专题03 函数9大考点（云南专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题03 函数 9大考点概览 考点01 平面直角坐标系 考点02 函数基础知识 考点03 一次函数实际应用 考点04 二次函数的图像和性质 考点05 二次函数与一元二次方程的关系 考点06 二次函数的综合问题 考点07 反比例函数的概念 考点08 反比例函数的图像 考点09 反比例函数的K值意义 平面直角坐标系 考点01 1．（2026·云南曲靖·一模）恺撒密码是世界上最古老的加密技术之一，采用位移加密方法：明文中的所有字母都按照一个固定数值在字母表上向后（或向前）进行移位后形成密文，例如，向前移动3位（密钥）的恺撒密码，如图1所示：为方便使用恺撒密码进行加密和解密，可以使用密码盘如图2所示． “猜猜我是谁”：我的身份对应的明文是__________． 信息一：我的身份经过了双重加密，密文为“”，左起奇数位密钥为，偶数位密钥为． 信息二：密钥隐于坐标：已知点位于第一象限，到轴距离为3，到轴的距离为5． 【答案】 【详解】解：∵点位于第一象限，到轴距离为3，到轴的距离为5， ∴，， ∴奇数位密钥，偶数位密钥， 密文是“”，共8位， 奇数位(1、3、5、7位)用密钥解密， 偶数位(2、4、6、8 位)用密钥解密； 1．第1位：r(第 18个字母)，密钥； 2．第2位：d(第4个字母)，密钥； 3．第3位：y (第 25个字母)，密钥； 4．第4位： k(第 11 个字母)，密钥； 5．第5位： q(第17个字母)，密钥； 6．第6位：r(第18个字母)，密钥； 7．第7位：a(第1个字母)，密钥； 8．第8位：h(第8个字母)，密钥； 将解密后的字母依次组合：． 函数基础知识 考点02 1．（2026·云南·一模）函数的自变量的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式函数自变量的取值范围，根据分式分母不为零的条件列不等式求解即可得到结果. 【详解】解：∵函数是分式，分式的分母不能为， ∴， 解得. 2．（2026·云南·一模）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】函数自变量的取值范围，需要同时满足二次根式被开方数非负、分式分母不为0两个条件，据此列不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式和分式有意义的条件可得：， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得 即自变量的取值范围是且． 3．（2026·云南·一模）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 4．（2026·云南昆明·一模）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：D． 5．（2026·云南保山·一模）函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解一元一次不等式，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得到关于的一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 6．（2026·云南临沧·一模）如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点就是一个定点．对于一次函数（是常数，），当时，无论为何值，一定等于3，我们就说直线一定经过定点．已知函数（是常数，）． (1)求证：无论为何值，函数的图象都经过轴上的一个定点． (2)若函数的图象与轴只有一个公共点，试比较与的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据当时，即可证明结论； （2）由函数的图象与轴只有一个公共点可得可求得，代入即可求得，，即可判断与的大小． 【详解】（1）证明：当时，， ∴无论为何值，函数的图象都经过轴上的一个定点． （2）解：∵， ∴当函数的图象与轴只有一个公共点时，关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴函数解析式为． ∵函数的图象与轴只有一个公共点， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 一次函数实际应用 考点03 1．（2026·云南红河·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 在“有一种叫云南的生活．旅居云南”系列新闻发布会之“旅居红河，村长有请”文旅推广活动中，红河州迎来旅游旺季．前来旅行的游客纷纷选购具有民族特色的文创产品，其中，建水紫陶印章书签与哈尼梯田稻穗挂饰颇受甲、乙、丙三位游客的青睐． 素材1 游客具体购买记录如下表所示： 建水紫陶印章书签/份 哈尼梯田稻穗挂饰/个 总价/元 甲 3 1 50 乙 1 2 50 素材2 丙游客计划购买这两种文创共10件，且建水紫陶印章书签的数量不超过哈尼梯田稻穗挂饰数量的3倍．  请完成下列任务： 请完成下列任务： (1)任务1：求建水紫陶印章书签和哈尼梯田稻穗挂饰的单价； (2)任务2：丙游客选择哪种购买方案，能使购买费用最少？ 【答案】(1)建水紫陶印章书签单价为10元/份，哈尼梯田稻穗挂饰单价为20元/个 (2)购买建水紫陶印章书签7份，哈尼梯田稻穗挂饰3个时，购买费用最少 【分析】（1）根据表格中甲、乙的购买总价信息，设建水紫陶印章书签单价为元/份，哈尼梯田稻穗挂饰单价为元/个，列二元一次方程组即可求解单价． （2）设购买建水紫陶印章书签份，总费用为元，则购买哈尼梯田稻穗挂饰个，先根据数量限制条件得到的取值范围，再列出总费用的一次函数表达式，利用一次函数的增减性即可得到费用最少的购买方案． 【详解】（1）解 ：设建水紫陶印章书签单价为元/份，哈尼梯田稻穗挂饰单价为元/个． 根据题意得， 解得， 答：建水紫陶印章书签单价为10元/份，哈尼梯田稻穗挂饰单价为20元/个． （2）解：设购买建水紫陶印章书签份，总费用为元，则购买哈尼梯田稻穗挂饰个， 其中为非负整数，且 ． 根据题意得 ， 解得 ， ∴的取值范围为 ，且为整数， 总费用 ， ∵， ∴随的增大而减小． ∴当取最大值7时，取得最小值， 此时． 答：购买建水紫陶印章书签7份，哈尼梯田稻穗挂饰3个时，购买费用最少． 2．（2026·云南昆明·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为响应“全民健身”号召，落实“双减”政策，某校计划采购智能计数跳绳和标准实心球两种体育器材，用于丰富学生课后体育锻炼与体能训练． 素材一 若购买2根智能计数跳绳和4个标准实心球共需240元；若购买3根智能计数跳绳和1个标准实心球共需110元． 素材二 学校需要购买这两种器材共30件（两种器材均需购买），且购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的． 请完成下列任务： (1)求每根智能计数跳绳和每个标准实心球的价格． (2)给出最节省费用的采购方案，并计算最低费用． 【答案】(1)每根智能计数跳绳的价格为20元，每个标准实心球的价格为50元 (2)最节省费用的采购方案为购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元 【分析】（1）设每根智能计数跳绳的价格为元，每个标准实心球的价格为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设学校购买智能计数跳绳根，则购买标准实心球个，购买总费用为元，求出，再结合题意列出一元一次不等式得出的取值范围，最后由一次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设每根智能计数跳绳的价格为元，每个标准实心球的价格为元． 根据题意得， 解方程组得， 答：每根智能计数跳绳的价格为20元，每个标准实心球的价格为50元； （2）解：设学校购买智能计数跳绳根，则购买标准实心球个，购买总费用为元． ， 购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的， ， ， 智能计数跳绳和标准实心球均需购买， ，且为正整数． ， 随的增大而减小． 当时，取最小值． 此时，． 即购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元． 答：最节省费用的采购方案为购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元 3．（2026·云南曲靖·一模）5G网络比4G网络的传输速度快10倍以上，因此人们对5G产品充满期待．华为集团计划2020年元月开始销售一款5G产品．根据市场营销部的规划，该产品的销售价格将随销售月份的变化而变化．若该产品第x个月（为正整数）销售价格为元/台，与满足如图所示的一次函数关系：且第个月的销售数量（万台）与的关系为． (1)求该产品第几个月的销售额最大？该月的销售价格是多少元/台？ (2)若每销售1万台该产品需要在销售额中扣除元推广费用，当时销售利润最大值为22500万元时，求的值． 【答案】(1)该产品第7个月的销售额最大，该月的销售价格是4000元/台； (2) 【分析】（1）求销售额z与x之间的函数关系式，利用二次函数的最大值问题求解； （2）分三种情况讨论假设6月份，7月份，8月份的最大销售为22500万元时，求相应的m值，再分别求出此时另外两月的总利润，通过比较作出判断． 【详解】（1）解：设，根据图象将，代入得， ， 解得， ， ∴， 设销售额为z元， ， ∵z与x成二次函数，，开口向下， ∴当时，z有最大值， 当时，元． 答：该产品第7个月的销售额最大，该月的销售价格是4000元/台； （2）解：设总利润为 ， 第一种情况：当时， ， 解得， ， 此时7月份的总利润为 ， 此时8月份的总利润为 ， ∴当时，6月份利润最大，且最大值为22500万元； 第二种情况：当时， ， 解得， ， 此时6月份的总利润为 ， ∴当不符合题意，此种情况不存在； 第三种情况：当时， ， 解得， ， 此时7月份的总利润为 ， ∴当不符合题意，此种情况不存在． ∴当时销售利润最大值为22500万元时，此时． 4．（2026·云南·一模）根据以下素材，探究完成任务1和任务2． 主题：方案选择与最低费用 6月5日是第54个“世界环境日”，某社区为提高垃圾分类意识，打造清洁优美社区，决定购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶． 素材1 已知购买2个甲型号的新型垃圾桶和购买3个乙型号的新型垃圾桶共420元． 素材2 已知购买3个甲型号的新型垃圾桶和购买5个乙型号的新型垃圾桶共680元． 素材3 据统计，该社区需购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶共100个，乙型号的新型垃圾桶的数量不少于甲型号的新型垃圾桶数量的一半． 问题解决 (1)任务1：求甲、乙两种型号的新型垃圾桶的单价． (2)任务2：如何设计购买方案更省钱？最低购买费用是多少元？ 【答案】(1)甲型号新型垃圾桶单价为60元，乙型号新型垃圾桶单价为100元 (2)购买甲型号66个，乙型号34个更省钱，最低购买费用为7360元 【分析】（1）利用二元一次方程组求解单价，根据两个购买总费用的条件列出方程组，解方程组即可得到结果； （2）利用一次函数性质解决方案最值问题，先根据乙数量的限制条件得到甲数量的取值范围，再列出总费用的一次函数解析式，根据一次函数的增减性得到最小值及对应方案． 【详解】（1）解：设甲型号新型垃圾桶单价为元，乙型号新型垃圾桶单价为元． 根据题意可得 解得 答：甲型号新型垃圾桶单价为60元，乙型号新型垃圾桶单价为100元． （2）解：设购买甲型号垃圾桶个，总购买费用为元，则购买乙型号垃圾桶个． 由题意得 解不等式得 因为是非负整数， 所以的最大取值为66． 总费用 因为， 所以随的增大而减小． 当时，最小， 此时，（元） 答：购买甲型号66个，乙型号34个更省钱，最低购买费用是7360元． 5．（2026·云南保山·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深入推进乡村振兴战略，助力乡村产业发展，某合作社推出云南特色苹果销售业务，主营甲、乙两个品种的苹果． 素材一 2箱甲种苹果和1箱乙种苹果的售价之和为280元； 素材二 3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为460元； 素材三 某公司计划从该合作社购买甲乙两种苹果共200箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果箱数的3倍． 请完成下列任务： (1)每箱甲种苹果，每箱乙种苹果的售价分别是多少元？ (2)给出该公司最节省费用的购买方案． 【答案】(1)每箱甲种苹果售价100元.每箱乙种苹果售价80元 (2)最节省费用的购买方案为购买甲种苹果50箱，乙种苹果150箱 【分析】（1）设每箱甲种苹果的售价是元，每箱乙种苹果的售价是元，根据题中的等量关系，列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，总费用为元，则购买乙种苹果箱，先根据题意，列出不等式，得，再根据题意得，最后根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每箱甲种苹果的售价是元，每箱乙种苹果的售价是元， 由题可列，， 解得， 则每箱甲种苹果售价100元.每箱乙种苹果售价80元； （2）解：设购买甲种苹果箱，总费用为元，则购买乙种苹果箱， ，解得， ， ，随的增大而增大， 当时，取得最小值，则， 该公司最节省费用的购买方案是购买甲种苹果50箱，乙种苹果150箱． 6．（2026·云南文山·一模）仔细阅读下表中的内容，据表中信息完成任务一和任务二． 背景 某学校计划购入A，B两款学习机，辅助日常教学，经过市场调研，了解到这两款学习机的相关信息如下： 信息一： ①购买3台A款学习机和4台B款学习机共需6200元； ②购买2台A款学习机和8台B款学习机共需8400元． ☆任务一 (1)求每台A款学习机，每台B款学习机的价格； 信息二 该校决定购买这两款学习机共50台，配备给部分班级作教学实验，两款都要购买，且购买B款学习机的数量不超过A款的1.5倍． ☆任务二 (2)请为该校提供最省钱的购买方案． 【答案】(1)每台A款学习机的价格是1000元,每台B款学习机的价格是800元 (2)购买20台A款学习机，30台B款学习机，最省钱 【分析】（1）根据购买两款学习机的两组总价条件，列二元一次方程组，求解两款的单价； （2）先设购买款的数量，用它表示款数量和总费用；再根据款数量不超过 款倍的约束条件，求费用函数的最小值，得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设每台款学习机的价格是元，每台B款学习机的价格是元． 由题意得，解得， ∴每台款学习机的价格是1000元，每台款学习机的价格是800元． （2）解：设购买台款学习机，台款学习机，总费用为元． 由题意可得：， 解得． 由题意得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，w取得最小值， 此时，，． ∴购买20台款学习机，30台款学习机，最省钱． 7．（2026·云南昆明·一模）【活动主题】 为什么天气闷热时，鱼塘里的鱼总是浮出水面？结合化学课上学习的“溶解度”相关知识，某班数学兴趣小组开展以“探究水体溶解氧含量与水温的关系”为题的跨学科实践活动． 【活动准备】 该数学兴趣小组分工查阅相关资料，整理得出以下信息：水面的溶解氧含量通常比水底高一些；当水底缺氧时，鱼就会游到水面，这里的水体溶解氧含量相对较高，这就是我们总能看到鱼把嘴伸出水面的原因、当水底的溶解氧含量下降时，不同鱼类因其耐受力差异会出现不同的反应；一般情况下，鱼类正常生长需要水体溶解氧含量在5毫克/升以上，此时水中氧气充足，有利于鱼类生长．在特定范围内，水体溶解氧含量（毫克/升）与水温（℃）呈现出一次函数的变化规律． 【活动探究】 该数学兴趣小组利用学校实验室中的传感器进行数字化实验，得到数据：当水温为时，水体溶解氧含量为9毫克/升；当水温为时，水体溶解氧含量为7毫克/升．实验要求检测的水温不低于，且不高于． 通过探究发现：当水温升高时，水体溶解氧含量就会降低，故天气闷热时，鱼塘水温上升，水体溶解氧含量降低，鱼在水底缺氧便会浮出水面． 【活动任务】 (1)任务1：请你根据数字化实验数据；求与之间的函数关系式； (2)任务2：请结合实验水温的限制要求，求水体溶解氧含量的最大值． 【答案】(1) (2)结合实验水温的限制要求，水体溶解氧含量最大值为10毫克/升 【分析】（1）设水体溶解氧含量与水温的一次函数关系式为，然后根据题意及待定系数法可进行求解； （2）由（1）可知，则有随的增大而减小，然后问题可进行求解． 【详解】（1）解：设水体溶解氧含量与水温的一次函数关系式为， ，解得， ； （2）解：， 随的增大而减小， ， 当时，． 答：结合实验水温的限制要求，水体溶解氧含量最大值为10毫克/升． 8．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买云南扎染布和民族木雕，用于举办文化展览，增强学生对云南民族艺术的了解，提升文化自信． 素材一 购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等； 素材二 购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元； 素材三 该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍． 请完成下列任务： 任务一 每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个扎染布80元，每个民族木雕60元； 任务二：当购买扎染布20个、民族木雕40个时，购买的总费用最低，最低总费用为4000元 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式，一次函数的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 任务一：每个扎染布x元，每个民族木雕y元，结合题意列二元一次方程组求解即可； 任务二：设购买扎染布个，则购买民族木雕个，结合题意，列不等式得到，设购买总费用为，结合一次函数图像的性质即可求解． 【详解】解：任务一：每个扎染布x元，每个民族木雕y元， ∴， 解得，， ∴每个扎染布80元，每个民族木雕60元； 任务二：设购买扎染布个，则购买民族木雕个， ∵购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍 ∴， 解得，， 设购买总费用为， ∴， ∵， ∴越小，的值越小， ∴当购买扎染布20个时，购买总费用的最低，此时，购买民族木雕个，总费用为元， ∴当购买扎染布20个、民族木雕40个时，购买的总费用最低，最低总费用为4000元． 9．（2026·云南·一模）宜良烤鸭，是云南省经典的地方传统名肴．起源于明朝，已有600多年的历史，它肥瘦相宜，皮酥脆，内香嫩，光亮油润，色泽红艳，清香离骨，地方风味显著．已知3袋鸭翅比2袋烤鸭贵50元，1袋鸭翅和2袋烤鸭刚好110元（1袋鸭翅为1kg，1袋烤鸭为一整只装）． (1)1袋鸭翅、1袋烤鸭分别是多少元？ (2)仪仪一家计划购买烤鸭和鸭翅共10袋，带回家与亲友共享，其中烤鸭至少比鸭翅多1袋，又不能超过鸭翅的4倍，仪仪想用自己剩余的380元零花钱来买单，请你帮仪仪计算一下她的零花钱够不够付账． 【答案】(1)1袋鸭翅为40元、1袋烤鸭为35元 (2)仪仪的零花钱够付账的 【分析】本题考查一次函数，二元一次方程组，一元一次不等式组的实际应用： （1）设1袋鸭翅为x元、1袋烤鸭为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设烤鸭购买m袋，花费w元，然后表示出，根据题意得到，求出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设1袋鸭翅为x元、1袋烤鸭为y元， 依据题意得，， 解得， 答：1袋鸭翅为40元、1袋烤鸭为35元． （2）设烤鸭购买m袋，花费w元， ， 由题意可知，， 解得， ∵m取整数， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w最大，（元）， ∵ ∴仪仪的零花钱够付账的． 10．（2026·云南红河·一模）根据以下素材，完成探究学习任务． 为村民小组设计总费用最少的购进方案 背景 东风知春意，万亩梨花开．3月下旬，个旧加级寨梨花迎来盛花期，“梨园春晓・万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏，某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售． 素材 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元． 解决问题： (1)任务1，确定单价：求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？ (2)任务2，拟定总费用最少的购进方案：若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)每瓶梨膏为30元，每瓶梨醋为20元 (2)购进梨膏175瓶，则购进梨醋125瓶，能使总费用最少，最少费用为7750元 【分析】（1）设购进的每瓶梨膏为元，每瓶梨醋为元．根据题意列方程得．解方程组求解即可； （2）设购进梨膏瓶，则购进梨醋瓶，购进总费用为元．由题意得，，整理得．根据函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：设购进的每瓶梨膏为元，每瓶梨醋为元． 根据题意列方程得． 解得． 答：购进的每瓶梨膏为30元，每瓶梨醋为20元． （2）解：设购进梨膏瓶，则购进梨醋瓶，购进总费用为元． 由题意得，解得． ，整理得． 随的增大而增大， 当时，有最小值． 此时． 答：购进梨膏175瓶，则购进梨醋125瓶，能使总费用最少，最少费用为7750元． 11．（2026·云南昭通·一模）某校为丰富社团活动，计划购买一批国画用品和书法用品．已知购买1套国画用品和2套书法用品共需400元；购买2套国画用品和1套书法用品共需350元． (1)求每套国画用品和每套书法用品的价格； (2)社团准备购买两种用品共30套，且国画用品套数不多于书法用品套数的2倍．请设计一种购买方案使总费用最低，并求出最低总费用． 【答案】(1)每套国画用品价格为100元，每套书法用品价格为150元 (2)购买国画用品20套，书法用品10套时，总费用最低，最低总费用为3500元 【分析】（1）设每套国画用品价格为a元，每套书法用品价格为b元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买国画用品x套，设总费用为y元，根据题意列不等式求出的取值范围，再得出关于的一次函数，利用一次函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：设每套国画用品价格为a元，每套书法用品价格为b元， 由题意得：， 解得． 答：每套国画用品价格为100元，每套书法用品价格为150元． （2）解：设购买国画用品x套，则购买书法用品套，设总费用为y元， 由题意得：， 解得． ， ， 随x的增大而减小， ∴当时，． 答：购买国画用品20套，书法用品10套时，总费用最低，最低总费用为3500元． 二次函数的图像和性质 考点04 1．（2026·云南楚雄·一模）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，对抛物线的顶点坐标的表达方式了熟于心是解本题的关键．根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是， 故选：． 2.（2026·云南曲靖·一模）已知：点在直线上，抛物线上两点，，点B在C的左侧，令，若，，则w的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，由条件，点A在直线上，得；点B、C在抛物线上，得方程，根为，且，则，根据判别式大于0和条件，求出的取值范围，进而得到的范围，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，点A在直线上， ∴，即， 点B、C在抛物线上， ∴，即， 设该方程的两根为，且，则， ∴， ∵方程有两不等实根， ∴，即， 又∵，即， 整理得：， ∴， 即， 解得：或， ∵， ∴，即， 综上：， ∴当时，； 当时，， ∴， 故选：B． 3．（2026·云南曲靖·一模）我们约定：若函数图象上的点的横坐标和纵坐标的倍均在函数图象上，则称函数为函数的“函数”． (1)若时，求函数的“函数”的解析式； (2)已知函数的“函数”为函数，在时，对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）理解“ 函数”的定义，设函数和上任意点的坐标和，利用和得到和的数量关系，即可得出函数的解析式； （2）二次函数开口向上，函数值不小于，则需要，其次，注意整理不等式得到． 【详解】（1）解：由题意可知，函数 的“ 函数”是，且， 不妨设函数上任意点的坐标为，函数上任意点的坐标为， 将点代入函数可得，， 由“ 函数”定义，可知，， 将式两端平方可得， 结合和可知， 将式代入式可得，，即， 函数上任意点，都满足， 函数 的“ 函数”的解析式为：； （2）解：由题意可知，函数的“ 函数”为函数， 不妨设函数上的任意一点为，则点在函数上， 将点坐标代入可得， 将代入可得，， 整理得，， 取任意数， 以为变量的方程恒成立的条件是所有系数等于， ， 解得， 在时，对任意实数，不等式 恒成立， 将代入得， ， 整理得， 将作为自变量得到函数， 又对于任意实数不等式都成立， ， 化简，得， 将作为函数自变量得到， 当，即时，， 不符合题意，舍去； 当时，函数为一次函数， 在时，恒成立， 当时，将代入函数，得到不等式组， ，解得． 当时，将代入函数，得到不等式组， ，不等式无解，舍去． 不等式 恒成立，的取值范围是． 4．（2026·云南昭通·一模）已知关于的二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点和都在该二次函数的图象上，且，比较与的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，可得，即可得二次函数的解析式； （2）由，可得，按照和进行分类讨论，求二次函数的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：，理由如下： ∵， ∴． ，， 当时，． ∴ ， ∴当时，取得最小值6， ∴． 当时，． ∴ ， ∴当时，取得最小值6， ∴． 综上所述，． 5．（2026·云南红河·一模）已知抛物线的对称轴是直线． (1)求的值； (2)抛物线过点，当自变量的取值范围是时，的最大值与最小值的差记为，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式进行求解即可； （2）由（1）可得，即，然后代入可得，进而可分当时，即，当时，当时，即，最后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：抛物线的解析式为， ∴把点代入得：，则有， ∴， ， ∴ ； ①当时，即，当时，y随x的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴（不符合题意，舍去）； ②当时，当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴， ∴（不符合题意，舍去）； ③当时，即，此时， 若，则时，此时， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 若，即，此时， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述：m的值为或． 6．（2026·云南昆明·一模）已知关于的二次函数（为常数）． (1)当时，求二次函数图象的对称轴； (2)当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】（）利用二次函数对称轴公式，代入即可解答； （）先确定抛物线的对称轴，再根据对称轴与 区间的位置关系分四类讨论：对称轴在区间左侧、右侧、区间内靠近左端点、区间内靠近右端点，分别求出对应区间的最值并代入列方程，舍去不符合前提条件的解后，最终得到符合条件的值为或． 【详解】（1）解：∵二次函数（为常数）， ∴根据二次函数图象的对称轴为直线， 当时，对称轴为直线， 故二次函数图象的对称轴为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， ①若对称轴在区间左侧时，如图，则，即， 此时，当时，有最小值为， 当时， 有最大值为， ， ， 即， （舍去）； ②若对称轴在区间右侧时，如图，则，即， 此时，当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ， ， 即， （舍去）； ③若对称轴在区间内且靠近区间左端点时，如图， 则，即， 此时，当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ，， 即，（舍去），（符合）； ④若对称轴在区间内且靠近区间右端点时，如图， 则，即． 此时，当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ，，即， 解得，（舍去），（符合）； 综上所述，的值为或． 8．（2026·云南·一模）已知函数（为常数）． (1)若，求的值； (2)当时，函数的最大值与最小值的差为9是否恒成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)恒成立，见解析 【分析】（1）将已知的代入函数解析式．解一元一次方程即可求出k的值． （2）先将二次函数配方得到顶点式．根据开口方向和给定的x取值范围．分别求出函数的最大值和最小值．计算二者的差即可判断结论是否成立． 【详解】（1）解：把代入，得： ， 解得：． （2）解：对函数配方得， ∵ 二次项系数为， ∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ∴ 当 时，y取得最大值，最大值为， 当时．； 当时，， ， ∴的最小值为 ， ∴ 最大值与最小值的差为， ∴当时，函数的最大值与最小值的差为9恒成立． 9．（2026·云南·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线． (1)若抛物线经过点，求该抛物线的解析式； (2)若抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为，，满足，当时，的最大值是，最小值是，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用二次函数对称轴公式，结合已知对称轴，得，简化抛物线解析式，将已知点代入简化后的解析式，求解得到的值，即可确定抛物线解析式； （2）先将抛物线解析式配方为顶点式，结合抛物线与轴交点的横坐标关系，利用一元二次方程根与系数的关系和由完全平方公式推导的两根差计算式求解，确定抛物线解析式，明确其开口方向、对称轴和顶点坐标，根据的取值范围与对称轴的位置关系，分“取值范围全在对称轴左侧、取值范围包含对称轴、取值范围全在对称轴右侧”3种情况讨论，结合抛物线的开口方向与函数性质，确定每种情况下的最大值、最小值的对应取点，代入列方程求解，验证求解结果是否符合对应情况的取值范围，舍去无效解，最终得到符合条件的值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，抛物线对称轴公式为， ​∴，即， ∴抛物线解析式可化为， ∵抛物线经过点， ∴将，代入解析式，得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由题意得抛物线对称轴为，解得，抛物线解析式为， ∵抛物线与轴的两个交点的横坐标为，， ∴，是一元二次方程的两个实数根， ∴，​， ∵，且， ​​∴， 解得（经检验符合）， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，函数最小值为， 已知，结合对称轴位置，分3种情况讨论： 情况1：的整个取值范围完全在对称轴左侧，则，即， ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 当，取得最小值， ∵， ∴， 解得， 符合的范围； 情况2：的取值范围包含对称轴，则，即， ∵抛物线开口向上， ∴当时，取得最小值，最大值在离对称轴更远的端点处取得： ①当时，左端点离对称轴更远，最大值， ∵， ∴， 解得， 两个结果均不在范围内，故舍去； ②当时，右端点离对称轴更远，最大值， ∵， ∴， 解得， 两个结果均不在范围内，故舍去； 情况3：的整个取值范围完全在对称轴右侧，则， ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 当时，取得最小值， ∵， ∴， 解得， 符合的范围； 综上，的值为或． 10．（2026·云南大理·一模）已知抛物线的对称轴是直线，且图象经过点．设该抛物线与轴交点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)记：，比较与的大小． 【答案】(1)； (2)当时，；当时，． 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、整式的乘法运算，解决本题的关键是根据整式的乘法法则进行整理，得到． 根据抛物线的对称轴是，可以求出，根据图象经过点，可以求出，从而可知抛物线的解析式为； 根据抛物线与轴交点的横坐标为，可得，，从而可得：，又因为抛物线与轴交点的横坐标为，可得方程，解方程可得：或，根据所求结果比较较与的大小即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ， ． 求抛物线的图象经过点， ， 抛物线的函数解析式为； （2）解：抛物线与轴交点的横坐标为， ， 即， ， 把代入， 可得：， ， 把代入， 可得：． ， ， 两边同时平方可得：， ， ， ． ， 或， ①当时，； ②当时，． 二次函数与一元二次方程的关系 考点05 1．（2026·云南昆明·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴的交点在原点上方，且到原点的距离为5． (1)求此抛物线的解析式； (2)记抛物线与轴交点的横坐标为，求的值． 【答案】(1) (2)329 【分析】（1）根据题意可得，即可解答； （2）根据题意可得是方程的根，即，令，则，代入可得，整理得：，则，根据完全平方公式变形可得，再求解即可； 【详解】（1）解：抛物线（为常数）与轴的交点在原点上方，且到原点的距离为5， ， 此抛物线的解析式为． （2）解：抛物线与轴交点的横坐标为， 是方程的根，即， 法一：令，则， 代入可得， 整理得：，则， ， ． （注：其他方法参考此标准给分） 法二：令，则，代入可得， 整理得：，可得：， 两边平方得：，即， 两边平方得：，即， 两边平方得：，即， ． 法三：（换元，硬降一次）令，则， 代入可得， 整理得：， 可得：， ． 法四：（不使用换元法，硬降一次） 由，可得， 则， ， ， ， ． 2．（2026·云南红河·一模）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)若抛物线与轴交点的横坐标为，记、．以下结论：中只有一个正确，请判断正确的结论是哪一个并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）把点的坐标直接代入解析式即可得到答案； （2）先令，得，即．令，则，求出,解方程得或，得或，然后作差比较即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ． （2）解：正确的结论是．理由如下： 由题意得，即． 令，则，代入中得， ． ． ． ； ， 或 或． 当时，， ∴； 同理可得，当时，． 综上所述：． 3．（2026·云南楚雄·一模）已知抛物线经过点，设k是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，，． (1)求a的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入抛物线解析式可求出； （2）根据k是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，可以得到，然后即可得到，然后化简，，最后计算． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． （2）解：由（1）知， ∴抛物线的解析式是， ∵k是抛物线与x轴的交点的横坐标， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 二次函数的综合问题 考点06 1．（2026·云南·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点在抛物线上，，且与均为整数，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将点代入中，得出，由，且与均为整数，求出m的值进而即可求点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点 ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：点在抛物线上， 满足，即，则， ，且与均为整数， ， 或， 或， 时，；时，， 综上，点A的坐标为或． 2．（2026·云南大理·一模）已知抛物线经过点，设、是常数． (1)求的值（用含的式子表示）； (2)点和点是抛物线上的任意两点，且满足，记．若的值为整数，求的所有整数值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】本题主要考查二次函数的性质及代数式的化简与求值． （１）将已知点的坐标代入二次函数解析式中，即可用含的式子表示； （２）先根据关于的表达式求出二次函数解析式，再将和分别代入解析式，结合化简的表达式，最后根据为整数且求出的所有整数值． 【详解】（1）解：抛物线经过点 ； （2）且 ， 点和点是抛物线上的任意两点 ， 　 　 　 　 　 的值为整数 ， 或2． 反比例函数概念 考点07 1．（2026·云南昭通·一模）已知点在反比例函数（k为常数且）的图象上，则下列不在该函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的值，再根据反比例函数的性质，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，计算各选项点的横纵坐标乘积，即可判断出结果． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴把代入得， 即该反比例函数图象上的点满足， 依次验证各选项： A、，满足条件，点在图象上； B、，不满足条件，点不在图象上； C、，满足条件，点在图象上； D、，满足条件，点在图象上． 2．（2026·云南昆明·一模）反比例函数的图象经过点（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，只需将各选项点的坐标代入解析式，验证等式是否成立即可得到答案； 【详解】解：∵ 若点在反比例函数的图象上，则需满足， 对选项A：，A错误； 对选项B：，满足函数解析式，B正确； 对选项C：，C错误； 对选项D：，D错误． 3．（2026·云南文山·一模）下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征解题，若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，验证各选项的横纵坐标乘积是否符合要求即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴等式变形可得 ，即反比例函数图象上任意点的横纵坐标乘积为， A、，点不在图象上，故此选项不符合题意； B、，点不在图象上，故此选项不符合题意； C、，满足条件，点在图象上，故此选项符合题意； D、，点不在图象上，故此选项不符合题意． 4．（2026·云南红河·一模）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，只需将各选项点的横坐标代入解析式，求出对应纵坐标，和选项中给出的纵坐标对比即可判断点是否在函数图象上． 【详解】解：∵反比例函数解析式为 当时，，∴点不在函数图象上，A不符合要求； 当时，，∴点不在函数图象上，B不符合要求； 当时，，和选项纵坐标一致，∴点在函数图象上，C符合要求； 当时，，∴点不在函数图象上，D不符合要求． 5．（2026·云南昆明·一模）若点在反比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：将点代入函数得：． 6．（2026·云南楚雄·一模）双曲线经过点，则的值为（    ） A． B．10 C． D．5 【答案】C 【分析】将代入双曲线求解即可． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， 解得． 反比例函数图像 考点08 1．（2026·云南昆明·一模）函数的图象经过（1，-1），则函数的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数的图象经过（1，﹣1）求出k的值，然后求出函数的解析式，即可求解． 【详解】∵图象经过（1，﹣1）， ∴k=xy=﹣1， ∴函数解析式为， ∴函数图象经过第二，四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数的解析式和图像，解题的关键是熟练掌握反比例函数解析式和图象的性质． 反比例函数K值意义 考点09 1．（2026·云南保山·一模）反比例函数的图象分别位于() A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【详解】解：∵中，， ∴该反比例函数的图象位于第一、三象限． 2．（2026·云南·一模）反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 3．（2026·云南临沧·一模）反比例函数的图象经过点，则k的值为（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】将代入，即可得的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴． 4．（2026·云南玉溪·一模）如果反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知点的坐标求出系数k即可得到结果． 【详解】解：设这个反比例函数的解析式为， ∵函数图象经过点， ∴将代入解析式得， ∴这个反比例函数的解析式为． 5．（2026·云南·一模）若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】将代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴， 解得 ． 6．（2026·云南大理·一模）如图，点A在图象上，轴于点B，且的面积为4，则k的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为，体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 根据题意可得，即得或，再根据图象分布的象限即可求解． 【详解】解：∵轴于点，的面积为， ∴， ∴或， ∵反比例函数的图象分布在一、三象限， ∴， ∴， 故选：C． 7．（2026·云南红河·一模）如图，反比例函数的图象过点，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法，将点的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出的值． 【详解】解：由图象可知，点的坐标为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数 ☆大考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02函数基础知识 考点03一次函数实际应用 考点04二次函数的图像和性质 考点05二次函数与一元二次方的关系 考点06二次函数的综合问题 考点07反比例函数的概念 考点08反比例函数的图像 考点09反比例函数的K值意义 考点01 平面直角坐标系 1.(2026云南曲靖一模)恺撒密码是世界上最古老的加密技术之一，采用位移加密方法： 明文中的所有字母都按照一个固定数值在字母表上向后（或向前）进行移位后形成密文，例 如，向前移动3位（密钥k=3)的恺撒密码，如图1所示：为方便使用恺撒密码进行加密 和解密，可以使用密码盘如图2所示。 明文A B C D EF GH…YZ 明文（外圈） 人---- _YZABCD 加密. F 密文D E FGH!IJK …BC U G G T 解密 cosn R A B C D E F GH…YZ ONML K 密文（内圈） 图1 图2 “猜猜我是谁”：我的身份对应的明文是 信息一：我的身份经过了双重加密，密文为“dykqrahw”,左起奇数位密钥为a,偶数位密 钥为b. 信息二：密钥隐于坐标：已知点P(α，b)位于第一象限，到x轴距离为3，到y轴的距离为5， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点02 函数基础知识 2026云南一)函数y的自变量的取值范围为 A.x≠4 B.x≠3 C.x≠2 D.x≠1 2.(2026云南一模)函数y=r-2 的自变量x的取值范围是() x-3 A.x22 B.x>3 C.x22且x≠3 D.x>2且x≠3 3.(2026云南一模)在函数y=√a-1中，自变量a的取值范围是() A.a21 B.a≤1 C.a>1 D.a<1 4.(2026云南昆明一模)函数)=本5的自变量的取值范围是（) A.x>-5 B.x≠-5且x≠0 C.x≠0 D.x≠-5 5.（2026云南保山一模)函数y=√x-1的自变量x的取值范围是 6.(2026云南临沧一模)如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确 定的点，简称定点.比如点1,3)就是一个定点，对于一次函数y=x+3(k是常数，k≠0)， 当x=0时，无论k为何值，y一定等于3，我们就说直线y=c+3一定经过定点(0,3).已 知函数y=mx2-6x+1（m是常数，m≠0). (1)求证：无论m为何值，函数y=mx2-6x+1的图象都经过y轴上的一个定点. 2若函数y=mr2-6r+1的图象与X轴只有一个公共点，0)，试比较广+9r,6矿与的大 r3-1 9 小. 考点03 次函数实际应用 1.(2026云南红河 模)请你根据下列素材，完成有关任务 在“有一种叫云南的生活.旅居云南”系列新闻发布会之“旅居红河，村长有请” 文旅推广活动中，红河州迎来旅游旺季，前来旅行的游客纷纷选购具有民族特 背景 色的文创产品，其中，建水紫陶印章书签与哈尼梯田稻穗挂饰颇受甲、乙、丙 三位游客的青睐 2/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 游客具体购买记录如下表所示： 建水紫陶印章书签/份 哈尼梯田稻穗挂饰/个 总价元 素材1 甲 50 乙 2 50 丙游客计划购买这两种文创共10件，且建水紫陶印章书签的数量不超过哈尼 素材2 梯田稻穗挂饰数量的3倍.请完成下列任务： 请完成下列任务： (1)任务1：求建水紫陶印章书签和哈尼梯田稻穗挂饰的单价； (2)任务2：丙游客选择哪种购买方案，能使购买费用最少？ 2.(2026云南昆明一模)请你根据下列素材，完成有关任务 为响应“全民健身”号召，落实“双减”政策，某校计划采购智能计数跳绳和标准实心球 背景 两种体育器材，用于丰富学生课后体育锻炼与体能训练。 素材 若购买2根智能计数跳绳和4个标准实心球共需240元；若购买3根智能计数跳绳 一 和1个标准实心球共需110元. 素材 学校需要购买这两种器材共30件（两种器材均需购买），且购买智能计数跳绳的数 二 量不超过购买标准实心球数量的？ 请完成下列任务： ()求每根智能计数跳绳和每个标准实心球的价格. (2)给出最节省费用的采购方案，并计算最低费用。 3.(2026云南曲靖一模)5G网络比4G网络的传输速度快10倍以上，因此人们对5G产 品充满期待.华为集团计划2020年元月开始销售一款5G产品.根据市场营销部的规划， 该产品的销售价格将随销售月份的变化而变化.若该产品第x个月(x为正整数)销售价格 为y元/台，y与x满足如图所示的一次函数关系：且第x个月的销售数量P(万台)与x的 关系为p=x+1. 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y/元 6500. 5500 024 x/月 (1)求该产品第几个月的销售额最大？该月的销售价格是多少元/台？ (2)若每销售1万台该产品需要在销售额中扣除m元推广费用，当6≤x≤8时销售利润最大值 为22500万元时，求m的值. 4.(2026云南一模)根据以下素材，探究完成任务1和任务2. 主题：方案选择与最低费用 6月5日是第54个“世界环境日”，某社区为提高垃圾分类意识，打造清洁优美社区，决定 购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶. 素 己知购买2个甲型号的新型垃圾桶和购买3个乙型号的新型垃圾桶共420元. 材1 素 己知购买3个甲型号的新型垃圾桶和购买5个乙型号的新型垃圾桶共680元. 材2 素 据统计，该社区需购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶共100个，乙型号的新型垃圾 材3 桶的数量不少于甲型号的新型垃圾桶数量的一半。 问题解决 (1)任务1：求甲、乙两种型号的新型垃圾桶的单价 (2)任务2：如何设计购买方案更省钱？最低购买费用是多少元？ 5.(2026云南保山一模)请你根据下列素材，完成有关任务 为深入推进乡村振兴战略，助力乡村产业发展，某合作社推出云南特色苹果销售业 背景 务，主营甲、乙两个品种的苹果 素材 2箱甲种苹果和1箱乙种苹果的售价之和为280元： 素材 3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为460元； 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 素材 某公司计划从该合作社购买甲乙两种苹果共200箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种 三 苹果箱数的3倍. 请完成下列任务： (1)每箱甲种苹果，每箱乙种苹果的售价分别是多少元？ (2)给出该公司最节省费用的购买方案， 6.(2026云南文山一模)仔细阅读下表中的内容，据表中信息完成任务一和任务二. 背 某学校计划购入A,B两款学习机，辅助日常教学，经过市场调研，了解到这两款学 景 习机的相关信息如下： 信息一： ①购买3台A款学习机和4台B款学习机共需6200元； ②购买2台A款学习机和8台B款学习机共需8400元. 0任务一 (1)求每台A款学习机，每台B款学习机的价格； 信息二 该校决定购买这两款学习机共50台，配备给部分班级作教学实验，两款都要购买，且购买 B款学习机的数量不超过A款的1.5倍. 0任务二 (2)请为该校提供最省钱的购买方案。 7.(2026云南昆明一模)【活动主题】 为什么天气闷热时，鱼塘里的鱼总是浮出水面？结合化学课上学习的“溶解度”相关知识，某 班数学兴趣小组开展以“探究水体溶解氧含量与水温的关系”为题的跨学科实践活动. 【活动准备】 该数学兴趣小组分工查阅相关资料，整理得出以下信息：水面的溶解氧含量通常比水底高一 些；当水底缺氧时，鱼就会游到水面，这里的水体溶解氧含量相对较高，这就是我们总能看 到鱼把嘴伸出水面的原因、当水底的溶解氧含量下降时，不同鱼类因其耐受力差异会出现不 同的反应：一般情况下，鱼类正常生长需要水体溶解氧含量在5毫克/升以上，此时水中氧 气充足，有利于鱼类生长.在特定范围内，水体溶解氧含量y(毫克/升)与水温x(℃) 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 呈现出一次函数的变化规律. 【活动探究】 该数学兴趣小组利用学校实验室中的传感器进行数字化实验，得到数据：当水温为10℃时， 水体溶解氧含量为9毫克/升；当水温为20℃时，水体溶解氧含量为7毫克/升.实验要求检 测的水温不低于5℃，且不高于30℃. 通过探究发现：当水温升高时，水体溶解氧含量就会降低，故天气闷热时，鱼塘水温上升， 水体溶解氧含量降低，鱼在水底缺氧便会浮出水面. 【活动任务】 (I)任务1：请你根据数字化实验数据：求y与x之间的函数关系式： (2)任务2：请结合实验水温的限制要求，求水体溶解氧含量的最大值。 8.(2026云南模拟预测)请你根据下列素材，完成有关任务 某校计划购买云南扎染布和民族木雕，用于举办文化展览，增强学生 背景 对云南民族艺术的了解，提升文化自信 素材 购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等： 素材二 购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元： 该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购 素材三 买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍. 请完成下列任务： 任务一 每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案 9.(2026云南一模)宜良烤鸭，是云南省经典的地方传统名肴.起源于明朝，已有600多 年的历史，它肥瘦相宜，皮酥脆，内香嫩，光亮油润，色泽红艳，清香离骨，地方风味显著。 己知3袋鸭翅比2袋烤鸭贵50元，1袋鸭翅和2袋烤鸭刚好110元(1袋鸭翅为1kg,1袋 烤鸭为一整只装) (1)1袋鸭翅、1袋烤鸭分别是多少元？ (2)仪仪一家计划购买烤鸭和鸭翅共10袋，带回家与亲友共享，其中烤鸭至少比鸭翅多1袋， 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又不能超过鸭翅的4倍，仪仪想用自己剩余的380元零花钱来买单，请你帮仪仪计算一下她 的零花钱够不够付账. 10.(2026云南红河一模)根据以下素材，完成探究学习任务. 为村民小组设计总费用最少的购进方案 东风知春意，万亩梨花开.3月下旬，个旧加级寨梨花迎来盛花期，“梨园春晓·万亩 背 梨花赏花季”群众活动如火如茶地开展，吸引了众多游客前来观赏，某村民小组计划购 景 进梨膏和梨醋进行销售， 素 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元. 材 解决问题： (1)任务1，确定单价：求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？ (2)任务2，拟定总费用最少的购进方案：若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨 膏的数量至少比梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最 少？并求出最少费用 11.(2026云南昭通一模)某校为丰富社团活动，计划购买一批国画用品和书法用品.已 知购买1套国画用品和2套书法用品共需400元；购买2套国画用品和1套书法用品共需 350元. (1)求每套国画用品和每套书法用品的价格： (2)社团准备购买两种用品共30套，且国画用品套数不多于书法用品套数的2倍。请设计一 种购买方案使总费用最低，并求出最低总费用 考点04 二次函数的图像和性质 1.(2026云南楚雄一模)抛物线y=(x-2)2-1的顶点坐标是（) A.-2,1 B.(-2,-1 C.(2,1 D.(2,-1 2.(2026云南曲靖一模)已知：点Ax,y)在直线y=-x-6上，抛物线y=-x2+4x上两点 B(x2,y2),Cx3丛)，点B在C的左侧，令w=x+x+3,若片==，x<x2<x,则 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 w的取值范围是() A.-9<w<-2B.-6<w<3 C.-6<w<10 D.-2<w<10 3,(2026云南曲靖一模)我们约定：若函数y图象上的点的横坐标和纵坐标的k倍均在函 数图象上，则称函数y为函数乃的“k函数” (1)若k=2时，求函数y=x2的“k函数”y2的解析式： (2已知函数y=x-的k函数为函数为=x-4,在4≤x≤5时，对任意实数9，不 等式(x-k)≥-g2-(s-2q)x+5恒成立，求实数s的取值范围 4.（2026云南昭通一模)已知关于x的二次函数y=ax2-2ax+3的图象过点A1,2). (1)求二次函数的解析式： (2)若点P(m,M）和Q(n,N)都在该二次函数的图象上，且m-n=2,比较M+N与6的大小 关系。 5.（2026云南红河一模)已知抛物线y=ax2-4xa≠0)的对称轴是直线x=2. (1)求a的值； (2)抛物线过点(n,-2),当自变量x的取值范围是m≤x≤m+4时，y的最大值与最小值的差 记为T,且T=n4-8n3+20n2-16n+12,求m的值. 6.(2026云南昆明一模)已知关于x的二次函数y=x2+kx-3(k为常数). (1)当k=2时，求二次函数图象的对称轴： (2)当k≤x≤k+3时，二次函数的最大值为m,最小值为n,若m-n=6,，求k的值. k+ ①若对称轴在区间左侧时，如图1，则(<k,即k>0, 图1 此时，当x=k时，y有最小值为n=2k2-3, 当x=k+3时， y有最大值为m=(k+3)2+k(k+3)-3=2k2+9k+6, 2/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,m-n=6, ∴.2k2+9k+6-(2k2-3=6, 即9k+9=6, 1 k=- (舍去)； 3 ②若对称轴在区间右侧时，如图2，则->k+3,即k<-2, 2 此时，当x=k时，y有最大值为m=22-3, k+3\ 图2 当x=k+3时，y有最小值为n=2k2+9k+6, :m-n=6, ∴(2k2-3-（2k2+9k+6=6, 即-3-9k-6=6, =-号（含去 ③若对称轴在区间内且靠近区间左端点时，如图3， - X) kk+k+3 k+3 则 22 ,即-1<k≤0， ks、 2 图3 此时，当x=k+3时，y有最大值为m=2k2+9k+6, 当时，y有最小值为-（-3 a-6,2+9g+61(--6 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即3+12k+4=0,k=-6-26(舍去，k=6+26(符合 3 ④若对称轴在区间内且靠近区间右端点时，如图4， k、k+k+3 > 则 2 2 即-2≤k≤-1. ≤k+3 k+3 2 图4 此时，当x=k时，y有最大值为m=2k2-3, 当x=今时，y有最小值为n=2-3, 4 6,2--小-6,36 4 解得k=±2V6 ,:k-26(舍去，k=-26(符合)， 3 3 :综上所述，k的值为-6+26或-26 3 3 8.(2026云南一模)已知函数y=-x2+2x+k（k为常数). (1)若x=3,y=-4,求k的值； (2)当-1≤x≤4时，函数y的最大值与最小值的差为9是否恒成立？请说明理由， 9.(2026云南一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2+nx+m-4m>0)的对称轴是 直线x=1. (1)若抛物线经过点(2，-3)，求该抛物线的解析式： (2)若抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x,七，满足x-x,=2√2，当1≤x≤1+2时， y的最大值是p,最小值是9，且p-9=12,求t的值 0.(2026云南大理一模)已知抛物线y=x+bx+c的对称轴是直线x三-)，且图象经动 点(0，-1).设该抛物线与x轴交点的横坐标为t, (1)求抛物线的函数解析式： @:T7”2比较7与5的大小 8-13 2 2/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点05 二次函数与一元二次方程的关系 1.(2026云南昆明一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+m(m为常数)与y轴 的交点在原点上方，且到原点的距离为5. (1)求此抛物线的解析式： (2)记抛物线y=产+mx+m与x轴交点的横坐标为，求(n+3+48 (n+3)的值. 2.(2026云南红河一模)己知抛物线y=-x2+3x+C经过点(0，-1). (1)求c的值： (②若抛物线y=一r+3+c与轴交点的横坐标为，记P-- 1-、0-.以 1 3 下结论：P>Q、P=Q、P<Q中只有一个正确，请判断正确的结论是哪一个并说明理由 3.（2026云南楚雄一模)已知抛物线y=x2+ax+1经过点(-1,5)，设k是抛物线 y=r2+x+1与x轴的一个交点的横坐标，M--7+11+k,N=,3张- k4+5k2+1 -k4-5k2+1' (I)求a的值： (2)求M-N的值. 考点06 二次函数的综合问题 1.(2026云南一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-1)2+4经过点(-1,8). (1)求抛物线的解析式； (2)已知点A(m,m川在抛物线上，K=n-8n+1 (m≠1，且m与K均为整数，求点A的坐标. m-1 2.(2026云南大理一模)已知抛物线y=ax2+bx+2(a>0)经过点(1,0)，设a、b是常数. (1)求b的值（用含a的式子表示）： (2)点M(x,乃)和点N(x2,y2x≠x2)是抛物线y=ax2+bx+2上的任意两点，且满足 5+=2,记T=以-1-.若T的值为整数，求a的所有整数值 y+y2 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点07 反比例函数概念 1.(2026云南昭通一模)已知点1,3在反比例函数y= (k为常数且k≠0)的图象上， 则下列不在该函数图象上的点是() A.(3,1 B.(1,-3 C.(-1,-3) D.(-3,-1 2.(2026云南昆明一模)反比例函数y=-8的图象经过点（) A.（-4,4) B.(2,-4 C.-1,-8) D.(1,8 3.〈2026云南文山一模)下列各点，在反比例函数y=2的图象上的是《) A.(3,4 B.（-2,-6 C.-3,4 D.（-6,-6) 4.(2026云南红河一模)反比例函数y-10的图象一定经过的点是（) A.(1,-10) B.（-2,5) C.(2,5 D.（2,8 5.(2026云南昆明一模)若点A3,m在反比例函数y=6的图象上，则m=() A.-6 B.-3 C.-2 D.2 6.(2026云南楚雄一模)双曲线y=-10 经过点A2,a,则a的值为() A.-10 B.10 C.-5 D.5 考点08 反比例函数图像 1.(2026云南昆明一模)函数y-k的图象经过(1,1)，则函数y一的图象是（) 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 考点09 反比例函数K值意义 1.（2026云南保山一 模)反比例函数y=4的图象分别位于0 Y A.第一、三象限B.第一、二象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 2.(2026云南一模)反比例函数y=2026的图象分别位于（） A.第一、三象限B.第二、四象限 C.第二、三象限 D.第三、四象限 3.(2026云南临沧一模)反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(-2,4)，则k的值为() A.2 B.-2 C.8 D.-8 4.(2026云南玉溪一模)如果反比例函数的图象经过点(4，-2)，则这个函数的解析式为() A.y=8x B.y=-8x C.y=-8 8 D.y=° 5.(2026云南一模)若点(2,3)在反比例函数y=二 (k为常数，且k≠0)的图象上，则K 的值为() A.5 B.6 C.7 D.8 k 6.(2026云南大理一模)如图，点A在y=二（化>0）图象上，AB1x轴于点B,且△AB0的 面积为4，则k的值为() A.2 B.4 C.8 D.12 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(2026云南红河一模)如图，反比例函数y=(k≠0)的图象过点M,则k的值为 2/23