数点后一位）； (2)若七年级选择走“访山”线，九年级选择走“寻海”线，已知“访山”线长度约为，七年级比九年级提前6分钟出发，两个年级全程匀速前进（忽略全程途中停留时间），九年级的平均行走速度是七年级的1.2倍，结果两个年级同时返回到出发点A，求七年级的平均行走速度． 【答案】(1)“寻海”线为； (2)七年级的平均行走速度为． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，分式方程的应用． （1）过点作于点，可得和的度数，进而求出的度数，再根据解直角三角形求出、、、的长度，从而求得“寻海”线的长度即可； （2）设七年级的平均行走速度为，结合题意可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图： 、、 ， ，， ，， ， 答：“寻海”线为； （2）解：设七年级的平均行走速度为， ∴， 解得：， 经检验符合题意； ∴七年级的平均行走速度为． 投影与视图 考点07 1．（2026·云南红河·一模）下列是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（   ） A．球体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】B 【分析】由三视图条件分析判断即可． 【详解】解：根据主视图和左视图为长方形判断出是柱体， 根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是正方体． 2．（2026·云南昆明·一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（  ） A．长方体 B．正方体 C．圆锥 D．圆柱 【答案】A 【详解】解：该几何体的左视图和主视图是长方形，俯视图为正方形，则该几何体是长方体． 3．（2026·云南·一模）如图所示的图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（  ） A．正方体 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱 【答案】A 【分析】根据三视图的形状特征，主视图、左视图、俯视图均为正方形，结合常见几何体的三视图进行判断即可． 【详解】解：∵主视图、左视图、俯视图均为正方形， ∴该几何体是正方体． 4．（2026·云南保山·一模）某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（   ） A．正方体 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】B 【分析】根据三视图的形状特征，结合常见几何体的三视图进行判断即可. 【详解】解：∵主视图和左视图都是长方形， ∴该几何体是柱体； ∵俯视图是长方形， ∴此几何体是长方体． 5．（2026·云南玉溪·一模）下列图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．三棱锥 C．三棱柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个圆锥． 【详解】解：由主视图以及左视图可知这是一个锥体，再根据俯视图可知是一个圆锥，所以此几何体是一个圆锥． 6．（2026·云南红河·一模）如图是一个几何体的主视图，则这个几何体不可能是（    ） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱锥 【答案】D 【分析】需逐一分析每个选项对应的几何体，判断其是否能得到主视图是一个正方形． 【详解】解：A 长方体：若长方体的正面为正方形，主视图就是正方形，因此可能； B 正方体：正方体任意一面都是正方形，主视图必然是正方形，因此可能； C 圆柱：当竖直放置的圆柱的高等于底面直径时，主视图就是正方形，因此可能； D 三棱锥：三棱锥无论怎么摆放，从正方向观察得到的图形一定是三角形，不可能得到正方形，因此不可能． 7．（2026·云南昭通·一模）下图是由3个相同的小立方体组成的几何体，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形即可得出结果． 【详解】解：由图形可得，该几何体的俯视图有一层，且由两个正方形组成，如图： ． 8．（2026·云南昆明·一模）下列几何体中，俯视图是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯视图是从物体上方看到的依次判断各个选项中几何体的俯视图即可． 【详解】解：A选项中俯视图是三角形，符合题意； B选项中俯视图是长方形，不符合题意； C选项中俯视图是圆，不符合题意； D选项中俯视图是圆，不符合题意． 9．（2026·云南临沧·一模）某班教室里的一个装饰品是由几个几何体组成的，其中一个几何体的三视图如图所示．这个几何体是（   ） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 【答案】B 【详解】解：该几何体的三视图中两个视图是矩形，一个视图是个圆，故该几何体为圆柱． 10．（2026·云南·一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（   ） A．正方体 B．长方体 C．圆锥 D．三棱柱 【答案】D 【详解】解：根据几何体的三视图，该几何体是三棱柱． 11．（2026·云南·一模）下列几何体中，俯视图是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据俯视图是从上面往下看一一判断即可． 【详解】解：A．俯视图是一个六边形，故不符合题意； B．俯视图是一个带圆心的圆，故不符合题意； C．俯视图是一个带圆心的圆，故不符合题意； D．俯视图是三角形，故符合题意． 12．（2026·云南楚雄·一模）如图是一个长方体的主视图和左视图，由视图中标注的尺寸可计算出该长方体的体积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】根据长方体的主视图和左视图可得长方体的长，宽，高，由此计算即可． 【详解】解：根据长方体的主视图可知长为3，高为4， 根据长方体的左视图可知宽为2，高为4， 可知这个长方体的体积为． 13．（2026·云南大理·一模）如图所示是由几个大小相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，则这个立体图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据俯视图的含义判断即可. 【详解】解：选项D中图形的俯视图是： ∴D符合题意. 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $