2025年云南省楚雄州中考九年级数学一模试卷

2025年云南省楚雄州中考 数学一模试卷 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A．－50 B．－60 C．－70 D．－80 2．2025年元旦期间，小南一家来到昆明旅游，与好友比拼“某App运动”步数，小南查到的步数是16000步．将数据16000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．下列运算结果不正确的是（ ） A． B． C． D． 4．一个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（ ） A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球 5．若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数（单位：米）与方差如下表所示． 运动员 甲 乙 丙 丁 1.90 1.85 1.90 1.85 2.9 2.65 0.16 7.85 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（ ） A． B． C． D． 9．下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形，则的度数为（ ） A． B． C． D． 11．下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 12．关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 13．在中，，，，则的长为（ ） A．6 B．7.5 C．8 D．12.5 14．如图1，简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，简车与水面分别交于点，简车上均匀分布着若干盛水筒，表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接、，点在的延长线上，若，则（ ） A． B． C． D． 15．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点，都在轴上，平行于轴的直线与两条抛物线相交于，，，四点，若，，，则的长度为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16．分解因式：_____． 17．如图，灯光照射三角板形成投影，三角板与其投影的相似比为4：5，且三角板的一边长为，则投影中对应边的长为_____． 18．《义务教育课程标准》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．小亮调查了全班同学一周学会炒的菜品数量，结果如图所示，则全班同学一周学会炒的菜品数量的平均数是_____． 19．一个圆锥的侧面展开图是半径为12的半圆，则该圆锥的高是_____． 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20．（本小题7分） 计算：． 21．（本小题6分）如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 22．（本小题7分）某校为了让学生体验农耕劳动，开设了校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种型号的劳动工具．已知甲型劳动工具的单价比乙型劳动工具少3元，且用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等．求甲型号劳动工具的单价． 23．（本小题6分）纵览古今篇章，横看诗家千言，多少豪情与向往被寄存于一纸墨色中，在错落的诗行间，在起伏的音韵中，中华文化始终熠熠生辉．云南某实验中学拟举办第八届“诗溢风华”诗词大会，每班选2名学生参赛，九（3）班有1名男生和3名女生报名参加．现要从这4名学生中随机选取2名学生参加比赛． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果数． （2）求选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率． 24．（本小题8分）如图，在中，、分别平分、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点作，垂足为．若的周长为，，求． 25．（本小题8分）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． （1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ （2）设购进甲种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，求与之间的函数关系式； （3）若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 26．（本小题8分）如图，已知抛物线与直线相交于点和点． （1）求和的值． （2）若直线与线段交于点，与抛物线交于点，求，两点间距离的最大值． 27．（本小题12分）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点，过点作，垂足为，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； （3）若的半径为1，求的值． 答案和解析 1．【答案】A 【解析】解：，，，，， 信号最强的是－50， 故答案为：A． 先求出各个选项中数的绝对值，然后进行比较，根据绝对值越小表示信号越强，找出信号最强的即可．本题主要考查了绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 2．【答案】C 【解析】解：． 故选：C． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3．【答案】D 【解析】解：，故选项A正确，不符合题意； ，故选项B正确，不符合题意； ，，故选项C正确，不符合题意； ，故选项D错误，符合题意， 故选：D． 运用相关运算法则计算出各选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4．【答案】B 【解析】解：由几何体的表面展开图可知，这个几何体是圆锥． 故选：B． 根据圆锥的侧面展开图得出答案． 此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键． 5．【答案】C 【解析】解：若二次根式有意义，则， 解得， 故选：C． 根据被开方数为非负数进行解题即可． 本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键． 6．【答案】B 【解析】解：，， ，， ， ， 故选：B． 由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出的度数． 本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质求出的度数． 7．【答案】C 【解析】解：甲和丙的平均数大于乙和丁的平均数， 从甲和丙中选择一人参加比赛， 丙的方差小于甲的方差，选择丙参赛． 故选：C． 首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加． 本题考查了平均数和方差，掌握方差与平均数的意义是解题关键． 8．【答案】A 【解析】解：由题知， 所给单项式的系数依次为，，，，， 所以第个单项式的系数可表示为； 所给单项式的次数依次为，，，，， 所以第个单项式的次数可表示为， 所以第个单项式可表示为． 故选：A． 根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题． 本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据题意发现所给单项式系数及次数的变化规律是解题的关键． 9．【答案】B 【解析】解：， A．，不符合题意； B．，符合题意； C．，不合题意； D．，不合题意． 故选：B． 根据得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于2，就在函数图象上． 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 10．【答案】C 【解析】解：如图， 重叠部分是正八边形，， 四边形是菱形，，， 故选：C． 由正八边形的性质可得，即可求解． 本题考查了菱形的性质，正多边形的性质，求出的度数是解题的关键． 11．【答案】C 【解析】解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 12．【答案】A 【解析】解：，，， ， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 先根据已知方程，求出根的判别式，然后根据判别式的正负，判断方程根的情况即可． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握如何利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况． 13．【答案】A 【解析】解：如图． ，，， ．． 故选：A． 根据正弦值的定义解决此题． 本题主要考查正弦值的定义，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键． 14．【答案】D 【解析】解：如图，连接， 是的直径，， ， ，， ， ， 故选：D． 根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理及邻补角定义求解即可． 此题考查了圆周角定理等知识，熟记圆周角定理是解题的关键． 15．【答案】B 【解析】解：分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点，， 四边形是矩形，， ，，， ，， ， ， 故选：． 分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点，，得四边形是矩形，利用抛物线的对称性计算即可． 本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 16．【答案】 【解析】解：原式． 故答案为：． 直接提取公因式即可． 此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式． 17．【答案】10cm 【解析】解：设投影中对应边的长为， 由题意得：，解得：， 投影中对应边的长为， 故答案为：． 设投影中对应边的长为，根据题意易得：，然后进行计算即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．【答案】2.6 【解析】解：依题意，， 故答案为：2.6． 根据扇形图以及算术平均数的定义，进行列式计算即可作答． 本题考查的是扇形图以及算术平均数，熟知以上知识是解题的关键． 19．【答案】 【解析】解：设圆锥的底面半径为， 根据圆锥的侧面展开图是半径为12的半圆， 可得，解得， 所以此圆锥的高为， 故答案为：． 设圆锥的底面半径为，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长构建关系式求解． 本题考查了圆锥的结构特征，解题的关键是理解圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长． 20．【答案】3． 【解析】解：原式 ． 利用零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，绝对值的意义，二次根式的性质和特殊角的三角函数值化简运算即可． 本题主要考查了零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，绝对值的意义，二次根式的性质和特殊角的三角函数值，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键． 21．【答案】证明见解答． 【解析】证明：，， 在和中， ，， ，． 由，得，而，， 即可根据“”证明，得，则． 此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识， 推导出，进而证明是解题的关键． 22．【答案】甲型劳动工具的单价为20元． 【解析】解：设甲型劳动工具的单价为元，则乙型劳动工具的单价为元， 根据题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：甲型劳动工具的单价为20元． 设甲型劳动工具的单价为元，则乙型劳动工具的单价为元，根据用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等，列出分式方程，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 23．【答案】12种等可能的结果；． 【解析】解：（1）画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果； （2）12种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有6种， 选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为． （1）画树状图可得出共有12种等可能的结果； （2）共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 、分别平分、， ，， ，， ，， ， ，， ，四边形是平行四边形； （2）解：如图，过作于点， 的周长为28，， 平分，，，， ． 【解析】（1）根据平行四边形的性质得，，， 则，再由角平分线的定义得， 然后证明，即可得出结论； （2）过点作于点，由角平分线的性质得， 再由平行四边形的性质得，然后利用三角形的面积公式列式计算即可． 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 25．【答案】解：（1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元， 根据题意，得， 解得，， 甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元． （2）设购进甲种剪纸装饰套，则购进乙种剪纸装饰（60－x）套， 购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，根据题意，得： 即， 与之间的函数关系式为； （3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，根据题意，得 即， ，随的增大而增大， 该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元， ，即，解得， 为非负整数，当时，取最大值，（元）， 此时套， 即商家购进甲种剪纸装饰40套，乙种剪纸装饰20套时，所获利润最大，最大利润为800元． 【解析】（1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意列方程，解方程即可； （2）购进甲种剪纸装饰套乙种剪纸装饰（60－）套，总费用元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列出一次函数即可； （3）甲种剪纸装饰套装利润为元，乙种剪纸装饰套装利润为元， 则利润为，根据，随的增大而增大，， 且为非负整数可得当时，取最大值． 本题考查一次函数和一元一次方程的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 26．【答案】的值为－2，的值是2； 的最大值为． 【解析】解：（1）把代入得： 解得， 把把代入得： 解得，故的值为的值是2； （2）如图： 由（1）可得抛物线与直线， 设，则， 在线段上， ， ，当时，取最大值，最大值为． （1）把代入和，即可得的值为－2，的值是2； （2）设，则，可得， 由二次函数性质可得最大值为． 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 27．【答案】证：（1）如图， 连接，，是的直径， ，即， ，，， ，，， ，， ，， 即，，直线是的切线； （2）由（1）知，， ， ，， ，，， 在和中， ，，； （3）如图2， 连接，， 由（1）， ，，， ，是等边三角形， ，，， ． 【解析】（1）由是直径得，又得， 由得，进而可推出； （2）由条件推出，，由，进一步可得结论； （3）由条件推得，进而，可得是等边三角形，从而，进一步可求得结果． 本题考查了与圆有关位置和性质，等边三角形判定和性质，解直角三角形，图形相似和全等等知识，解决问题的关键是熟练掌握图形的性质及图形的特殊性． 学科网（北京）股份有限公司 $