专题02 解三角形中面积、周长、边长问题（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第四册

专题02 解三角形中面积、周长、边长问题 目录 典例详解 类型一、解三角形求周长 类型二、解三角形求周长的范围 类型三、解三角形求面积 类型四、解三角形求面积的范围 类型五、解三角形求角及三角函数值 类型六、解三角形求边 类型七、解三角形求角（三角函数值）的取值范围 类型八、解三角形求边的取值范围 压轴专练 类型一、解三角形求周长 求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边长。其问题的本质为这三者之间的关系，知二求一。 例1．（25-26高一下·河北邢台·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为5，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合已知条件求解； （2）根据三角形面积公式结合余弦定理求出，进而求出的周长． 【详解】（1），由正弦定理得， ， 又， ， 由，可得， ， ． （2）的面积为5， ， 解得， ， 由余弦定理得， ， ， ， 的周长为． 变式1-1．（25-26高一下·四川达州·期中）在中，角，，的对边分别是，，，且，，且为锐角. (1)求的值； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦二倍角公式，同角三角函数关系可得答案； （2）由正弦定理和余弦定理可得，求出周长. 【详解】（1）因为，且，所以， 由，可得， 因为为锐角，所以， 所以. （2）由，得，即， 由余弦定理可得，即， 所以，解得（舍去）， 则， 故的周长为 变式1-2．（25-26高一下·广东广州·期中）已知函数，且恒成立. (1)求的解析式； (2)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合正弦函数的图象、性质求出解析式. （2）由（1）求出，再利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理求解. 【详解】（1）由，得，而，则， 由恒成立，可知，即，， 因此，解得，而，则， 所以的解析式为. （2）由（1）得，，而，解得， 由，解得， 由余弦定理得， 所以的周长为． 变式1-3．（25-26高一下·重庆綦江·期中）在中，内角的对边分别为，且 (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得； （2）借助平面向量线性运算及模长与数量积关系计算可得，利用余弦定理计算可得，即可得、，从而可计算出，即可得其周长. 【详解】（1）由正弦定理将角化为边可得， 即，即， 由余弦定理可得，即， 故，即，又，故； （2），则 ，即， 由余弦定理可得， 故，， 则， 故的周长为. 类型二、解三角形求周长的范围 关于周长的最值问题，题目简化成两个边的和的最值问题。通常有以下两种方法 1、若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。 2、若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 3、若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 注意：运用基本不等式时，看是否满足取等条件。如题有角度限制比如锐角或钝角，可以考虑转化成三角函数问题，这时要先求得被限制的角的取值范围。 例2．（25-26高一下·山东泰安·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长． (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由平面向量的数量积坐标公式计算结合两角和正弦公式计算求解即可； （2）应用余弦定理结合三角形面积公式计算求解即可； （3）先应用正弦定理结合三角恒等变换计算得到，再应用正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）， 由正弦定理得， ， 即， ，， 又，则，， ，. （2）由，则， 由余弦定理，得，即， 则的周长为. （3）根据正弦定理得，所以， 又因为，所以， 所以三角形周长为 ， 因为，所以，则， 所以， 所以周长的取值范围为. 变式2-1．（25-26高一下·陕西西安·月考）已知分别为三个内角的对边，且. (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和公式即可求角，然后利用余弦定理求第三边； （2）利用正弦定理来边化角，借助三角函数性质来求周长的取值范围. 【详解】（1）在中，因为，结合正弦定理边化角可得： ，所以， 因为，，所以，则； 因为的面积为，所以，可得， 又由余弦定理可得 解得，所以周长为 （2）由正弦定理可得， 则，， 由， 因为为锐角三角形，则，，所以， 即，则， 故， 所以周长的取值范围为. 变式2-2．（2026高一下·山东枣庄·专题练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角C的值 (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，且，求的周长取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得以及的值； （2）由三角形的面积公式和余弦定理，即可求得的周长； （3）利用正弦定理和三角恒等变换，结合正弦函数的性质，即可求得周长的取值范围. 【详解】（1）已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：，，， ，又，； （2）由余弦定理得，， ，，，， 的周长为 （3）由正弦定理得，可得， ， 为锐角三角形，且， 则，，，， ，的周长取值范围是. 变式2-3．（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知、、分别为三个内角、、的对边， (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围： 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）正弦定理边化角，利用三角恒等变换即可求解； （2）余弦定理结合三角形面积公式求出即可； （3）利用正弦定理把周长表示成关于的函数求解即可. 【详解】（1）由正弦定理， 可变成， 又 则，又，, 则，即，又，则， 从而，所以. （2）由的面积为，得， 又由余弦定理，得，从而， 从而，得（负值舍去） 从而的周长. （3）由正弦定理， 从而， 由为锐角三角形，得，解得， 从而,则,， 即的周长的取值范围. 类型三、解三角形求面积 通常根据面积公式来求值。利用正余弦定理求边长求角的函数值，然后求得面积 例3．（25-26高一下·四川宜宾·期中）在中，角的对边分别为，向量，且 (1)求角的值； (2)若是边上的中线，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量模长公式得到，代入数量积的坐标公式，然后边化角得到角的三角函数式，求出角； （2）利用向量中线公式得出边的长，根据面积公式计算求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 由正弦定理得， 即，且，则， 可得，因为， 所以. （2）由题意得， 则， 即有，且， 解得， 所以， 故的面积为． 变式3-1．（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）在中，已知. (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的面积. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，即可得结果； （2）由题意可得，利用两角和差公式可得，进而可得面积. 【详解】（1）由正弦定理，可得， 因为，所以或. （2）因为为锐角三角形，则， 则， 所以的面积. 变式3-2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理与和角公式，结合三角形内角范围即可求得； （2）将代入题设条件，利用辅助角公式，解出，进而推得，再使用余弦定理和三角形面积公式求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 即， 因， 代入可得 ，，则，即， 又，. （2）由（1）知，，即， 可得， 即，即， ，所以，解得，则，所以， 由余弦定理得，，解得，则， 所以的面积为. 变式3-3．（25-26高一下·陕西商洛·期中）已知，， ． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)设的内角的对边分别为，且，，边上的中线，求的面积． 【答案】(1)；． (2) 【详解】（1）， 因此最小正周期， 令，解得， 所以的单调递增区间为． （2），即， 因为，所以， 因此，即， 因为，两边平方可得， 即， 由余弦定理可得， 联立可得，解得， 所以. 类型四、解三角形求面积的范围 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 例4．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得，进而求得答案； （2）由题意知为等边三角形，设，进而结合余弦定理，三角形面积公式得，再根据三角函数性质求解即可； （3）由题意知，进而根据等面积法得，再结合基本不等式得，当且仅当时等号成立，最后根据面积公式求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以，所以或， （2）解：因为，所以，， 所以为等边三角形， 如图，设， 在中， 所以 因为，， 所以，当时，取得最大值.    （3）解：由为钝角得，因为的角平分线交于点， 所以 因为，即， 所以，整理得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以    变式4-1．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，，求周长. (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理与三角恒等变换公式，推导出角的三角函数值，进而确定角的大小； （2）先利用三角形面积公式求出边的长度，再结合余弦定理求出边的长度，最后将三边相加得到周长； （3）利用正弦定理将另外两边用角表示，再结合锐角三角形的条件确定角的取值范围，最后代入三角形面积公式，利用三角恒等变换与三角函数的性质求出面积的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理，得： ， 代入原等式：， 整理得， 因为， 所以， 由于，所以，所以， 又，所以； （2）因为且，所以， 由余弦定理可得， 则，解得， 所以，即的周长为； （3） ， 因为是锐角三角形，又， 所以，解得， 所以，则， 从而. 变式4-2．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间； (3)若锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数量积运算结合三角恒等变换化简表达式，结合周期公式求解； （2）根据正弦函数的单调性求解； （3）先求出，然后用正弦定理得出，利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）由已知 又的图象上相邻两条对称轴之间的距离为， 可得，可得，解得， 所以； （2）令 解得 即函数的单调递减区间为； （3）因为， 所以， 又，则，解得. 由余弦定理可得， 因为，所以，即，当且仅当时成立，此时为等边三角形符合题意， . 面积的最大值为. 变式4-3．（25-26高一下·山东临沂·期中）定义平面凸四边形为没有内角度数大于的四边形．如图，已知平面凸四边形中，． (1)若四边形被对角线分为面积相等的两部分，且； ①求的长； ②若，求的值． (2)若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据已知条件，利用余弦定理和三角形面积公式求解；②建立坐标系，求出相关点和向量坐标，进而求出向量的数量积； （2）利用余弦定理和三角形面积公式，结合两角和的余弦公式及三角函数的性质求面积最大值． 【详解】（1）①中，已知，由余弦定理得： ，则， ， 由题意知，在中，， 由，解得， ，， 由凸四边形性质，，故，则， 由余弦定理得：， 故． ②以为坐标原点建立平面直角坐标系如图， 则，则， ，， ， ． （2）四边形的面积， 则， 在中，由余弦定理得： ， ， 在中，由余弦定理得： ， ，化简得， ，即， ， 当且仅当，即时，取等， 则，故． 类型五、解三角形求角及三角函数值 利用正余弦定理，以及面积公式求三角形的角或角的三角函数值。 例5．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，角的对应边分别是，且. (1)求； (2)若BC边上的高等于，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理将边化为角，通过化简后可得；（2）作出BC边上的高，在,中可将，用表示出来，进而根据余弦定理可求得. 【详解】（1）由及得，① 在中，有，② 由①②可知， 则有， 又，所以，由可得, 因此可得； （2）如图所示，过作BC边上的高交BC于， 由题意可知，由（1）中可知是等腰直角三角形， 所以，. 在中，， 则有，所以， 则在中，由余弦定理可得. 变式5-1．（25-26高一下·广东中山·期中）记的内角的对边分别为，已知． (1)求． (2)若在上，平分．若在上，平分，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理结合三角形内角关系计算求解； （2）根据已知条件，利用正弦定理及三角形内角关系，结合二倍角公式及两角和与差的正弦公式化简计算求解． 【详解】（1）已知，由正弦定理得： ， ， ． ， ， ，故． （2）平分， ， 设，则， ， ， 由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ， ， ， 即， ． ， ，故， ，故， ． 变式5-2．（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，在中，已知，为边的中点． (1)求； (2)求． 【答案】(1)12 (2)． 【分析】（1）方法一，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解；法二，利用向量数量积的运算律求解；法三，在中，由余弦定理求得，，再根据向量数量积定义求解； （2）法1，由向量的坐标运算结合夹角公式求解；法2，利用数量积运算求得，结合夹角公式求解；法3，在中，由余弦定理求得，再由余弦定理求得答案. 【详解】（1）方法一：以为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则. 所以，所以. 方法二：因为， 所以. 方法三：在中，由余弦定理可得， ，即， ， 所以． （2）方法一，因为，所以， ， 则. 方法二，因为， 所以， ， ， 所以． 方法三：在中，由余弦定理可得，， 所以， 所以. 变式5-3．（25-26高一下·广东深圳·期中）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求角A和边c的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知条件化简求得角，再利用余弦定理求得边； （2）利用正弦定理先求，结合边的关系确定，再由二倍角公式求得． 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （2）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故． 类型六、解三角形求边 利用正余弦定理，以及面积公式求三角形的边。 例6．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）已知中，. (1)如果，求的值； (2)若，求边的长度. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先根据余弦定理求出边长，再用余弦定理求. （2）利用三角形中线长公式，结合已知条件求出边长. 【详解】（1）已知，由余弦定理和可得： ，即， 所以， （2）由题意可得：， 又因为，所以是的中点，是边上的中线， 所以由三角形中线长公式可得： ，化简得，解得， 因为边长为正，故. 变式6-1．（25-26高一下·广东清远·期中）已知中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为AB的中点，，． (1)若，求a； (2)若，求b． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知角的余弦值求出其正弦值，再通过正弦定理建立已知边与所求边的比例关系，从而解出所求边长； （2）在第一个三角形中，利用余弦定理建立关于未知边长的方程，求解得到该边长；再在第二个三角形中，利用余弦定理计算另一条边的平方，开方即得结果. 【详解】（1）在中，，， 由同角三角函数的基本关系得， 由正弦定理得，即，所以． （2）在中由余弦定理得， 因为，所以，解得， 在中，由余弦定理得，所以. 变式6-2．（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）已知平面向量，，设函数． (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求c的值． 【答案】(1)，， (2)或． 【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式、二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质求解即得； （2）结合条件求出角，再由余弦定理即可求得. 【详解】（1）由 ， 故该函数的最小正周期为， 对称轴方程满足，解得，． 故函数的最小正周期为；对称轴方程为，． （2）由得，即， ，则，故，解得， 由余弦定理得，代入得， 化简得，解得或，经检验均符合题意． 故或. 变式6-3．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由余弦定理可得，再与已知等式比较，即可求出的值． （2）先由第（1）问求出，再由得到，利用正弦定理把表示为，最后用二倍角公式和两角和的正弦公式计算即可． 【详解】（1）在中，由余弦定理得. 又因为，所以. 因为，是三角形的边长，所以，故. 解得. （2）由第（1）问知. 因为是三角形内角，所以，且，于是. 由，得. 由正弦定理得. 又因为，所以. 由二倍角公式得. 因为，所以. 由二倍角公式得. 因此. 所以. 故的值为． 类型七、解三角形求角（三角函数值）的取值范围 1、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化成一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 2、注意角的取值范围，根据题目的限制条件，如锐角三角形等求出角的范围，从而求三角函数的范围。 例7．（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线记为. (1)证明：； (2)若的面积为，，，求b，c； (3)是否存在，使得？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，的取值范围为 【分析】（1）取的中点，在和中分别用余弦定理表示，再相加消去角的余弦值得到中线长公式. （2）先由中线公式求，再结合面积公式与余弦定理求和，从而确定. （3）将代入中线公式，并结合余弦定理把化为只含的表达式，再由三角形存在条件求范围. 【详解】（1）取的中点，则，且.    设，则. 在中， 由余弦定理得. 在中，由余弦定理得. 两式相加，得，所以. （2）由第（1）问结论和，，得，解得，即. 又由余弦定理得，所以，即. 因为的面积为，所以，即. 将两式平方相加，得，所以. 又，所以，即. 因此是方程的两个根，故. （3）存在. 若，由第（1）问结论得，整理得，即. 由余弦定理得. 令，其中，则. 因为，所以，当且仅当时等号成立. 另一方面，三角形存在时必须有，所以. 由可知，只要，就能取到对应的三角形；由三角形三边关系可得.结合可知，所以的取值范围为. 因此存在这样的三角形，此时的取值范围为. 变式7-1．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）从①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________． (1)求角的大小； (2)求取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①，由题设结合正弦定理边角互化可得，化简后可得答案；若选②，由题设结合正弦定理边角互化可得，据此可得答案；若选③，由题设结合切弦互化，正弦定理边角互化可得，据此可得答案； （2）由（1）结合题设可得，然后利用三角函数恒等变换知识可得，据此可得答案. 【详解】（1）若选①：由正弦定理得 ， 即 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，整理得 ， 又因为 ，则 ，所以 ； 若选：因为 ， 由正弦定理得 ， 即 ， 所以 ，由 ，得 ， 所以 ，即 ， 因为 ，所以 ； 若选③：因为 ，所以 ， 即 ，又因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ； （2）在锐角 中，由（1）得 ， 所以 ， 所以 ， 由 ，所以 ， 所以 的取值范围为 . 变式7-2．（25-26高一下·天津河东·期中）设的内角所对边分别为，且． (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和与差的正弦公式、诱导公式得到，根据三角形面积公式求出，结合余弦定理求出，即可得到三角形周长. （2）利用两角差的余弦公式、辅助角公式进行化简，得到，根据锐角三角形求出的范围，进而求值域即可. 【详解】（1）中，，所以. 由得，， 整理得. 又，所以，则，所以. 由三角形面积公式得，所以. 由余弦定理得， 所以，所以. 故的周长为. （2） . 由（1）得，，因为为锐角三角形，所以， 所以，则， 所以，解得，则. 又在上单调递增，所以. 故的取值范围为. 变式7-3．（25-26高一下·重庆·期中）如图，中，角，，的对边分别为，，，，．点在延长线上． (1)若，的角平分线交于点，求线段的长； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图： 因为，又，则， 所以． 解得． （2）因为在的延长线上，故， 所以 ， 因为，所以，得， 所以的取值范围为． 类型八、解三角形求边的取值范围 求边的和差的取值范围： 1、利用正弦定理进行边化角，将边换成三角函数的代数式。 2、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化成一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 3、注意角的取值范围，根据题目的限制条件，如锐角三角形等求出角的范围，从而求三角函数的范围。 求边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： 1、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 2、统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。 例8．（25-26高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 (1)若，， ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； (2)求的取值范围. 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由已知条件结合三角恒等变换化简得，得解；②由正弦定理求得，再由求得答案； （2）由结合内角和定理可得，，将所求式子由正弦定理边化角结合二倍角公式化简得，令，利用函数单调性求解. 【详解】（1）①， ，即得， 又，所以，所以， 所以或，即或， 因为，所以，即，故， 因为，所以. ②由①得. 在中，由正弦定理，得， 因为，所以， 所以， . （2），，， 、B、C为的内角，， 由正弦定理得 ， 令，原式， 因为在单调递增，所以. 变式8-1．（25-26高一下·江苏盐城·期中）在三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c (1)在斜三角形 （i）若，，求的值． （ii）若，求的值． (2)若，求c的取值范围. 【答案】(1)(i); （ii）; (2) ; 【分析】（1）(i)先利用两式相除、相减，结合三角形内角和与正切恒等式，化简求出，再运用斜三角形中的恒等式，最后代入恒等式得结果即可； (ii) 先用正弦定理将正弦关系式转化为边的关系，再代入余弦定理，整理出含的式子；接着通过换元法，将式子转化为均值不等式的形式，利用均值不等式“左边大于等于”和三角函数最值“右边小于等于”的特点，判断等号必须成立，从而确定角的值，最终求出即可； （2）先对已知等式用平方差公式展开化简，结合 的取值范围，推出；再根据 ，确定的两种可能取值；最后分情况利用正弦定理，将表示为关于角的函数，结合角的取值范围，分析得出的取值范围. 【详解】（1）(i) 因为 ， ， 则两式相除，得，即， 两式相减，得 ， 即 ， 整理 ，故 ， 在斜三角形中，由可得恒等式， 将代入 ， 因此. (ii)由正弦定理，得， 代入原式得， 化简得， 又因为三角形面积公式 ，且 ， 所以， 因为，代入， 整理 ， 两边同除以，得， 令 ，则， 由均值不等式得，当且仅当时取等号； 又因为，故等号必须同时成立， 即时， 因为 ，得，所以， 因此 . （2）因为 ， 所以 ， 整理得 ，即 ， 由 ，得 ， 由 ，得 ，故， 此时 ，即 ， 因，故或，即或， 当时，，由正弦定理， 所以， 当 时 ， 当时， 若 时，，此时， 若时，，此时 因此； 当 时，，同理， 其中 ，，故 ， 综上，的取值范围为 . 变式8-2．（25-26高一下·安徽池州·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)若，解答下列问题： ①当的面积为时，求AC边上的中线长； ②若点D在边上，且平分，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式即可求解； （2）①由三角形面积公式及余弦定理得出和，再根据平面向量数量积的运算律即可求解；②由角平分线得出，，由余弦定理得，再由基本不等式即可求解． 【详解】（1）根据已知，由正弦定理得， 因为， 所以， 由得，故． （2）①由（1）知，则， 由面积得，即， 又由余弦定理， 代入，得， 设的中点为，则， ， 故中线长为． ②由角平分线得， 又，得，， 则， 由余弦定理，即， 所以，， 由（当且仅当时取等号），得： 所以， 又为三角形边长，则，故 综上所述，的取值范围为． 变式8-3．（25-26高一下·湖南株洲·期中）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的坐标表示，利用正弦定理和余弦定理角化边可得； （2）利用正弦定理将表示为关于角的函数，根据二倍角公式化简，由正切函数的性质可得. 【详解】（1）因为， 所以 ， 利用正弦定理角化边得， 又， ，则， 又为锐角三角形，故. （2）由正弦定理得， ， 由于为锐角三角形，则， 又，解得， 所以 ， 而，即， ，故的取值范围为. 1．（25-26高一下·北京·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求角B的大小； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下两个问题的解答： （ⅰ）求b的值； （ⅱ）若是锐角三角形，求周长的取值范围. 条件①：外心（外接圆圆心）到边距离为； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)（i）选择①或②，均得到；（ii）. 【分析】（1）由正弦定理边化角结合三角恒等变换化简得解； （2）（i）若选择条件①，由已知条件求得外接圆半径，再结合正弦定理求得；若选择条件②，由余弦定理角化边化简得解；（ii）由（i）可得，，利用正弦定理得，，代入化简可得的周长关于的三角函数，利用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又，所以， 化简得，又，， 所以，即，又， 所以. （2）（i）若选择条件①，如图，设为外接圆的圆心，半径为，作，垂足为， 因为，所以，故， 又，所以，即， 所以. 若选择条件②，因为，由余弦定理得， 化简得. （ii）由，，得，所以，， 所以的周长 ， 因为是锐角三角形，所以，即，解得， 所以，故， 所以，即的周长的取值范围为. 2．（25-26高一下·浙江台州·期中）在中，角的对边分别是，若． (1)求； (2)若，，求的面积； (3)若，求锐角面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合消去，化简后通过同角三角函数关系求； （2）已知，先用余弦定理列方程解出，再代入三角形面积公式计算； （3）先用正弦定理将用表示，结合锐角三角形条件求出的范围，再将面积转化为关于的三角函数，结合单调性求值域． 【详解】（1）由得， 因为，所以， 所以， 即， 因为，所以，所以， 所以，又因为，所以； （2）由，得，解得，（舍去）， 所以； （3）因为，，所以， 由，得， 所以 ， 因为为锐角三角形且，所以， 则，，，， 所以． 3．（25-26高一下·河南许昌·期中）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______． (1)求B的大小； (2)若，求周长的取值范围； (3)若AC边上的高为1，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据所选的条件，应用向量平行的坐标表示、正弦边角关系、三角恒等变换，将条件化为或，最后由三角形内角性质、余弦边角关系求角； （2）由余弦定理、基本不等式得到，从而求得，即可得； （3）应用等面积法得，余弦定理得，结合基本不等式求得，最后应用三角形面积公式求最小值. 【详解】（1）选择①：因为，所以， 由正弦定理，得， 即， 即， 因为，所以，所以， 又，所以； 选择②：因为，所以， 由正弦定理，得，即， 即，即，即， 由余弦定理，得，又，所以； （2）由余弦定理，得， 即，即，当且仅当时取等号， 所以，得，即周长的取值范围为； （3）由面积公式，得， 由余弦定理可得， 所以， 所以，当且仅当时等号成立． 所以， 即面积的最小值为. 4．（25-26高一下·吉林长春·月考）在中，. (1)求的值； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由射影定理直接可得所求角的余弦值，进而可得正弦值； （2）先由余弦定理及基本不等式可得，进而可得周长的最小值； （3）将三角形的面积表示成关于角的三角函数，用函数的性质可得面积的取值范围. 【详解】（1）因为在三角形中，由射影定理代入， 得，即，因为，所以. （2）在三角形中，由（1）知， 由余弦定理得， 又因为，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以，即，所以周长. 因此周长的最小值为. （3）因为是锐角三角形，由（1）知，且，得，， 所以，解得. 又由正弦定理得，所以， ， 因为，所以，因此. 所以面积. 5．（25-26高一下·浙江·月考）已知的周长为，面积为，内角A、B、C对边分别是a、b、c，且. (1)求角； (2)若边长，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解. （2）由余弦定理可得结合基本不等式求出，即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理得 ， 在中， （2）由余弦定理可得：， 即 ， ， ，当且仅当时取等号 又 ∴当时，取到最小值为 6．（25-26高一下·湖北·期中）在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，. (1)求角C的大小； (2)若，求的面积； (3)记边a、b、c的高分别为、、，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意及正弦定理得，化简即得； （2）化简得到，即，又由，得到，从而得到，进而得到是等边三角形，即可求其面积； （3）先利用面积公式化简得到，再利用正弦定理和三角恒等变换化简得到，在锐角中， 则在上单调递减，从而，所以. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即， ∴, 又∵，∴， ∵，∴. （2） ， ∵，∴，∴， 又∵，∴，从而，， 由（1）知，∴是等边三角形，面积为. （3）由题得到， ∵， ∴， ， 在锐角中，∵，∴，， ∴在上单调递减， 从而， 即， ∴. 7．（25-26高一下·重庆·月考）若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． (1)若，，求的值； (2)若为锐角三角形， ①若，求的值； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）在中，由内角和得，结合正弦定理得，整理得，代入数值计算得结果； （2）①利用三角形中正弦定理及三角恒等变换得化简得原式等于，代入得结果；②可证，由，将转化为关于的函数，结合锐角三角形得到的范围，换元用对勾函数求得的值域，再取倒数得到的范围. 【详解】（1）在中，， 由正弦定理可得，所以. （2）①由（1），同理可得， 又在中，，可得， 同理可得， 所以 ； ②由前可知，且，所以， 下面将简记作，则， 由正弦定理可得，即， 所以， 整理可得 ，记，则 已知，故，又为锐角三角形，因此，，且，因此： ， 令，由得，化简得：， 整理得： 换元，，化简得：， 由对勾函数性质， 在的最小值为（时取得），端点值趋近， 因此： ，所以. 8．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知锐角中，角所对的边分别为，且， (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用正弦定理将边化成角，再结合三角恒等变换进行推导. (2)利用正弦定理将表达式化为关于角的函数，再根据三角函数单调性求函数值域. 【详解】（1）证明：因为，所以由正弦定理可得， 又 ，即， 解得或(舍去)，所以. （2）因为，由正弦定理可得 ， 因为是锐角三角形，所以， ，所以， 因为在上单调递增，，， 所以. 9．（25-26高一下·黑龙江鸡西·月考）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简整理得到结论； （2）利用面积比可求得，根据，利用余弦定理可构造方程求得，进而得到结果； （3）利用正弦定理边化角，结合两角和差和二倍角公式进行化简，将问题转化为三角函数值域的问题，即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得：， ， ， ； ，， 或， 即或（舍）， ； （2） 由（1）知：，又为的平分线， ， ， ， ， 设，则， ， ， 又， ， ， 解得：或（舍），即， ， ； （3），，， ， 为锐角三角形， ， 解得：， ， ， . 10．（25-26高一下·四川攀枝花·月考）已知的内角所对的边分别为，向量，，且． (1)求角的值； (2)若为锐角三角形． （ⅰ）求角的范围； （ⅱ）已知，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）根据向量垂直的性质得到等式，再利用正弦定理将边化角，最后结合三角函数的性质，即可求出角的值； （2）（ⅰ）根据三角形内角和定理以及锐角三角形的性质，即可求出角的范围； （ⅱ）利用正弦定理将表示为关于角的三角函数，再结合角的范围，即可求出的范围. 【详解】（1）由题意，向量，，且， 所以，即， 由正弦定理，可得， 即， 所以， 由于，则，， 代入得：， 因为中，，所以， 则，即，又是三角形内角，所以或． （2）（ⅰ）因为为锐角三角形，所以， 所以，所以， 所以，解不等式得， 所以的范围为； （ⅱ）由正弦定理（为外接圆半径）， 又，，则，，， 因为，，所以，则， 化简可得 ， 所以 ， 又由（ⅰ）得，，所以， 又根据正切函数的图象性质，在上单调递增， 所以，即． 所以，所以，所以， 即，即. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解三角形中面积、周长、边长问题 目录 典例详解 类型一、解三角形求周长 类型二、解三角形求周长的范围 类型三、解三角形求面积 类型四、解三角形求面积的范围 类型五、解三角形求角及三角函数值 类型六、解三角形求边 类型七、解三角形求角（三角函数值）的取值范围 类型八、解三角形求边的取值范围 压轴专练 类型一、解三角形求周长 求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边长。其问题的本质为这三者之间的关系，知二求一。 例1．（25-26高一下·河北邢台·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为5，求的周长． 变式1-1．（25-26高一下·四川达州·期中）在中，角，，的对边分别是，，，且，，且为锐角. (1)求的值； (2)若，求的周长. 变式1-2．（25-26高一下·广东广州·期中）已知函数，且恒成立. (1)求的解析式； (2)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，求的周长. 变式1-3．（25-26高一下·重庆綦江·期中）在中，内角的对边分别为，且 (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的周长． 类型二、解三角形求周长的范围 关于周长的最值问题，题目简化成两个边的和的最值问题。通常有以下两种方法 1、若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。 2、若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 3、若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 注意：运用基本不等式时，看是否满足取等条件。如题有角度限制比如锐角或钝角，可以考虑转化成三角函数问题，这时要先求得被限制的角的取值范围。 例2．（25-26高一下·山东泰安·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长． (3)若，求周长的取值范围. 变式2-1．（25-26高一下·陕西西安·月考）已知分别为三个内角的对边，且. (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围. 变式2-2．（2026高一下·山东枣庄·专题练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角C的值 (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，且，求的周长取值范围． 变式2-3．（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知、、分别为三个内角、、的对边， (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围： 类型三、解三角形求面积 通常根据面积公式来求值。利用正余弦定理求边长求角的函数值，然后求得面积 例3．（25-26高一下·四川宜宾·期中）在中，角的对边分别为，向量，且 (1)求角的值； (2)若是边上的中线，，求的面积． 变式3-1．（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）在中，已知. (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的面积. 变式3-2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 变式3-3．（25-26高一下·陕西商洛·期中）已知，， ． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)设的内角的对边分别为，且，，边上的中线，求的面积． 类型四、解三角形求面积的范围 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 例4．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 变式4-1．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，，求周长. (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 变式4-2．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间； (3)若锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值. 变式4-3．（25-26高一下·山东临沂·期中）定义平面凸四边形为没有内角度数大于的四边形．如图，已知平面凸四边形中，． (1)若四边形被对角线分为面积相等的两部分，且； ①求的长； ②若，求的值． (2)若，求四边形面积的最大值． 类型五、解三角形求角及三角函数值 利用正余弦定理，以及面积公式求三角形的角或角的三角函数值。 例5．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，角的对应边分别是，且. (1)求； (2)若BC边上的高等于，求的值. 变式5-1．（25-26高一下·广东中山·期中）记的内角的对边分别为，已知． (1)求． (2)若在上，平分．若在上，平分，且，求． 变式5-2．（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，在中，已知，为边的中点． (1)求； (2)求． 变式5-3．（25-26高一下·广东深圳·期中）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求角A和边c的值； (2)求的值. 类型六、解三角形求边 利用正余弦定理，以及面积公式求三角形的边。 例6．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）已知中，. (1)如果，求的值； (2)若，求边的长度. 变式6-1．（25-26高一下·广东清远·期中）已知中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为AB的中点，，． (1)若，求a； (2)若，求b． 变式6-2．（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）已知平面向量，，设函数． (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求c的值． 变式6-3．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 类型七、解三角形求角（三角函数值）的取值范围 1、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化成一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 2、注意角的取值范围，根据题目的限制条件，如锐角三角形等求出角的范围，从而求三角函数的范围。 例7．（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线记为. (1)证明：； (2)若的面积为，，，求b，c； (3)是否存在，使得？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由. 变式7-1．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）从①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________． (1)求角的大小； (2)求取值范围； 变式7-2．（25-26高一下·天津河东·期中）设的内角所对边分别为，且． (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 变式7-3．（25-26高一下·重庆·期中）如图，中，角，，的对边分别为，，，，．点在延长线上． (1)若，的角平分线交于点，求线段的长； (2)求的取值范围． 类型八、解三角形求边的取值范围 求边的和差的取值范围： 1、利用正弦定理进行边化角，将边换成三角函数的代数式。 2、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化成一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 3、注意角的取值范围，根据题目的限制条件，如锐角三角形等求出角的范围，从而求三角函数的范围。 求边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： 1、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 2、统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。 例8．（25-26高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 (1)若，， ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； (2)求的取值范围. 变式8-1．（25-26高一下·江苏盐城·期中）在三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c (1)在斜三角形 （i）若，，求的值． （ii）若，求的值． (2)若，求c的取值范围. 变式8-2．（25-26高一下·安徽池州·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)若，解答下列问题： ①当的面积为时，求AC边上的中线长； ②若点D在边上，且平分，求的取值范围． 变式8-3．（25-26高一下·湖南株洲·期中）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角的值； (2)若，求的取值范围. 1．（25-26高一下·北京·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求角B的大小； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下两个问题的解答： （ⅰ）求b的值； （ⅱ）若是锐角三角形，求周长的取值范围. 条件①：外心（外接圆圆心）到边距离为； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 2．（25-26高一下·浙江台州·期中）在中，角的对边分别是，若． (1)求； (2)若，，求的面积； (3)若，求锐角面积的取值范围． 3．（25-26高一下·河南许昌·期中）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______． (1)求B的大小； (2)若，求周长的取值范围； (3)若AC边上的高为1，求面积的最小值． 4．（25-26高一下·吉林长春·月考）在中，. (1)求的值； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 5．（25-26高一下·浙江·月考）已知的周长为，面积为，内角A、B、C对边分别是a、b、c，且. (1)求角； (2)若边长，求的最小值． 6．（25-26高一下·湖北·期中）在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，. (1)求角C的大小； (2)若，求的面积； (3)记边a、b、c的高分别为、、，求的取值范围. 7．（25-26高一下·重庆·月考）若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． (1)若，，求的值； (2)若为锐角三角形， ①若，求的值； ②若，求的取值范围． 8．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知锐角中，角所对的边分别为，且， (1)求证：； (2)求的取值范围． 9．（25-26高一下·黑龙江鸡西·月考）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 10．（25-26高一下·四川攀枝花·月考）已知的内角所对的边分别为，向量，，且． (1)求角的值； (2)若为锐角三角形． （ⅰ）求角的范围； （ⅱ）已知，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $