专题01 正余弦定理解三角形8大类型（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第四册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01正余弦定理解三角形 目录 典例详解 类型一、余弦定理解三角形 类型二、正弦定理解三角形 类型三、面积公式的应用 类型四、正弦定理求外接圆半径 类型五、正余弦定理判定三角形形状 类型六、正弦定理判定三角形解的个数 类型七、正余弦定理的边角互化 类型八、正余弦定理的应用 压轴专练 典例详解 类型一、余弦定理解三角形 对三角形△ABC,角A对应的边为a,角B对应的边为b,角C对应的边为c 余弦定理公式：a2=b2+c2-2 bccosA:b2=c2+a2-2 accosB;c2=a2+b2-2 abcosC. 推论：cosA= b2+c2-a .cosB=a2+c2-b2 a2+b2-c2 2be 2ac cosC= 2ab 利用余弦定理来解三角形的情况： 1、已知三边，求任意角。 2、已知两边和其中一边的对角，可用余弦定理。 3、三角形中有分线的情况，可以考虑用两次余弦定理来处理。 4、余弦定理跟面积公式结合去解三角形的三边。 例1.(25-26高一下江苏苏州期中)在ABC,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,c=2, eos4=},则a=() 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.3 C.2W5 D.√22 变式1-1.(25-26高一下·重庆江北期中)已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、bc,若 a=2W5,c=2,B=元，则b=（) 6 A.√3 B.5 C.2 D.V16-4V5 变式1-2.(25-26高一下·江苏无锡期中)记ABC的面积为S,ABC的外接圆半径为1，且 2S=sin2A+cos2B-cos2C,则tanB为. 变式1-3.(25-26高一下·黑龙江哈尔滨期中)在ABC中，三个内角分别为A,B,C,所对的三边长分 别为a,b,c,若A=80°，并且a2-b2=bc,则() A.B=60 B.C=50° C.B=50° D.C=60° 类型二、正弦定理解三角形 正弦定理常见变形： 1sin4=a,sin cc sin Bb sin B B' sin A sin C casin B-bsinA,asin C-esinA,bsin C-csin B: ② a b a+b a+c b+c a+b+c sin A sin B sin C sin A+sin B sin A+sin C sin B+sin C sin 4+sin B+sin C: 3a:b:c=sinA:sin B:sin C; 正弦定理解三角形的情况： 1、己知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 2、已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 3、 在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sn的齐次式，可以考虑 用正弦定理。 例2.（辽宁朝阳市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题）ABC的内角A,B,C所对的边分别为 6c,若a=5.6=l4=骨则B为() A3 B.或 c.s D.2 π 66 变式21.(25-26高一下北京朝阳阶段检测)在ABC中，若a=V2,∠A= 5'cosC=-1 则cs 2/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式2-2.(25-26高一下·广东深圳期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 cos1=-4sm8= 1 ,b=2,则a= 变式2-3.(25-26高一下·重庆阶段检测)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 A ,c=2a,则=() b A.② B.√2 C.1 D.2 类型三、面积公式的应用 三角形面积公式的应用情况： 1、已知两边及夹角，直接用SAABC=absinC=bcsinA=acsinB 2、已知三边，可先用余弦定理求出角，然后再用面积公式求面积 3、 最值问题：利用面积公式转化为函数，用均值不等式或三角函数求最值。 例3.(25-26高一下江苏南通期中)在ABC中，已知AB=7,BC=√3.M为AC的中点，且 BM=V19,则ABC的面积是() A.73 B.7N19 C.75 D.14V5 变式3-1.(25-26高一下·江苏扬州期中)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 acos=bsin4,ac=45,则ABC面积为 2 变式3-2.(25-26高一下，安微合肥期中)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知 bsinC+csinB=4 asinBsinC,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为 变式3-3.(25-26高一下·广东珠海期中)记ABC的内角A,B,C的对边分别为Q,b,C,若a=3, b=2√6，B=2A,则S4Bc=() A.32 B.5V2 C.3W6 D.6W6 类型四、正弦定理求外接圆半径 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c,则有 a b C sin A sin B sin C 3/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若△ABC外接圆半径为R,则有ABC2R 例4.(25-26高一下·江苏泰州期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,A=30°，则 ABC外接圆的面积为() A.2 B.1 C.2π D.刀 变式4-1.(25-26高一下·天津红桥期中)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 6=a sinC+cosC),且a=√6，那么ABC外接圆的半径为 3 变式4-2.(25-26高一下·上海浦东新·月考)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C,若 a=√5，且c-2b+2√5cosC=0,则该三角形外接圆的半径为 变式4-3.(25-26高一下·湖北武汉·期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 c=2b=2,A=2B,则ABC外接圆的半径为() A.1 B.3 C.5 D.2 2 类型五、正余弦定理判定三角形形状 将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状。 1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合。条件为边的等式，尝试余弦定理化角。条件含正弦/余弦函 数，尝试正弦定理化边，或直接三角变形。化为最简的边等式或角等式。 2、根据化简结果判断： (1)出现边相等的时候，可判断等腰或者等边。 (2)若a2+b2=c2,则∠C=90°（勾股定理逆定理）。 (3)若a2+b2>c2,则∠C<90°（锐角）。 (4)若a2+b2<c2,则∠C>90°（钝角） 例5.(25-26高一下·河南开封阶段检测)在ABC中，若3b=23 a sin B,cosA=cosC，则ABC形状为 () A.等边三角形B.等腰但不等边三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形 变式5-1.(25-26高一下江苏期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosB-bcosA=c, 则ABC的形状为() 4/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.等腰三角形B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 变式5-2.(25-26高一下.江苏扬州期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 acosB+bcosA=a,则ABC的形状是() A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.非特殊三角形 变式5-3.（多选）(25-26高一下·江苏无锡期中)（多选）对于ABC,有如下命题，其中错误的是() A.若sin2A+sin2B+cos2C<1,则ABC为锐角三角形 B.若AB=5,4C=1,B=30,则4BC面积为 2 C.若Ba AB AC )·BC=0,则ABC为等腰三角形 D.若sin2A=sin2B,则ABC为等腰三角形 类型六、正弦定理判定三角形解的个数 在△ABC中，已知a,b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若A为锐角时：根据a与bsinA、b之间关系判断解的个数。 若A为钝角或直角时：根据a与b之间关系判断解的个数。 例6.（多选)(25-26高一下·江西·期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列对三 角形解的个数的判断正确的是() A.a=7,b=14,A=30°，有两解 B.a=30,b=25,A=150°，有一解 C.a=√5，b=√6，A=60°，无解 D.a=6,b=9,A=45,有两解 变式6-1.(25-26高一下·上海期中)在ABC中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是() A.a=10,c=16,A=45 B.a=12,b=10,A=60 C.a=6,A=30°，b=10 D.a=6,b=6,B=30 变式6-2.（多选）(25-26高一下.甘肃白银阶段检测)（多选）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,下列各组条件中，使得ABC恰有一个解的是() A4=c=2,0=19 B4-e=2,a=5 5/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C4=号c=2,a=l D.A=元」 F3’c=2,a=2 变式6-3.(25-26高一下·山东济宁期中)已知4，b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，若满足 B=工，a=4的三角形有两个，则b的取值范围为() 61 A.(0,2 B.（2,4 C.(25,4 D.(4,+0） 类型七、正余弦定理的边角互化 正余弦定理实现三角形的边角互化，可以用来化简题目中的条件。 (1)利用正弦定理进行边角互化，需要对等式中的每项进行统一变换。 (2)利用余弦定理，化角为边。 例7.（25-26高一下江苏南京期中)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 cosA sin2B 。0的最小值为 1+sinA1+cos2R,则+2h2 变式7-1.(25-26高一下·云南文山阶段检测)在ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,C,若 bcosA+ac0sB=c2,a=b=2,则ABC的周长为() A.4 B.5 C.6 D.7 变式7-2.(25-26高一下山东·期中)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,记ABC的面 积为S,若(b2-a2)sinB=2S,则b+C的取值范围是() A.(2,6 B.(V2+2,6) C.(W2+1,V5+2) D.(2,V3+3) 变式7-3.(25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔期中)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 bcos 4+acos B=2ccosC, ABC的面积为35，则。+6的最小值为 2 类型八、正余弦定理的应用 正余弦定理的应用在测量高度、距离、角度问题上，构造三角形，应用解三角形的思想来求解。 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例8.(25-26高一下江苏无锡期中)如图，测量河对岸塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个 测量基点C和D.现测得a=75°，B=60°，CD=20m,在点C处测得塔顶A的仰角0=60°，则塔高AB为 () h B A.30v3m B.20√6m C.30√2m D.10v2m 变式8-1.(25-26高一下山东枣庄期中)枣庄青檀寺历史悠久、风景秀丽，寺内有塔，相传民族英雄岳飞 曾因得眼疾来此养病，所以也有岳飞养眼楼之称，如图1某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O 的同一水平面上的A,B两点处进行测量，如图2.己知在A处测得塔顶P的仰角为60，在B处测得塔顶P 的仰角为45°，AB=30米，∠A0B=30°，则该塔的高度OP=() B 图1 图2 A.302米 B.30W5米 C.25米 D.30√6米 变式8-2.(25-26高一下·重庆阶段检测)如图，为了测量两山顶M,N的距离，飞行器沿水平方向在A,B 两点进行测量，A,B,M,N在同一个铅垂平面内.己知A,B两点相距2千米，在A处观测M的俯角为 60°，观测N的俯角为30°，B在N的正上方，且在B处观测M的俯角为30°，则M,N之间的距离为 千米 A B M 变式8-3.(25-26高一下·江苏无锡期中)如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A,B,C,D.已知C, D两个基站建在河的南岸，距离为2Okm,基站A,B在河的北岸，测得∠ACB=60°，∠ACD=105°， ∠ADC=30°，∠ADB=60°，则A、B两个基站的距离为 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 号号 压轴专练 1.(25-26高一下·福建福州期中)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且面积为S.若 C且48=ac0sB+bc0sA,则B兰 A.晋 7π B. 12 c. D. 2.(多选)(25-26高一下·湖北随州阶段检测)（多选）在ABC中， a2+6-c2_anB,且b=22,D为 a2+c2-b2 tanA 边BC的中点，则() A.A=C B.若AD=√5，则a=2 C.cosA+cosB+cosC≤√2 D.若a=4,则AD.BC=-4 3.(25-26高一下江苏泰州期中)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ABC的面积 S=bc1-cos4),则户的取值范围为 4.(多选)(25-26高一下·江苏泰州期中)（多选）在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且 1 sinAsinBsinC = 8 ABC的面积和周长均为12，ABC的外接圆半径为R,则() A.R=45 B.abc=48 C.sind+sina+sinc D.acos4+bcosB+ccosC=23 5.(25-26高一下山东青岛期中)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，b=c(1+2c0sA,则 b+3c的取值范围为 a 6.(多选)(25-26高一下江苏期中)（多选）在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,c=2,c-b=2bcosA,() 8/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.A=2B B. 的取值范围是（√2,2） 0 C.存在ABC,其面积为1 D.边AB上的中线长的取值范围是1，⑤) 7.(多选)(25-26高一下·广东佛山期中)己知ABC的三边长是三个连续的正整数.则下列判断正确的是() A.若ABC的周长为21，则ABC是锐角三角形 B.若ABC是直角三角形，则ABC的内切圆面积为元 C.若A8C是钝角三角形，则4BC的外接圆半径必为16正 15 D.若ABC的最大内角是最小内角的两倍，则ABC的周长必为15 8.(多选)(25-26高一下江苏南京·期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知 a=3,c=4,∠B=60°，则下列结论正确的是（) A.b=13 B.ABC的面积为3√5 C.sinc= 2 D.a2+c2=b2-ac 9.(多选)(25-26高一下·贵州贵阳·期中)已知锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 ABC的外接圆半径为R,a=√5，bsin(B+C)=Rasin B,则() B.4=T 6 C.R=1 D.△4BC面积的最大值为35 10.(多选)(25-26高一下·湖南阶段检测)在ABC中，设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 cos8=a+c,B>A.下列说法正确的是() 22c A.ABC是直角三角形 B.若D是AB的中点，则tan B.tan∠BDC>1 C.若AB=1,D为AC的中点，则4D+BD的最大值为25 3 D.若AB=4,则2AC+BC∈(8,4V5 9/9 专题01 正余弦定理解三角形 目录 典例详解 类型一、余弦定理解三角形 类型二、正弦定理解三角形 类型三、面积公式的应用 类型四、正弦定理求外接圆半径 类型五、正余弦定理判定三角形形状 类型六、正弦定理判定三角形解的个数 类型七、正余弦定理的边角互化 类型八、正余弦定理的应用 压轴专练 类型一、余弦定理解三角形 对三角形，角A对应的边为，角B对应的边为，角C对应的边为 余弦定理公式：；；． 推论： 利用余弦定理来解三角形的情况： 1、已知三边，求任意角。 2、已知两边和其中一边的对角，可用余弦定理。 3、三角形中有分线的情况，可以考虑用两次余弦定理来处理。 4、余弦定理跟面积公式结合去解三角形的三边。 例1．（25-26高一下·江苏苏州·期中）在，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】在，，，， 则， 所以. 变式1-1．（25-26高一下·重庆江北·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】，则（负值舍去）. 变式1-2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）记的面积为，的外接圆半径为，且，则为____． 【答案】/0.5 【分析】由正弦定理把已知等式中的角用边表示，再结合余弦定理和三角形面积公式求解. 【详解】， 由正弦定理， ，代入上式得： ，所以， 又，，所以，所以. 变式1-3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，三个内角分别为，，，所对的三边长分别为，，，若，并且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目考查解三角形的综合应用，重点考查余弦定理，正弦定理，三角恒等变换与三角形内角和定理.解题关键是通过余弦定理的代入运算，利用正弦定理将边的关系转化为角的三角函数关系，再利用三角恒等式化简，得到内角之间的数量关系，进而求出未知角. 【详解】中，因为，由，， 所以，； 又因为，(为的外接圆的半径)， ，，，得， 又，，， 所以， 两角和的正弦公式，得，，， 中，，当时，所以，. 当时，矛盾，不存在，故选项D正确. 类型二、正弦定理解三角形 正弦定理常见变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； 正弦定理解三角形的情况： 1、已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 2、已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 3、在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者的齐次式，可以考虑用正弦定理。 例2．（辽宁朝阳市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题）的内角所对的边分别为，若，则为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理可得，，即， 因为，所以， 故. 变式2-1．（25-26高一下·北京朝阳·阶段检测）在中，若，则___________． 【答案】/ 【分析】已知边，角以及角的余弦值，可先由同角三角函数关系求出，再由正弦定理求出. 【详解】在△ABC中，因为 ，所以 又因为 ，所以， 由正弦定理，得， 所以. 变式2-2．（25-26高一下·广东深圳·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则__________. 【答案】4 【详解】因为，所以， 由正弦定理可知. 变式2-3．（25-26高一下·重庆·阶段检测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由，根据正弦定理得， 而，则，即，则，从而. 类型三、面积公式的应用 三角形面积公式的应用情况： 1、已知两边及夹角，直接用 2、已知三边 ，可先用余弦定理求出角，然后再用面积公式求面积 3、最值问题：利用面积公式转化为函数，用均值不等式或三角函数求最值。 例3．（25-26高一下·江苏南通·期中）在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得，再利用平方关系和三角形面积公式求解. 【详解】根据题意，， 则，即， 则，又，所以， 所以. 变式3-1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）记的内角的对边分别为，已知，则面积为______． 【答案】3 【分析】根据正弦定理边化角，再结合二倍角公式化简得，则可由三角形面积公式求解. 【详解】因为， 根据正弦定理得， 因为，则， 又因为，则， 由于，得，即， 所以. 变式3-2．（25-26高一下·安徽合肥·期中）的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________. 【答案】 【详解】的内角的对边分别为. ， 利用正弦定理可得， 由于， 所以， 所以，则或 由于，故为锐角，所以， 由，得，解得， 所以. 变式3-3．（25-26高一下·广东珠海·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求的正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，解得，而为三角形内角，所以， ，， 所以。 则.故选：B. 类型四、正弦定理求外接圆半径 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==. 若△ABC外接圆半径为，则有===2R 例4．（25-26高一下·江苏泰州·期中）在中，角所对的边分别为，且，，则外接圆的面积为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理求出外接圆的半径，代入圆的面积公式求解即可. 【详解】设外接圆的半径为， 由正弦定理得，即，所以. 所以外接圆的面积为. 变式4-1．（25-26高一下·天津红桥·期中）在中，内角所对的边分别为，且，且，那么外接圆的半径为________. 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理和两角和的正弦公式，求得，求得，结合正弦定理，即可求得外接圆的半径，得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 即， 又因为，可得， 所以， 所以， 可得， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以， 设外接圆的半径为，因为，可得， 所以，即外接圆的半径为. 变式4-2．（25-26高一下·上海浦东新·月考）在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则该三角形外接圆的半径为______. 【答案】1 【详解】∵，，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 设该三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，∴. 变式4-3．（25-26高一下·湖北武汉·期中）在中，内角的对边分别为，若，则外接圆的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出的值，再利用正弦定理得到和，的关系，最后结合余弦定理求出的值，进而求出的值，再求出的值，最后根据三角形外接圆半径公式求出半径. 【详解】已知，即，因为，所以, 即，又由余弦定理得，联立两式并代入条件得到：， 即，解得. ，即， 根据正弦定理，解得，即. 类型五、正余弦定理判定三角形形状 将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状。 1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合。条件为边的等式 ,尝试余弦定理化角。条件含正弦/余弦函数, 尝试正弦定理化边，或直接三角变形。化为最简的边等式或角等式。 2、根据化简结果判断： （1）出现边相等的时候，可判断等腰或者等边。 （2）若，则（勾股定理逆定理）。 （3）若，则（锐角）。 （4）若，则（钝角）。 例5．（25-26高一下·河南开封·阶段检测）在中，若，，则形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰但不等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】因为，且，所以. 因为，由正弦定理得， 因为，所以. 因为，所以，所以. 故为等边三角形． 变式5-1．（25-26高一下·江苏·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】在中，由， 根据正弦定理，得， 又， 则， 即，在中，， 则，因为，所以，则为直角三角形. 变式5-2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，内角的对边分别为，且，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．非特殊三角形 【答案】A 【分析】直接根据余弦定理判断可得两边相等，进而可判断三角形的形状. 【详解】在中，，根据余弦定理得：， 化简整理，即,得，故. 因为有两条边相等，因此是等腰三角形，无法推出一定是直角三角形. 所以只有A正确. 变式5-3．（多选）（25-26高一下·江苏无锡·期中）（多选）对于，有如下命题，其中错误的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，，，则面积为 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理推理判断A；利用正弦定理求出，再利用三角形面积公式计算判断B；利用数量积的定义求解判断C；利用诱导公式推理判断D. 【详解】对于A，，由正弦定理， 得，由余弦定理得，是钝角，为钝角三角形，A错误； 对于B，由正弦定理，得，解得或， 当时，， 当时，，B错误； 对于C，由，得， 则，而，因此，为等腰三角形，C正确； 对于D，在中，由，， 得或， 解得或，为等腰三角形或直角三角形，D错误. 类型六、正弦定理判定三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时：根据 若为钝角或直角时：根据 例6．（多选）（25-26高一下·江西·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（    ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有两解 【答案】BC 【分析】根据题意，结合正弦定理，以及的值，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由正弦定理，可得， 因为，可得，则三角形有一解，故A错误； 对于B，因为，所以，则三角形有一解，故B正确； 对于C，因为，所以，则三角形无解，故C正确； 对于D，因为，所以，则三角形无解，故D错误. 变式6-1．（25-26高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】在中，已知、、，且为锐角，若有两解，则，逐项判断即可. 【详解】在中，已知、、，且为锐角，如下图所示： 由图可知，若有两解，则， 对于A选项，，，，则， 所以，此时不存在，A不满足要求； 对于B选项，，，，因为，故只有一解，B不满足要求； 对于C选项，，，，则，所以， 故有两解，C满足要求； 对于D选项，，，，则，所以， 故只有一解，D不满足要求. 变式6-2．（多选）（25-26高一下·甘肃白银·阶段检测）（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，使得恰有一个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BD 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，. 选项A.，所以，所以，有两解，不符. 选项B.，，所以，只有1个解，符合. 选项C.，，无解，不符. 选项D.，，可能的为和； 若，则，不能构成三角形，仅一个解，符合. 变式6-3．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知分别为三个内角的对边，若满足的三角形有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，， 由有两解，得， 即，解得，故的取值范围为. 类型七、正余弦定理的边角互化 正余弦定理实现三角形的边角互化，可以用来化简题目中的条件。 （1）利用正弦定理进行边角互化，需要对等式中的每项进行统一变换。 （2）利用余弦定理，化角为边。 例7．（25-26高一下·江苏南京·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式、诱导公式、正弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】由得，即， 即有，所以有，即，即，所以（舍）或， 即，由三角形内角和可知， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 变式7-1．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】，， 由正弦定理，得， 即， ，，. 的周长为． 变式7-2．（25-26高一下·山东·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式及余弦定理、和角的正弦公式化简可得，再利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变换及余弦的二次型函数值域求解. 【详解】在锐角中，由及三角形面积公式， 得， 而，则， 由余弦定理得， 则，即， 由正弦定理得， 即， 整理得， 则， 由，得，于是， 即，且，， 因此 ， 所以的取值范围是. 变式7-3．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为，则的最小值为__________ 【答案】12 【详解】已知， 由正弦定理边化角得. 由于， 因此. 又，，所以，则. 因为的面积为， 所以，解得， 所以，当且仅当时等号成立， 因此的最小值为12. 类型八、正余弦定理的应用 正余弦定理的应用在测量高度、距离、角度问题上，构造三角形，应用解三角形的思想来求解。 例8．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角，则塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，， 由正弦定理得，即，所以， 在中，. 变式8-1．（25-26高一下·山东枣庄·期中）枣庄青檀寺历史悠久、风景秀丽，寺内有塔，相传民族英雄岳飞曾因得眼疾来此养病，所以也有岳飞养眼楼之称，如图1.某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为，在B处测得塔顶P的仰角为，米，，则该塔的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】设，根据在A处、B处的仰角求出，然后在中利用余弦定理求解. 【详解】由题意，设， 在中，，， 在中，，， 在中，， 即， 则，（米）. 变式8-2．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，为了测量两山顶M，N的距离，飞行器沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.已知A，B两点相距2千米，在A处观测M的俯角为，观测N的俯角为，B在N的正上方，且在B处观测M的俯角为30°，则M，N之间的距离为______千米. 【答案】/ 【分析】连接AM，AN，BM，BN，MN，由题设易得，进而根据余弦定理求解即可. 【详解】连接AM，AN，BM，BN，MN. 由题可得，， 则， 所以，则千米. 变式8-3．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A、B两个基站的距离为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理列式求解. 【详解】在中，，则， 由正弦定理得，在中，， 则，在中，由余弦定理得， 所以A、B两个基站的距离为. 1．（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解． 【详解】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以． 2．（多选）（25-26高一下·湖北随州·阶段检测）（多选）在中，，且为边的中点，则（   ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】AD 【分析】由余弦定理、正弦定理及同角三角函数基本关系化简可得，判断A；由结合余弦定理计算判断B；由二倍角公式结合二次函数性质计算判断C，由向量数量积运算律计算判断D. 【详解】对于A，由余弦定理可得，， 所以， 由正弦定理可得， 而，所以， 因为在中，， 所以，即，故，故A正确； 对于B，由A可知，为等腰三角形，所以， 因为是边的中点， 所以， 由余弦定理可得， 即，解得，故,故为直角，这样题设矛盾，故B错误； 对于C，因为，，所以， 故， 因为，所以，令，， 由二次函数性质可知，当，即时，有最大值，即， 因为，所以不成立，故C错误； 对于D，因为，， 所以，故D正确. 3．（25-26高一下·江苏泰州·期中）在锐角中，角的对边分别为，且的面积，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先由三角形面积公式求出，然后引入参数，将所求表示为的函数，再根据正弦定理边化角、诱导公式、两角和差得，注意到在锐角中，有，从而可以求出的范围，由此即可得解 【详解】由三角形面积公式结合， 可知，即， 又由平方关系，所以， 即， 解得或（舍去）， 令，由正弦定理边化角得， 注意到在锐角中，有，简单说明如下： 若，则，即不是锐角，但这与是锐角三角形矛盾， 所以在锐角中，有， 所以在锐角中，有， 因为正切函数在上单调递增， 所以， 从而， 故的取值范围为 4．（多选）（25-26高一下·江苏泰州·期中）（多选）在中，分别是角的对边，且，的面积和周长均为，的外接圆半径为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对A，根据条件，利用正弦定理角转边，即可求解；对B和C，利用正弦定理角转边，结合条件和选项A中结果，即可求解； 对D，利用正弦定理角转边及倍角公式，得到，再用和化积公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，的外接圆半径为，由正弦定理可得， 又的面积为，所以，解得，所以A正确， 对于B，又，得到，由（1）知， 所以，故B错误， 对于C，因为的周长均为，由正弦定理可得，故C正确， 对于D，因为， 又 ， 所以，故D正确. 5．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】借助正弦定理及两角和与差的正弦公式可得，则可将用表示，结合二倍角公式可得，即可结合的范围与对勾函数性质计算即可得解. 【详解】由正弦定理将边化为角可得， 又， 则， 即， 故或，即或（舍去）， 则， 则 ， 由，故，则， 由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 则， 又时，， 时，， 故. 6．（多选）（25-26高一下·江苏·期中）（多选）在锐角中，角所对的边分别为，则（   ） A． B．的取值范围是 C．存在，其面积为1 D．边上的中线长的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，由结合正弦定理及两角和与差的正弦公式化简判断即可；对于B，结合及锐角可得，，再根据正弦定理及二倍角公式可得，进而求解判断即可；对于C，表示出，求出面积的取值范围即可判断；对于D，设的中点为，根据平面向量的数量积可得，结合，，可得，利用换元法求出其范围，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由， 根据正弦定理，得， 则 ， 即， 则， 即 ， 在锐角中，，则， 则，即，故A正确； 对于B，由，则， 在锐角中，，即，则， 由正弦定理，得，故B错误； 对于C，由，，，，即， 根据正弦定理，得，则，即， 则 ， 因为函数在上单调递减， 且时，，时，， 所以，则， 则存在，其面积为1，故C正确； 对于D，设的中点为，则， 所以 ， 又， 而，则， 则， 令，则， 令，则， 因为函数在上单调递增，且时，，时，， 则，即，则， 所以， 即边上的中线长的取值范围是，故D正确. 7．（多选）（25-26高一下·广东佛山·期中）已知的三边长是三个连续的正整数.则下列判断正确的是（    ） A．若的周长为21，则是锐角三角形 B．若是直角三角形，则的内切圆面积为π C．若是钝角三角形，则的外接圆半径必为 D．若的最大内角是最小内角的两倍，则的周长必为15 【答案】ABD 【分析】选项，根据三边长为连续正整数及周长，求出三条边长，利用余弦定理判断最大角是否为锐角，即可对三角形是否为锐角三角形得出判断； 选项，根据直角三角形，利用勾股定理求出三条边长，再根据面积公式求出内切圆半径即可； 选项，根据钝角的已知条件，得出边长的不等式，结合正整数的条件，求出边长，再利用正弦定理，求出外接圆半径，即可得出判断； 选项，由最大内角是最小内角的两倍，先根据二倍角公式结合正弦定理得到较小角的余弦值，再根据余弦定理表示出较小角的另一个余弦值的形式，两者相等，从而求出边长，最终求出三角形的周长. 【详解】解：由的三边长是三个连续的正整数，设，，三个角所对的边长分别为，，，其中且. 选项，的周长为21，则，解得，所以三条边长依次为，，， 根据三角形中大边对大角，可知角最大， 因为，，所以为锐角，又角最大， 因此是锐角三角形，正确； 选项，若是直角三角形，则，解得或（舍）， 所以三角形三条边长依次为，，. 设内切圆半径为，由，解得， 所以内切圆面积为，正确； 选项，若是钝角三角形，则最大为钝角，所以， 又，， 所以，即，因此， 又因为，所以或. 当时，三角形三条边长依次为，，，不满足三角形三边关系，不合题意； 当时，三角形三条边长依次为，，，此时， 因为，，所以， 由正弦定理可知，为三角形外接圆半径，即，解得， 因此错误； 选项，若的最大内角是最小内角的两倍，则，所以， 由正弦定理，则，所以， 根据余弦定理可得， 所以，解得， 因此三角形三条边长分别为，，，所以周长为，正确. 8．（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，角的对边分别是，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 【答案】AB 【分析】应用余弦定理计算判断A，D，应用面积公式计算判断B，应用正弦定理求解判断C. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式，故B正确； 对于C，根据正弦定理，可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确. 9．（多选）（25-26高一下·贵州贵阳·期中）已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，，，则（   ） A． B． C．R＝1 D．△ABC面积的最大值为 【答案】ACD 【详解】在锐角三角形中，由正弦定理可得，又，所以，又，所以，故C正确. 因为，所以，因为是锐角三角形，所以，故A正确，B错误. 由余弦定理得，所以， 又，所以，解得，当且仅当时，等号成立， 所以，则面积的最大值为，故D正确. 10．（多选）（25-26高一下·湖南·阶段检测）在中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.下列说法正确的是（    ） A．是直角三角形 B．若是的中点，则 C．若，为的中点，则的最大值为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用二倍角余弦公式及余弦边角关系化简条件判断A，利用已知及三角形内角的性质分析判断B，根据A、B分析，应用柯西不等式求的范围判断C，应用三角换元，得到，其中，，结合正弦函数的性质求范围判断D. 【详解】由得，， 化简有，故，是直角三角形，A正确； 若是的中点，是的中点，，此时，故， 要使，即证， 由，结合正切函数的单调性，只需证，显然成立，B正确； 由，， ， 当且仅当，即，时等号成立，与矛盾，C错误； 若，则，，此时， 其中，，则，此时， 所以， 所以，故，D正确. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $