专题04 图形的性质（几何初步、三角形）8大考点（云南专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题04 图形的性质 8大考点概览 考点01 几何图形初步 考点02 相交线与平行线 考点03 与三角形有关的线段和角 考点04 全等三角形的判定 考点05 线段的垂直平分线 考点06 等腰三角形 考点07 直角三角形 考点08 勾股定理及其逆定理 几何图形初步 考点01 1．（2026·云南红河·一模）如图，在内，按下列步骤进行尺规作图的操作： ①以为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线． 已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据尺规作图的步骤可知是的角平分线，根据角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】解：由作图步骤可知，射线是的角平分线， ， ． 相交线与平行线 考点02 1．（2026·云南红河·一模）数学符号“”可以看作是两条平行的直线被第三条直线所截而成，放大后如图所示．若，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·云南昭通·一模）如图，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两直线平行，同位角相等． 【详解】解：，， ． 3．（2026·云南昆明·一模）如图，直线，点在上，射线与交于点．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， 故选：D． 4．（2026·云南·一模）如图，直线，被直线所截，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行的性质，令与交于点，根据题意得到，再根据对顶角的定义进行计算即可得到答案． 【详解】解：令与交于点， ∵， ， ∴， ∴． 5．（2026·云南保山·一模）如图，直线c与直线a，b分别相交，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， 根据两直线平行，内错角相等可得：． 6．（2026·云南大理·一模）如图，直线与直线、都相交．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图： 由对顶角相等可得， ∵， ∴． 7．（2026·云南文山·一模）如图，已知直线c与直线a、b都相交．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，同位角相等得． 【详解】解：∵，， ∴． 8．（2026·云南玉溪·一模）如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为（    ） A．55° B．105° C．125° D．135° 【答案】C 【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 9．（2026·云南昆明·一模）如图，直线与直线，都相交，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据对顶角相等得到，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 10．（2026·云南昆明·一模）如图，已知，要使，则需具备另一个条件（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定，只要满足同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，都能得出两直线平行． 【详解】解：，， ， （同旁内角互补，两直线平行），故A正确； 为邻补角，不能判断，故B错误； 为邻补角，不能判断，故C错误； 为对顶角，不能判断，故D错误． 11．（2026·云南·一模）如图，直线与直线，分别相交，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两直线平行，同位角相等求得的度数，再根据邻补角的定义求得的度数即可． 【详解】解：，， ， ． 12．（2026·云南楚雄·一模）如图，直线与被直线所截，截点为点E和F，，现绕点E作顺时针旋转，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与是同旁内角， ∴当时，， ∵， ∴． 13.（2026·云南·一模）如图，直线与直线，都相交，若，，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，同位角相等得出，再根据邻补角的定义即可求解． 【详解】解：如图： ∵直线， ∴， ∵， ∴． 14．（2026·云南保山·一模）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质可得，结合，然后利用即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴． 15．（2026·云南昆明·一模）如图，已知点B、E、F、C在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再证，进而可证即可得解． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）， ， ，即， 在和中， ， ， ． 16．（2026·云南·一模）如图，在和中，，，，求证： 【答案】见详解 【分析】根据，可得，再由，可得，再由角边角可证得，即可求解． 【详解】证明：∵， ， ， ，即， 在和中， ， ． 17．（2026·云南·一模）如图，在中，是边上的中线，是射线上的两点，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】先由三角形中线的定义得到，再由平行线的性质得到，，由此证明． 【详解】证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴，， ∴． 与三角形有关的线段和角 考点03 1．（2026·云南楚雄·一模）如图，在中，，点D，E分别是，的中点，交于点F，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，得相似比．再根据点D，E分别是，的中点，得，从而求得，则，即；然后由点D是的中点，求得，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴相似比． ∵点D，E分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点D是的中点， ∴为的中线， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·云南昆明·一模）如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可得：平分， ∴． 3．（2026·云南昆明·一模）如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)如图，过点作的角平分线与的延长线交于点．若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)50 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定定理进行证明； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义得出相等的边，假设出未知数，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 四边形是矩形； （2）解：， ， 又平分， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 设，由勾股定理可得， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：（负值已舍）， ， ． 4．（2026·云南大理·一模）如图，是的直径，点是上异于、的点，点是延长线上一点，于点，且平分，点是弧上一动点（不与、重合），连接交于点，设的半径为． (1)当，求； (2)求证：是的切线； (3)在点的移动过程中，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个，的值，并证明你写出的，的值，使成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在常数，，使等式成立，且，，理由见解析 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角进行解答即可； （2）连接，结合角平分线证明，得到，根据切线的判定定理进行即可证明； （3）连接，，证明，则，进一步得到，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：是的直径， ， ， ； （2）证明：连接， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （3）解：存在常数，，使等式成立，且，，理由如下： 连接，， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在Rt中，， ， ∵， ， ， ， ， ∵， ，． 全等三角形的判定 考点04 1．（2026·云南曲靖·一模）如图所示，在中，，点在边上．若点在边上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】作交的延长线于点，作交的延长线于点，利用证明，得到，再利用证明，得到，最后根据即可证明结论成立． 【详解】证明：作交的延长线于点，作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 2．（2026·云南昆明·一模）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据得出，根据“”即可证明． 【详解】证明：， ， ． 在与中 ， ． 3．（2026·云南大理·一模）如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，进而证明，进而得出结论． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 4．（2026·云南文山·一模）如图，点，都在线段上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据角边角的证明方法证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即． 在和中， ∵， ∴． 5．（2026·云南红河·一模）如图，已知平分．求证： 【答案】见解析 【分析】首先根据角平分线的定义得到，再利用定理便可证明其全等． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ． 6．（2026·云南昭通·一模）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据“”直接证明全等即可． 【详解】解：， ， 即． 在和中， ， ． 7．（2026·云南昆明·一模）如图，与相交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由“”即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ． 8．（2026·云南红河·一模）已知：如图，平分，．求证：． 【答案】见解析 【分析】证明，即可解答． 【详解】证明：∵平分， ， 在与中 ， ， ． 9．（2026·云南楚雄·一模）如图，线段相交于点E，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ∴． 10．（2026·云南·一模）如图，在中，，，于点E，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定．根据，，得到，，根据，得到，结合，利用即可证明结论． 【详解】证明：，， ， ， ， 在和中， ． 11．（2026·云南临沧·一模）如图，，求证：．    【答案】见解析 【分析】根据已知条件证明，进而根据证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在中， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 线段的垂直平分线 考点05 1．（2026·云南文山·一模）如图，在四边形中，对角线的垂直平分线分别交于点，垂足为，．连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，延长到点，使，连接，，若点是的中点，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）利用是的垂直平分线，得到且，结合先证四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，完成证明； （）先根据菱形性质和中位线定理求出的长度，再通过角度推导得到相关角的度数，作后用含的直角三角形性质与勾股定理求出各线段长，最后结合的长度，用三角形面积公式算出． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：在菱形中，是的中点，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， 则， ∵， ∴， 则， ∴， 如图，过点作于， ∴， 则， ∴， 同理，在中，，， 则， ∴， ∴． 2．（2026·云南保山·一模）如图，是的内接等腰三角形，，点E是劣弧上的动点（与点A，点C均不重合），连接，连接并延长交的延长线于点D，过点A作直线． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)探究、发现与证明：是否存在常数m和n，使等式成立？若存在，请直接写出m和n的值，并证明成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在；；证明见解析 【分析】（1）由圆内接四边形的性质即可求解； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得，再由即可求证； （3）存在；；延长交于点F，分别在中，利用勾股定理即可证明． 【详解】（1）解：∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴点O、A在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：存在；，此时； 证明如下： 如图，延长交于点F， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 即， ∴， ∴当，成立． 等腰三角形 考点06 1．（2026·云南大理·一模）下列四个选项所描述的图形中，不是轴对称图形的为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正方形 D．线段 【答案】B 【详解】解：等腰三角形沿底边中线所在直线折叠，直线两旁部分可完全重合，是轴对称图形，故A不符合题意； 普通直角三角形不存在能使它折叠后完全重合的直线，只有特殊的等腰直角三角形才是轴对称图形， 选项B中直角三角形泛指任意直角三角形，不一定是轴对称图形，故B符合题意； 正方形沿对边中点连线或对角线折叠可完全重合，是轴对称图形，故C不符合题意； 线段沿它的中垂线或自身所在直线折叠可完全重合，是轴对称图形，故D不符合题意； 2．（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质；解题的关键是掌握正六边形对顶点连线（长对角线）的长度等于边长的2倍．由正六边形的对称性知对顶点连线经过中心，长度为2倍边长，由直接求得边长为9． 【详解】解：设正六边形的边长为， 正六边形的六个顶点均匀分布在圆周上，中心角为， 正六边形的对顶点连线（长对角线）经过中心，长度为边长的2倍， 为正六边形的一组对顶点， ， ， ， ． 3．（2026·云南·一模）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______． 【答案】/70度 【分析】根据菱形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·云南昆明·一模）如图，在平行四边形中，与相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，，即可得出结论； （2）连接，由平行四边形的性质得出，，，再证，得出，则，然后证，由勾股定理求出，最后由三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴平行四边形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 直角三角形 考点07 1．（2026·云南昭通·一模）如图，四边形是菱形，E为边的中点，对角线，相交于点O，连接，若，，则菱形的面积等于（    ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【分析】由菱形的性质可知对角线互相平分且垂直，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再结合勾股定理求出，从而求出菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， 在中，E为边的中点， ， ， ， 菱形的面积． 2．（2026·云南楚雄·一模）如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． （2）解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 3．（2026·云南红河·一模）如图，在中，，是的中点，分别过点作，过点作，交点为．记的周长为的周长为，四边形的面积为． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据两组对边平行可证是平行四边形，进而根据邻边相等可知是菱形； （2）根据两个三角形的周长关系，可知，根据四边形的面积可知，所以可知的取值，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是平行四边形， ∵在中，，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：的周长为的周长为， ∴，， ∴， 三角形的面积为：， ∴， 所以四边形的面积：， ∴ ∴ ∴． 4．（2026·云南·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由，得出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可知，即可得出四边形是矩形． （2）由菱形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：∵菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·云南玉溪·一模）如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以，为邻边作． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得，，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵和分别是和的平分线， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ． 6．（2026·云南·一模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点在的延长线上，的长为的一半， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质和已知条件可证明，再由菱形的判定定理可证明结论； （2）由菱形的对角线互相垂直平分结合勾股定理求出的长，进而求出的长，再由菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的长为的一半，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：∵菱形中，对角线相交于点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴ 勾股定理及其逆定理 考点08 1．（2026·云南文山·一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（    ） A．13 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再结合圆的半径，通过勾股定理求出相关线段的长度． 【详解】解：连接，如图， 因为是的直径，且， 可得． 由于， 所以． 在中，，， 根据勾股定理． 所以． 2．（2026·云南·一模）如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则 （  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出的长，由直径求出半径的长，利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：是的直径，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 3．（2026·云南·一模）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据余弦的定义计算的值即可． 【详解】解：由题可得图， ∵在中，，，， ∴由勾股定理得 ， 根据余弦定义可得 ． 4．（2026·云南红河·一模）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第9个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据余弦的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意可得，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， 5．（2026·云南临沧·一模）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． ∴． 6．（2026·云南·一模）如图，小明在综合实践活动课上用木块制作了一个底面半径为6，高为8的圆锥形实物模型，则这个圆锥形实物模型的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥母线长，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长计算扇形弧长，然后利用扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可． 【详解】解：圆锥底面半径为6，高为8， 圆锥的母线长为：， 圆锥的底面周长为：， 圆锥的侧面积为：， 故选：D ． 7．（2026·云南玉溪·一模）九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；因此此题可根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， 由网格可知：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 8．（2026·云南大理·一模）如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为________． 【答案】5 【分析】连接，由题意可得，由垂径定理可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， ， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·云南玉溪·一模）如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 10．（2026·云南昭通·一模）在中，，，，则的值是_____________． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理求出的长. 再根据直角三角形中锐角正切函数的定义计算的值即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 11．（2026·云南保山·一模）如图，在平行四边形中，，，，分别是各边的中点，四边形是菱形． (1)求证：平行四边形为矩形； (2)若平行四边形的周长是，面积是，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得出，根据中位线的性质可得，得出，即可得证； （2）依题意得出，根据勾股定理结合完全平方公式变形，求得，根据中位线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 ∵四边形是菱形 ∴ ∵在平行四边形中，，，，分别是各边的中点， ∴， ∴ ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵矩形的周长是，面积是， ∴ ∴ ∴ ∴，即菱形的边长为 12．（2026·云南·一模）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理结合完全平方公式公式变形得出，进而求得，再结合，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， （2）解：四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04图形的性质 ☆8大考点概览 考点01几何图形初步 考点02 相交线与平行线 考点03 与三角形有关的线段和角 考点04 全等三角形的判定 考点05线段的睡直平分线 考点06 等腰三角形 考点07 直角三角形 考点08 勾股定理及其逆定理 考点01 几何图形初步 1.(2026云南红河一模)如图，在∠A0B内，按下列步骤进行尺规作图的操作： ①以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA,OB于点D,E; ②分别以点D, E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠40B的内部交于点C； ③作射线0C. B D 已知∠A0B=40°，则∠A0C的度数为() A.20° B.30° C.40° D.80° 考点02 相交线与平行线 1.(2026云南红河一模)数学符号“≠”可以看作是两条平行的直线被第三条直线所截而成，放大后如图所 示.若∠1=124°，∠2=() 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.36° B.46° C.56 D.124° 2.(2026云南昭通一模)如图，1∥12，若∠1=58°，则∠2等于() A.58 B.42° C.52° D.48 3.(2026云南昆明一模)如图，直线AB∥CD,点E在AB上，射线EF与CD交于点H.若∠BEF=1I5 ,则∠CHF的度数为() A E B C D H A.115° B.105 C.75 D.65° 4.(2026云南一模)如图，直线AB,CD被直线EF所截，AB‖CD,∠1=30°，则∠2=() E A B D 2 A.125° B.130° C.1350 D.150° 5.(2026云南保山一模)如图，直线c与直线a,b分别相交，且a∥b,∠1=40°，则∠2的度数是() 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.80 B.60° C.50° D.40° 6.(2026云南大理一模)如图，直线c与直线a、b都相交.若a∥b,∠1=53°，则∠2=() A.127° B.53 C.33° D.27° 7.(2026云南文山一模)如图，已知直线c与直线a、b都相交.若a∥b,∠1=55°，则∠2=() b A.55 B.65 C.125° D.135° 8.(2026云南玉溪一模)如图，直线a,b被直线c所截，若a∥b,∠1=55°，则∠2的度数为() b A.55 B.105 C.125° D.135° 9.(2026云南昆明一模)如图，直线EF与直线AB,CD都相交，若AB∥CD,∠1=55°，则∠2的度数 为() 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.55 B.1109 C.125 D.135 10.(2026云南昆明一模)如图，已知∠1=80°，要使AB∥CD,则需具备另一个条件() D A.∠2=100°B.∠3=100° C.∠4=80 D.∠5=80 11.(2026云南一模)如图，直线m与直线n,p分别相交，已知nlp,∠1=115°，则∠4=() 211 ^4 A.659 B.115 C.125 D.135 12.(2026云南楚雄一模)如图，直线AB与CD被直线EF所截，截点为点E和F,∠CFE=60°，现AB绕 点E作顺时针旋转，当AB∥CD时，∠AEF的度数是() B A.120° B.110° C.80 D.60° 13.(2026云南一模)如图，直线c与直线a,b都相交，若a∥b,∠1=38°，则∠2度数为() 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.52° B.62° C.142° D.152 14.(2026云南保山一模)如图，点B,E,C,F在一条直线上，AB∥DE,AC∥DF,BC=EF.求证： △ABC≌△DEF. D B 15.(2026云南昆明一模)如图，已知点B、E、F、C在同一条直线上，AB∥CD,AB=CD,BF=CE.求 证：AE=DF. C D B 16.(2026云南一模)如图，在ABC和△DEF中，∠A=∠D,AE=BD,BC∥EF,求证： △ABC≌△DEF E B D 17.(2026云南一模)如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，E,F是射线AD上的两点，且BF∥CE 求证：△DBF≌△DCE, D 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点03 与三角形有关的线段和角 1.(2026云南楚雄一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D,E分别是BC,CD的中点， EF⊥BC交AC于点F,则△FEC与△ABD的面积比是() D A, B. c.s 2.(2026云南昆明一模)如图，在ABC中，BA=BC,∠ABC=40°.以点A为圆心，适当长为半径作 弧，交AB于点M,交AC于点N,分别以M,N为圆心，大于MW的长为半径作弧，两弧在∠B1C的 内部相交于点P;作射线AP,交BC于点D.则∠BAD=() A.35° B.40° C.105 D.115° 3.(2026云南昆明一模)如图，在四边形ABCD中，AD=BC,AB=DC,∠B=∠BAD D B E (I)求证：四边形ABCD是矩形； (②)如图，过点A作∠CAD的角平分线与BC的延长线交于点E.若am∠4CB=等，AE=20,求△4CE的面 积. 4.(2026云南大理一模)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上异于A、B的点，点P是AB延长线上一 点，AD⊥PC于点D,且AC平分∠PAD,点E是弧AC上一动点（不与A、C重合），连接PE交⊙O于点 F,设⊙0的半径为". 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E (I)当∠CAB=30°，求∠ABC; (2)求证：PC是⊙0的切线： (3)在点E的移动过程中，是否存在常数a,b,使等式EF.PF=aPC2+bPF2成立？若存在，请直接写出一 个a,b的值，并证明你写出的a,b的值，使EF,PF=aPC2+bPF2成立；若不存在，请说明理由. 考点04 全等三角形的判定 1.(2026云南曲靖一模)如图所示，在ABC中，LBAC=a(90°<a<180),AB=AC,点D在边AC上， 若点E在边AB上，且CE=BD,求证：△ABD≌△ACE, D B 2.(2026云南昆明·一模)如图，点A,E,F,D在同一直线上，AB=DC,BF=CE,AE=DF.求证： △ABF≌△DCE, 3.(2026云南大理一模)如图，已知∠B=∠C,AB=CD,BE=CF,求证：∠A=∠D. D 4.(2026云南文山一模)如图，点E,C都在线段BF上，BE=CF,∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.求证： △ABC≌△DEF. 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E 5.(2026云南红河一模)如图，己知AC平分LBAD,AB=AD.求证：△ABC≌△ADC B 6.(2026云南昭通一模)如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，AC=DF,BC=EF,AE=BD,求 证：△ABC≌△DEF. F B E D 7.(2026云南昆明一模)如图，AD与BC相交于点O,A0=B0,∠A=∠B.求证：△A0C≌△B0D. D B 8.(2026云南红河一模)已知：如图，AB平分∠CAD,∠C=∠D.求证：BC=BD. B D 9.(2026云南楚雄一模)如图，线段AC,BD相交于点E,AE=BE,AC=BD.求证：△ADE≌△BCE. B E 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2026云南一模)如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC,CD∥AB,DE⊥AC于点E,且AB=CE.求证： △CED≌△ABC. 11.(2026云南临沧一模)如图，LABC=LE,LD=LA,BE=CF,求证：△ABC≌△DEF. D B 考点05 线段的垂直平分线 1.(2026云南文山一模)如图，在四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC,AD于点E,F, 垂足为O,OE=OF.连接AE,CF. (I)求证：四边形AECF是菱形； (②)已知AB=4,延长BC到点G,使CG=OC,连接0G,∠G=15°，若点E是BC的中点，求△E0G的面 积. .LE0H=30°， 则HE=2 0E=1, i.OH =VOE2-HE2=22-12=3, 同理，在RtAOEC中，CE=4,OC=2√5， 则CG=25, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·EG=CE+CG=4+2V3, 5ae号4+25x5=25+3. 2.(2026云南保山一模)如图，ABC是⊙0的内接等腰三角形，AB=AC,点E是劣弧AC上的动点（与 点A,点C均不重合)，连接BE,CE,连接AE并延长交BC的延长线于点D,过点A作直线AM∥BC. M (1)若∠ABC=52°，求∠AEC的度数； (2)求证：AM是⊙0的切线； (3)探究、发现与证明：是否存在常数m和n,使等式DC.DB=m,AD2+n·AC2成立？若存在，请直接写出 m和n的值，并证明DC,DB=m·AD2+n·AC2成立；若不存在，请说明理由， M B 考点06 等腰三角形 1.(2026云南大理一模)下列四个选项所描述的图形中，不是轴对称图形的为() A.等腰三角形B.直角三角形 C.正方形 D.线段 2.(2026云南红河一模)五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子(C60)中的微粒像足球一 样团结在一起.一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）.如图②，在正六边形 ABCDEF中，连接BE,若BE=18,则正六边形ABCDEF的边长为() E D 图① 图② A.6 B.9 C.12 D.18 3.(2026云南一模)中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴， 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得∠ABC=8O°，BA=BE,则∠BAE的度数为 4.(2026云南昆明一模)如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,延长CD至点E,使 CD=DE,连接AE. E B (I)求证：四边形ABDE是平行四边形； (2)若AC平分∠BAE,AC=8,AE=6,求平行四边形ABDE的面积. 考点07 直角三角形 1.(2026云南昭通一模)如图，四边形ABCD是菱形，E为AB边的中点，对角线AC,BD相交于点O, 连接OE,若0E=2.5,BD=6,则菱形ABCD的面积等于() C A.12 B.24 C.30 D.36 2.(2026云南楚雄一模)如图，ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，点D、O分别是AC、BC的中点， 连接DO并延长至点E,使得EO=DO,连接BD、BE、CE. D (①I)求证：四边形DBEC是菱形； (2)若ABC的周长为30，且AB+BC=17,求四边形DBEC的面积. 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(2026云南红河一模)如图，在ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，分别过点B作BE‖AC,过 点C作CE∥BD,交点为E,记AB=a,BC=b,△ABD的周长为l,△BCD的周长为Z,四边形BECD的面积 为S (I)求证：四边形BECD是菱形： ②若4-4=2.5=号京4C的长 4.(2026云南一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，连接OE并 延长到点F,使EF=DE,连接AF,DF· D E B (I)求证：四边形AODF是矩形 (2)若∠ABC=60°，AB=6,求四边形A0DF的面积. 5.(2026云南玉溪一模)如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线BE和LBCD的平分线CE交于点E,点E 在AD边上，以BE,CE为邻边作口BECF. D (I)求证：四边形BECF是矩形： (2)若AD=6,∠A=120°，求四边形BECF的面积. 6.(2026云南一模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E在BC的延长线上， CE的长为BC的一半，DE⊥BE,∠CDE=30 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若AB=5,AC=6,求菱形ABCD的面积. 1 1 ·S边形HBCD=)AC,BD=)×6×8=24 2 考点08 勾股定理及其逆定理 1.(2026云南文山一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为E,若AB=26, CD=24,则BE的长为() D E A B A.13 B.12 C.10 D.8 2.(2026云南一模)如图，已知AB是00的直径，CD是⊙0的弦，AB⊥CD,垂足为E.若AB=50, CD=48,则tanZC0E=() A E D B 7 A24 B. 4 25 c D. 3.(2026云南一模)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12,AC=9,则cosA的值为() c.3 4 D 4.(2026云南红河一模)据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 结，把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4 个结和第9个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则cos等于() B.s 5.(2026云南临沧一模)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=5,BC=3,则c0sA=() B c D 6.(2026云南一模)如图，小明在综合实践活动课上用木块制作了一个底面半径为6，高为8的圆锥形实 物模型，则这个圆锥形实物模型的侧面积是(） A.24π B.36元 C.48π D.60元 7.(2026云南玉溪一模)九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方.它是由9个正 方形组成的图案.如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为() A. B.5 D./3 5 c 3 8.(2026云南大理一模)如图，AB是00的弦，点C是AB的中点，0C交AB于点D.若AB=8cm, 0D=3cm,则o0的半径为 cm 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 D 9.(2026云南玉溪一模)如图，已知线段AB=4√2cm,分别以点A,B为圆心，以3cm为半径画弧，两 弧相交于点C,D,连接AC,BC,AD,BD,则四边形ACBD的面积为 cm2. DX 10.(2026云南昭通一模)在ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=6,则tanA的值是 11.(2026云南保山一模)如图，在平行四边形ABCD中，E,F,G,H分别是各边的中点，四边形 EFGH是菱形. D E G B (I)求证：平行四边形ABCD为矩形； (2)若平行四边形ABCD的周长是12，面积是8，求菱形EFGH的边长. 12.(2026云南一模)如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF, AF与DE交于点O. D B E C (I)求证：四边形AEFD为矩形； (2)若∠BAF=90°，AB+DE=17,BF=13,求AE的长 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2/23