专题05图形的性质（四边形与圆）11大考点（云南专用）2026年中考数学一模分类汇编

的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05图形的性质2 ☆11大考点概览 考点01多边形及其内角和 考点02平行四边形的性质 考点03平行四边形性质与判定的综合 考点04三角形的中位线 考点05矩形 考点06菱形 考点07垂径定理及推论 考点08圆周角 考点09点、直线与圆的位置关系 考点10孤长和面积问题 考点11其它综合问题 考点01 多边形和平行四边形 1.(2026云南·一模)如图，这是小明家的一个挂钟，钟面的外沿是正八边形，则该正八边形的内角和的 度数为() 1/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1112 10 5 6 A.900° B.1080 C.1260 D.1440° 2.(2026云南文山一模)文笔塔，这座矗立于文山市东山之巅的地标性古塔，不仅是一处风景名胜，更 是文山千年文脉与城市精神的象征.文笔塔属于七层八角形楼阁式塔，每层均为正八边形.该正八边形的 内角和为() A.900° B.1080° C.1260° D.1440° 3.(2026云南大理·一模)蜜蜂的蜂巢精巧规整、美观有序，从入口望去，整体由无数规整的正六边形紧 密拼接而成.如图所示，则正六边形的内角和为() A.720° B.600° C.540° D.360° 4.(2026云南玉溪一模)我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户 向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中.如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外 角的度数是() A.30 B.45° C.60° D.75° 5.(2026云南红河·一模)五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子 C0) 中的微粒像足球 一样团结在一起.一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示），如图②，在正六边 2/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 形ABCDEF中，连接BE,若BE=I8,则正六边形ABCDEF的边长为() A B 图① 图② A.6 B.9 C.12 D.18 6.(2026:云南昭通·一模)某设计师正在设计一个多边形形状的装饰图案，已知该多边形的内角和恰好等 于其外角和的两倍，则这个多边形是() A.四边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形 7.(2026云南昆明·一模)若一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是() A.九边形 B.八边形 C.六边形 D.五边形 8.(2026云南·一模)我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外 观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的内角和为( A.360° B.720° C.1080° D.1440° 9.(2026云南昆明一模)若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为 度 10.(2026·云南大理·一模)小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重 合)，如图所示则形成的∠1=度. 11.(2026云南昆明一模)九边形的内角和是 3/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点02 平行四边形的性质 1.(2026云南红河·一模)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,若 AC=8、BD=10、CD=6,则△COD的周长为() D B A.24 B.15 C.14 D.12 2.(2026云南楚雄一模)如图，在口ABCD中，∠ABD=30°，则sin∠BDC=() A B 1 √2 3 5 A.2 B.2 C.2 D.3 3.(2026云南玉溪一模)如图，在口ABCD中，E为AD上一点，连接AC,BE相交于点F,若 4E:DE12,则ar=) A.1:9 B.1:4 C.1:3 D.1:2 4.(2026云南玉溪·一模)如图，已知线段 B=42cm,分别以点，B为圆心，以 m 为半径画弧， 两弧相交于点C,D,连接AC,BC,AD,BD,则四边形ACBD的面积为 cm2. 4/23 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2026云南一模)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交，且AC:BD=3:4,菱形面积为24，则 AC的长为 A 6.(2026云南·一模)中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底 蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得∠ABC=8O°，BA=BE,则∠BAE的度数为一. :∠BAE=∠AEB=280°-∠ABD)=70 7.(2026云南玉溪一模)如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线BE和∠BCD的平分线CE交于点E,点 E在AD边上，以BE,CE为邻边作BECF】 (I)求证：四边形BECF是矩形： (2)若AD=6,∠A=120°，求四边形BECF的面积. 5/23 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 考点03 平行四边形性质与判定的综合 1. (2026云南一模)如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF, AF与DE交于点O, A E (I)求证：四边形AEFD为矩形： (2)若∠BAF=90°，AB+DE=17,BF=13,求AE的长. 2.(2026云南临沧一模)如图，在口ABCD中，CD=BD,DE平分∠BDC交BC于点O,交AB的延长 线于点E,连接CE. D B (I)求证：四边形BECD是菱形： (2)如果AB=5,AD=6,求四边形BECD的面积， 3.(2026云南大理·一模)如图，平行四边形ABCD中，点E在对角线DB的延长线上，AF⊥BD于点F ,过点E作EG∥BC交AF的延长线于点G,且EG=AD,连接DG D (I)求证：四边形AEGD是菱形： (2)若 ∠BAF=45°∠FGE=60°AB=4N ,求线段距的长 考点04 三角形的中位线 1. (2026云南昆明一模)如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,延长CD至点E,使 6/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD=DE,连接AE. (I)求证：四边形ABDE是平行四边形： (②)若AC平分∠BAE,AC=8,AE=6,求平行四边形ABDE的面积. 2.(2026云南大理·一模)如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点B,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF ,AF与DE交于点O. D (I)求证：四边形AEFD为矩形： (2)若AB=6,OE=4,∠BAE=∠DEF,求BF、DF的长. 考点05 矩形 1.(2026云南保山一模)如图，在平行四边形ABCD中，E,F,G,H分别是各边的中点，四边形 EFGH是菱形. H D (I)求证：平行四边形ABCD为矩形： (2)若平行四边形ABCD的周长是12，面积是8，求菱形EFGH的边长. 2.(2026云南昆明一模)如图，在△ABC中，点E,F分别是AB,AC的中点，过点F作FD⊥BC, 垂足为D,点M在FE的延长线上，MF=BD. 7/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9 (I)求证：四边形BDFM是矩形： (2)若AE+ME=8,DF=4,BC=10,求矩形BDFM的面积. 3.(2026云南一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，连接OE 并延长到点F,使EF=DE,连接AF,DF. A (I)求证：四边形AODF是矩形. (2)若∠ABC=60°，AB=6,求四边形AODF的面积. 考点06 蓉形 1. (2026云南昭通一模)如图，四边形ABCD是菱形，E为AB边的中点，对角线AC,BD相交于点 o, 连接OE,若OE=2.5,BD=6,则菱形ABCD的面积等于() D A.12 B.24 C.30 D.36 2.(2026云南昆明一模)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若A0=1,B0=2,则 tan∠ABO的值为() 8/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 5 5 A.2 B.5 C.2 D.2 3.(2026云南大理·一模)如图，AB是⊙O的弦，点C是AB的中点，OC交AB于点D.若AB=8cm, OD=3cm,则⊙0的半径为_cm. D B 4.(2026云南玉溪·一模)在⊙0中，若直径为10cm,某弦的弦心距为3cm,则此弦的长为 cm 5.(2026云南楚雄一模)如图，点A,B,C,D,E在同一个圆上，∠ABC=70°，点D平分劣弧AC,则 ∠DEC等于 度 D B 6.(2026云南昭通·一模)如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上一点，连接AE、BE,且AE⊥BE, 过点A、B分别作BE和AE的平行线，两条平行线交于点F. B (I)求证：四边形AFBE是矩形； (2)连接EF,若DE=1,BC=2,求EF的长. 9/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(2026云南昆明·一模)如图，在四边形ABCD中，AD=BC,AB=DC,∠B=∠BAD D B E (I)求证：四边形ABCD是矩形： (②如图.过点H作∠C4D的角平分线与BC的延长线交于点E·若m∠4CB-,1B=20,求△4CE的面 积. 8.(2026云南一模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E在BC的延长线 上，CE的长为BC的一半，DE⊥BE,∠CDE=30 D O B (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若AB=5,AC=6,求菱形ABCD的面积. 9.(2O26:云南·一模)如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE∥AC,且 DE= 21C,连接CB: B (I)求证：四边形OCED是矩形： (②)连接BE,交AC于点F,连接DF,若AC=10,BD=12,求DF的长. 考点07 垂径定理及推论 10/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(2026云南文山一模)如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦，AB⊥CD,垂足为E,若AB=26 ,CD=24,则BE的长为() D E B A.13 B.12 C.10 D.8 2.(2026云南一模)如图，己知AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦，AB⊥CD,垂足为E.若AB=50 ,CD=48,则tan∠COE=() E B 24 B. c.4 A.24 25 D.25 3.(2026云南·一模)已知⊙0的半径为7cm,点P到圆心O的距离为d,若点P在⊙0内，则d的取值 范围中整数的个数为， 4.(2026云南一模)若⊙0的半径为8，OP=m,且点P在⊙0外，则m的取值范围为一 6.(2026云南红河·一模)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，分别过点B作BE‖AC, 过点C作CE∥BD,交点为E.记1B=a,BC=6aMBD I,△BCD BECD 周长为 的周长为？，四边形 的面 积为S. 11/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 ()求证：四边形BECD是菱形： 2)若6-4=2，S=15 ,求AC的长. 7.(2026云南文山·一模)如图，在四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC,AD于点E,F ，垂足为O,OE=OF.连接AE,CF. (I)求证：四边形AECF是菱形： (2已知AB=4,延长BC到点G,使CG=OC,连接OG,∠G=15°，若点E是BC的中点，求△EOG的 面积. HE R ∠EOH=30° 则HE=2OE=1 :.OH=VOB2-HE-= 同理，在a0BC中，CE=4,0C=2W5 则CG=2V5 ,EG=CE+CG=4+2√5 &5a号4+23)x5=25+3. 12/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点08 圆周角 1.(2026云南红河一模)如图，在OO中，直径AB与弦CD相交于点E,连接AC BD.AD,若 ∠ACD=35°，则∠ABD=() D A A.35 B.45° C.55 D.65 2.(2026云南昆明一模)如图，A,B,C是⊙0上的三个点.若OA⊥OB,则∠ACB=() A.45° B.60° C.90° D.120° 3.(2026云南临沧一模)如图，A,B,C,D是⊙0上的点，若∠D=35°，则∠A的度数是() A.25° B.35 C.50° D.70° 4.(2026云南大理一模)如图所示，BD是O0的直径，点A,C在⊙0上，AB=AD,AC与BD交于 点G,∠BOC=54°，则∠AGB的度数为() 13/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G B A.108° B.110° C.99 D.117 .:∠AGB=∠CAD+∠ADB=63°+45°=108° 5.(2026云南昭通一模)妈妈的生日前夕，芳芳用一张圆心角为150°，半径为12cm的扇形卡纸制作一 个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为， cm 6.(2026云南文山一模)如图，4B是O0的直径，4C是0的弦，点D是BC的中点.过点D作 DE L AC交AC的延长线于点E.四边形ACFG内接于O0,CF是⊙O的直径，连接AF,CG. (I若AC=BC 求∠BMC 的度数： (2)求证：DE是⊙O的切线； (3)若∠FCG=30°，试探究线段AC,AF,AG之间的数量关系. 7.(2026云南昆明·一模)如图，弦AC,BD不是⊙O的直径，且AC⊥BD于点M,点E是射线AB上 的一个动点，过点E作EF⊥AB于点E,交CD于点F A B D B M o C(F) 图① 图② 14/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图①，当点F与点C重合时，求证：AC平分∠ECD; (②)在(1)的条件下，连接BC.若EC2=AE·BE,请判断CE与⊙0的位置关系，并证明你的结论： (3)如图②，当EF经过点M时，点E在线段AB上，点F在线段CD上，连接OF.若CD=9,线段OF的 长度是否会随着⊙O的半径r的变化而变化.若变化，请用含r的代数式表示OF的长度：若不变化，请求 出OF的长. 考点09 点、直线与圆的位置关系 1. (2026云南保山一模)已知⊙0的半径为7cm.若点P到圆心O的距离为10cm,则() A.点P在⊙0上B.点P在⊙0内 C.点P在⊙O外D.无法判断 2.(2026云南昭通一模)某圆形桌面，圆心为O,半径为50cm,桌面上有一点P,则线段OP的长度可 能是() A.40cm B 60cm C.80cm D.90cm 3.(2026云南红河·一模)如图，⊙0是四边形ABCD的外接圆，AD为⊙0的直径，延长BC至点E,连 接DEAC,BD,使得BE=BD,DE=CD. (I)求∠ABD的度数： (2)求证：DE是O0的切线： AD-CD (3)探究：若BD=a,AB=b(a>b),试问AC是否为定值？如果是，请求出这个定值，并用含a,b的代 数式表示：如果不是，请说明理由 4.(2026云南昆明一模)如图，在△ABC中，AB=4,以AB为直径的O0过线段AC的中点D,连接 15/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD,过点D作DE⊥BC于点E.若点P是OO上与点D位于AB异侧的一个动点（∠PAB>∠ABD), 连接AP,BP,过点A作AM∥BD交BP于点M,AN∥BP,交BD于点N. M B (1)BC的长度是 (2)求证：直线DE是OO的切线： (3)请探究在点P的运动过程中，BM·BP+BN·BD的值是否改变？若不变，请求出此值；若改变，请说明 理由 5.(2026云南保山一模)如图，△ABC是⊙0的内接等腰三角形，AB=AC,点E是劣弧AC上的动点 (与点A,点C均不重合)，连接BE,CE,连接AE并延长交BC的延长线于点D,过点A作直线 AM∥BC M D (I)若∠ABC=52°，求∠AEC的度数： (2)求证：AM是⊙O的切线： (3)探究、发现与证明：是否存在常数m和n,使等式DC·DB=m·AD+n~AC2成立？若存在，请直接写 出m和n的值，并证明DC·DB=m~AD+nAC2成立；若不存在，请说明理由. 6.(2026云南大理·一模)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上异于A、B的点，点P是AB延长线上 一点，AD⊥PC于点D,且AC平分∠PAD,点E是弧AC上一动点（不与A、C重合），连接PE交OO 于点F,设⊙O的半径为r. 16/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⊙ (L)当∠CAB=30°，求∠ABC: (2)求证：PC是⊙O的切线； (3)在点E的移动过程中，是否存在常数a,b,使等式EF·PF=aPC2+bPF2成立？若存在，请直接写出 一个a,b的值，并证明你写出的a,b的值，使EF.PF=aPC2+bPF2成立；若不存在，请说明理由. 7.(2026云南玉溪一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径，连接BD,点E是⊙O外 一点，且∠DBE=∠DAB,过点B作BF⊥AC,垂足为点F. D B E (I)若AF·AC=9,直接写出AB的长； (2)求证：直线BE是⊙O的切线： (3)探究，发现与证明：己知AB=BD,∠ABD=2LBDC,是否存在常数m,使等式AB2-BC2=mAC·OF 成立？若存在，请直接写出m的值，并证明你写出的m的值，使等式AB2-BC2=mAC·OF成立：若不存 在，请说明理由. 8.(2026云南红河·一模)自然界是几何的宝库，几何之美是生活中最无声却又最动人的旋律，让我们的 世界充满了惊喜与奇迹，圆是几何中最美的图形之一，如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，半径为=3 ,过点D作DE L AB交BA的延长线于点E,AD平分∠EAC 17/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E D 0 B B 图1 图2 ()在图1中，若AC是⊙0的直径.求证：ED是⊙0的切线： (2)在(1)的条件下，若ED=3EA,求线段AD的长： (3)在图2中，若BC=CD、m=AB+AD,求m的最大值. 考点10 弧长和面积问题 1.(2026云南红河·一模)如图，扇形的半径是9cm,圆心角为120°，用这个扇形围成一个圆锥，则该圆 锥的底面圆的半径为() 120 A.27cm B.9cm C.6cm D.3cm 2.(2026云南昆明·一模)哈尼族蘑菇房是云南极具特色的传统民居，其锥形茅草屋顶形似撑开的蘑菇 伞，既美观又能适应山地多雨的气候.某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型.已知该圆锥模型的 底面周长为8π，母线长为6，则此圆锥的侧面积为() A.12π B.24π C.30π D.48π 3.(2026云南·一模)若圆锥的底面半径是lcm,它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的母线长为 () A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm 18/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026云南保山一模)若一个圆锥的底面半径为5cm,母线长为10cm,则该圆锥的侧面积是() A.50πcm2 B.60πcm2 C.100πcm2 D.120xcm? 5.(2026:云南文山一模)若一个圆锥的底面圆的半径为5cm,其侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥 的母线长为() A.20cm B.30cm C.45cm D.50cm 6.(2026云南大理一模)小明过完生日后，对圆锥形的生日帽进行了测量，如图，测得圆锥底面半径为 7cm,母线长为25cm,则生日帽的外表面积为() A.350πcm2 B.300xcm2 C.250xcm2 D.175πcm 7.(2026:云南昆明一模)已知一个圆锥的底面半径为5，母线长为10，则该圆锥的侧面积为() A.25π B.50元 C.100π D.125π 8.(2026云南楚雄·一模)将某工厂出售的网红款户外防雨斗笠抽象为几何图形，得到一个圆锥形几何 体，测得圆锥的母线长为30cm,底面圆的半径为l0cm,则圆锥的侧面积是() A.100zcm2 20W2πcm2 B C 300πcm D 300cm2 9.(2026:云南·一模)一个圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，母线长为30cm,则该圆锥的底面圆半径 为() A.5cm B.10cm C.15cm D.20cm 10.(2026云南·一模)如图，小明在综合实践活动课上用木块制作了一个底面半径为6，高为8的圆锥形 实物模型，则这个圆锥形实物模型的侧面积是() A.24π B.36π C.48π D.60π 19/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(2026云南红河一模)圆锥在生活中随处可见，例如：陀螺、漏斗、屋顶等.一个半径为2、圆心角 为90°的扇形是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面半径为 12.(2026云南临沧·一模)课后辅导特色课上，小明用一张圆心角为90°的扇形制作了一个圆锥，计算得 扇形的弧长为4πCm,则此圆锥的侧面积为. cm2 考点11 其它综合问题 1. (2026:云南昭通一模)已知⊙O是△ABC的外接圆，过点B作BE∥AC. E E B 0 0 图1 图2 Q)如图1，者若∠EB1=60°，B=8C,求∠ABC的度数。 (②)如图1，在(1)的条件下，求证：直线BE是⊙0的切线： (3)探索，发现与计算： 如图2，AC为⊙O的直径，BE与⊙O相切，点D在弧AB上，连接CD,BD,AD,问是否存在一个非 CD-AD 零常数a,使等式BD =a成立？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由. 2.(2026云南昆明一模)如图， O0为△1C的外接圆，且MB为O0的直径，D为BC的中点，连接 AD交BC于点P,连接BD,CD,过点D作DE L AC交其延长线于点E. B (①)若∠BAD=40°，求∠ABD的度数； (②)求证：DE为⊙0的切线： 20/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)想一想，证一证，以下三个结论：2CD>AB2-AB·AC,2CD=AB2-AB·AC, 2CD2<AB2-AB·AC ,你认为哪个正确？请说明理由 3.(2026云南临沧·一模)“小时不识月，呼作白玉盘.”2025年春晚节目《玉盘》：“玉盘玉盘，你为 何悬于屋顶上？…”从远古问月到现在的探月工程，都体现了中华民族对宇宙穷极探索的追寻.“圆” 一一宛如那无瑕的玉盘，承载着无尽的奇妙与神秘，静静悬于数学的浩瀚星空.请用所学数学知识解决下 面问题： B B 图1 图1 如图1，点A,B,C是OO上的三个点，∠ACB=90°，延长AC至点D,连接DB,∠DBC=∠BAC,点F 在DB的延长线上，EF与OO相切于点G,过点A作DB的平行线AE与切线EF交于点E. (1)求证：AB是⊙0的直径， (2)求证：DF是OO的切线： (3)如图2，连接BE,过点G作GH'L AB,，交BE于点M.判断HM与MG的数量关系，并说明理由. 4.(2026云南一模)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AB为⊙0的直径，AB=10,点D在⊙0上. CD平分∠ACB,连接OC,AD,BD,E是OC延长线上一点，连接AE,AE=OA,过点A作 AF⊥OC于点F,∠ABC=22.5°. B D (I)求证：AE是⊙O的切线： (2)求AD的长： 21/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)探究：是否存在常数m,使等式AC,BC+ADBD=mCD'成立？若存在，求出m的值：若不存在，说 明理由. 5.(2026:云南楚雄一模)如图，C是以AB为直径的O0上一点，CD⊥AB于点D,过点B作⊙0的切 线，与AC的延长线相交于点E,F是CD的中点，连接AF并延长与BE相交于点G,连接CG并延长与AB 的延长线相交于点H,⊙0的半径为3. G 备用图 (1)若AC=5,求点C和点B间的距离： (2)求证：CH是⊙O的切线： (3)当BD=2时，请判断下列结论哪个成立？①FG>CG=BG,②FG=CG=BG,③FG<CG=BG,并说 明理由， 6.(2026云南一模)如图，△ABC内接于O0,∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D,连接BD,CD,过 点D作DE∥BC,DE交AC的延长线于点E. .O (I)求证：∠DBC=∠DCB: (2)求证：DE是⊙O的切线： (3)探究、发现与证明：是否存在常数m,n,使等式AD=mAB·AC+nBD成立？若存在，请直接写出一个 m 的值和一个”的值，并证明你写出的”的值和的值，使等式 D2=mAB·AC+nBD2 成立；若不存在， 22/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 请说明理由 7.(2026云南大理一模)如图所示，⊙0是△ABC的外接圆，延长AB至点D,使得BC2=BD:AB,P是 半圆 上一动点（点P在左上半圆，且不与点A,C重合），连接PA,PB,PC,CD B D (I)若∠PAB=65°，求∠PCB的度数： (2)求证：CD是⊙O的切线； (3)看一看，想一想，证一证：若AB=2BC,以下与线段PA,PB,PC有关的三个结论： PA>5PB-2PC,PA=5PB-2PC,PA<5PB-2PC,你认为哪个正确？请说明理由， 23/23 专题05 图形的性质2 11大考点概览 考点01 多边形及其内角和 考点02 平行四边形的性质 考点03 平行四边形性质与判定的综合 考点04三角形的中位线 考点05矩形 考点06 菱形 考点07 垂径定理及推论 考点08 圆周角 考点09 点、直线与圆的位置关系 考点10 弧长和面积问题 考点11 其它综合问题 多边形和平行四边形 考点01 1．（2026·云南·一模）如图，这是小明家的一个挂钟，钟面的外沿是正八边形，则该正八边形的内角和的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形内角和公式求解即可． 【详解】解∶ 该正八边形的内角和的度数为∶． 2．（2026·云南文山·一模）文笔塔，这座矗立于文山市东山之巅的地标性古塔，不仅是一处风景名胜，更是文山千年文脉与城市精神的象征．文笔塔属于七层八角形楼阁式塔，每层均为正八边形．该正八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正n边形的内角和为，据此求解即可． 【详解】解：， ∴该正八边形的内角和为． 3．（2026·云南大理·一模）蜜蜂的蜂巢精巧规整、美观有序，从入口望去，整体由无数规整的正六边形紧密拼接而成．如图所示，则正六边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 4．（2026·云南玉溪·一模）我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意多边形的外角和为，结合正八边形各外角相等的性质，用外角和除以边数计算出单个外角的度数． 【详解】解： 任意多边形的外角和为，正八边形的8个外角都相等， 正八边形的每一个外角的度数为． 5．（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质；解题的关键是掌握正六边形对顶点连线（长对角线）的长度等于边长的2倍．由正六边形的对称性知对顶点连线经过中心，长度为2倍边长，由直接求得边长为9． 【详解】解：设正六边形的边长为， 正六边形的六个顶点均匀分布在圆周上，中心角为， 正六边形的对顶点连线（长对角线）经过中心，长度为边长的2倍， 为正六边形的一组对顶点， ， ， ， ． 6．（2026·云南昭通·一模）某设计师正在设计一个多边形形状的装饰图案，已知该多边形的内角和恰好等于其外角和的两倍，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为，根据题目给出的数量关系列方程求解边数即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意可得 解得， ∴这个多边形是六边形． 7．（2026·云南昆明·一模）若一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（    ） A．九边形 B．八边形 C．六边形 D．五边形 【答案】A 【分析】本题利用多边形内角和公式列方程，求解得到多边形的边数，即可选出正确答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：， 解得：， 即这个多边形是九边形． 8．（2026·云南·一模）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形的内角和公式解答即可． 【详解】解：这个正八边形的内角和为． 9．（2026·云南昆明·一模）若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为________度． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和，外角和，正多边形的内角问题，熟练掌握公式是解题的关键． 利用多边形内角和公式求出边数，再根据多边形外角和定理求一个外角． 【详解】解：边数为： 则外角为， 故答案为：72． 10．（2026·云南大理·一模）小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），如图所示则形成的______度． 【答案】132 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的内角问题，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 先求出正五边形和正六边形的内角，再由即可． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， 故答案为：132． 11．（2026·云南昆明·一模）九边形的内角和是_______． 【答案】/1260度 【分析】此题考查了多边形的内角和公式，熟练掌握公式是解题的关键，根据题意将代入计算即可得到答案． 【详解】解：九边形的内角和为 故答案为：． 平行四边形的性质 考点02 1．（2026·云南红河·一模）如图，平行四边形的对角线相交于点，若，则的周长为（    ） A．24 B．15 C．14 D．12 【答案】B 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分求解即可； 【详解】解：平行四边形的对角线相交于点，且， 则， 故的周长为：． 2．（2026·云南楚雄·一模）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． 3.（2026·云南玉溪·一模）如图，在中，为上一点，连接，相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．关键是先利用平行四边形的性质推出三角形相似，再结合线段比例求出相似比，最后根据相似三角形面积比与相似比的关系计算面积比． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 故选：A． 4．（2026·云南玉溪·一模）如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 5．（2026·云南·一模）如图，菱形的对角线，相交，且，菱形面积为24，则的长为___________． 【答案】6 【分析】设，，根据菱形面积列方程求出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设， ∵菱形面积为24 ∴ ∴ ∴ ∴的长为6． 6．（2026·云南·一模）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______． 【答案】/70度 【分析】根据菱形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·云南玉溪·一模）如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以，为邻边作． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得，，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵和分别是和的平分线， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ． 平行四边形性质与判定的综合 考点03 1．（2026·云南·一模）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理结合完全平方公式公式变形得出，进而求得，再结合，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， （2）解：四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 2．（2026·云南临沧·一模）如图，在中，，DE平分∠BDC交BC于点O，交AB的延长线于点E，连接CE． (1)求证：四边形BECD是菱形； (2)如果，，求四边形BECD的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）利用平行线和角平分线的性质证明，推出，结合已知条件证明，，得出四边形BECD是平行四边形，结合即可证明四边形BECD是菱形； （2）利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解； 【详解】（1）证明：∵中，， ∴， ∴． ∵DE平分∠BDC， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形BECD是平行四边形． 又∵， ∴四边形BECD是菱形； （2）解：∵中，，， ∴，， 由（1）知四边形BECD是菱形， ∴，， 在中，由勾股定理可得，， ∴， ∴， 即四边形BECD的面积为24． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、菱形的面积公式、勾股定理等，掌握菱形的判定方法及面积公式是解题的关键． 3．（2026·云南大理·一模）如图，平行四边形中，点在对角线的延长线上，于点，过点作交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形即可； （2）根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴， ∵， 四边形是平行四边形． ∵ 平行四边形是菱形． （2）解：∵， ， ∵，， 在中，， ， ， ∵四边形是菱形， ， 又∵， 在中，， ， ． 三角形的中位线 考点04 1．（2026·云南昆明·一模）如图，在平行四边形中，与相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，，即可得出结论； （2）连接，由平行四边形的性质得出，，，再证，得出，则，然后证，由勾股定理求出，最后由三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴平行四边形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 2．（2026·云南大理·一模）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，矩形的性质和判定，勾股定理等，熟练掌握平行四边形和矩形的性质是解题的关键． （1）先根据一组对边平行且相等证明四边形为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证明四边形为矩形； （2）先根据矩形的性质通过导角证明，再用勾股定理解求出，最后根据求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 矩形 考点05 1．（2026·云南保山·一模）如图，在平行四边形中，，，，分别是各边的中点，四边形是菱形． (1)求证：平行四边形为矩形； (2)若平行四边形的周长是，面积是，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得出，根据中位线的性质可得，得出，即可得证； （2）依题意得出，根据勾股定理结合完全平方公式变形，求得，根据中位线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 ∵四边形是菱形 ∴ ∵在平行四边形中，，，，分别是各边的中点， ∴， ∴ ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵矩形的周长是，面积是， ∴ ∴ ∴ ∴，即菱形的边长为 2．（2026·云南昆明·一模）如图，在中，点，分别是，的中点，过点作，垂足为，点在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意易得，然后可得四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可得，，设，则，然后根据勾股定理可得x的值，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，，即， 解得：， ，是的中位线， ， ， ． 3．（2026·云南·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由，得出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可知，即可得出四边形是矩形． （2）由菱形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：∵菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 菱形 考点06 1．（2026·云南昭通·一模）如图，四边形是菱形，E为边的中点，对角线，相交于点O，连接，若，，则菱形的面积等于（    ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【分析】由菱形的性质可知对角线互相平分且垂直，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再结合勾股定理求出，从而求出菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， 在中，E为边的中点， ， ， ， 菱形的面积． 2．（2026·云南昆明·一模）如图，菱形的对角线与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵，， ∴． 3．（2026·云南大理·一模）如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为________． 【答案】5 【分析】连接，由题意可得，由垂径定理可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， ， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·云南玉溪·一模）在中，若直径为，某弦的弦心距为，则此弦的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线，垂足为点，则，，连接，由题意可得，由勾股定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过圆心作弦的垂线，垂足为点，则，，连接， ， ∵直径为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5.（2026·云南楚雄·一模）如图，点A，B，C，D，E在同一个圆上，，点D平分劣弧，则等于______度． 【答案】35 【分析】根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵点D平分劣弧， ∴， 又∵是所对的圆周角，是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·云南昭通·一模）如图，在矩形中，点E是边上一点，连接、，且，过点A、B分别作和的平行线，两条平行线交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，再结合一个角是直角，即可判定矩形； （2）证明，根据相似三角形对应边成比例，求出，则，再结合矩形对角线相等求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 又， ． ∴四边形是矩形． （2）解：在矩形中，， ． ， ． ， 又， ． ， ，， ， ， ， ∴在矩形中，． 7．（2026·云南昆明·一模）如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)如图，过点作的角平分线与的延长线交于点．若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)50 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定定理进行证明； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义得出相等的边，假设出未知数，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 四边形是矩形； （2）解：， ， 又平分， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 设，由勾股定理可得， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：（负值已舍）， ， ． 8．（2026·云南·一模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点在的延长线上，的长为的一半， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质和已知条件可证明，再由菱形的判定定理可证明结论； （2）由菱形的对角线互相垂直平分结合勾股定理求出的长，进而求出的长，再由菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的长为的一半，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：∵菱形中，对角线相交于点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·云南·一模）如图所示，在菱形中，对角线相交于点O，过点D作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点F，连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）先证明，，从而证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得到，由此即可证明平行四边形是矩形； （2）先由矩形的性质得到，则由勾股定理可得，证明，得到，则由直角三角形的性质可得． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F为的中点， ∴． 垂径定理及推论 考点07 1．（2026·云南文山·一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（    ） A．13 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再结合圆的半径，通过勾股定理求出相关线段的长度． 【详解】解：连接，如图， 因为是的直径，且， 可得． 由于， 所以． 在中，，， 根据勾股定理． 所以． 2．（2026·云南·一模）如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则 （  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出的长，由直径求出半径的长，利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：是的直径，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 3．（2026·云南·一模）已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________ 【答案】 7 【分析】根据点与圆的位置关系得到的取值范围，再统计范围内整数的个数即可． 【详解】已知的半径， 根据点与圆的位置关系，点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，且点到圆心的距离为非负数， 因此可得的取值范围为, 该范围内的整数为，共个． 4．（2026·云南·一模）若的半径为8，，且点在外，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据点与圆的位置关系，当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径求解即可． 【详解】解：∵的半径为8，，且点在外， ∴的取值范围为． 6．（2026·云南红河·一模）如图，在中，，是的中点，分别过点作，过点作，交点为．记的周长为的周长为，四边形的面积为． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据两组对边平行可证是平行四边形，进而根据邻边相等可知是菱形； （2）根据两个三角形的周长关系，可知，根据四边形的面积可知，所以可知的取值，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是平行四边形， ∵在中，，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：的周长为的周长为， ∴，， ∴， 三角形的面积为：， ∴， 所以四边形的面积：， ∴ ∴ ∴． 7．（2026·云南文山·一模）如图，在四边形中，对角线的垂直平分线分别交于点，垂足为，．连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，延长到点，使，连接，，若点是的中点，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）利用是的垂直平分线，得到且，结合先证四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，完成证明； （）先根据菱形性质和中位线定理求出的长度，再通过角度推导得到相关角的度数，作后用含的直角三角形性质与勾股定理求出各线段长，最后结合的长度，用三角形面积公式算出． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：在菱形中，是的中点，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， 则， ∵， ∴， 则， ∴， 如图，过点作于， ∴， 则， ∴， 同理，在中，，， 则， ∴， ∴． 圆周角 考点08 1．（2026·云南红河·一模）如图，在中，直径与弦相交于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，由的度数即可求出的度数． 【详解】解：与都是所对的圆周角， ， ， ． 2．（2026·云南昆明·一模）如图，是上的三个点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．（2026·云南临沧·一模）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同弧所对的圆周角相等由此可求解． 【详解】解：∵所对的圆周角为与， ∴ ． 4．（2026·云南大理·一模）如图所示，是的直径，点A，C在上，，与交于点G，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题的关键．根据直径所对的圆周角为，可知，根据，可得，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，可得，最后根据三角形外角的定义和性质即可求出的度数． 【详解】解：∵是的直径 ， ∴， ∵ ， ， ∵ ， ∴， ∴， ∴ 5．（2026·云南昭通·一模）妈妈的生日前夕，芳芳用一张圆心角为，半径为的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为_____________． 【答案】5 【分析】圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先计算扇形弧长，再利用圆的周长公式求解底面半径． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 根据弧长公式，可得扇形弧长为：， 由圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，因此：， 解得． 6．（2026·云南文山·一模）如图，是的直径，是的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于，是的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)若，试探究线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，即可求解； （2）利用垂径定理求得，推出，即可得到，据此即可证明是的切线； （3）构造，证明，得到①，再证明，得到②，再结合直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴， 则是等腰直角三角形． ∴； （2）证明：如图，连接． ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：如图，过点G作交于点H，使． ∵， ∴， ∴， 则①． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 则②． ①与②等号左右两边分别相加得，． 则． ∵是的直径， ∴． ∵在中，， ∴， 则． 代入得，． 7．（2026·云南昆明·一模）如图，弦，不是的直径，且于点，点是射线上的一个动点，过点作于点，交于点． (1)如图①，当点与点重合时，求证：平分； (2)在（1）的条件下，连接．若，请判断与的位置关系，并证明你的结论； (3)如图②，当经过点时，点在线段上，点在线段上，连接．若，线段的长度是否会随着的半径的变化而变化．若变化，请用含的代数式表示的长度；若不变化，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)与相切，理由见解析 (3)线段的长度随着的半径的变化而变化，． 【分析】（1）通过垂直关系得到角相等，再利用同弧所对圆周角相等，从而证明角平分线． （2）连接并延长交于点，连接，结合已知条件可判定，从而得到角相等，结合垂直关系证明切线． （3）连接，利用垂直关系推导角相等，根据等角对等边得出线段相等，再结合垂直于弦的直径的性质，最后用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∴，， ∵， ∴，即平分． （2）解：与相切，证明如下： 连接并延长交于点，连接，如图所示， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴，即， ∴． 又∵是的直径， ∴与相切． （3）解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵过的圆心， ∴， ∵，的半径为， ∴，， ∴， 即线段的长度随着的半径的变化而变化，且． 【点睛】本题主要考查了圆的性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定以及勾股定理、勾股定理、垂径定理的推论等知识，熟练掌握圆的相关性质和相似三角形的判定方法是解题的关键． 点、直线与圆的位置关系 考点09 1．（2026·云南保山·一模）已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵由题意得 ，， ∴ ，即 ， 根据点与圆的位置关系判定规则：当时，点在圆外， ∴点在外． 2．（2026·云南昭通·一模）某圆形桌面，圆心为O，半径为，桌面上有一点P，则线段的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点P在圆形桌面上，可得点P在圆内或圆上，由此得到的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵点在圆形桌面上，圆形桌面所在圆的半径，圆心为， ∴点在内或上， ∴， 故观察选项，只有符合该范围． 3．（2026·云南红河·一模）如图，是四边形的外接圆，为的直径，延长至点，连接，，使得，． (1)求的度数： (2)求证：是的切线； (3)探究：若，试问是否为定值？如果是，请求出这个定值，并用含的代数式表示：如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，定值为 【分析】（1）通过直径所对的圆周角等于90度即可得出答案； （2）先通过等腰三角形的性质，得到，推出，接着利用外角，推出，得到，最后通过得证； （3）连接，不妨设，由题意可知，先证明，得到，再证明，那么，得到，即，最后代入化简计算即可． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴； ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （3）解：是定值，定值为，理由如下： 连接，不妨设，由题意可知， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∵是直径， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·云南昆明·一模）如图，在中，，以为直径的过线段的中点，连接，过点作于点．若点是上与点位于异侧的一个动点（），连接，，过点作交于点，，交于点． (1)的长度是___________； (2)求证：直线是的切线； (3)请探究在点的运动过程中，的值是否改变？若不变，请求出此值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)不变，16 【分析】（1）由圆周角定理可得，即，再结合题意得出是的垂直平分线，由垂直平分线的性质即可得出结果； （2）连接，证明是的中位线，得出，从而可得，即可得证； （3）过点作于点，过点作于点，则，证明，得出，再证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，最后证明得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴，即， 又∵是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴的长度是4； （2）证明：连接，如图： ， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线 ， ，即， 是的半径，且， 直线是的切线． （3）解：的值是定值16．理由如下： 如图：过点作于点，过点作于点， 则， 是的直径， 又， ， ，即， 同理可得， ，即， ，， 四边形是平行四边形，， ， 在和中， ， ， ， 又，且， ． 【点睛】直径所对的圆周角是直角；相似三角形的对应边成比例 5．（2026·云南保山·一模）如图，是的内接等腰三角形，，点E是劣弧上的动点（与点A，点C均不重合），连接，连接并延长交的延长线于点D，过点A作直线． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)探究、发现与证明：是否存在常数m和n，使等式成立？若存在，请直接写出m和n的值，并证明成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在；；证明见解析 【分析】（1）由圆内接四边形的性质即可求解； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得，再由即可求证； （3）存在；；延长交于点F，分别在中，利用勾股定理即可证明． 【详解】（1）解：∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴点O、A在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：存在；，此时； 证明如下： 如图，延长交于点F， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 即， ∴， ∴当，成立． 6．（2026·云南大理·一模）如图，是的直径，点是上异于、的点，点是延长线上一点，于点，且平分，点是弧上一动点（不与、重合），连接交于点，设的半径为． (1)当，求； (2)求证：是的切线； (3)在点的移动过程中，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个，的值，并证明你写出的，的值，使成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在常数，，使等式成立，且，，理由见解析 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角进行解答即可； （2）连接，结合角平分线证明，得到，根据切线的判定定理进行即可证明； （3）连接，，证明，则，进一步得到，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：是的直径， ， ， ； （2）证明：连接， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （3）解：存在常数，，使等式成立，且，，理由如下： 连接，， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在Rt中，， ， ∵， ， ， ， ， ∵， ，． 7．（2026·云南玉溪·一模）如图，四边形内接于，是的直径，连接，点是外一点，且，过点作，垂足为点． (1)若，直接写出的长； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知，，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出的值，并证明你写出的的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）由是的直径可得，由得，又，可证明，得，即可求出； （2）连接，可以证得，再证明，即可得出，从而可判断是的切线； （3）设的半径为，则，，证明，,得,设 ，则，，得，代入即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴（负值舍去）； （2）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：存在，，理由如下： 设的半径为，则，， 由（1）得， 同理可证, ∴, ∴, ∴, 设 ，则，， ∴， ∴， ∴当时，等式恒成立． 8．（2026·云南红河·一模）自然界是几何的宝库，几何之美是生活中最无声却又最动人的旋律，让我们的世界充满了惊喜与奇迹，圆是几何中最美的图形之一．如图，是四边形的外接圆，半径为，过点作交的延长线于点平分． (1)在图1中，若是的直径．求证：是的切线； (2)在（1）的条件下，若，求线段的长； (3)在图2中，若、，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)6 【分析】（1）连接，证明，根据可得，故可得是的切线； （2）设，由得，由勾股定理得．证明，得，代入相关数据进行计算即可得出结论； （3）延长至点，使得，连接．证明．．根据证明，得，再证明是等边三角形，得，根据可得结论． 【详解】（1）证明：连接． ， ， 平分， ， ． ， ， ． ，即． ， 又是的半径． 是的切线． （2）解：， ∴设，则， 由勾股定理得． 是的直径， ， ． 又， ， ． ，解得． ． （3）解：如图所示，延长至点，使得，连接． ， ． ，平分， ． ． ． 在和中， ． ． ， 又是等边三角形． ． ． 的最大值为6． 弧长和面积问题 考点10 1．（2026·云南红河·一模）如图，扇形的半径是，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据扇形弧长公式求出扇形的弧长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，结合圆周长公式求解即可． 【详解】解：扇形的半径为，圆心角为， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长， 该圆锥的底面圆的半径为． 2．（2026·云南昆明·一模）哈尼族蘑菇房是云南极具特色的传统民居，其锥形茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该圆锥模型的底面周长为，母线长为6，则此圆锥的侧面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为，母线长为， ∴这个圆锥的侧面积为． 3．（2026·云南·一模）若圆锥的底面半径是，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的母线长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形弧长的性质，结合弧长公式列方程求解母线长． 【详解】解：设该圆锥的母线长为 ∵圆锥底面半径为 ∴圆锥底面周长为， ∵圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图圆心角为直角，即， ∴ 解得 ∴该圆锥母线长为． 4．（2026·云南保山·一模）若一个圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，掌握圆锥侧面积公式，其中为底面半径，为圆锥母线长，即可直接计算求解． 【详解】解：∵圆锥底面半径，母线长， ∴． 5．（2026·云南文山·一模）若一个圆锥的底面圆的半径为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设母线长为，利用弧长公式建立等式求解即可． 【详解】解：设该圆锥的母线长为， ∵圆锥底面圆半径， ∴底面圆的周长， ∵圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，且扇形圆心角为， ∴可得等式， 化简得，两边同除以得， 解得， 即圆锥母线长为． 6．（2026·云南大理·一模）小明过完生日后，对圆锥形的生日帽进行了测量，如图，测得圆锥底面半径为，母线长为，则生日帽的外表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥侧面积的计算公式（其中为侧面积，为底面圆半径，为母线长），计算即可得出结果． 【详解】解：∵测得圆锥底面半径为，母线长为， ∴生日帽的外表面积为． 7．（2026·云南昆明·一模）已知一个圆锥的底面半径为5，母线长为10，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据底面半径求出圆锥底面周长，再利用圆锥侧面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵圆锥底面半径， ∴圆锥底面周长， 设圆锥母线长为，由题得， 根据圆锥侧面积公式， ∴该圆锥侧面积为． 8．（2026·云南楚雄·一模）将某工厂出售的网红款户外防雨斗笠抽象为几何图形，得到一个圆锥形几何体，测得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，代入侧面的面积公式计算． 【详解】解：由题意可知：圆锥形几何体的母线长为，底面圆的半径为， ∴圆锥侧面积为． 9．（2026·云南·一模）一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，母线长为，则该圆锥的底面圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形弧长的关系，列等式即可求解底面半径. 【详解】圆锥侧面展开图中，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，对应公式为，其中为底面圆半径，为侧面展开图圆心角度数，为母线长， 已知，，代入公式得： 化简得， 两边同除以，得， 10．（2026·云南·一模）如图，小明在综合实践活动课上用木块制作了一个底面半径为6，高为8的圆锥形实物模型，则这个圆锥形实物模型的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥母线长，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长计算扇形弧长，然后利用扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可． 【详解】解：圆锥底面半径为6，高为8， 圆锥的母线长为：， 圆锥的底面周长为：， 圆锥的侧面积为：， 故选：D ． 11．（2026·云南红河·一模）圆锥在生活中随处可见，例如：陀螺、漏斗、屋顶等．一个半径为2、圆心角为的扇形是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面半径为_____． 【答案】/0.5 【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，设出底面半径，列方程求解即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为， 根据题意得 化简得 解得． 12．（2026·云南临沧·一模）课后辅导特色课上，小明用一张圆心角为的扇形制作了一个圆锥，计算得扇形的弧长为，则此圆锥的侧面积为________． 【答案】 【分析】先根据已知弧长和圆心角求出扇形半径，再利用扇形面积公式计算得到圆锥侧面积． 【详解】解：设扇形的半径为， 根据已知可得， 解得， ∴此圆锥的侧面积为. 其它综合问题 考点11 1．（2026·云南昭通·一模）已知是的外接圆，过点B作． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图1，在（1）的条件下，求证：直线是的切线； (3)探索，发现与计算： 如图2，为的直径，与相切，点D在弧上，连接，，，问是否存在一个非零常数a，使等式成立？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据，，得出．根据，得出，证出是等边三角形，则． （2）如图，连接，．由（1）得是等边三角形，则，根据圆周角定理得出．根据，得出，则，即可证明直线是的切线． （3）如图，过点B作，交于点M，连接，则，设，则，根据圆周角定理得出，根据圆周角定理得出，则，，根据切线的性质得出，结合，得出是线段的垂直平分线，则，证明，则，，得出，结合，得出，即可求解． 【详解】（1）解：，， ． ， ， 是等边三角形， ． （2）证明：如图，连接，． 由（1）得是等边三角形， ， ． ， ． ， ， ． 是半径， ∴直线是的切线． （3）解：存在，．理由如下： 如图，过点B作，交于点M，连接，则， 设，则， ， ①， 是的直径， ， ， ②， 与相切， ， ∵， ， 又， 是线段的垂直平分线， ③， 由①②③得， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ． ， ． 2．（2026·云南昆明·一模）如图，为的外接圆，且为的直径，为的中点，连接交于点，连接，，过点作交其延长线于点． (1)若，求的度数； (2)求证：为的切线； (3)想一想，证一证，以下三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)正确，理由见解析 【分析】（1）根据圆周角定理得到，利用求解即可； （2）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到， ，进而得到，证得，进而得到，从而得出结论； （3）根据圆周角定理易证得，进而得到，再证得，进而得到，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：为的直径， ， 在中，； （2）证明：连接， ， ， 为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 为的切线； （3）解：正确，理由如下： 为的直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 3．（2026·云南临沧·一模）“小时不识月，呼作白玉盘．”2025年春晚节目《玉盘》：“玉盘玉盘，你为何悬于屋顶上？……”从远古问月到现在的探月工程，都体现了中华民族对宇宙穷极探索的追寻．“圆”——宛如那无瑕的玉盘，承载着无尽的奇妙与神秘，静静悬于数学的浩瀚星空．请用所学数学知识解决下面问题： 如图1，点A，B，C是上的三个点，，延长至点D，连接，，点F在的延长线上，与相切于点G，过点A作的平行线与切线交于点E． (1)求证：是的直径． (2)求证：是的切线． (3)如图2，连接，过点G作，交于点M．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由即可证明结论； （2）由可得，由，可得，即可证明结论； （3）延长，交于点，先可证得是的切线，可得，，，设，，通过证明，，，利用相似三角形的性质即可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的直径． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的直径， ∴是的切线， （3）解：． 理由：如图，延长，交于点， ∵，， ∴． ∵是的直径， ∴是的切线，切点为， ∵，都是的切线，切点分别为点，， ∴，， 设，，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·云南·一模）如图，是的内接三角形，为的直径，，点在上．平分，连接，，，是延长线上一点，连接，，过点作于点，． (1)求证：是的切线； (2)求的长： (3)探究：是否存在常数，使等式成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据圆周角定理得到，再根据得到，再利用三角形内角和定理求出，再根据切线的判定定理即可证明； （2）证明是等腰直角三角形，得到，再结合即可求解； （3）延长至使得，连接，由为的直径，得到，则有，再证明，得到，，，进而得到，则有，再由，得出，即可求出的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴； （3）解：如图，延长至使得，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵四点共圆， ∴， ∵， ∴， 由（2）得，， 又∵， ∴， ∴，，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴存在常数，使等式成立． 5．（2026·云南楚雄·一模）如图，C是以为直径的上一点，于点D，过点B作的切线，与的延长线相交于点E，F是的中点，连接并延长与相交于点G，连接并延长与的延长线相交于点H，的半径为3． (1)若，求点C和点B间的距离； (2)求证：是的切线； (3)当时，请判断下列结论哪个成立？①，②，③，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)②成立，见解析 【分析】（1）结合勾股定理求出，即可作答． （2）先根据，过点B作的切线，与的延长线相交于点E，得出，再分别证明，，故，结合F是的中点，得出，再运用等边对等角，以及，得，故，即是的切线； （3）过点G作于点K，则，根据切线的性质得到，证明四边形为矩形，得到，，，，证明，，，进而证明，得到，可知，证明为线段的垂直平分线，得到，由（2）可知，即． 【详解】（1）解：∵的半径为3， ∴， 连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∴， 即点C和点B间的距离为的长度，即为； （2）解：连接，如图所示： ∵过点B作的切线，与的延长线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 则， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴是的中线， ∵是的直径， ∴， ∵是的中线 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故， ∵是半径， ∴是的切线； （3）解：②成立． 理由如下： 如图，过点G作于点K，则． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∵的半径为3， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴点K为中点． ∵于点K， ∴为线段的垂直平分线， ∴． 由（2）可知， ∴成立． 6．（2026·云南·一模）如图，内接于，的平分线与交于点，连接，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)探究、发现与证明：是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，证明见解析． 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等即可证明． （2）连接，由垂径定理可得，然后根据切线的判定定理得到结论； （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明，，设，，，由勾股定理可得，，结合，根据始终成立，即可得出． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）证明：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是的切线； （3）解：当时，等式成立．证明如下： 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，， 则，， ， ∴， ∵， ∴ 即：， 要使等式成立，取值与、、无关，则，，， ∴． 7．（2026·云南大理·一模）如图所示，是的外接圆，延长至点D，使得，P是半圆上一动点（点P在左上半圆，且不与点A，C重合），连接，，，． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)看一看，想一想，证一证：若，以下与线段，，有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)正确，见解析 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，进行求解即可； （2）根据直径所对的圆周角为直角得出， 证明， 得出，证明，即可得出答案； （3）过点C作于点H，设，则，根据，得出，从而得出，根据，得出，即，根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （3）解：正确．理由如下： 过点C作于点H，如图所示： ∵是直径， ∴， ∵， ∴设，则， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $