专题10.3 复数的三角形式及其运算（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第四册

专题10．3 复数的三角形式及其运算 教学目标 1．理解复数三角形式的定义，掌握模、辐角及主值的概念，能准确判断标准三角形式。 2．掌握复数代数形式与三角形式的互化方法，能根据条件完成两种形式的转换。 3．熟练运用三角形式进行乘、除、乘方运算，牢记模与辐角的运算规则。 4．理解复数乘除的几何意义，掌握旋转与伸缩变换，能结合图形分析问题。 教学重难点 重点：复数三角形式的结构特征、代数与三角形式互化、三角形式乘除乘方运算。 难点：辐角主值的确定、复数乘除的几何意义理解与旋转方向判断。 知识点01 复数的三角形式 一般地,任何一个复数都可以表示成的形式．其中,是复数的_______;是以轴的非负半轴为始边,向量_______所在射线(射线)为终边的角，叫做复数的辐角． 规定,满足条件的辐角叫做辐角的_______,通常记为,即. 叫做复数的三角表示式,简称三角形式．为了与三角形式区分开来,叫做复数的代数表示式,简称代数形式． 【即学即练】 1．将复数化为三角形式：___________． 2．若复数的辐角的主值为的辐角的主值为，则的代数形式为_________． 知识点02 复数三角形式的乘法、除法运算法则及其几何意义 1．运算法则． 设的三角形式分别是)． 复数的乘法 _______ 复数的乘方 _______ 复数的除法 _______ 2．几何意义． 复数对应的向量分别为． （1）复数乘法的几何意义． 两个复数相乘时,如图,把向量绕点O按_______方向旋转角(如果,就要把绕点0按_______方向旋转角),再把它的模变为原来的_______倍,得到向量表示的复数就是积．这是复数乘法的几何意义． （2）复数除法的几何意义． 两个复数相除时,如图,把向量绕点O按_______方向旋转角(如果,就要把绕点0按_______方向旋转角),再把它的模变为原来的_______倍,得到向量表示的复数就是商．这是复数除法的几何意义． 【即学即练】 3．已知复数（为虚数单位），则（    ）． A． B． C． D． 4．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.(用代数形式表示). 题型01 复数的代数形式化为三角形式 【例1】复数的三角形式为（   ） A． B． C． D． 【例2】将代数形式的复数改写成三角形式为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如果，那么复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）将复数化为三角形式正确的是（　   　） A． B． C． D． 复数的代数形式化为三角形式的步骤：（1）先求复数的模；（2）决定辐角所在的象限；（3）根据象限求出辐角；（4）写出复数的三角形式. 题型02 复数的三角形式化为代数形式 【例3】复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 【例4】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式． (1)； (2) 【变式2-1】复数10表示成代数形式为________． 【变式2-2】将复数z=3化成代数形式为_____;|z|=_____. 【变式2-3】将下列复数的三角形式化成代数形式： (1)； (2)． （1）类似三角形式的复数求模和辐角时,注意三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连；（2）由三角形式表示成代数形式,直接求出角的三角函数值,化简即可. 题型03 求辐角主值 【例5】若复数的辐角的主值为，的辐角的主值为，则的代数形式为_________． 【例6】写出下列复数的辐角的主值． (1)； (2)． 【变式3-1】设，且满足，则的辐角的主值的取值范围是________. 【变式3-2】已知复数，则复数的辐角 ______________. 【变式3-3】已知复数，（）. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)设，分别为的一个辐角，若，求的值. 题型04 复数三角形式乘除运算 【例7】已知复数，其中为虚数单位，则（   ） A．1 B． C． D． 【例8】若，则________. 【变式4-1】已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 【变式4-2】复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】求证：. 复数三角形式的运算法则：（1）乘法法则:模相乘,辐角相加；（2）除法法则:模相除,辐角相减；（3）复数的次幂:模的次幂,辐角的倍. 题型05 复数三角形式乘除运算的几何意义 【例9】已知复数，若将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【例10】将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________． 【变式5-1】在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】复数z1＝1，在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转而得到，则（　  　） A． B． C． D． 【变式5-3】已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（    ） A．的虚部为 B．对应的点在第二象限 C． D． 复数三角形式乘除运算的几何意义:设复数对应的向量为. （1）把向量绕点0按逆时针方向旋转角,得到向量表示的复数就是积；（2）把向量绕点0按顺时针方向旋转角,得到向量表示的复数就是商. 一、单选题 1．的三角形式是（    ） A． B． C． D． 2．复数的辐角主值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 4．已知复数（为虚数单位），则等于（    ） A．1 B． C． D． 5．任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 6．在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 7．欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 8．复数，若，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 二、多选题 9．（多选）下列复数不是三角形式的是（   ） A． B． C． D． 10．任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．的实部为 C． D．若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 三、填空题 11．_________． 12．已知复数，则________，________． 13．在复平面的上半平面内有一个菱形，，点所对应的复数是，则点所对应的复数为_________________________. 四、解答题 14．将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)． 15．计算： (1)； (2). 16．若，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10．3 复数的三角形式及其运算 教学目标 1．理解复数三角形式的定义，掌握模、辐角及主值的概念，能准确判断标准三角形式。 2．掌握复数代数形式与三角形式的互化方法，能根据条件完成两种形式的转换。 3．熟练运用三角形式进行乘、除、乘方运算，牢记模与辐角的运算规则。 4．理解复数乘除的几何意义，掌握旋转与伸缩变换，能结合图形分析问题。 教学重难点 重点：复数三角形式的结构特征、代数与三角形式互化、三角形式乘除乘方运算。 难点：辐角主值的确定、复数乘除的几何意义理解与旋转方向判断。 知识点01 复数的三角形式 一般地,任何一个复数都可以表示成的形式．其中,是复数的模;是以轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数的辐角． 规定,满足条件的辐角叫做辐角的主值,通常记为,即. 叫做复数的三角表示式,简称三角形式．为了与三角形式区分开来,叫做复数的代数表示式,简称代数形式． 【即学即练】 1．将复数化为三角形式：___________． 【答案】 【详解】，设该复数的辐角主值为， 因为复数在复平面上的对应点的坐标为，它在第二象限， 且，所以， 所以. 故答案为： 2．若复数的辐角的主值为的辐角的主值为，则的代数形式为_________． 【答案】 【详解】设，则， 因为复数的辐角的主值为，所以①， 因为复数的辐角的主值为，所以②， 由①②可得，，所以. 故答案为：. 知识点02 复数三角形式的乘法、除法运算法则及其几何意义 1．运算法则． 设的三角形式分别是)． 复数的乘法 复数的乘方 复数的除法 2．几何意义． 复数对应的向量分别为． （1）复数乘法的几何意义． 两个复数相乘时,如图,把向量绕点O按逆时针方向旋转角(如果,就要把绕点0按顺时针方向旋转角),再把它的模变为原来的倍,得到向量表示的复数就是积．这是复数乘法的几何意义． （2）复数除法的几何意义． 两个复数相除时,如图,把向量绕点O按顺时针方向旋转角(如果,就要把绕点0按逆时针方向旋转角),再把它的模变为原来的倍,得到向量表示的复数就是商．这是复数除法的几何意义． 【即学即练】 3．已知复数（为虚数单位），则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， ，， 所以. 4．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.(用代数形式表示). 【答案】 【详解】由题意得. 故答案为： 【点睛】本题主要考查复数的代数形式与三角形式的转化及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 题型01 复数的代数形式化为三角形式 【例1】复数的三角形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，， ∴，，故选项A，C错误； ∵，， ∴，，故选项B正确，选项D错误. 故选：B. 【例2】将代数形式的复数改写成三角形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为复数在复平面内所对应的点在虚轴正半轴上，可得， 所以，所以. 故选：D. 【变式1-1】如果，那么复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 【变式1-2】复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 【变式1-3】（多选）将复数化为三角形式正确的是（　   　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 所以辅角主值为，辅角为， 结合选项令，可得辅角为，BC两种情况不存在， 故选：AD. 复数的代数形式化为三角形式的步骤：（1）先求复数的模；（2）决定辐角所在的象限；（3）根据象限求出辐角；（4）写出复数的三角形式. 题型02 复数的三角形式化为代数形式 【例3】复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 【例4】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式． (1)； (2) 【答案】(1)4，， (2)2，， 【详解】（1）的模为4，辐角主值为， ； （2）， 故的模为2，辐角主值为， . 【变式2-1】复数10表示成代数形式为________． 【答案】－5－5i/－5i－5 【详解】10＝10＝－5－5i． 故答案为： 【变式2-2】将复数z=3化成代数形式为_____;|z|=_____. 【答案】 3 【详解】， 故答案为： 【变式2-3】将下列复数的三角形式化成代数形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由复数. （2）解：由复数 （1）类似三角形式的复数求模和辐角时,注意三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连；（2）由三角形式表示成代数形式,直接求出角的三角函数值,化简即可. 题型03 求辐角主值 【例5】若复数的辐角的主值为，的辐角的主值为，则的代数形式为_________． 【答案】 【详解】设，则， 因为复数的辐角的主值为，所以①， 因为复数的辐角的主值为，所以②， 由①②可得，，所以. 故答案为：. 【例6】写出下列复数的辐角的主值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）， ，， 设， 则，． 设辐角主值为，，， 即复数的辐角的主值． （2）当时，，， ，， 复数的辐角的主值； 当时，，， ，， 复数的辐角的主值． 综上所述，当时，复数的辐角的主值； 当时，复数的辐角主值． 【变式3-1】设，且满足，则的辐角的主值的取值范围是________. 【答案】 【详解】如图，表示的点在圆心为，半径为的圆内， 为向右平移一个单位长度得到的圆内的点，， 故的辐角的主值的取值范围是. 故答案为：.    【变式3-2】已知复数，则复数的辐角 ______________. 【答案】 【详解】由题意有，所以， 所以， 所以， 故答案为：. 【变式3-3】已知复数，（）. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)设，分别为的一个辐角，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， 为纯虚数，故，解得； （2），， 则，，， 若，则，即 题型04 复数三角形式乘除运算 【例7】已知复数，其中为虚数单位，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知. 故选：C. 【例8】若，则________. 【答案】 【详解】因为， 根据复数的运算法则，可得. 故答案为：. 【变式4-1】已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为复数， 根据复数的运算法则，可得. 故选：C. 【变式4-2】复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是方程的一个根， 所以． 故选：D. 【变式4-3】求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：左边 右边， 所以原等式成立. 复数三角形式的运算法则：（1）乘法法则:模相乘,辐角相加；（2）除法法则:模相除,辐角相减；（3）复数的次幂:模的次幂,辐角的倍. 题型05 复数三角形式乘除运算的几何意义 【例9】已知复数，若将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，， 则复数对应的向量， 将其绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，所以. 故选：B. 【例10】将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________． 【答案】 【详解】由题意得，，． 所以将所表示的向量逆时针旋转，所得向量对应的复数为． 根据复数乘法的几何意义，旋转角。该值满足. 故答案为：. 【变式5-1】在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】法一：复数对应的向量为，则， 向量与轴正半轴夹角为， 设该向量绕原点沿顺时针方向旋转后所得向量坐标为， 则，， 即所得向量坐标为，故旋转后的向量对应的复数为； 法二：复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转后的向量对应的复数为： . 【变式5-2】复数z1＝1，在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转而得到，则（　  　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知， 所以， 所以， 故选:B. 【变式5-3】已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（    ） A．的虚部为 B．对应的点在第二象限 C． D． 【答案】C 【详解】由可知，则逆时针旋转后相应点为， 所以，即，其虚部为，故A错误； ，其对应的点在第三象限，故B错误； ，故C正确； ， 则，故D错误. 故选：C 复数三角形式乘除运算的几何意义:设复数对应的向量为. （1）把向量绕点0按逆时针方向旋转角,得到向量表示的复数就是积；（2）把向量绕点0按顺时针方向旋转角,得到向量表示的复数就是商. 一、单选题 1．的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故B正确； 经检验，ACD都错误. 故选：B 2．复数的辐角主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】时，z对应的点在第三象限，， 又，． 故选：C 3．已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，则， 对于A，，故A项正确； 对于B， ，故B项错误； 对于C，，故C项错误； 对于D，由B项知，，故D项错误. 故选：A. 4．已知复数（为虚数单位），则等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为复数， 所以. 故选：C 5．任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 故， 即的虚部为. 故选：C. 6．在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A. 7．欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意， 8．复数，若，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【详解】，则， 由于得：， 故,解得， 因为，所以的值可以是5，11，17，. 故选：C. 二、多选题 9．（多选）下列复数不是三角形式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，易知复数的三角形式为，显然A不符合该形式，即A不是复数的三角形式； 对于B，因为，显然，因此辐角主值应为，因此B不是复数的三角形式； 对于C，显然符合复数的三角形式； 对于D，易知，由于，辐角主值应为，因此D不是复数的三角形式； 故选：ABD 10．任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．的实部为 C． D．若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 【答案】AC 【详解】对于A，因为，，则， 所以， 又，所以，故A正确， 对于B，令，则，所以的实部为，故B错误， 对于C，令，则， 所以，故C正确， 对于D，若时，则， 当为偶数时，设，， 所以且为奇数时，为纯虚数；且为偶数时，为实数，故D错误. 三、填空题 11．_________． 【答案】 【详解】 ． 12．已知复数，则________，________． 【答案】 【详解】 ， 因为，所以， 所以，. 故答案为：；. 13．在复平面的上半平面内有一个菱形，，点所对应的复数是，则点所对应的复数为_________________________. 【答案】 【详解】因为菱形在复平面的上半平面，且， 由复数的几何意义可得，故菱形位置只能如图，且，， 记点、对应的复数分别为、， 由复数三角形式乘法的几何意义 . 故点所对应的复数是. 故答案为：. 四、解答题 14．将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， ，，所以， 所以． （2）因为，， 所以，所以 （3）原式 ． 15．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）方法一：原式 . 方法二：原式. （2）原式. 16．若，求的值． 【答案】 【详解】法一：设记为①， 记为②， 则得， 解得， 代入①＋②得，． 法二：设，得， ，解得，. 法三：如图2所示，．过作与实轴平行的直线AB， 取，则．    则，从而． 在中，，， 为正三角形，， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $