10.3 复数的三角形式及其运算(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦复数的三角形式及其运算核心知识点，从复数几何意义切入，通过模和辐角建立三角形式，衔接代数形式与三角形式的互化，延伸至乘除运算的三角形式及几何意义，构建完整知识支架。 该资料以问题驱动引入，如通过复数1+i的几何意义引导抽象出三角形式，体现数学抽象素养。题型分类清晰，含互化、运算及几何意义应用，结合通性通法总结，提升数学运算能力。课中辅助教师系统教学，课后帮助学生巩固查漏，培养用数学眼光观察和解决问题的习惯。

10.3　复数的三角形式及其运算 课标要求 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，了解复数的代数形式与三角形式之间的关系（数学抽象）. 2.了解复数乘、除运算的三角形式及其几何意义（数学运算）. 　　设复数z＝1＋i在复平面内对应的点为Z. 【问题】　（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量； （2）记r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋i的实部、虚部之间的关系. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　复数的三角形式 如果非零复数z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应点Z（a，b），且r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝｜z｜＝，根据任意角余弦、正弦的定义可知cos θ＝，sin θ＝.那么z＝a＋bi＝（rcos θ）＋（rsin θ）i＝　r（cos θ＋isin θ）　的右边称为非零复数z＝a＋bi（a，b∈R）的　三角　形式（对应地，a＋bi称为复数的代数形式），其中θ称为z的　辐角　. 在[0，2π）内的辐角称为z的辐角　主值　，记作　arg z　. 　　提醒：辐角和辐角主值的区别与联系：①区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线（射线OZ）为终边的角，显然辐角有无数个.而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个.②联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z. 1.复数z＝cos＋isin的辐角主值是（　　） A.　　 　B. C.－　 　　D.－ 解析：B　由辐角主值的定义，知复数z＝cos＋isin的辐角主值是.故选B. 2.将复数4化成代数形式，正确的是（　　） A.4　　　　B.－4 C.4i　　　　 D.－4i 解析：D　4＝4×[0＋i（－1）]＝－4i.故选D. 知识点二　复数三角形式的乘除法 设z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2）， 则：（1）z1z2＝　r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]　， （2）＝　[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]　， （3）[r（cos θ＋isin θ）]n＝rn[cos（nθ）＋isin（nθ）]. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任意一个复数都有三角形式.（　√　） （2）复数的三角形式也可以进行四则运算.（　×　） （3）任何一个非零复数的辐角有无数多个，任意两个辐角相差2π的整数倍.（　√　） （4）1的辐角主值为0.（　√　） （5）arg（z1z2）＝arg（z1）＋arg（z2）.（　×　） 2.×＝（　　） A.1 B.－1 C.i D.－i 解析：C　×＝cos＋isin＝cos＋isin＝i.故选C. 3.4（cos π＋isin π）÷2＝（　　） A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 解析：C　原式＝2＝2＝2＝－1＋i. 题型一｜复数的代数形式与三角形式的互化 角度1　代数形式化为三角形式 【例1】　将以下复数表示为三角形式（辐角主值）： （1）－i； 解：因为r＝＝2， cos θ＝，sin θ＝－， 所以θ＝π，于是－i＝2. （2）1＋i； 解：因为r＝＝，cos θ＝，sin θ＝， 所以θ＝，于是1＋i＝. （3）5. 解：因为r＝＝5，cos θ＝1，sin θ＝0， 所以θ＝0，于是5＝5（cos 0＋isin 0）. 通性通法 把复数的代数形式改写为三角形式的方法 （1）求出复数的模r＝； （2）求出复数的一个辐角θ，cos θ＝，sin θ＝，其中θ所在象限与点（a，b）相同； （3）θ一般取为复数z的辐角主值； （4）将非零复数z＝a＋bi（a，b∈R）改写为z＝r（cos θ＋isin θ）的形式. 角度2　三角形式化为代数形式 【例2】　分别指出下列复数的模和辐角主值，并把这些复数表示成代数形式： （1）4； 解：复数4的模r＝4，辐角主值为θ＝. 4＝4cos＋4isin ＝4×＋4×i ＝2＋2i. （2）（cos 60°＋isin 60°）； 解：（cos 60°＋isin 60°）的模r＝，辐角主值为θ＝60°. （cos 60°＋isin 60°）＝×＋×i ＝＋i. （3）2. 解：2 ＝2 ＝2. 所以复数的模r＝2，辐角主值为π. 2＝2cosπ＋2isinπ ＝2×＋2×i ＝1－i. 通性通法 　　复数的三角形式z＝r（cos θ＋isin θ）必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角. 【跟踪训练】 1.复数z＝－3－i的辐角主值为（　　） A. B.－ C. D. 解析：A　z＝－3－i＝2（ －－i）＝2（ cos＋isin），所以辐角主值为. 2.复数6（ cos＋isin）的三角形式表示成代数形式为3－3i. 解析：6（ cos＋isin）＝6×＋6×（ －）i＝3－3i. 题型二｜复数三角形式的乘除运算 【例3】　计算： （1）2×； 解：2× ＝2 ＝－2i. （2）. 解： ＝ ＝2 ＝1＋i. 通性通法 三角形式下复数的乘、除运算的关键点 （1）复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加； （2）复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角n倍； （3）复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减. 【跟踪训练】 1.（cos 60°－isin 240°）×6（cos 30°－isin 210°）＝　3i　. 解析：（cos 60°－isin 240°）×6（cos 30－isin 210°）＝（cos 60°＋isin 60°）×6（cos 30°＋isin 30°）＝3[cos（60°＋30°）＋isin（60°＋30°）]＝3（cos 90°＋isin 90°）＝3i. 2.＝　－i　. 解析：＝ ＝[cos（60°－120°）＋isin（60°－120°）] ＝[cos（－60°）＋isin（－60°）] ＝＝－i. 题型三｜复数三角形式乘、除运算的几何意义 【例4】　在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数. 解：因为3－i＝2 ＝2， 所以2× ＝2 ＝2 ＝2＝3＋i， 2×［cos＋isin］ ＝2 ＝2＝－2i. 故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i. 通性通法 　　两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. 【跟踪训练】 设复数z1，z2对应的向量为，，O为坐标原点，且z1＝－1＋i，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数z2. 解：依题意（－1＋i）（ cos＋isin）＝， ∴z2＝（－1＋i）（ cos＋isin）（ cos＋isin） ＝2（ cos＋isin）（ cos＋isin）（ cos＋isin） ＝2［cos（ ＋＋）＋isin（ ＋＋）］＝2（ cos＋isin）＝－＋i. 1.下列是复数的三角形式的是（　　） A.2 B.2 C.2 D.－2 解析：B　复数的三角形式为z＝r（cos θ＋isin θ）（r≥0），故选B. 2.复数1－i的辐角主值是（　　） A.π B.π C.π D. 解析：A　因为1－i＝2＝2，所以1－i辐角主值为π. 3.已知复数z＝－1＋i，则它的共轭复数的三角形式为（　　） A.2（ cos－isin） B.－2（ cos＋isin） C.2（ cos＋isin） D.2（ cos＋isin） 解析：C　∵z＝－1＋i，∴＝－1－i，∴｜｜＝2，＝2（ －－i）＝2（ cos＋isin）. 4.（cos 75°＋isin 75°）（cos 15°＋isin 15°）＝　i　. 解析：（cos 75°＋isin 75°）（cos 15°＋isin 15°）＝cos（75°＋15°）＋isin（75°＋15°）＝cos 90°＋isin 90°＝i. 5.化简：2（cos 300°＋isin 300°）÷［（cosπ＋isinπ）］. 解：2（cos 300°＋isin 300°）÷［（cosπ＋isinπ）］ ＝2÷ ＝ ＝（cosπ＋isinπ）＝－＋i. 1.若a＜0，则a的三角形式为（　　） A.a（cos 0＋isin 0） B.a（cos π＋isin π） C.－a（cos π＋isin π） D.－a（cos π－isin π） 解析：C　因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a（cos π＋isin π）.故选C. 2.复数z＝1－i（i为虚数单位）的三角形式为（　　） A.z＝（sin 45°－icos 45°） B.z＝（cos 45°－isin 45°） C.z＝[cos（－45°）－isin（－45°）] D.z＝[cos（－45°）＋isin（－45°）] 解析：D　依题意得r＝＝，复数z＝1－i对应的点在第四象限，且cos θ＝，因此arg z＝315°，结合选项知D正确，故选D. 3.下列复数与复数z＝相等的是（　　） A.cos＋isin B.cos＋isin C.－－i D.－1＋i 解析：B　由题设，z＝＝＝－＋i＝cos＋isin，故A、C、D错误，B正确. 4.＝（　　） A.＋i B.－i C.＋i D.－i 解析：B　＝＝cos（0°－60°）＋isin（0°－60°）＝cos（－60°）＋isin（－60°）＝－i.故选B. 5.设3＋4i的辐角主值为θ，则（3＋4i）·i的辐角主值是（　　） A.＋θ B.－θ C.θ－ D.－θ 解析：A　（3＋4i）·i＝5（cos θ＋isin θ）·＝5，因为3＋4i的辐角主值为θ，所以θ∈，则（3＋4i）·i的辐角主值是＋θ. 6.〔多选〕若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值可能为（　　） A. B. C.－ D.－ 解析：ABD　因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1，所以θ＝＋kπ（k∈Z）.可知选A、B、D. 7.若｜z｜＝2，arg z＝，则复数z＝1＋i. 解析：由题意知，z＝2＝1＋i. 8.将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数是－2i，则θ角的最小正值是. 解析：∵z＝1＋i＝2（ cos＋isin），∴将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数为z1＝2（ cos＋isin）·（cos θ＋isin θ）＝2［cos（ θ＋）＋isin（ θ＋）］＝－2i，∴θ＋＝＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，θ取得最小正值，∴θ＝. 9.已知复数z满足＝1＋i，则复数z的辐角主值是75°. 解析：由＝1＋i，可得＝（cos 45°＋isin 45°），即z＝，z＝，z＝，z＝（cos 75°＋isin 75°），所以复数z的辐角主值是75°. 10.计算，并将结果用复数的代数形式表示： （1）（ cos＋isin）2·（ cos＋isin）； （2）. 解：（1）（ cos＋isin）2·（ cos＋isin） ＝（ cos＋isin）·（ cos＋isin）＝［cos（ ＋）＋isin（ ＋）］ ＝（ cos＋isin）＝（ －－i）＝－－i. （2）＝ ＝（ cos＋isin）·（ cos＋isin） ＝［cos（ ＋）＋isin（ ＋）］ ＝（ cos＋isin）＝（ －＋i）＝－＋i. 11.〔多选〕设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都可以表示为三角形式r（cos θ＋isin θ），其中r为复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为z的辐角）.利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫弗发现[r（cos θ＋isin θ）]n＝rn[cos （nθ）＋isin （nθ）]（n∈N）.根据以上信息，若复数z满足z5＝32，则z可能的取值为（　　） A.2（ cos＋isin） B.2（ cos＋isin） C.2（ cos＋isin） D.2（ cos＋isin） 解析：BD　设z＝r（cos θ＋isin θ），其中r＞0，则z5＝r5（cos θ＋isin θ）5＝r5（cos 5θ＋isin 5θ）＝32，故r5cos 5θ＝32，sin 5θ＝0.∵r＞0，∴cos 5θ＞0，故5θ＝2kπ，k∈Z，则cos 5θ＝1，故r5＝32，则r＝2，故z＝2（ cos＋isin），k∈Z，故B、D正确，A、C错误. 12.设z＝1＋i，则复数的代数形式为1－i，三角形式是. 解析：将z＝1＋i代入，得原式＝＝＝1－i＝. 13.设复数z满足＝，arg＝，求z的辐角主值. 解：由已知，得＝， ∴1－＝＋i， ∴＝－i， ∴z＝＝ ＝＝（＋i） ＝＝， ∴z的辐角主值arg z＝. 14.向量，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是（　　） A.负实数 B.纯虚数 C.正实数 D.虚数a＋bi（a，b∈R，a≠0） 解析：B　设复数z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），由于⊥，所以＝＝[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]＝[cos（±90°）＋isin（±90°）]＝±i，即为纯虚数.故选B. 15.已知z＝cos θ－sin θ＋＋i（cos θ＋sin θ）. （1）当θ为何值时，｜z｜取得最大值，并求此最大值； （2）若θ∈（π，2π），求arg z（用θ表示）. 解：（1）｜z｜＝ ＝ ＝2 . 所以当cos＝1，即θ＝2kπ－（k∈Z）时， ｜z｜取最大值2. （2）设arg z＝α， 由z＝cos θ－sin θ＋＋i（cos θ＋sin θ） ＝， 所以tan α＝＝tan. 因为θ∈（π，2π）， 所以z的实部为 ＞0， z的虚部为 sin. 当θ∈时， sin＜0， z所对应的点位于第四象限， 由于＜＋＜π， 所以arg z＝α＝＋π＝＋. 当θ∈时，sin≥0， z所对应的点位于第一象限（或x轴非负半轴）， 由于π＜＋＜， 所以arg z＝α＝－π＝－. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $