第十章 复数（复习讲义）数学人教B版必修第四册

该高中数学复数复习讲义以“基础-进阶-拓展”三级目标为框架，通过表格系统梳理虚数单位、复数分类、四则运算等核心知识点，明确重点归纳与易错点提醒，构建从概念到几何意义再到三角形式的完整知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题聚焦复数概念辨析（如判断纯虚数条件），能力题结合几何意义（如复数模的轨迹问题），培养数学思维与运算能力。配套例题变式与通关测试，助力不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准复习教学。

第十章 复数（复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述复数核心概念：准确说出虚数单位的定义（）、复数的代数形式（，），清晰区分复数的实部、虚部，准确复述复数的分类（实数、虚数、纯虚数）及分类条件，能举例说明不同类型的复数（如实数、虚数、纯虚数）． 2. 能掌握复数相等的充要条件：准确表述“两个复数与（）相等的充要条件是实部相等且虚部相等（且）”，会应用该条件求解含参数的复数问题（如已知，求的值）． 3. 会进行复数基础四则运算：熟练掌握复数代数形式的加减运算（类比实数加减，实部与实部相加、虚部与虚部相加），会进行简单的复数乘法运算（遵循多项式乘法法则，注意的转化），会用共轭复数（的共轭复数为）简化复数除法运算，能准确计算不含复杂参数的复数加减乘除运算（如、、）． 4. 能理解复数的几何意义：复述复平面的定义（横轴为实轴、纵轴为虚轴），准确说明复数与复平面内点、平面向量（为原点，为）的一一对应关系，能根据复数写出其对应复平面内的点的坐标，反之能根据复平面内的点的坐标写出对应的复数． 5. 能掌握复数模的基础计算：复述复数模的定义（复数的模），会计算简单复数的模（如、），能结合复数相等条件求解含模的基础参数问题． 二、进阶目标 1. 会推导复数四则运算的简单性质：推导复数加法的交换律、结合律，推导复数乘法的交换律、结合律及分配律，结合的幂次规律（、、、，周期为4），快速计算的高次幂（如、）． 2. 理解并应用共轭复数的性质：推导共轭复数的基本性质（、、、），会应用这些性质简化复数运算、求解含共轭复数的问题（如已知，求、的值）． 3. 理解并应用复数模的性质：推导复数模的基本性质（、、），会应用这些性质求解含复数模的最值、不等式问题（如求（为复数，）的最值），能结合复平面分析模的几何意义（如表示复平面内复数对应的点到对应的点的距离）． 4. 会解决复数与平面向量的简单综合问题：结合复数与平面向量的对应关系，将复数问题转化为向量问题（如复数的加减对应向量的加减），会通过向量运算求解复数相关问题（如已知复数对应的向量分别为，求对应的复数），能根据复数模的几何意义解决简单的平面几何距离问题． 5. 能辨析复数与实数的区别与联系：准确说明复数与实数的包含关系（实数是复数的子集），清晰阐述复数不能比较大小的原因，能准确判断与复数相关的命题真假（如“任意两个复数都能比较大小”“纯虚数的实部为0”等），规避阶段考、高考中常见的概念辨析易错点． 三、拓展目标 1. 会推导复数的三角形式及三角形式的乘除法则：理解复数三角形式的定义（，其中，为复数的辐角），能将复数的代数形式转化为三角形式，会推导三角形式下复数乘法（模相乘、辐角相加）、除法（模相除、辐角相减）的法则，能进行简单的三角形式运算． 2. 理解并应用复数的几何意义解决综合问题：结合复平面内的图形（如直线、圆），分析复数对应的点的轨迹问题（如表示复平面内以为圆心、3为半径的圆），会解决复数与平面几何（如三角形、圆）的综合问题，能利用复数的几何意义求解复杂的模的最值问题． 3. 能解决复数与函数、方程的综合问题：结合复数的概念与运算，求解含复数的二次方程（如），能分析复数范围内方程有解的条件，能结合函数思想求解含复数参数的最值问题，适配高考中偶尔出现的复数综合创新题型． 4. 了解复数的实际应用与历史背景：简要复述复数的发展历程（如16世纪卡尔达诺解三次方程时首次触及虚数，高斯确立其严谨地位），了解复数在交流电、医学成像、密码学等领域的简单应用，能结合数系扩充的逻辑，理解复数引入的必然性，提升数学核心素养． 知识点 重点归纳 易错点提醒 虚数单位与复数定义 1. 虚数单位 ：规定 ， 的幂次周期为 4 ，即 ，，，（）； 2. 复数定义：形如（）的数，其中 叫实部， 叫虚部； 3. 复数集：全体复数构成的集合，记为 ，且 ． 1. 混淆虚部与虚数部分：虚部是实数（），而非 ； 2. 误将 的幂次周期记为 ，忽略 、 的规律． 复数的分类 对复数 （）： 1. 实数：； 2. 虚数：； 3. 纯虚数： 且 ； 常见结论： 是实数（ 且 ），不是纯虚数． 1. 纯虚数条件遗漏：仅记 ，忽略 ； 2. 误将虚数等同于纯虚数，忽略虚数包含纯虚数和非纯虚数（ 且 ）． 复数相等与共轭复数 1. 复数相等：（） 且 ； 2. 共轭复数： 的共轭复数记为 ，且 ； 常见结论：① ；② ；③ ． 1. 复数相等忽略前提：未强调 ，非实数范围内不成立； 2. 共轭复数运算错误：误记 ，混淆乘法与加法的共轭性质． 复数的四则运算 设 ，（）： 1. 加法： ； 2. 减法： ； 3. 乘法： ； 4. 除法：（） （分母实数化）； 常见结论：① ；② ，． 1. 除法运算错误：未进行分母实数化，直接约分； 2. 乘法运算忽略 ，误算为 ； 3. 运算律混淆：复数乘法满足分配律，但无“平方差”之外的特殊简便运算（如 需逐项展开）． 复数的几何意义 1. 复平面：横轴为实轴，纵轴为虚轴，虚轴不含原点； 2. 一一对应关系：复数 复平面内点 向量 （ 为原点）； 3. 复数的模： ； 常见结论：① ；② （）；③ 表示复平面内 对应点到 对应点的距离． 1. 复平面虚轴误解：认为虚轴包含原点，原点属于实轴； 2. 模的计算错误：误将 记为 或 ，忽略平方和开方； 3. 几何意义混淆：误将 理解为向量差的模，忽略其两点间距离的本质． 复数的三角形式 1. 三角形式： ，其中 ， 为复数的辐角； 2. 辐角主值：，是唯一确定的辐角； 3. 运算法则：① 乘法：；② 除法：； 4. 棣莫弗公式： （）． 1. 三角形式判断错误：误将 当作三角形式，忽略” 在前、 在后”； 2. 辐角主值范围记错：误记为 或 ，忽略左闭右开； 3. 棣莫弗公式应用错误：漏乘 ，或误将辐角“相加/相减”记为“相乘/相除”． 复数方程 1. 实系数一元二次方程：（），当 时，有一对共轭虚根：； 2. 常见结论：① 实系数方程的虚根成对出现（共轭）；② 复系数方程无判别式，根与系数关系（韦达定理）仍成立； 1. 实系数与复系数方程混淆：对复系数方程误用判别式判断根的情况； 2. 虚根求解错误：计算 时，误将负号带入根号内，或漏写 ； 3. 韦达定理应用错误：忽略复系数方程中，韦达定理仍成立（与实数方程形式一致）． 常见补充结论 1. 若 为纯虚数，则 ，且 ； 2. （ 表示实部）； 3. 挖空：若 ，则 ； 4. 挖空：若 、 为复数，则 （三角不等式）． 1. 三角不等式应用错误：忽略“等号成立条件”（同向或反向共线）； 2. 的性质误用：误记 ，忽略仅实数满足该性质； 3. 纯虚数性质混淆：误将 当作所有虚数的性质，仅纯虚数满足． 题型一 复数的概念 【例1】下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（   ） A． B．复数的虚部为 C．复数为实数的充要条件是 D．复数为纯虚数，则 【答案】C 【详解】对于A，因与都是虚数，不能比较大小，故A错误； 对于B，复数的虚部为，故B错误； 对于C，设，则 若复数为实数，则，则显然有；若，则易得，故复数为实数，故C正确； 对于D，由题意，解得，故D错误. 【变式1-1】若复数，则的虚部是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可得， 则，，得到的虚部是. 【变式1-2】下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】B 【详解】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误； 对于B，当时，复数是纯虚数，B正确； 对于C，是纯虚数，则即，C错误； 对于D，复数，，未注明为实数，D错误. 故选：B. 【例2】已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，所以，所以， 解得或，所以实数a的取值范围是. 【变式1-1】若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】. 故选：D 【变式1-2】已知复数为纯虚数，则（    ）． A． B． C．3 D．2 【答案】C 【详解】由题得且，解得，，所以． 故选：C. 【变式1-3】如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”.已知与互为“共胚复数”.其中为虚数单位，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．3 【答案】B 【详解】，依题意，，解得， 所以. 故选：B 题型二 复数的几何意义 【例1】已知复数，则的模为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意，则. 故选：D 【变式1-1】记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因， 则， 则. 【变式1-2】若，则的虚部为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设复数 ，则共轭复数为， 由模长公式得， 得到， 由题设 ，两边平方得 ， 化简得，解得 ，故复数的虚部为1. 【例2】已知虚数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数的几何意义可知，表示点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 即如图， 表示圆上的点与原点连线的斜率， 当直线与圆相切时，分别取得最大值和最小值， 点为切点，点为圆心，，所以， 即，， 所以的取值范围是. 故选：A 【变式1-1】已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为（　　） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【详解】设复数在复平面内对应的点为，而复数对应的点为， 则可将理解为，即动点到定点的距离为3， 故动点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆. 故选：B. 【变式1-2】已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由复数z满足，得z在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，5为半径的圆， 圆心到实轴、虚轴的距离都大于5，且圆心在第四象限， 所以z在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 【变式1-3】若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 当，时，，满足题意； 当，时，，满足题意； 当，时，，不满足题意； 当，时，，满足题意； 故在复平面内对应的点的坐标不可能为. 【例3】在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】根据题意， 点坐标为 点坐标为 点坐标为 ， 则 ， ， 因为 . 所以 是直角三角形，故选： B 【变式1-1】当时，复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由整理可得， 可知复数在复平面内对应的点为， 因为，则，， 所以复数在复平面内对应的点位于第二象限. 【变式1-2】已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数的几何意义可知对应点，即. 对应点，即. 若与共线，则，解得. 故选：A. 题型三 复数的运算 【例1】已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】设复数，则，因为，所以， 因为，所以，即， 所以. 【变式1-1】已知复数，则的虚部为（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】 ，所以的虚部为. 【变式1-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，． 【变式1-3】是虚数单位，已知，且，则为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因， 可知，，因此. 【例2】设复数是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．15 C．10 D．8 【答案】A 【详解】由复数是关于的方程的一个根， 得复数是该方程的另一个根，则， 所以. 【变式1-1】已知为复数，下列选项中是方程的一个根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即，解得或， 又，故A错误；，故B错误； ，故C错，故D正确. 故选D. 【变式1-2】已知复数满足，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】设，则， 计算可得， 所以，计算可得， 所以. 题型四 复数的三角形式及其运算 【例1】已知复数（为虚数单位），则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， ，， 所以. 【变式1-1】在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】法一：复数对应的向量为，则， 向量与轴正半轴夹角为， 设该向量绕原点沿顺时针方向旋转后所得向量坐标为， 则，， 即所得向量坐标为，故旋转后的向量对应的复数为； 法二：复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转后的向量对应的复数为： . 【变式1-2】已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 又，， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 【变式1-3】已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因， 则. 【例2】（多选）设的辐角主值为，则的辐角可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】． 又，， ，，， ，， ． 的辐角主值为，则的辐角可以是或． 故选：AC． 【变式1-1】若复数z满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由题意可设，所以， 则， 故当时取最小值，最小值为． 故选：B 【变式1-2】已知复数，则________，________． 【答案】 【详解】 ， 因为，所以， 所以，. 故答案为：；. 基础巩固通关测 1．已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是（   ） A．为纯虚数 B．任何数的偶数次幂均为非负数 C．的共轭复数为 D．的虚部为3 【答案】D 【详解】当 为实数时，也为实数，故 A 错误； 由 ，可知B错误； 由共轭复数的定义知， 的共轭复数为 ，故C错误； 的虚部为3，故D正确． 故选：D． 2．已知命题p：、，使得，则命题p的否定为（    ） A．，，使得 B．、，使得 C．，，都有 D．、，都有 【答案】D 【详解】将“∃”与“∀”互换，“＝”与“≠”互换， 可得否定命题为：、，都有. 故选：D． 3．若虚数i是关于的方程的一个根，则（   ） A． B．1 C．0 D．不能确定 【答案】B 【详解】因为i是方程，，的一个根， 所以，即， 所以，，所以，， 因此． 故选：B． 4．已知复数为纯虚数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，结合平方关系易得，故. 故选：B 5．已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，故. 6．已知复数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则，解得或， 故“”是“”的必要不充分条件. 7．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，得，则，， 所以. 8．已知复数满足，其中为虚数单位，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得：， 则，则. 9．已知复数z是方程的根,则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为方程的判别式， 所以该方程有虚数根， 所以， 因此. 10．已知复数，则的虚部为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，则的虚部为. 11．已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由，则， 所以. 12．已知，为纯虚数，且，则（　　） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】因为为纯虚数， 所以，解得， 由， 则，解得. 13．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以. 14．已知复数，则复数的虚部为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为复数，所以 ． 所以复数的虚部为0. 15．若复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以. 16．设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若满足，此时，不为纯虚数， “”不是“复数为纯虚数”的充分条件， ， 若复数为纯虚数，则， ， “”是“复数为纯虚数”的必要条件． “”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件，故选B． 17．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 则z的共轭复数 18．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， . 19．已知复数为纯虚数，则实数a的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】依题意得，， 由复数z为纯虚数，得，解得，所以实数a的值为． 20．若，则的最大值为___________． 【答案】 【详解】设在复平面内与复数对应的点为，与对应的点为， 则表示点与点之间的距离为， 则点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 因为，所以的最大值为. 21．设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则______． 【答案】 【详解】， 由该复数在复平面内对应的点位于虚轴上， 则其实部为，即有，解得. 22．已知复数满足，则________． 【答案】 【详解】由题意，原方程， 得， 所以. 23．若非零复数，则________. 【答案】 【详解】由于非零复数，故， 故 . 故答案为： 24．设，．当时，n的最小值为_____________． 【答案】4 【详解】 ， 则，得，即， 又，故的最小值为4． 故答案为：4 能力提升进阶练 1．复数，若，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【详解】，则， 由于得：， 故,解得， 因为，所以的值可以是5，11，17，. 故选：C. 2．若，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：B 3．设全集x是复数，x是实数，x是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，三个集合之间的关系如图所示， 所以，，，． 故选：C． 4．已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】设复数(其中)，则，将代入，整理得：， 即，所以，得， 将代入第一个方程得： ，即， 两边平方得：，所以， 因为，且分母不能为0，所以，即， 所以从判断选项来看，的可能取值只有. 5．已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知点对应的复数为，根据复数的几何意义，所以点的坐标为. 所以向量.又因为为等边三角形， 所以，且. 又因为，所以，即. 设，则. 又因为 而，联立方程组可得 或. 由题可知点在第二象限，所以即点的坐标为. 即点对应的复数为.所以虚部为. 故选：C. 6．使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即， 或，解得或. 故选：C. 7．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】设，由得， 可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）. 由图可知圆显然不经过第三象限， 故复数在复平面上不可能位于第三象限. 故选：C. 8．设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．为纯虚数 【答案】B 【详解】由题知，方程无实数根，则两个复数根，必为共轭复数，，故C错误； 又，故为实数，故A,D错误， 又，则方程的根为， 即， ， 由 得，， 故，故B正确. 9．对于个复数，如果存在个不全为零的实数，使得，就称线性相关．若复数线性相关，则满足题意的非零实数组可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，， 即，， 若为满足要求. 故选：D 10．已知复数,，并且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴，化为， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值7， ∴， ∴的取值范围是， 故选：B. 11．（多选）任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．的实部为 C． D．若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 【答案】AC 【详解】对于A，因为，，则， 所以， 又，所以，故A正确， 对于B，令，则，所以的实部为，故B错误， 对于C，令，则， 所以，故C正确， 对于D，若时，则， 当为偶数时，设，， 所以且为奇数时，为纯虚数；且为偶数时，为实数，故D错误. 12．（多选）一般地，任何一个复数（，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模，是复数的辐角，并规定范围内的辐角的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设方程的复数根为（，），则， 即，则，解得或， 所以或， 又，， 且，所以方程的复数根的辐角主值是，. 13．，则________. 【答案】 【详解】由已知， 所以 . 14．已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】， ， ，设， 则， 当，，即，时，， 此时取最大值， 当，，即，时，， 此时取最小值， ． 15．已知复数可以表示为三角形式：，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角. 已知与的乘积运算公式如下：. (1)若，试将复数写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，. 【答案】(1) (2)最大值为3，最小值为0 (3)答案见解析 【详解】（1）设. （2）因为，故设. 故 ， 故，故的最大值为3，最小值为0. （3）设， 则， 但 ， 故，. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 复数（复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述复数核心概念：准确说出虚数单位的定义（）、复数的代数形式（，），清晰区分复数的实部、虚部，准确复述复数的分类（实数、虚数、纯虚数）及分类条件，能举例说明不同类型的复数（如实数、虚数、纯虚数）． 2. 能掌握复数相等的充要条件：准确表述“两个复数与（）相等的充要条件是实部相等且虚部相等（且）”，会应用该条件求解含参数的复数问题（如已知，求的值）． 3. 会进行复数基础四则运算：熟练掌握复数代数形式的加减运算（类比实数加减，实部与实部相加、虚部与虚部相加），会进行简单的复数乘法运算（遵循多项式乘法法则，注意的转化），会用共轭复数（的共轭复数为）简化复数除法运算，能准确计算不含复杂参数的复数加减乘除运算（如、、）． 4. 能理解复数的几何意义：复述复平面的定义（横轴为实轴、纵轴为虚轴），准确说明复数与复平面内点、平面向量（为原点，为）的一一对应关系，能根据复数写出其对应复平面内的点的坐标，反之能根据复平面内的点的坐标写出对应的复数． 5. 能掌握复数模的基础计算：复述复数模的定义（复数的模），会计算简单复数的模（如、），能结合复数相等条件求解含模的基础参数问题． 二、进阶目标 1. 会推导复数四则运算的简单性质：推导复数加法的交换律、结合律，推导复数乘法的交换律、结合律及分配律，结合的幂次规律（、、、，周期为4），快速计算的高次幂（如、）． 2. 理解并应用共轭复数的性质：推导共轭复数的基本性质（、、、），会应用这些性质简化复数运算、求解含共轭复数的问题（如已知，求、的值）． 3. 理解并应用复数模的性质：推导复数模的基本性质（、、），会应用这些性质求解含复数模的最值、不等式问题（如求（为复数，）的最值），能结合复平面分析模的几何意义（如表示复平面内复数对应的点到对应的点的距离）． 4. 会解决复数与平面向量的简单综合问题：结合复数与平面向量的对应关系，将复数问题转化为向量问题（如复数的加减对应向量的加减），会通过向量运算求解复数相关问题（如已知复数对应的向量分别为，求对应的复数），能根据复数模的几何意义解决简单的平面几何距离问题． 5. 能辨析复数与实数的区别与联系：准确说明复数与实数的包含关系（实数是复数的子集），清晰阐述复数不能比较大小的原因，能准确判断与复数相关的命题真假（如“任意两个复数都能比较大小”“纯虚数的实部为0”等），规避阶段考、高考中常见的概念辨析易错点． 三、拓展目标 1. 会推导复数的三角形式及三角形式的乘除法则：理解复数三角形式的定义（，其中，为复数的辐角），能将复数的代数形式转化为三角形式，会推导三角形式下复数乘法（模相乘、辐角相加）、除法（模相除、辐角相减）的法则，能进行简单的三角形式运算． 2. 理解并应用复数的几何意义解决综合问题：结合复平面内的图形（如直线、圆），分析复数对应的点的轨迹问题（如表示复平面内以为圆心、3为半径的圆），会解决复数与平面几何（如三角形、圆）的综合问题，能利用复数的几何意义求解复杂的模的最值问题． 3. 能解决复数与函数、方程的综合问题：结合复数的概念与运算，求解含复数的二次方程（如），能分析复数范围内方程有解的条件，能结合函数思想求解含复数参数的最值问题，适配高考中偶尔出现的复数综合创新题型． 4. 了解复数的实际应用与历史背景：简要复述复数的发展历程（如16世纪卡尔达诺解三次方程时首次触及虚数，高斯确立其严谨地位），了解复数在交流电、医学成像、密码学等领域的简单应用，能结合数系扩充的逻辑，理解复数引入的必然性，提升数学核心素养． 知识点 重点归纳 易错点提醒 虚数单位与复数定义 1. 虚数单位 ：规定 ， 的幂次周期为 4 ，即 ，，，（）； 2. 复数定义：形如（）的数，其中 叫实部， 叫虚部； 3. 复数集：全体复数构成的集合，记为 ，且 ． 1. 混淆虚部与虚数部分：虚部是实数（），而非 ； 2. 误将 的幂次周期记为 ，忽略 、 的规律． 复数的分类 对复数 （）： 1. 实数：； 2. 虚数：； 3. 纯虚数： 且 ； 常见结论： 是实数（ 且 ），不是纯虚数． 1. 纯虚数条件遗漏：仅记 ，忽略 ； 2. 误将虚数等同于纯虚数，忽略虚数包含纯虚数和非纯虚数（ 且 ）． 复数相等与共轭复数 1. 复数相等：（） 且 ； 2. 共轭复数： 的共轭复数记为 ，且 ； 常见结论：① ；② ；③ ． 1. 复数相等忽略前提：未强调 ，非实数范围内不成立； 2. 共轭复数运算错误：误记 ，混淆乘法与加法的共轭性质． 复数的四则运算 设 ，（）： 1. 加法： ； 2. 减法： ； 3. 乘法： ； 4. 除法：（） （分母实数化）； 常见结论：① ；② ，． 1. 除法运算错误：未进行分母实数化，直接约分； 2. 乘法运算忽略 ，误算为 ； 3. 运算律混淆：复数乘法满足分配律，但无“平方差”之外的特殊简便运算（如 需逐项展开）． 复数的几何意义 1. 复平面：横轴为实轴，纵轴为虚轴，虚轴不含原点； 2. 一一对应关系：复数 复平面内点 向量 （ 为原点）； 3. 复数的模： ； 常见结论：① ；② （）；③ 表示复平面内 对应点到 对应点的距离． 1. 复平面虚轴误解：认为虚轴包含原点，原点属于实轴； 2. 模的计算错误：误将 记为 或 ，忽略平方和开方； 3. 几何意义混淆：误将 理解为向量差的模，忽略其两点间距离的本质． 复数的三角形式 1. 三角形式： ，其中 ， 为复数的辐角； 2. 辐角主值：，是唯一确定的辐角； 3. 运算法则：① 乘法：；② 除法：； 4. 棣莫弗公式： （）． 1. 三角形式判断错误：误将 当作三角形式，忽略” 在前、 在后”； 2. 辐角主值范围记错：误记为 或 ，忽略左闭右开； 3. 棣莫弗公式应用错误：漏乘 ，或误将辐角“相加/相减”记为“相乘/相除”． 复数方程 1. 实系数一元二次方程：（），当 时，有一对共轭虚根：； 2. 常见结论：① 实系数方程的虚根成对出现（共轭）；② 复系数方程无判别式，根与系数关系（韦达定理）仍成立； 1. 实系数与复系数方程混淆：对复系数方程误用判别式判断根的情况； 2. 虚根求解错误：计算 时，误将负号带入根号内，或漏写 ； 3. 韦达定理应用错误：忽略复系数方程中，韦达定理仍成立（与实数方程形式一致）． 常见补充结论 1. 若 为纯虚数，则 ，且 ； 2. （ 表示实部）； 3. 挖空：若 ，则 ； 4. 挖空：若 、 为复数，则 （三角不等式）． 1. 三角不等式应用错误：忽略“等号成立条件”（同向或反向共线）； 2. 的性质误用：误记 ，忽略仅实数满足该性质； 3. 纯虚数性质混淆：误将 当作所有虚数的性质，仅纯虚数满足． 题型一 复数的概念 【例1】下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（   ） A． B．复数的虚部为 C．复数为实数的充要条件是 D．复数为纯虚数，则 【变式1-1】若复数，则的虚部是（   ） A． B．2 C． D． 【变式1-2】下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【例2】已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】已知复数为纯虚数，则（    ）． A． B． C．3 D．2 【变式1-3】如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”.已知与互为“共胚复数”.其中为虚数单位，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．3 题型二 复数的几何意义 【例1】已知复数，则的模为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1-1】记，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，则的虚部为（   ） A．1 B． C．2 D． 【例2】已知虚数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为（　　） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【变式1-2】已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-3】若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【例3】在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1-1】当时，复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 题型三 复数的运算 【例1】已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-1】已知复数，则的虚部为（    ） A．1 B． C．0 D． 【变式1-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】是虚数单位，已知，且，则为（    ） A． B． C． D．1 【例2】设复数是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．15 C．10 D．8 【变式1-1】已知为复数，下列选项中是方程的一个根的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知复数满足，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 题型四 复数的三角形式及其运算 【例1】已知复数（为虚数单位），则（    ）． A． B． C． D． 【变式1-1】在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-3】已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【例2】（多选）设的辐角主值为，则的辐角可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】若复数z满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式1-2】已知复数，则________，________． 基础巩固通关测 1．已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是（   ） A．为纯虚数 B．任何数的偶数次幂均为非负数 C．的共轭复数为 D．的虚部为3 2．已知命题p：、，使得，则命题p的否定为（    ） A．，，使得 B．、，使得 C．，，都有 D．、，都有 3．若虚数i是关于的方程的一个根，则（   ） A． B．1 C．0 D．不能确定 4．已知复数为纯虚数，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 6．已知复数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 8．已知复数满足，其中为虚数单位，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 9．已知复数z是方程的根,则（   ） A． B． C．2 D．3 10．已知复数，则的虚部为（   ） A．3 B． C． D． 11．已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 12．已知，为纯虚数，且，则（　　） A． B． C． D．2 13．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 14．已知复数，则复数的虚部为（    ） A．0 B． C． D．2 15．若复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 16．设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（    ） A． B． C． D． 18．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 19．已知复数为纯虚数，则实数a的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 20．若，则的最大值为___________． 21．设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则______． 22．已知复数满足，则________． 23．若非零复数，则________. 24．设，．当时，n的最小值为_____________． 能力提升进阶练 1．复数，若，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．若，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 3．设全集x是复数，x是实数，x是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 5．已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 6．使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．为纯虚数 9．对于个复数，如果存在个不全为零的实数，使得，就称线性相关．若复数线性相关，则满足题意的非零实数组可以为（    ） A． B． C． D． 10．已知复数,，并且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．的实部为 C． D．若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 12．（多选）一般地，任何一个复数（，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模，是复数的辐角，并规定范围内的辐角的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 13．，则________. 14．已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 15．已知复数可以表示为三角形式：，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角. 已知与的乘积运算公式如下：. (1)若，试将复数写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，. 【点睛】本题综合考查复数的三角形式及相应运算，核心方法是利用单位复数的三角表示，将复数问题转化为三角运算问题，实现复数与三角学的联动应用. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $