专题10.2 复数的运算（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第四册

专题10.2 复数的运算 教学目标 1．熟练掌握复数加减乘除的运算法则，能规范完成运算、分母实数化与结果化简。 2．理解复数加减法对应的向量几何意义，会用平行四边形与三角形法则解释运算。 3．牢记复数的加法、乘法运算律，能合理运用交换律、结合律与分配律简化计算。 4．能结合复数概念与几何意义，解决四则运算相关的基础计算与简单综合题。 教学重难点 重点：复数四则运算的准确计算、除法分母实数化处理、运算律的正确使用。 难点：复数加减法的几何意义理解，向量运算与复数运算之间的对应关系。 知识点01 复数的四则运算 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 _______ 减法 乘法 _______ 除法 _______ 【即学即练】 1．已知，则的虚部为__________. 2．设，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 知识点02 复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即_______）对应. 【即学即练】 3．在复平面内，i为虚数单位，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是_____. 4．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、D分别对应复数，求第四个顶点所对应的复数． 知识点03 复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 _______ 乘法运算律 交换律 _______ 结合律 _______ 乘法对加法的分配律 _______ 【即学即练】 5．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知复数，. (1)若是实数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围. 题型01 复数的加减运算 【例1】已知复数，则（    ） A．为实数 B． C．的虚部为2 D．为纯虚数 【例2】已知，则__________. 【变式1-1】若复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B． C．3 D． 【变式1-2】（多选）已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则下列结论错误的是（    ） A．是实数 B．是纯虚数 C．是实数 D．是纯虚数 【变式1-3】已知复数，，，i为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若为正实数，求. （1）复数的加、减运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部. （2）复数的加、减运算可以类比多项式的加、减运算(类似于合并同类项).若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算. 题型02 复数加减运算的几何意义 【例3】已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【例4】若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为________. 【变式2-1】复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为______． 【变式2-3】在复平面内，已知复数满足，且，求. 题型03 复数的乘、除运算 【例5】若复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【例6】已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 【变式3-1】（多选）已知复数（i为虚数单位），则（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 【变式3-2】已知复数的共轭复数为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知复数，其中是虚数单位，，则（    ） A．2 B． C．1 D． （1）复数乘法运算法则：复数的乘法可以按照多项式的乘法计算,只是在结果中要将换成,并将实部、虚部分别合并； （2）两个复数代数形式的除法运算：①首先将除式写为分式;②再将分子、分母同乘分母的共轭复数;③然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式. 题型04 复数的乘方运算 【例7】的值为（    ） A． B． C． D． 【例8】设复数，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知复数，其中为虚数单位，则复数z的模为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式4-2】已知，则复数的虚部是______． 【变式4-3】（多选）已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是（    ） A． B． C． D． 有如下性质：如果，那么有 题型05 根据运算的结果求参数 【例9】设的实部与虚部相等，其中为实数，则______. 【例10】若，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知复数的实部与虚部的和为12，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____． 【变式5-3】如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 题型06 根据运算的结果求复数 【例11】若复数z 满足且，则（    ） A． B． C． D． 【例12】已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式6-1】已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若为实数，则虚数的实部为（   ） A．-2 B． C． D．2 【变式6-3】若复数满足：为负实数（为虚数单位），为纯虚数，则的值为_____． 题型07 在复数范围内解方程 【例13】已知1－i是实系数方程的一个复数根，则p＋q＝______． 【例14】已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个根，求实数的值． 【变式7-1】已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为_____. 【变式7-2】设，已知，是方程的两个不同的解． (1)求； (2)求； (3)若，求复数虚部的平方． 【变式7-3】设，已知是关于的方程的两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值. 在复数范围内,实系数一元二次方程的求解方法 （1）求根公式法：当时,;当时,. （2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为,将此根代入方程,化简后利用复数相等的定义求解. 一、单选题 1．若复数，则（   ） A． B． C．4 D．0 2．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知复数，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 4．若复数的实部与虚部相等，则（   ） A． B． C． D． 5．若复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．3 6．若复数，且，则（    ） A． B． C． D．2 7．已知复数满足（i为虚数单位），则（    ） A．1 B． C．i D． 二、多选题 8．设复数（为虚数单位），则下列结论正确的为（    ） A． B．的虚部是 C．对应的点位于第一象限 D． 9．已知复数是关于的方程（其中）的根，且，则（   ） A． B． C． D．满足的的最大值为2 三、填空题 10．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则______． 11．___________． 12．若复数和复数满足，，，则________. 四、解答题 13．已知复数 (1)若，求实数的值； (2)若复数对应的点在第四象限，求的取值范围. 14．已知，为纯虚数． (1)求a和； (2)设，求复数w． 15．已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 复数的运算 教学目标 1．熟练掌握复数加减乘除的运算法则，能规范完成运算、分母实数化与结果化简。 2．理解复数加减法对应的向量几何意义，会用平行四边形与三角形法则解释运算。 3．牢记复数的加法、乘法运算律，能合理运用交换律、结合律与分配律简化计算。 4．能结合复数概念与几何意义，解决四则运算相关的基础计算与简单综合题。 教学重难点 重点：复数四则运算的准确计算、除法分母实数化处理、运算律的正确使用。 难点：复数加减法的几何意义理解，向量运算与复数运算之间的对应关系。 知识点01 复数的四则运算 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 【即学即练】 1．已知，则的虚部为__________. 【答案】 【详解】由题意得，则，可得虚部为. 2．设，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 则，所以的虚部为. 知识点02 复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即）对应. 【即学即练】 3．在复平面内，i为虚数单位，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是_____. 【答案】 【详解】复平面上的向量加法与复数加法法则一致，即对应坐标相加， 因为， 所以对应的复数是. 4．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、D分别对应复数，求第四个顶点所对应的复数． 【答案】 【详解】由平行四边形法则得对应的复数, 所以第四个顶点所对应的复数为6． 知识点03 复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 【即学即练】 5．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】因为，所以其对应的点位于第四象限. 故选：D 6．已知复数，. (1)若是实数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【分析】 【详解】（1）解：     ，，  ； （2）解：     在复平面内对应的点在第四象限 ，. 题型01 复数的加减运算 【例1】已知复数，则（    ） A．为实数 B． C．的虚部为2 D．为纯虚数 【答案】D 【详解】根据题意，，其虚部为，A、C错误，D正确； ，B错误. 故选：D 【例2】已知，则__________. 【答案】5 【详解】由， 可得：， 所以， 所以， 故答案为：5 【变式1-1】若复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】由，则， 则复数的虚部为. 故选：C. 【变式1-2】（多选）已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则下列结论错误的是（    ） A．是实数 B．是纯虚数 C．是实数 D．是纯虚数 【答案】ACD 【详解】∵复数在复平面上对应的点的坐标为， ∴复数， ∵是纯虚数，故A项不正确，B项正确； ∵不是实数，也不是纯虚数，故C，D项都不正确. 故选：ACD. 【变式1-3】已知复数，，，i为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若为正实数，求. 【答案】(1) (2)5 【详解】（1）， 因为为纯虚数，所以且，得. （2）， 因为，所以为实数， 所以且，得， 所以，所以. （1）复数的加、减运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部. （2）复数的加、减运算可以类比多项式的加、减运算(类似于合并同类项).若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算. 题型02 复数加减运算的几何意义 【例3】已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且，由勾股定理逆定理知道， 为直角三角形，且. 作长方形，如图所示， 则对应的复数为，故. 故选：C. 【例4】若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为________. 【答案】16 【详解】因为，，， 所以，，. 所以的周长为. 故答案为：16 【点睛】此题考查复数的模的运算，属于基础题 【变式2-1】复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 【变式2-2】在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为______． 【答案】5 【详解】依题意得对应的复数为， 所以A，C两点间的距离为． 故答案为：5． 【变式2-3】在复平面内，已知复数满足，且，求. 【答案】 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且， 所以为等腰直角三角形，且.    作正方形AOBC，如图所示， 则对应的复数为，故. 题型03 复数的乘、除运算 【例5】若复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由，移项得， 两边同乘，得. 因为，所以， 故复数的虚部为. 【例6】已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 【答案】 【详解】复数z满足， 则+3i， 则， 则. 【变式3-1】（多选）已知复数（i为虚数单位），则（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，，的共轭复数为，故A错误； 对于B，的虚部为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 【变式3-2】已知复数的共轭复数为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可知， 由题意得，解得， 所以. 【变式3-3】已知复数，其中是虚数单位，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】因为复数 ， 所以. （1）复数乘法运算法则：复数的乘法可以按照多项式的乘法计算,只是在结果中要将换成,并将实部、虚部分别合并； （2）两个复数代数形式的除法运算：①首先将除式写为分式;②再将分子、分母同乘分母的共轭复数;③然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式. 题型04 复数的乘方运算 【例7】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【例8】设复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 【变式4-1】已知复数，其中为虚数单位，则复数z的模为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由于，故每四个连续的项之和为0， ，则， 由于，故，所以. 【变式4-2】已知，则复数的虚部是______． 【答案】/ 【详解】因为，且， 所以，所以， 所以，即复数的虚部是． 【变式4-3】（多选）已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】依题意，，当时，；当时，； 当时，；当时，， 因此， 对于A，，A不是； 对于B，，B是； 对于C，，C是； 对于D，，D不是． 有如下性质：如果，那么有 题型05 根据运算的结果求参数 【例9】设的实部与虚部相等，其中为实数，则______. 【答案】3 【详解】因为，且实部与虚部相等， 故，解得. 【例10】若，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为， 所以， 所以，解得：， 因为，所以，解得：或， 则实数的取值范围是. 故选：B. 【变式5-1】已知复数的实部与虚部的和为12，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由复数的乘法运算可知，， 因为复数的实部与虚部的和为12，所以，解得，. 故选：B. 【变式5-2】已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____． 【答案】2 【详解】由复数，， 可得为纯虚数， 则，解得． 故答案为：2． 【变式5-3】如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【详解】因，依题意得，. 故选：D. 题型06 根据运算的结果求复数 【例11】若复数z 满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则； 由可得， 又因为，所以； 即，解得或（舍）； 可得. 【例12】已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】设复数，则，因为，所以， 因为，所以，即， 所以. 【变式6-1】已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数的运算性质，可得，则， 所以，所以. 【变式6-2】若为实数，则虚数的实部为（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】C 【详解】设且， 则， 因为为实数，所以， 因为，所以， 故虚数的实部为. 故选：C 【变式6-3】若复数满足：为负实数（为虚数单位），为纯虚数，则的值为_____． 【答案】 【详解】设， 由于为负实数， 则有，解得，进而， 因为为纯虚数，则有，且，解得， 因为，所以，故 故答案为： 题型07 在复数范围内解方程 【例13】已知1－i是实系数方程的一个复数根，则p＋q＝______． 【答案】 【详解】因为是实系数方程的一个复数根， 则是实系数方程的一个复数根， 所以，解得，所以. 【例14】已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个根，求实数的值． 【答案】(1) (2)－7 【分析】 【详解】（1）复数z＝1－2i（i为虚数单位），， ∴，∴ ∴复数的共轭复数； （2）∵z＝1－2i是关于x的方程（m，n）的一个根， ∴，整理得：， 则，解得：，所以． 【变式7-1】已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】若一元二次方程的判别式大于等于0，则方程有两个实数根，即为实数， 由，则，此时， 若一元二次方程的判别式小于0，则为两虚数根， 设、 又因为，所以，所以， 所以 当时，. 综上所述：的最小值为. 故答案为：. 【变式7-2】设，已知，是方程的两个不同的解． (1)求； (2)求； (3)若，求复数虚部的平方． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）． （2）是方程的解，，即 ，，. （3）由（2）可得，设， 代入，得， ，由②可得，代入①式得， 于是，故． 【变式7-3】设，已知是关于的方程的两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)32 【分析】 【详解】（1）（1）对于实系数一元二次方程，有， 又因为，所以，即， 因为是关于的方程的两个虚根， 所以，即， 所以的取值范围为. （2）由韦达定理知，，即，， 因为，所以， 因为方程有虚根，所以，所以，即. 所以方程为，解得，即， 所以， 故. 在复数范围内,实系数一元二次方程的求解方法 （1）求根公式法：当时,;当时,. （2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为,将此根代入方程,化简后利用复数相等的定义求解. 一、单选题 1．若复数，则（   ） A． B． C．4 D．0 【答案】B 【详解】. 2．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】设，由，得， 即，得， 所以在复平面内对应的点为位于第四象限. 3．已知复数，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以的虚部是. 4．若复数的实部与虚部相等，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且复数的实部与虚部相等，所以． 5．若复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】设，则， 所以， 因为，所以 ，即， 则 . 6．若复数，且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】因为，所以， 由，可得， 即，解得，则， 故． 7．已知复数满足（i为虚数单位），则（    ） A．1 B． C．i D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以， 所以. 二、多选题 8．设复数（为虚数单位），则下列结论正确的为（    ） A． B．的虚部是 C．对应的点位于第一象限 D． 【答案】ABC 【详解】因为， 可知，的虚部是，故AB正确； 又因为，可知对应的点为，位于第一象限，故C正确； 且，则，故D错误； 故选：ABC. 9．已知复数是关于的方程（其中）的根，且，则（   ） A． B． C． D．满足的的最大值为2 【答案】ACD 【详解】对于，因为， 所以，， 则，故A正确； 对于，由知，，即，故错误； 对于，由于是关于的方程的根， 所以也是该方程的另一个根，由韦达定理，， ，所以，故正确； 对于，由，可得在复平面内对应的点在以为圆心，1为半径的圆上， 所以的最大值为，故正确． 三、填空题 10．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则______． 【答案】 【详解】，所以，，． 11．___________． 【答案】 【详解】因为 所以. 12．若复数和复数满足，，，则________. 【答案】 【详解】因为，，， 由复数模的运算性质，可得 ， 所以，所以， 又由， 所以. 四、解答题 13．已知复数 (1)若，求实数的值； (2)若复数对应的点在第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得，， ，； （2）由题意得， 复数对应的点在第四象限，，所以， 故的取值范围为. 14．已知，为纯虚数． (1)求a和； (2)设，求复数w． 【答案】(1);. (2) 【分析】 【详解】（1）已知为纯虚数，所以， 解得或. 当时，（舍去）. 当时，. （2）设（），则，. 因为，，则. 解得，.因此. 15．已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以方程的两个根，为共轭复数， 设，， 由韦达定理得，， 将，代入， 得，即， 所以，解得，所以，， 所以，． （2）因为，所以，所以，， 所以，， 因为与的夹角为钝角，所以，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $