专题02 方程与不等式5大考点（云南专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题02 方程与不等式 5大考点概览 考点01 一元一次方程 考点02 二元一次方程 考点03 一元二次方程实际问题 考点04 分式方程实际问题 考点05 不等式和不等式组 一元一次方程 考点01 1．（2026·云南曲靖·一模）图1是2026年1月份的日历，用图2所示的“九宫格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为．当图2在图1的不同位置时，代数式为定值，则m的值为（   ） A． B．5 C． D．8 2．（2026·云南曲靖·一模）观察下列等式：已知：＝（a﹣b）（a+b）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）……小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“”的值，这个值为（    ） A． B． C． D． 二元一次方程 考点02 1．（2026·云南红河·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 在“有一种叫云南的生活．旅居云南”系列新闻发布会之“旅居红河，村长有请”文旅推广活动中，红河州迎来旅游旺季．前来旅行的游客纷纷选购具有民族特色的文创产品，其中，建水紫陶印章书签与哈尼梯田稻穗挂饰颇受甲、乙、丙三位游客的青睐． 素材1 游客具体购买记录如下表所示： 建水紫陶印章书签/份 哈尼梯田稻穗挂饰/个 总价/元 甲 3 1 50 乙 1 2 50 素材2 丙游客计划购买这两种文创共10件，且建水紫陶印章书签的数量不超过哈尼梯田稻穗挂饰数量的3倍．  请完成下列任务： 请完成下列任务： (1)任务1：求建水紫陶印章书签和哈尼梯田稻穗挂饰的单价； (2)任务2：丙游客选择哪种购买方案，能使购买费用最少？ 2．（2026·云南昆明·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为响应“全民健身”号召，落实“双减”政策，某校计划采购智能计数跳绳和标准实心球两种体育器材，用于丰富学生课后体育锻炼与体能训练． 素材一 若购买2根智能计数跳绳和4个标准实心球共需240元；若购买3根智能计数跳绳和1个标准实心球共需110元． 素材二 学校需要购买这两种器材共30件（两种器材均需购买），且购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的． 请完成下列任务： (1)求每根智能计数跳绳和每个标准实心球的价格． (2)给出最节省费用的采购方案，并计算最低费用． 3．（2026·云南·一模）根据以下素材，探究完成任务1和任务2． 主题：方案选择与最低费用 6月5日是第54个“世界环境日”，某社区为提高垃圾分类意识，打造清洁优美社区，决定购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶． 素材1 已知购买2个甲型号的新型垃圾桶和购买3个乙型号的新型垃圾桶共420元． 素材2 已知购买3个甲型号的新型垃圾桶和购买5个乙型号的新型垃圾桶共680元． 素材3 据统计，该社区需购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶共100个，乙型号的新型垃圾桶的数量不少于甲型号的新型垃圾桶数量的一半． 问题解决 (1)任务1：求甲、乙两种型号的新型垃圾桶的单价． (2)任务2：如何设计购买方案更省钱？最低购买费用是多少元？ 4．（2026·云南·一模）请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： (1)求A，B两种品牌笔袋的每个进价； (2)该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 5（2026·云南保山·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深入推进乡村振兴战略，助力乡村产业发展，某合作社推出云南特色苹果销售业务，主营甲、乙两个品种的苹果． 素材一 2箱甲种苹果和1箱乙种苹果的售价之和为280元； 素材二 3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为460元； 素材三 某公司计划从该合作社购买甲乙两种苹果共200箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果箱数的3倍． 请完成下列任务： (1)每箱甲种苹果，每箱乙种苹果的售价分别是多少元？ (2)给出该公司最节省费用的购买方案． 6．（2026·云南文山·一模）仔细阅读下表中的内容，据表中信息完成任务一和任务二． 背景 某学校计划购入A，B两款学习机，辅助日常教学，经过市场调研，了解到这两款学习机的相关信息如下： 信息一： ①购买3台A款学习机和4台B款学习机共需6200元； ②购买2台A款学习机和8台B款学习机共需8400元． ☆任务一 (1)求每台A款学习机，每台B款学习机的价格； 信息二 该校决定购买这两款学习机共50台，配备给部分班级作教学实验，两款都要购买，且购买B款学习机的数量不超过A款的1.5倍． ☆任务二 (2)请为该校提供最省钱的购买方案． 7．（2026·云南大理·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 大理白族扎染技艺流传千年，是第一批国家级非物质文化遗产，被誉为“针尖上的青花瓷”．某校文化节期间，舞蹈社团计划购买扎染服饰若干套用于表演，以彰显白族扎染非遗魅力，增强学生对大理民族文化的了解，提升文化自信． 素材一 经市场调查发现，每套女款扎染服饰比每套男款扎染服饰贵20元． 素材二 购买3套女款扎染服饰和5套男款扎染服饰共需540元； 素材三 该社团计划购买女款和男款服饰共30套，男女款均需购买，且购买男款的数量不超过购买女款数量的． 请完成下列任务： (1)任务一：计算每套女款和每套男款扎染服饰的价格分别是多少元？ (2)任务二：请给出最节省费用的购买方案． 8．（2026·云南玉溪·一模）请你根据以下素材，完成有关任务． 背景 为助力乡村振兴，推广云南特色农产品，某特产店推出云南小粒咖啡礼盒与云南野生菌干货礼盒两款产品． 素材1 购买2盒云南小粒咖啡和3盒野生菌干货共花费145元；购买3盒云南小粒咖啡和5盒野生菌干货共花费230元． 素材2 某游客计划购买这两种产品共40盒，若要求野生菌干货礼盒的数量不少于云南小粒咖啡礼盒的1.5倍． 请完成下列任务 (1)任务1：确定单价，求购买一盒云南小粒咖啡和一盒野生菌干货分别需要多少元？ (2)任务2：拟定购买方案，请设计最省钱的购买方案，并求出最低总费用． 9．（2026·云南红河·一模）根据以下素材，完成探究学习任务． 为村民小组设计总费用最少的购进方案 背景 东风知春意，万亩梨花开．3月下旬，个旧加级寨梨花迎来盛花期，“梨园春晓・万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏，某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售． 素材 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元． 解决问题： (1)任务1，确定单价：求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？ (2)任务2，拟定总费用最少的购进方案：若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用． 10．（2026·云南昭通·一模）某校为丰富社团活动，计划购买一批国画用品和书法用品．已知购买1套国画用品和2套书法用品共需400元；购买2套国画用品和1套书法用品共需350元． (1)求每套国画用品和每套书法用品的价格； (2)社团准备购买两种用品共30套，且国画用品套数不多于书法用品套数的2倍．请设计一种购买方案使总费用最低，并求出最低总费用． 11．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买云南扎染布和民族木雕，用于举办文化展览，增强学生对云南民族艺术的了解，提升文化自信． 素材一 购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等； 素材二 购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元； 素材三 该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍． 请完成下列任务： 任务一 每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 12．（2026·云南昆明·一模）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 13．（2026·云南临沧·一模）为响应国家“电商助农”的号召，某电商平台准备将本地农户合作社手工制作的具有本地文化特色的衬衣和T恤进行线上销售，它们的进价和售价如下表．已知购进一件衬衣比一件T恤的进价贵元，用元恰好可购进衬衣件和T恤5件． 种类 衬衣 T恤 进价（元/件） a b 售价（元/件） (1)分别求出表中a、b的值； (2)若该电商计划购进衬衣和T恤两种服饰共件，据市场销售分析，T恤进货件数不少于衬衣件数的2倍，如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 一元二次方程实际问题 考点03 1．（2026·云南红河·一模）红河州近期发布“红河蓝莓”区域公用品牌战略，以“爱护眼睛，多吃云南红河蓝莓”的健康理念深入人心．某果园2023年蓝莓总产量为50吨，2025年蓝莓总产量为72吨，设该果园蓝莓总产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南昆明·一模）某商户三月份的营业额为20万元，五月份的营业额为33.8万元．若月均增长率为，则根据题意可列方程是（  ） A． B． C． D． 3．（2026·云南·一模）普洱市思茅区是“云咖”主产区，当地通过品种改良和标准化种植提高生咖啡豆亩产量，亩产量从年的增长到年的．若设生咖啡豆亩产量的年平均增长率为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 4．（2026·云南保山·一模）云南省是我国优质小粒咖啡的核心产区，某基地2023年咖啡产量为100吨，随着市场认可度提升，2025年产量达到144吨．设该基地咖啡产量的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·云南文山·一模）2023年云南省地区生产总值约为3万亿元，这两年呈稳定增长趋势，2025年云南省地区生产总值约为3.27万亿元，设云南省每年的地区生产总值的平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·云南大理·一模）某校组织“奋进杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了36场，设该校共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 7.（2026·云南玉溪·一模）春节期间，某影片首周票房约12.8亿元，第三周票房约28.8亿元．若每周票房的平均增长率相同，设平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·云南昭通·一模）2025年是我国新能源汽车产业发展的关键一年．随着高压平台普及和充电桩密度提升，车企纷纷让利消费者．某品牌的一款车型在2025年1月售价为22万元，3月降至17.6万元．若该车型售价的月均下降率保持不变，设下降率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·云南昆明·一模）2025年中国成为全球首个年用电量突破10万亿千瓦时的国家．2023年用电量约为9.2万亿千瓦时，由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2025年用电量约为10万亿千瓦时．设用电量的年平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·云南临沧·一模）某市为了满足新能源汽车充电的需求，计划再建一批快充充电桩．第一个月新建了360个充电桩，第三个月新建了480个充电桩．设该市新建快充充电桩个数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·云南·一模）某工厂2024年的产值为100万元，2026年计划产值达到144万元，设这两年产值的平均增长率为，则下列说法正确的是（   ） A．列方程式为 B．增长率一定大于 C．列方程式为 D．增长率一定小于 12．（2026·云南楚雄·一模）随着农业科技的发展，云南某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为2吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量为吨．设每亩产量的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2026·云南·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线． (1)若抛物线经过点，求该抛物线的解析式； (2)若抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为，，满足，当时，的最大值是，最小值是，且，求的值． 14．（2026·云南昆明·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 15．（2026·云南楚雄·一模）某公司销售甲、乙两种型号的空气净化器，其中甲型空气净化器进货价格为每台650元，乙型空气净化器进货价格为每台800元．该公司销售4台甲型空气净化器和5台乙型空气净化器，共可获利1250元；销售2台甲型空气净化器和1台乙型空气净化器，共可获利370元． (1)该公司销售一台甲型、一台乙型空气净化器的利润分别是多少元？ (2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的空气净化器共30台，且资金不超过21000元，如何购买才能使得这30台空气净化器全部售出后总利润最大？ 分式方程实际问题 考点04 1．（2026·云南红河·一模）某生活超市用1600元购进一批饮料，进入市场后供不应求，又用2800元购进第二批这种饮料，第二批饮料的数量是第一批数量的2倍，但单价比第一批少元．求购进第一批饮料的单价． 2．（2026·云南昆明·一模）某物流企业接到一笔紧急配送订单，需要将一批生鲜物资从甲地运往900公里外的乙地．若使用特快货物班列配送，所需时间比高铁货运多3小时．已知高铁货运的速度是特快货物班列的2倍，求使用高铁货运配送所需时间是多少小时． 3．（2026·云南·一模）学校文印室采购数量相同的甲、乙两种复印纸，其中采购甲花费元，采购乙花费元．已知甲的单价比乙的单价多元，问甲的单价为多少元？ 4．（2026·云南保山·一模）为深化劳动实践育人成效，某校组织学生走进劳动实践基地采摘茶叶，并将学生分成A、B两组．已知A组每小时比B组多采摘10千克，A组采摘300千克茶叶所用时间与B组采摘240千克茶叶所用时间相等．求B组每小时采摘茶叶多少千克？ 5．（2026·云南大理·一模）云南大理，苍山洱海，风光如画．从大理港出发，乘船北行，可抵达湖中著名的小普陀——一座玲珑的石灰岩小岛，宛如碧玉盘中一颗青螺．这条经典航线全程约18千米，沿途可远眺苍山十九峰，近观白族渔村与海鸟翔集．某日，一艘常规游船与一艘观光快艇同时从大理港出发，驶向小普陀，已知快艇的平均速度是游船平均速度的2倍，结果快艇比游船早到0.5小时．求游船和快艇的平均速度分别是多少千米/小时？ 6．（2026·云南文山·一模）有甲、乙两个工程队参与建设某段公路，甲工程队平均每天比乙工程队多修建200米．甲工程队修建1500米公路所用天数与乙工程队修建900米公路所用天数相等．甲、乙两个工程队平均每天分别修建多少米公路？ 7．（2026·云南玉溪·一模）“人间烟火味，最抚凡人心”，玉溪城区、夜市、景区的个体商户是市民就业增收的重要渠道某商户购进了玉溪花腰傣文创玩具和澄江化石文创玩具两种特色文创产品，已知用600元购进花腰傣文创玩具的数量比用300元购进澄江化石文创玩具的数量多10个，且花腰傣文创玩具单价是澄江化石文创玩具单价的倍．求两种文创玩具的单价各是多少元？ 根据以上信息，解答下列问题： (1)甲同学：设澄江化石文创玩具的单价为元，可列方程为______________； 乙同学：设花腰傣文创玩具的数量为个，可列方程为______________． (2)请帮助甲同学完成剩下的解题过程． 8．（2026·云南红河·一模）云南省是我国的农业大省，随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术在我省得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人对玉米地打药面积的8倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时，求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人对玉米地打药的面积． 9．（2026·云南·一模）2025年滇超联赛火爆云南大地，首轮8场赛事综合拉动体育及相关行业消费超过亿元，印有联赛专属和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用12000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用50000元购入第二批，所购数量是第一批的4倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵5元．该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ 10．（2026·云南昭通·一模）年春节前，某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”．已知甲型号机器人每小时分拣数量比乙型号机器人每小时分拣数量多件，且甲型号机器人分拣件和乙型号机器人分拣件所用时间相等．求甲、乙型号机器人每小时分拣数量分别是多少件． 11．（2026·云南昆明·一模）为满足新能源汽车快速增长带来的充电需求，某企业计划在某一地区建成1800座充电站，实际建设中，平均每月建成的充电站数量是原计划的1.5倍，结果提前3个月完成任务，求原计划平均每月建成多少座充电站？ 12．（2026·云南临沧·一模）在夏季球类运动会举行期间，初三（6）班预计用90元为班级球员购买矿泉水，数学课代表发现超市有优惠活动；购买瓶装矿泉水可以打9折．经计算按优惠价购买能多买5瓶，求每瓶矿泉水的原价． 13．（2026·云南·一模）为助力云南乡村振兴，完善滇西乡村交通基础设施，甲，乙两个工程队共同修建一条乡村惠民公路，甲队每天比乙队多修米，甲队修建米所用的时间与乙队修建米所用的时间相等，求甲，乙两队每天各修多少米． 不等式和不等式组 考点05 1．（2026·云南昆明·一模）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南红河·一模）若有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昭通·一模）要使有意义，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·云南大理·一模）若代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·云南曲靖·一模）定义一种新运算， ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； 以上说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（2026·云南保山·一模）函数的自变量的取值范围是______． 7．（2026·云南楚雄·一模）在函数中自变量x的取值范围是________． 8．（2026·云南·一模）围棋是中国传统棋种，古代称为“弈”，距今已有四千多年的历史，围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，现为全球78个正式体育项目之一，兼具文化传承与智力竞技双重价值．2008年两种棋类都被列入国家级非物质文化遗产名录．某学校为丰富学生课余生活，计划到甲超市购买一批象棋和围棋．根据下表中的素材，探索并完成任务． 如何设计购买方案？ 素材1 已知购买2副象棋和3副围棋共需140元，购买4副象棋和1副围棋共需130元． 素材2 学校购买象棋和围棋共80副，总费用不超过2250元． 素材3 若甲超市对围棋进行促销，方案一：围棋一律打九折； 方案二：办理超市会员卡60元，围棋一律打七折．学校购买10副象棋和若干副围棋． 问题解决 任务1 求每副象棋和围棋的单价． 任务2 求最多能购买多少副围棋？ 任务3 学校选用哪种方案购买象棋和围棋花费少？ 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式 5大考点概览 考点01 一元一次方程 考点02 二元一次方程 考点03 一元二次方程实际问题 考点04 分式方程实际问题 考点05 不等式和不等式组 一元一次方程 考点01 1．（2026·云南曲靖·一模）图1是2026年1月份的日历，用图2所示的“九宫格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为．当图2在图1的不同位置时，代数式为定值，则m的值为（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】C 【分析】根据日历表示出各字母的值，然后整理代数式，根据定值求出的值即可． 【详解】解：根据题意可得， ，，， ∴ ， ∵代数式为定值， ∴，解得， 故选：C ． 2．（2026·云南曲靖·一模）观察下列等式：已知：＝（a﹣b）（a+b）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）……小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“”的值，这个值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知可得= ①，设=k②，则由①+②得：③，由①-②得：④，由④-③得：=，即可求解． 【详解】解：由题意，得=(2-1)()= 即= ①， 设=k②， 由①+②得：， ， 即③， 由①-②得：， 即④， 由④-③得：=， ∴=k， 解得：k=． 故选：D． 【点睛】本题考查数字规律探究，平方差公式的运用，等式的性质，解方程，求得= 是解题的关键． 二元一次方程 考点02 1．（2026·云南红河·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 在“有一种叫云南的生活．旅居云南”系列新闻发布会之“旅居红河，村长有请”文旅推广活动中，红河州迎来旅游旺季．前来旅行的游客纷纷选购具有民族特色的文创产品，其中，建水紫陶印章书签与哈尼梯田稻穗挂饰颇受甲、乙、丙三位游客的青睐． 素材1 游客具体购买记录如下表所示： 建水紫陶印章书签/份 哈尼梯田稻穗挂饰/个 总价/元 甲 3 1 50 乙 1 2 50 素材2 丙游客计划购买这两种文创共10件，且建水紫陶印章书签的数量不超过哈尼梯田稻穗挂饰数量的3倍．  请完成下列任务： 请完成下列任务： (1)任务1：求建水紫陶印章书签和哈尼梯田稻穗挂饰的单价； (2)任务2：丙游客选择哪种购买方案，能使购买费用最少？ 【答案】(1)建水紫陶印章书签单价为10元/份，哈尼梯田稻穗挂饰单价为20元/个 (2)购买建水紫陶印章书签7份，哈尼梯田稻穗挂饰3个时，购买费用最少 【分析】（1）根据表格中甲、乙的购买总价信息，设建水紫陶印章书签单价为元/份，哈尼梯田稻穗挂饰单价为元/个，列二元一次方程组即可求解单价． （2）设购买建水紫陶印章书签份，总费用为元，则购买哈尼梯田稻穗挂饰个，先根据数量限制条件得到的取值范围，再列出总费用的一次函数表达式，利用一次函数的增减性即可得到费用最少的购买方案． 【详解】（1）解 ：设建水紫陶印章书签单价为元/份，哈尼梯田稻穗挂饰单价为元/个． 根据题意得， 解得， 答：建水紫陶印章书签单价为10元/份，哈尼梯田稻穗挂饰单价为20元/个． （2）解：设购买建水紫陶印章书签份，总费用为元，则购买哈尼梯田稻穗挂饰个， 其中为非负整数，且 ． 根据题意得 ， 解得 ， ∴的取值范围为 ，且为整数， 总费用 ， ∵， ∴随的增大而减小． ∴当取最大值7时，取得最小值， 此时． 答：购买建水紫陶印章书签7份，哈尼梯田稻穗挂饰3个时，购买费用最少． 2．（2026·云南昆明·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为响应“全民健身”号召，落实“双减”政策，某校计划采购智能计数跳绳和标准实心球两种体育器材，用于丰富学生课后体育锻炼与体能训练． 素材一 若购买2根智能计数跳绳和4个标准实心球共需240元；若购买3根智能计数跳绳和1个标准实心球共需110元． 素材二 学校需要购买这两种器材共30件（两种器材均需购买），且购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的． 请完成下列任务： (1)求每根智能计数跳绳和每个标准实心球的价格． (2)给出最节省费用的采购方案，并计算最低费用． 【答案】(1)每根智能计数跳绳的价格为20元，每个标准实心球的价格为50元 (2)最节省费用的采购方案为购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元 【分析】（1）设每根智能计数跳绳的价格为元，每个标准实心球的价格为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设学校购买智能计数跳绳根，则购买标准实心球个，购买总费用为元，求出，再结合题意列出一元一次不等式得出的取值范围，最后由一次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设每根智能计数跳绳的价格为元，每个标准实心球的价格为元． 根据题意得， 解方程组得， 答：每根智能计数跳绳的价格为20元，每个标准实心球的价格为50元； （2）解：设学校购买智能计数跳绳根，则购买标准实心球个，购买总费用为元． ， 购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的， ， ， 智能计数跳绳和标准实心球均需购买， ，且为正整数． ， 随的增大而减小． 当时，取最小值． 此时，． 即购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元． 答：最节省费用的采购方案为购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元 3．（2026·云南·一模）根据以下素材，探究完成任务1和任务2． 主题：方案选择与最低费用 6月5日是第54个“世界环境日”，某社区为提高垃圾分类意识，打造清洁优美社区，决定购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶． 素材1 已知购买2个甲型号的新型垃圾桶和购买3个乙型号的新型垃圾桶共420元． 素材2 已知购买3个甲型号的新型垃圾桶和购买5个乙型号的新型垃圾桶共680元． 素材3 据统计，该社区需购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶共100个，乙型号的新型垃圾桶的数量不少于甲型号的新型垃圾桶数量的一半． 问题解决 (1)任务1：求甲、乙两种型号的新型垃圾桶的单价． (2)任务2：如何设计购买方案更省钱？最低购买费用是多少元？ 【答案】(1)甲型号新型垃圾桶单价为60元，乙型号新型垃圾桶单价为100元 (2)购买甲型号66个，乙型号34个更省钱，最低购买费用为7360元 【分析】（1）利用二元一次方程组求解单价，根据两个购买总费用的条件列出方程组，解方程组即可得到结果； （2）利用一次函数性质解决方案最值问题，先根据乙数量的限制条件得到甲数量的取值范围，再列出总费用的一次函数解析式，根据一次函数的增减性得到最小值及对应方案． 【详解】（1）解：设甲型号新型垃圾桶单价为元，乙型号新型垃圾桶单价为元． 根据题意可得 解得 答：甲型号新型垃圾桶单价为60元，乙型号新型垃圾桶单价为100元． （2）解：设购买甲型号垃圾桶个，总购买费用为元，则购买乙型号垃圾桶个． 由题意得 解不等式得 因为是非负整数， 所以的最大取值为66． 总费用 因为， 所以随的增大而减小． 当时，最小， 此时，（元） 答：购买甲型号66个，乙型号34个更省钱，最低购买费用是7360元． 4．（2026·云南·一模）请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： (1)求A，B两种品牌笔袋的每个进价； (2)该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 【答案】(1)A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元 (2)7 【分析】（1）设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个，根据题意列出一元一次不等式组求解． 【详解】（1）解：设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元， 根据题意得， 解得 答：A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元； （2）解：设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个， 根据题意得， 解得 ∴，15，16，17，18，19，20 ∴共有7种进货方案． 5（2026·云南保山·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深入推进乡村振兴战略，助力乡村产业发展，某合作社推出云南特色苹果销售业务，主营甲、乙两个品种的苹果． 素材一 2箱甲种苹果和1箱乙种苹果的售价之和为280元； 素材二 3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为460元； 素材三 某公司计划从该合作社购买甲乙两种苹果共200箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果箱数的3倍． 请完成下列任务： (1)每箱甲种苹果，每箱乙种苹果的售价分别是多少元？ (2)给出该公司最节省费用的购买方案． 【答案】(1)每箱甲种苹果售价100元.每箱乙种苹果售价80元 (2)最节省费用的购买方案为购买甲种苹果50箱，乙种苹果150箱 【分析】（1）设每箱甲种苹果的售价是元，每箱乙种苹果的售价是元，根据题中的等量关系，列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，总费用为元，则购买乙种苹果箱，先根据题意，列出不等式，得，再根据题意得，最后根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每箱甲种苹果的售价是元，每箱乙种苹果的售价是元， 由题可列，， 解得， 则每箱甲种苹果售价100元.每箱乙种苹果售价80元； （2）解：设购买甲种苹果箱，总费用为元，则购买乙种苹果箱， ，解得， ， ，随的增大而增大， 当时，取得最小值，则， 该公司最节省费用的购买方案是购买甲种苹果50箱，乙种苹果150箱． 6．（2026·云南文山·一模）仔细阅读下表中的内容，据表中信息完成任务一和任务二． 背景 某学校计划购入A，B两款学习机，辅助日常教学，经过市场调研，了解到这两款学习机的相关信息如下： 信息一： ①购买3台A款学习机和4台B款学习机共需6200元； ②购买2台A款学习机和8台B款学习机共需8400元． ☆任务一 (1)求每台A款学习机，每台B款学习机的价格； 信息二 该校决定购买这两款学习机共50台，配备给部分班级作教学实验，两款都要购买，且购买B款学习机的数量不超过A款的1.5倍． ☆任务二 (2)请为该校提供最省钱的购买方案． 【答案】(1)每台A款学习机的价格是1000元,每台B款学习机的价格是800元 (2)购买20台A款学习机，30台B款学习机，最省钱 【分析】（1）根据购买两款学习机的两组总价条件，列二元一次方程组，求解两款的单价； （2）先设购买款的数量，用它表示款数量和总费用；再根据款数量不超过 款倍的约束条件，求费用函数的最小值，得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设每台款学习机的价格是元，每台B款学习机的价格是元． 由题意得，解得， ∴每台款学习机的价格是1000元，每台款学习机的价格是800元． （2）解：设购买台款学习机，台款学习机，总费用为元． 由题意可得：， 解得． 由题意得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，w取得最小值， 此时，，． ∴购买20台款学习机，30台款学习机，最省钱． 7．（2026·云南大理·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 大理白族扎染技艺流传千年，是第一批国家级非物质文化遗产，被誉为“针尖上的青花瓷”．某校文化节期间，舞蹈社团计划购买扎染服饰若干套用于表演，以彰显白族扎染非遗魅力，增强学生对大理民族文化的了解，提升文化自信． 素材一 经市场调查发现，每套女款扎染服饰比每套男款扎染服饰贵20元． 素材二 购买3套女款扎染服饰和5套男款扎染服饰共需540元； 素材三 该社团计划购买女款和男款服饰共30套，男女款均需购买，且购买男款的数量不超过购买女款数量的． 请完成下列任务： (1)任务一：计算每套女款和每套男款扎染服饰的价格分别是多少元？ (2)任务二：请给出最节省费用的购买方案． 【答案】(1)每套女款扎染服饰80元，每套男款扎染服饰60元 (2)当购买女款扎染服饰20套、男款扎染服饰10套时，总费用最低 【分析】（1）设每套女款扎染服饰元，每套男款扎染服饰元，列方程组，解方程组即可； （2）设购买女款扎染服饰套，则购买男款扎染服饰套，购买总费用为W元，得到，由购买男款的数量不超过购买女款数量的得到，求出，计算即可． 【详解】（1）解：设每套女款扎染服饰元，每套男款扎染服饰元， ，解得，， 答：每套女款扎染服饰80元，每套男款扎染服饰60元； （2）解：设购买女款扎染服饰套，则购买男款扎染服饰套，购买总费用为W元， ， 购买男款的数量不超过购买女款数量的 ，解得 随的增大而增大， 当时，的值最小 当购买女款扎染服饰20套时，总费用最低， 此时，购买男款扎染服饰套． 当购买女款扎染服饰20套、男款扎染服饰10套时，总费用最低． 8．（2026·云南玉溪·一模）请你根据以下素材，完成有关任务． 背景 为助力乡村振兴，推广云南特色农产品，某特产店推出云南小粒咖啡礼盒与云南野生菌干货礼盒两款产品． 素材1 购买2盒云南小粒咖啡和3盒野生菌干货共花费145元；购买3盒云南小粒咖啡和5盒野生菌干货共花费230元． 素材2 某游客计划购买这两种产品共40盒，若要求野生菌干货礼盒的数量不少于云南小粒咖啡礼盒的1.5倍． 请完成下列任务 (1)任务1：确定单价，求购买一盒云南小粒咖啡和一盒野生菌干货分别需要多少元？ (2)任务2：拟定购买方案，请设计最省钱的购买方案，并求出最低总费用． 【答案】(1)购买一盒云南小粒咖啡需要元，购买一盒野生菌干货需要元 (2)购买了云南小粒咖啡礼盒盒，则购买野生菌干货礼盒盒时最省钱，总费用最低为元 【分析】（1）购买一盒云南小粒咖啡需要x元，购买一盒野生菌干货需要y元，根据题目的数量关系列式方程组求解即可； （2）设购买了云南小粒咖啡礼盒盒，则购买野生菌干货礼盒盒，由此列不等式得到，设购买两种礼盒总费用为，根据数量关系，结合一次函数图像的性质求解即可． 【详解】（1）解：购买一盒云南小粒咖啡需要x元，购买一盒野生菌干货需要y元， ∴， 解得，， ∴购买一盒云南小粒咖啡需要元，购买一盒野生菌干货需要元； （2）解：设购买了云南小粒咖啡礼盒（是大于0的整数）盒，则购买野生菌干货礼盒盒， ∴， 解得，， ∵某游客计划购买这两种产品共40盒， ∴， 设购买两种礼盒总费用为， ∴， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，总费用最低，最低总费用为元，则， ∴购买了云南小粒咖啡礼盒盒，则购买野生菌干货礼盒盒时最省钱，总费用最低为元． 9．（2026·云南红河·一模）根据以下素材，完成探究学习任务． 为村民小组设计总费用最少的购进方案 背景 东风知春意，万亩梨花开．3月下旬，个旧加级寨梨花迎来盛花期，“梨园春晓・万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏，某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售． 素材 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元． 解决问题： (1)任务1，确定单价：求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？ (2)任务2，拟定总费用最少的购进方案：若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)每瓶梨膏为30元，每瓶梨醋为20元 (2)购进梨膏175瓶，则购进梨醋125瓶，能使总费用最少，最少费用为7750元 【分析】（1）设购进的每瓶梨膏为元，每瓶梨醋为元．根据题意列方程得．解方程组求解即可； （2）设购进梨膏瓶，则购进梨醋瓶，购进总费用为元．由题意得，，整理得．根据函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：设购进的每瓶梨膏为元，每瓶梨醋为元． 根据题意列方程得． 解得． 答：购进的每瓶梨膏为30元，每瓶梨醋为20元． （2）解：设购进梨膏瓶，则购进梨醋瓶，购进总费用为元． 由题意得，解得． ，整理得． 随的增大而增大， 当时，有最小值． 此时． 答：购进梨膏175瓶，则购进梨醋125瓶，能使总费用最少，最少费用为7750元． 10．（2026·云南昭通·一模）某校为丰富社团活动，计划购买一批国画用品和书法用品．已知购买1套国画用品和2套书法用品共需400元；购买2套国画用品和1套书法用品共需350元． (1)求每套国画用品和每套书法用品的价格； (2)社团准备购买两种用品共30套，且国画用品套数不多于书法用品套数的2倍．请设计一种购买方案使总费用最低，并求出最低总费用． 【答案】(1)每套国画用品价格为100元，每套书法用品价格为150元 (2)购买国画用品20套，书法用品10套时，总费用最低，最低总费用为3500元 【分析】（1）设每套国画用品价格为a元，每套书法用品价格为b元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买国画用品x套，设总费用为y元，根据题意列不等式求出的取值范围，再得出关于的一次函数，利用一次函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：设每套国画用品价格为a元，每套书法用品价格为b元， 由题意得：， 解得． 答：每套国画用品价格为100元，每套书法用品价格为150元． （2）解：设购买国画用品x套，则购买书法用品套，设总费用为y元， 由题意得：， 解得． ， ， 随x的增大而减小， ∴当时，． 答：购买国画用品20套，书法用品10套时，总费用最低，最低总费用为3500元． 11．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买云南扎染布和民族木雕，用于举办文化展览，增强学生对云南民族艺术的了解，提升文化自信． 素材一 购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等； 素材二 购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元； 素材三 该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍． 请完成下列任务： 任务一 每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个扎染布80元，每个民族木雕60元； 任务二：当购买扎染布20个、民族木雕40个时，购买的总费用最低，最低总费用为4000元 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式，一次函数的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 任务一：每个扎染布x元，每个民族木雕y元，结合题意列二元一次方程组求解即可； 任务二：设购买扎染布个，则购买民族木雕个，结合题意，列不等式得到，设购买总费用为，结合一次函数图像的性质即可求解． 【详解】解：任务一：每个扎染布x元，每个民族木雕y元， ∴， 解得，， ∴每个扎染布80元，每个民族木雕60元； 任务二：设购买扎染布个，则购买民族木雕个， ∵购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍 ∴， 解得，， 设购买总费用为， ∴， ∵， ∴越小，的值越小， ∴当购买扎染布20个时，购买总费用的最低，此时，购买民族木雕个，总费用为元， ∴当购买扎染布20个、民族木雕40个时，购买的总费用最低，最低总费用为4000元． 12．（2026·云南昆明·一模）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)长款服装购进30件，短款服装购进20件； (2)当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设购进服装x件，购进长款服装y件，根据“用4300元购进长、短两款服装共50件，”列二元一次方程组计算求解； （2）设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据“第二次进货总价不高于16800元”列不等式计算求解，然后结合一次函数的性质分析求最值． 【详解】（1）解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件， 由题意可得， 解得， 答：长款服装购进30件，短款服装购进20件． （2）解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴（元）． 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 13．（2026·云南临沧·一模）为响应国家“电商助农”的号召，某电商平台准备将本地农户合作社手工制作的具有本地文化特色的衬衣和T恤进行线上销售，它们的进价和售价如下表．已知购进一件衬衣比一件T恤的进价贵元，用元恰好可购进衬衣件和T恤5件． 种类 衬衣 T恤 进价（元/件） a b 售价（元/件） (1)分别求出表中a、b的值； (2)若该电商计划购进衬衣和T恤两种服饰共件，据市场销售分析，T恤进货件数不少于衬衣件数的2倍，如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)a、b的值分别为， (2)购进衬衣件，T恤件时，利润最大，为元 【分析】（1）由题意得，，计算求解即可； （2）设购进衬衣件，T恤件，利润为元，则由题意得，，解得，，根据一次函数的性质进行求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意得，，解得， ∴a、b的值分别为260，80； （2）解：设购进衬衣件，T恤件，利润为元， 则由题意得，，解得， ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，利润最大，最大利润（元）， ∴（件）， ∴ 购进衬衣件，T恤件时，利润最大，为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 一元二次方程实际问题 考点03 1．（2026·云南红河·一模）红河州近期发布“红河蓝莓”区域公用品牌战略，以“爱护眼睛，多吃云南红河蓝莓”的健康理念深入人心．某果园2023年蓝莓总产量为50吨，2025年蓝莓总产量为72吨，设该果园蓝莓总产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据年平均增长率依次推得目标年份的产量，结合已知产量列出方程即可． 【详解】解：∵2023年蓝莓总产量为50吨，年平均增长率为 ∴2024年蓝莓总产量为吨 ∴2025年蓝莓总产量为吨 又∵2025年蓝莓总产量为72吨 ∴可列方程为． 2．（2026·云南昆明·一模）某商户三月份的营业额为20万元，五月份的营业额为33.8万元．若月均增长率为，则根据题意可列方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从三月份到五月份共经过2次增长，根据平均增长率的数量关系列式即可； 【详解】解：∵三月份营业额为20万元，月均增长率为， ∴四月份的营业额为万元， ∴五月份的营业额为万元， 又∵五月份营业额为33.8万元， ∴可列方程为． 3．（2026·云南·一模）普洱市思茅区是“云咖”主产区，当地通过品种改良和标准化种植提高生咖啡豆亩产量，亩产量从年的增长到年的．若设生咖啡豆亩产量的年平均增长率为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可得． 4．（2026·云南保山·一模）云南省是我国优质小粒咖啡的核心产区，某基地2023年咖啡产量为100吨，随着市场认可度提升，2025年产量达到144吨．设该基地咖啡产量的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵年平均增长率为，2023年产量为100吨， ∴2024年的产量为吨， ∴2025年的产量为吨， 又已知2025年产量为144吨， ∴列方程得：． 5．（2026·云南文山·一模）2023年云南省地区生产总值约为3万亿元，这两年呈稳定增长趋势，2025年云南省地区生产总值约为3.27万亿元，设云南省每年的地区生产总值的平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设云南省每年的地区生产总值的平均增长率为x，可知2024年生产总值为万亿元，2025年生产总值为万亿元，然后根据“2025年云南省地区生产总值约为3.27万亿元”列方程即可． 【详解】解：设云南省每年的地区生产总值的平均增长率为x，根据题意， 可得． 6．（2026·云南大理·一模）某校组织“奋进杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了36场，设该校共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的特点，推导总比赛场数的表达式，再结合已知总场数列方程判断正确选项． 【详解】解：∵共有个班参加比赛，单循环赛制中每个班需要和除自身外的个班各赛一场， 又∵两个班之间只赛一场，上述计算中每场比赛被重复计算了一次， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为36，因此列方程得． 7.（2026·云南玉溪·一模）春节期间，某影片首周票房约12.8亿元，第三周票房约28.8亿元．若每周票房的平均增长率相同，设平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设平均增长率为，根据题意得， 8．（2026·云南昭通·一模）2025年是我国新能源汽车产业发展的关键一年．随着高压平台普及和充电桩密度提升，车企纷纷让利消费者．某品牌的一款车型在2025年1月售价为22万元，3月降至17.6万元．若该车型售价的月均下降率保持不变，设下降率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据初始售价，月均下降率，推导出经过两次降价后的最终售价，据此列出正确方程． 【详解】解：∵1月售价为22万元，月均下降率为， ∴2月售价为万元， ∴3月售价在2月基础上再次下降，可得3月售价为万元， 又∵3月实际售价为17.6万元， ∴列方程得． 9．（2026·云南昆明·一模）2025年中国成为全球首个年用电量突破10万亿千瓦时的国家．2023年用电量约为9.2万亿千瓦时，由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2025年用电量约为10万亿千瓦时．设用电量的年平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设用电量的年平均增长率为，根据“2023年用电量为万亿千瓦时，2025年用电量约为10万亿千瓦时”据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵2023年用电量为万亿千瓦时，年平均增长率为， ∴2024年用电量为万亿千瓦时， 2025年用电量为万亿千瓦时， 又∵2025年用电量为万亿千瓦时， ∴列方程得 ． 10．（2026·云南临沧·一模）某市为了满足新能源汽车充电的需求，计划再建一批快充充电桩．第一个月新建了360个充电桩，第三个月新建了480个充电桩．设该市新建快充充电桩个数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意可得． 11．（2026·云南·一模）某工厂2024年的产值为100万元，2026年计划产值达到144万元，设这两年产值的平均增长率为，则下列说法正确的是（   ） A．列方程式为 B．增长率一定大于 C．列方程式为 D．增长率一定小于 【答案】C 【分析】本题考查平均增长率的实际应用，根据增长规律列出方程，再求解增长率即可判断各选项． 【详解】解：∵2024年产值为100万元，平均年增长率为， ∴2025年产值为 ，2026年产值为 ， 结合2026年计划产值为144万元，可得方程 ，因此A错误，C正确． 解方程得 ， ∵， ∴，解得 ，因此B、D错误． 12．（2026·云南楚雄·一模）随着农业科技的发展，云南某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为2吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量为吨．设每亩产量的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每亩产量的年平均增长率为x，根据两年前的每亩产量和现在每亩的产量列方程即可． 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为x， 由题意可列方程． 13．（2026·云南·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线． (1)若抛物线经过点，求该抛物线的解析式； (2)若抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为，，满足，当时，的最大值是，最小值是，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用二次函数对称轴公式，结合已知对称轴，得，简化抛物线解析式，将已知点代入简化后的解析式，求解得到的值，即可确定抛物线解析式； （2）先将抛物线解析式配方为顶点式，结合抛物线与轴交点的横坐标关系，利用一元二次方程根与系数的关系和由完全平方公式推导的两根差计算式求解，确定抛物线解析式，明确其开口方向、对称轴和顶点坐标，根据的取值范围与对称轴的位置关系，分“取值范围全在对称轴左侧、取值范围包含对称轴、取值范围全在对称轴右侧”3种情况讨论，结合抛物线的开口方向与函数性质，确定每种情况下的最大值、最小值的对应取点，代入列方程求解，验证求解结果是否符合对应情况的取值范围，舍去无效解，最终得到符合条件的值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，抛物线对称轴公式为， ​∴，即， ∴抛物线解析式可化为， ∵抛物线经过点， ∴将，代入解析式，得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由题意得抛物线对称轴为，解得，抛物线解析式为， ∵抛物线与轴的两个交点的横坐标为，， ∴，是一元二次方程的两个实数根， ∴，​， ∵，且， ​​∴， 解得（经检验符合）， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，函数最小值为， 已知，结合对称轴位置，分3种情况讨论： 情况1：的整个取值范围完全在对称轴左侧，则，即， ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 当，取得最小值， ∵， ∴， 解得， 符合的范围； 情况2：的取值范围包含对称轴，则，即， ∵抛物线开口向上， ∴当时，取得最小值，最大值在离对称轴更远的端点处取得： ①当时，左端点离对称轴更远，最大值， ∵， ∴， 解得， 两个结果均不在范围内，故舍去； ②当时，右端点离对称轴更远，最大值， ∵， ∴， 解得， 两个结果均不在范围内，故舍去； 情况3：的整个取值范围完全在对称轴右侧，则， ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 当时，取得最小值， ∵， ∴， 解得， 符合的范围； 综上，的值为或． 14．（2026·云南昆明·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． （2）①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 15．（2026·云南楚雄·一模）某公司销售甲、乙两种型号的空气净化器，其中甲型空气净化器进货价格为每台650元，乙型空气净化器进货价格为每台800元．该公司销售4台甲型空气净化器和5台乙型空气净化器，共可获利1250元；销售2台甲型空气净化器和1台乙型空气净化器，共可获利370元． (1)该公司销售一台甲型、一台乙型空气净化器的利润分别是多少元？ (2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的空气净化器共30台，且资金不超过21000元，如何购买才能使得这30台空气净化器全部售出后总利润最大？ 【答案】(1)该公司销售一台甲型空气净化器的利润是100元，一台乙型空气净化器的利润是170元． (2)该公司购买20台甲型空气净化器，10台乙型空气净化器时，才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，审清题意、正确列出二元一次方程组和函数关系式是解题的关键． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型空气净化器的利润分别是x、y元，根据“该公司销售4台甲型空气净化器和5台乙型空气净化器，共可获利1250元，销售2台甲型空气净化器和1台乙型空气净化器，共可获利370元”列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）设该公司购买甲型空气净化器m台，则购买乙型空气净化器台，然后利用总进价、进货单价、进货数量的关系并结合总进价不超过21000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围；设加购的这30台自行车全部售出后总利润为w元，进而列出w关于m的函数关系式，最后利用一次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：（1）该公司销售一台甲型、一台乙型空气净化器的利润分别是x、y元，， 根据题意得：，解得： 答：该公司销售一台甲型空气净化器的利润是100元，一台乙型空气净化器的利润是170元． （2）解：设该公司购买甲型空气净化器m台，则购买乙型空气净化器台， 根据题意得：，解得：． 设购买的这30台自行车全部售出后总利润为w元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时（台）． 答：该公司购买20台甲型空气净化器，10台乙型空气净化器时，才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大． 分式方程实际问题 考点04 1．（2026·云南红河·一模）某生活超市用1600元购进一批饮料，进入市场后供不应求，又用2800元购进第二批这种饮料，第二批饮料的数量是第一批数量的2倍，但单价比第一批少元．求购进第一批饮料的单价． 【答案】 购进第一批饮料的单价为元 【分析】本题利用“数量总价单价”的关系，设购进第一批饮料的单价为元，则第二批饮料的单价为元，根据“第二批饮料的数量是第一批数量的2倍”建立等量关系，列分式方程求解，检验后得到结果． 【详解】解：设购进第一批饮料的单价为元，则第二批饮料的单价为元， 根据题意，得， 解得， 检验： 当时，， 因此是原分式方程的解，且符合题意． 答： 购进第一批饮料的单价为4元． 2．（2026·云南昆明·一模）某物流企业接到一笔紧急配送订单，需要将一批生鲜物资从甲地运往900公里外的乙地．若使用特快货物班列配送，所需时间比高铁货运多3小时．已知高铁货运的速度是特快货物班列的2倍，求使用高铁货运配送所需时间是多少小时． 【答案】3小时 【分析】设使用高铁货运配送所需时间为小时，则使用特快货物班列配送所需时间为小时，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设使用高铁货运配送所需时间为小时，则使用特快货物班列配送所需时间为小时， 根据题意，得． 解得 经检验，是所列分式方程的解，且符合题目要求． 答：使用高铁货运配送所需时间为3小时． 3．（2026·云南·一模）学校文印室采购数量相同的甲、乙两种复印纸，其中采购甲花费元，采购乙花费元．已知甲的单价比乙的单价多元，问甲的单价为多少元？ 【答案】 甲的单价为元． 【分析】设甲的单价为元，则乙的单价为元，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设甲的单价为元，则乙的单价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是的解， ∴甲的单价为元． 4．（2026·云南保山·一模）为深化劳动实践育人成效，某校组织学生走进劳动实践基地采摘茶叶，并将学生分成A、B两组．已知A组每小时比B组多采摘10千克，A组采摘300千克茶叶所用时间与B组采摘240千克茶叶所用时间相等．求B组每小时采摘茶叶多少千克？ 【答案】B组每小时采摘茶叶40千克 【分析】设B组每小时采摘茶叶千克，则可表示出A组每小时采摘的茶叶，根据时间关系列出分式方程，再求解即可；注意要检验． 【详解】解：设B组每小时采摘茶叶千克，则A组每小时采摘千克茶叶， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：B组每小时采摘茶叶40千克． 5．（2026·云南大理·一模）云南大理，苍山洱海，风光如画．从大理港出发，乘船北行，可抵达湖中著名的小普陀——一座玲珑的石灰岩小岛，宛如碧玉盘中一颗青螺．这条经典航线全程约18千米，沿途可远眺苍山十九峰，近观白族渔村与海鸟翔集．某日，一艘常规游船与一艘观光快艇同时从大理港出发，驶向小普陀，已知快艇的平均速度是游船平均速度的2倍，结果快艇比游船早到0.5小时．求游船和快艇的平均速度分别是多少千米/小时？ 【答案】游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时 【分析】设游船的平均速度为千米小时，则快艇的平均速度为千米小时，根据快艇比游船早到0.5小时列出方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设游船的平均速度为千米小时，则快艇的平均速度为千米小时， 根据题意，得： 解得： 经检验是所列分式方程的解，且符合题目要求， 此时 答：游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时． 6．（2026·云南文山·一模）有甲、乙两个工程队参与建设某段公路，甲工程队平均每天比乙工程队多修建200米．甲工程队修建1500米公路所用天数与乙工程队修建900米公路所用天数相等．甲、乙两个工程队平均每天分别修建多少米公路？ 【答案】甲工程队平均每天修建500米公路，乙工程队平均每天修建300米公路 【分析】先设乙工程队平均每天修建米公路，则可表示甲工程队的平均每天修建米数，再根据甲、乙两队修建公路的长度和天数关系建立方程即可． 【详解】解：设乙工程队平均每天修建米公路，则甲工程队平均每天修建米公路． 根据题意可得：，解得． 经检验：是所列方程的解，且符合题目要求，此时． ∴乙工程队平均每天修建米公路，则甲工程队平均每天修建米公路． 7．（2026·云南玉溪·一模）“人间烟火味，最抚凡人心”，玉溪城区、夜市、景区的个体商户是市民就业增收的重要渠道某商户购进了玉溪花腰傣文创玩具和澄江化石文创玩具两种特色文创产品，已知用600元购进花腰傣文创玩具的数量比用300元购进澄江化石文创玩具的数量多10个，且花腰傣文创玩具单价是澄江化石文创玩具单价的倍．求两种文创玩具的单价各是多少元？ 根据以上信息，解答下列问题： (1)甲同学：设澄江化石文创玩具的单价为元，可列方程为______________； 乙同学：设花腰傣文创玩具的数量为个，可列方程为______________． (2)请帮助甲同学完成剩下的解题过程． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据“用600元购进花腰傣文创玩具的数量比用300元购进澄江化石文创玩具的数量多10个，且花腰傣文创玩具单价是澄江化石文创玩具单价的倍．”列方程即可； （2）解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：甲同学：设澄江化石文创玩具的单价为元，可列方程为， 乙同学：设花腰傣文创玩具的数量为个，可列方程为； （2）解：， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：澄江化石文创玩具单价为10元，花腰傣文创玩具单价为15元． 8．（2026·云南红河·一模）云南省是我国的农业大省，随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术在我省得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人对玉米地打药面积的8倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时，求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人对玉米地打药的面积． 【答案】每小时一个人对玉米地打药的面积为5亩，每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为40亩 【分析】设每小时一个人对玉米地打药的面积为亩，则每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩．根据题意列方程得：，解方程即可． 【详解】解：设每小时一个人对玉米地打药的面积为亩，则每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩． 根据题意列方程得：． 解得． 经检验：是原分式方程的解且符合题意． ． 答：每小时一个人对玉米地打药的面积为5亩，每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为40亩． 9．（2026·云南·一模）2025年滇超联赛火爆云南大地，首轮8场赛事综合拉动体育及相关行业消费超过亿元，印有联赛专属和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用12000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用50000元购入第二批，所购数量是第一批的4倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵5元．该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ 【答案】该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是元、元． 【分析】设第一批T恤每件的进价是元，根据等量关系，列出分式方程，求解检验即可． 【详解】解：设第一批T恤每件的进价是元，则第二批T恤每件的进价是元， 由题可列，， 解得， 经检验：是方程的解，且符合实际意义， ， 则该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是元、元． 10．（2026·云南昭通·一模）年春节前，某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”．已知甲型号机器人每小时分拣数量比乙型号机器人每小时分拣数量多件，且甲型号机器人分拣件和乙型号机器人分拣件所用时间相等．求甲、乙型号机器人每小时分拣数量分别是多少件． 【答案】甲型号机器人每小时分拣件，乙型号机器人每小时分拣件． 【分析】设乙型号机器人每小时分拣件，则甲型号机器人每小时分拣件，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设乙型号机器人每小时分拣件，则甲型号机器人每小时分拣件， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：甲型号机器人每小时分拣件，乙型号机器人每小时分拣件． 11．（2026·云南昆明·一模）为满足新能源汽车快速增长带来的充电需求，某企业计划在某一地区建成1800座充电站，实际建设中，平均每月建成的充电站数量是原计划的1.5倍，结果提前3个月完成任务，求原计划平均每月建成多少座充电站？ 【答案】原计划平均每月建成200座充电站 【分析】设原计划平均每月建成座充电站，分别表示出原计划和实际的时间，再根据“提前3个月完成任务”建立分式方程求解． 【详解】解：设原计划平均每月建成座充电站，根据题意可列方程为 ， 解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划平均每月建成200座充电站． 12．（2026·云南临沧·一模）在夏季球类运动会举行期间，初三（6）班预计用90元为班级球员购买矿泉水，数学课代表发现超市有优惠活动；购买瓶装矿泉水可以打9折．经计算按优惠价购买能多买5瓶，求每瓶矿泉水的原价． 【答案】每瓶矿泉水的原价为2元 【分析】设每瓶矿泉水的原价为x元，根据“按优惠价购买能多买5瓶”建立分式方程求解． 【详解】解：设每瓶矿泉水的原价为x元． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：每瓶矿泉水的原价为2元． 13．（2026·云南·一模）为助力云南乡村振兴，完善滇西乡村交通基础设施，甲，乙两个工程队共同修建一条乡村惠民公路，甲队每天比乙队多修米，甲队修建米所用的时间与乙队修建米所用的时间相等，求甲，乙两队每天各修多少米． 【答案】甲队每天修米，乙队每天修米 【分析】设甲队每天修米，则乙队每天修米，根据时间相等列出分式方程，并转化为一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲队每天修米，则乙队每天修米， 根据题意，可列方程：， 两边同乘以，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（米）． 答：甲队每天修米，乙队每天修米． 不等式和不等式组 考点05 1．（2026·云南昆明·一模）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数必须为非负数，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解不等式得． 2．（2026·云南红河·一模）若有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需同时满足二次根式被开方数非负，分式分母不为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴ ， 解得． 3．（2026·云南昭通·一模）要使有意义，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据被开方数为非负数，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数， ∴要使有意义，需满足， 解不等式得：． 4．（2026·云南大理·一模）若代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 5．（2026·云南曲靖·一模）定义一种新运算， ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； 以上说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据新运算中乘积的正负选择对应规则，分情况讨论逐一验证三个结论，结合不等式和绝对值性质计算． 【详解】解：① ，分情况讨论： 当，即时，得，解得，符合条件； 当，即时，得，解得，不符合，舍去； 仅，结论①错误； ②， ，符合， 得，即， 解得或，结论②漏解，错误； ③由，得与异号，且， ∴， 解得， 时，，， ，符合， ， 原式为， ， ，即， 分情况化简： 当时，，原式； 当时，，原式； 原式最小值为，结论③正确； 综上，仅1个结论正确． 6．（2026·云南保山·一模）函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解一元一次不等式，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得到关于的一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 7．（2026·云南楚雄·一模）在函数中自变量x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0进行解答即可． 【详解】解：二次根式有意义的条件是，所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解答的关键． 8．（2026·云南·一模）围棋是中国传统棋种，古代称为“弈”，距今已有四千多年的历史，围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，现为全球78个正式体育项目之一，兼具文化传承与智力竞技双重价值．2008年两种棋类都被列入国家级非物质文化遗产名录．某学校为丰富学生课余生活，计划到甲超市购买一批象棋和围棋．根据下表中的素材，探索并完成任务． 如何设计购买方案？ 素材1 已知购买2副象棋和3副围棋共需140元，购买4副象棋和1副围棋共需130元． 素材2 学校购买象棋和围棋共80副，总费用不超过2250元． 素材3 若甲超市对围棋进行促销，方案一：围棋一律打九折； 方案二：办理超市会员卡60元，围棋一律打七折．学校购买10副象棋和若干副围棋． 问题解决 任务1 求每副象棋和围棋的单价． 任务2 求最多能购买多少副围棋？ 任务3 学校选用哪种方案购买象棋和围棋花费少？ 【答案】任务一：每副象棋的价格是25元，每副围棋的价格是30元；任务二：50副；任务三：时，选用方案一购买花费最少；时，选用两种方案购买花费相同；时，选用方案二购买花费最少 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． 任务一：设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元，根据题意得出，再求解即可； 任务二：设购买副围棋，则购买副象棋，根据题意，得，求解即可； 任务三：设学校购买10副象棋，a副围棋，分别求出方案一和方案二所需的费用，再比较即可． 【详解】解：任务一：设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元， 根据题意，得， 解得 答：每副象棋的价格是25元，每副围棋的价格是30元． 任务二：设购买副围棋，则购买副象棋， 根据题意，得， 解得：， 的最大值是50， 答：最多能买50副围棋 任务三：设学校购买10副象棋，a副围棋， 方案一所需费用为：， 方案二所需费用为：， 当时，， 时，选用方案一购买花费最少； 当时，， ∴时，选用两种方案购买花费相同； 当时，， 时，选用方案二购买花费最少 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $