10.3 复数的三角形式及其运算(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦复数的三角形式及其运算核心知识点，前承复数的几何意义与代数形式，后接三角形式的乘除运算及几何意义，通过问题引入（如复数z=1+i的坐标、模与辐角关系探究）、定义辨析（辐角与辐角主值区别）、题型示例（代数与三角形式互化、乘除运算、几何意义应用）搭建学习支架。 该资料以问题驱动培养数学抽象（如从复数几何意义抽象三角形式定义），通过分层题型训练数学运算（如三角形式乘除法则应用），结合向量旋转实例体现数学思维（如复数乘法的几何意义）。课中助力教师引导学生构建知识体系，课后练习题帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

10.3　复数的三角形式及其运算 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，了解复数的代数形式与三角形式之间的关系（数学抽象）. 2.了解复数乘、除运算的三角形式及其几何意义（数学运算）. 设复数z＝1＋i在复平面内对应的点为Z. 【问题】　（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量； （2）记r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋i的实部、虚部之间的关系. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 知识点一　复数的三角形式 如果非零复数z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应点Z（a，b），且r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝｜z｜＝，根据任意角余弦、正弦的定义可知cos θ＝，sin θ＝.那么z＝a＋bi＝（rcos θ）＋（rsin θ）i＝　　　　　　　　的右边称为非零复数z＝a＋bi（a，b∈R）的　　　　形式（对应地，a＋bi称为复数的代数形式），其中θ称为z的　　　　.在[0，2π）内的辐角称为z的辐角　　　　，记作　　　. 　　提醒：辐角和辐角主值的区别与联系：①区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线（射线OZ）为终边的角，显然辐角有无数个.而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个.②联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z. 1.复数z＝cos＋isin的辐角主值是（　　） A.　　　　　　　　B. C.－ D.－ 2.将复数4化成代数形式，正确的是（　　） A.4 B.－4 C.4i D.－4i 知识点二　复数三角形式的乘除法 设z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2）， 则：（1）z1z2＝　　　　　　　　　　　　， （2）＝　　　　　　　　　　　　， （3）[r（cos θ＋isin θ）]n＝rn[cos（nθ）＋isin（nθ）]. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任意一个复数都有三角形式.（　　） （2）复数的三角形式也可以进行四则运算.（　　） （3）任何一个非零复数的辐角有无数多个，任意两个辐角相差2π的整数倍.（　　） （4）1的辐角主值为0.（　　） （5）arg（z1z2）＝arg（z1）＋arg（z2）.（　　） 2.×＝（　　） A.1　　　B.－1 C.i　　　D.－i 3.4（cos π＋isin π）÷2＝（　　） A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 题型一｜复数的代数形式与三角形式的互化 角度1　代数形式化为三角形式 【例1】　将以下复数表示为三角形式（辐角主值）： （1）－i；（2）1＋i；（3）5. 尝试解答 通性通法 把复数的代数形式改写为三角形式的方法 （1）求出复数的模r＝； （2）求出复数的一个辐角θ，cos θ＝，sin θ＝，其中θ所在象限与点（a，b）相同； （3）θ一般取为复数z的辐角主值； （4）将非零复数z＝a＋bi（a，b∈R）改写为z＝r（cos θ＋isin θ）的形式. 角度2　三角形式化为代数形式 【例2】　分别指出下列复数的模和辐角主值，并把这些复数表示成代数形式： （1）4；（2）（cos 60°＋isin 60°）；（3）2. 尝试解答 通性通法 　　复数的三角形式z＝r（cos θ＋isin θ）必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角. 【跟踪训练】 1.复数z＝－3－i的辐角主值为（　　） A. B.－ C. D. 2.复数6（ cos＋isin）的三角形式表示成代数形式为　　　　. 题型二｜复数三角形式的乘除运算 【例3】　计算： （1）2×； （2）. 尝试解答 通性通法 三角形式下复数的乘、除运算的关键点 （1）复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加； （2）复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角n倍； （3）复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减. 【跟踪训练】 1.（cos 60°－isin 240°）×6（cos 30°－isin 210°）＝　　　　. 2.＝　　　　. 题型三｜复数三角形式乘、除运算的几何意义 【例4】　在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数. 尝试解答 通性通法 　　两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. 【跟踪训练】 设复数z1，z2对应的向量为，，O为坐标原点，且z1＝－1＋i，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数z2. 1.下列是复数的三角形式的是（　　） A.2 B.2 C.2 D.－2 2.复数1－i的辐角主值是（　　） A.π　　　　　　　　B.π C.π D. 3.已知复数z＝－1＋i，则它的共轭复数的三角形式为（　　） A.2（ cos－isin） B.－2（ cos＋isin） C.2（ cos＋isin） D.2（ cos＋isin） 4.（cos 75°＋isin 75°）（cos 15°＋isin 15°）＝　　　　. 5.化简：2（cos 300°＋isin 300°）÷. 提示：完成课后作业　第十章　10.3 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3　复数的三角形式及其运算 【基础落实】 新知初探 知识点一 r（cos θ＋isin θ）　三角　辐角　主值　arg z 自我诊断 1.B　由辐角主值的定义，知复数z＝cos＋isin的辐角主值是.故选B. 2.D　4＝4×[0＋i（－1）]＝－4i.故选D. 知识点二 （1）r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）] （2）[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）] 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）√　（5）× 2.C　（cos＋isin ）×（cos＋isin ）＝cos（＋）＋isin（＋）＝cos＋isin＝i.故选C. 3.C　原式＝2［cos（π－）＋isin（π－）］＝2（cos＋isin）＝2（－＋i）＝－1＋i. 【典例研析】 【例1】　解：（1）因为r＝＝2，cos θ＝，sin θ＝－，所以θ＝π，于是－i＝2（cosπ＋isinπ）. （2）因为r＝＝，cos θ＝，sin θ＝， 所以θ＝，于是1＋i＝. （3）因为r＝＝5，cos θ＝1，sin θ＝0， 所以θ＝0，于是5＝5（cos 0＋isin 0）. 【例2】　解：（1）复数4的模r＝4，辐角主值为θ＝. 4＝4cos＋4isin＝4×＋4×i ＝2＋2i. （2）（cos 60°＋isin 60°）的模r＝，辐角主值为θ＝60°. （cos 60°＋isin 60°）＝×＋×i＝＋i. （3）2 ＝2 ＝2. 所以复数的模r＝2，辐角主值为π. 2＝2cosπ＋2isinπ＝2×＋2×i＝1－i. 跟踪训练 1.A　z＝－3－i＝2（ －－i）＝2（ cos＋isin），所以辐角主值为. 2.3－3i　 解析：6（ cos＋isin）＝6×＋6×（ －）i＝3－3i. 【例3】　解：（1）2× ＝2＝－2i. （2） ＝ ＝2＝1＋i. 跟踪训练 1.3i　 解析：（cos 60°－isin 240°）×6（cos 30－isin 210°）＝（cos 60°＋isin 60°）×6（cos 30°＋isin 30°）＝3[cos（60°＋30°）＋isin（60°＋30°）]＝3（cos 90°＋isin 90°）＝3i. 2.－i　 解析：＝＝[cos（60°－120°）＋isin（60°－120°）]＝[cos（－60°）＋isin（－60°）]＝＝－i. 【例4】　解：因为3－i＝2 ＝2， 所以2（cosπ＋isinπ）×（cos＋isin） ＝2 ＝2（cosπ＋isinπ）＝2（cos＋isin） ＝3＋i， 2（cosπ＋isinπ）×［cos（－）＋isin（－）］ ＝2 ＝2 ＝－2i. 故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i. 跟踪训练 解：依题意（－1＋i）（ cos＋isin）＝， ∴z2＝（－1＋i）（ cos＋isin）·（ cos＋isin） ＝2（ cos＋isin）（ cos＋isin）（ cos＋isin） ＝2［cos（ ＋＋）＋isin（ ＋＋）］＝2（ cos＋isin）＝－＋i. 随堂检测 1.B　复数的三角形式为z＝r（cos θ＋isin θ）（r≥0），故选B. 2.A　因为1－i＝2＝2，所以1－i辐角主值为π. 3.C　∵z＝－1＋i，∴＝－1－i，∴｜｜＝2，＝2（ －－i）＝2（ cos＋isin）. 4.i　 解析：（cos 75°＋isin 75°）（cos 15°＋isin 15°）＝cos（75°＋15°）＋isin（75°＋15°）＝cos 90°＋isin 90°＝i. 5.解：2（cos 300°＋isin 300°）÷ ＝2（cosπ＋isinπ）÷［（cosπ＋isinπ）］ ＝［cos（π－π）＋isin（π－π）］ ＝（cosπ＋isinπ）＝－＋i. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $