10.2 复数的运算（专项训练）高一数学人教B版必修第四册

10.2 复数的运算 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 复数的加减运算 考点一：复数的加法 1、加法法则：设，（）是任意两个复数，规定 。即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数。 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，即，，，，则。 2、加法运算律：对任意的，都有， （1）交换律：； （2）结合律：。 考点二：复数的减法 1、相反数：已知复数（），根据复数加法的定义，存在唯一的复数，使。其中叫做的相反数． 2、减法法则：规定两个复数的减法法则，设，（）是任意两个复数，则。即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数。 考点三：复数加法与减法的几何意义 1、复数可以用向量来表示，已知复数（），（） 其对应的向量，，如图1，且和不共线， 以和为两条邻边作平行四边形， 根据向量的加法法则，对角线所对应的向量， 而所对应的坐标是，这正是两个复数之和 所对应的有序实数对。 2、复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数与向量 等于）对应，这就是复数减法的几何意义。 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差； （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则； （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行。 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：。 题型一：复数加减法的代数运算 复数加减法的运算法则： 设，（）是任意两个复数，则 ，. 1．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）计算（为虚数单位）的结果是（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【详解】． 2．（25-26高一下·福建厦门·月考）已知复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的加法法则可得出复数的值. 【详解】因为复数，，则. 3．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）若，则______ 【答案】 【分析】先计算两个复数的差，再根据复数模的计算公式求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值：； 【答案】 【分析】利用复数加减运算法则计算出答案. 【详解】. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）计算； （2）计算． 【答案】（1）5；（2） 【分析】利用复数的加减运算法则计算即可. 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 6．（24-25高一下·广西南宁·月考）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】由复数的加减运算，可得答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. 题型二：复数加减法的几何意义 复数加、减法几何意义的应用技巧： (1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算。 (2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则。 1．（2025高一下·全国·专题练习）在复平面内，已知复数满足，且，求. 【答案】 【分析】设对应的复数为，对应的复数为，利用向量运算和复数的向量表示可解. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且， 所以为等腰直角三角形，且.    作正方形AOBC，如图所示， 则对应的复数为，故. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，设及分别与复数及复数对应，计算，并在复平面内作出对应的向量． 【答案】答案见解析 【分析】先利用复数加法运算法则得到，并利用复数的几何意义得到对应的向量. 【详解】． 在复平面内作出对应的向量，如图所示． 3．（2025高一·全国·专题练习）设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 【答案】(1)；(2)6 【分析】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，利用几何图形求解该圆上点到原点距离的范围即为的取值范围； （2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，利用几何图形求解即可. 【详解】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，如图所示. （1）解法代表满足已知圆及圆内点到原点的距离，因此距离最大值为圆心到原点的距离5加半径1，最小值为圆心到原点的距离5减半径1，即. 解法2：由不等式，得，即，解得. （2）（2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，所以点到点的距离为，所以，即最大值为6. 题型三：根据复数加减法的运算结果求参数 先根据加减法进行运算，再根据复数特征列方程（组）或不等式（组）. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数对应点的性质求解即可. 【详解】由题意得， 因为复数对应的点在第四象限， 所以，解得，故B正确. 故选：B 2．（2025·上海长宁·一模）已知复数z和，则下列说法正确的是（   ） A．一定是实数 B．一定是虚数 C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数 【答案】A 【分析】根据复数的加减法，结合虚数和纯虚数的定义即可逐一求解. 【详解】设,则故为实数，故A正确， 对于B，，当时，此时为实数，故B错误， 对于C，则，当时，此时为实数，C错误， 对于D, ，则，则是实数，故D错误， 故选：A 3．（25-26高一下·新疆·期中）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____． 【答案】2 【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可． 【详解】由复数，， 可得为纯虚数， 则，解得． 故答案为：2． 4．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知复数满足，则_____． 【答案】 【分析】设，则，根据求得，根据复数模的计算公式求解即可． 【详解】设，则， 所以，所以， 所以， 故答案为：． 5．（25-26高二下·浙江衢州·期中）已知复数，，，是虚数单位，若，则___________． 【答案】 【分析】根据复数加法运算及可构造方程求得的值，根据复数模长运算可求得结果. 【详解】， ，解得， ， . 考点02 复数的乘除法运算 考点一：复数的乘法法则 1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把换成，并把最后结果写成（）的形式。设，（），则。显然两个复数的积仍是复数。 2、复数乘法的运算律：对于任意，有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立． 3、复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立。即对复数和自然数有，，，；。 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立． 考点二：复数的乘法运算 有如下性质：，，，， 从而对于任何，都有， 同理可证，，。 这就是说，如果，那么有，，，。 由此可进一步得，，，，。 考点三：复数的除法运算 规定两个复数除法的运算法则： 在进行复数除法运算时，通常先把写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果。 【注意】（1）两个复数相除（除数不为），所得的商仍是一个复数。 （2），是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段。 （3）实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似。 （4）代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开。 题型一：复数代数形式的乘法运算 （1）两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤 ①首先按多项式的乘法展开． ②再将换成－1. ③然后再进行复数的加、减运算． （2）常用公式 ①． ②． ③. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)13；(2)；(3) 【分析】利用复数的乘法，乘方运算以及虚数单位的性质逐一求解即得. 【详解】（1）； （2）； （3） 2．（25-26高一下·江苏·期中）设复数． (1)若，求、的值． (2)若与复数是互为共轭复数，求. 【答案】(1)，；(2)5 【分析】（1）根据复数的乘法运算，结合复数相等的概念可求、的值. （2）根据共轭复数的概念结合复数的乘法运算法则求值. 【详解】（1）因为， 故，. （2）因为与复数是互为共轭复数，则， 故. 3．（25-26高一下·浙江·期中）已知复数，，，. (1)若，求m的值； (2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，求m的范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据复数的运算法则计算得出复数的表达式，再根据可解得m的值； （2）将所求复数整理化简，根据第二象限对应的复数实部与虚部的符号特征解不等式即可. 【详解】（1）由已知得， 所以， 又，解得， 故实数m的值为. （2）由（1）得， ， 由复数在复平面上对应的点在第二象限得 ，解得， 故实数m的取值范围为. 题型二：复数的乘方 （1）的周期性要记熟，即（），即为周期的循环。 （2）记住以下结果，可提高运算速度；①，；②，；③。　 1．（2026·河南焦作·模拟预测）复数的实部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以复数的实部为. 2．（25-26高一下·江苏·期中）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的虚部为. 3．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知复数，则z的虚部为（   ） A．3 B．3i C． D． 【答案】C 【分析】利用复数运算法则计算后由虚部定义即可得. 【详解】，虚部为. 4．（25-26高一下·山西阳泉·期中）已知是虚数单位，则=___________. 【答案】0 【分析】由复数的运算性质求解. 【详解】根据虚数单位的幂次的运算性质得： ， ， 所以. 5．（2026·宁夏银川·三模）已知复数，其中为虚数单位，则复数的模为________. 【答案】 【详解】由于，，，，故每四个连续的项之和为， ，则， 由于，，故，所以. 6．（25-26高一下·浙江温州·期中）___________． 【答案】 【详解】 题型三：复数的除法运算 根据复数的除法法则进行运算即可. 1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】，，故的虚部为. 2．（25-26高三下·安徽·期中）已知是复数的共轭复数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 所以， 则. 3．（湖北楚天协作体2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题）在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得复数在复平面对应的点为位于第二象限. 4．（新疆乌鲁木齐地区2025-2026学年高三下学期第三次质量监测数学（问卷））复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故的共轭复数为 5．（25-26高一下·安徽合肥·期中）已知复数，其中是虚数单位，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的几何意义计算即可求解. 【详解】， 所以. 6．（25-26高三下·湖北随州·月考）设复数，是z的共轭复数，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 则，则的虚部为. 7．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）若，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ） A．i B．i C． D． 【答案】D 【分析】将复数化成的形式，即可得答案. 【详解】因为 所以z的虚部为. 8．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，为纯虚数． (1)求a和； (2)设，求复数w． 【答案】(1);.；(2) 【分析】（1）根据复数的运算以及纯虚数的概念求解即可. （2）设，再代入求解即可. 【详解】（1）已知为纯虚数，所以， 解得或. 当时，（舍去）. 当时，. （2）设（），则，. 因为，，则. 解得，.因此. 题型四：根据复数乘除法的结果求参数 先根据乘除法进行运算，再根据复数特征列方程（组）或不等式（组）. 1．（24-25高二下·广东阳江·月考）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用乘法运算化简复数，即可找出复数所对应的点. 【详解】因为，所以其对应的点位于第四象限. 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）若复数的实部与虚部的和为3，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】化简复数，利用实部与虚部的和即可求出的值. 【详解】由题意， ， ∵实部与虚部的和为3， ∴，． 故选：D. 3．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）的虚部为__________. 【答案】 【分析】由复数的乘法运算和虚部的概念可得结果. 【详解】由题意得,所以的虚部为. 故答案为：. 4．（2025·广东·模拟预测）（多选）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A．的实部为3 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 【答案】ACD 【分析】先根据复数除法法则化简，即可判断A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何意义判断C,D. 【详解】由于， 则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误； 由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确， 故选：ACD. 考点03 复数范围内解方程 考点一：复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解 设方程的根为，将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。 题型一：复数范围内求方程的根 根据求根公式求解即可. 1．（25-26高一下·浙江温州·期中）已知是关于的方程的一个根，则实数、的和（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知方程的另一个根为，利用韦达定理可求出实数、的值，即可得解. 【详解】因为、为实数，且是关于的方程的一个根， 则该方程的另一个根为，由韦达定理可得， 解得，，故. 2．（25-26高一下·山西阳泉·期中）（多选）已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．复数z的虚部为-4 C．若对应的向量为，i对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程的一个根，则 【答案】ABD 【详解】A选项，，所以A正确； B选项，复数（i为虚数单位）虚部为，所以B正确； C选项，由题意，又，则向量， 故向量对应的复数为，所以C不正确； D选项，若复数是关于的方程的一个根， 则，且也为方程的根， 故，所以，即，所以D正确. 3．（湖南永州市2026届高三第三次模拟考试数学试卷）（多选）已知复数，则（    ） A． B．的虚部为 C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．为方程的一个根 【答案】AD 【分析】根据复数除法的运算得到，再由复数的相关知识逐一判断即可． 【详解】解：， ，故A正确； 的虚部为，故B错误； 在复平面内对应的点为，位于第三象限，故C错误； 方程的根为， 是方程的一个根，故D正确． 4．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知为虚数单位，复数. (1)当实数取何值时，是纯虚数? (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由纯虚数的概念列式，求解即可求出答案； （2）将代入，根据复数相等列方程组求解即可. 【详解】（1）由z是纯虚数，得， 解得， 故当时，是纯虚数. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根， 所以， 即， 因为与为实数，所以， 解得，. 5．（25-26高一下·安徽安庆·月考）已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先进行复数的除法运算，再根据纯虚数的概念求得m的值； （2）将复数代入方程中，结合复数相等求出p，q的值. 【详解】（1）由题意可知：， 因为z是纯虚数，则，解得. （2）因为是关于的方程的一个根， 则，整理得， 则，解得，，所以. 1．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则向量表示的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的向量表示、向量减法的法则 【详解】根据向量的三角形法则：. 2．（2026·湖北十堰·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分离复数，再按复数除法法则将分母有理化，按复数乘法法则计算分子并化简，即可求得 的值. 【详解】由，得． 3．（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，， ． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1);(2)0；（3） 【分析】（1）利用复数的乘法运算求解即可； （2）利用复数的乘方以及除法运算求解即可. 【详解】（1）原式． （2）因为， 所以， 原式 （3）； 5．（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）（多选）若复数满足，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．复数是关于的方程的一个根 【答案】ABD 【详解】由题意得，，即， 则， 则，故A正确； ，故B正确； ， 所以在复平面内对应的点为，位于第三象限，故C错误； 设复数是关于的方程（，）的一个根， 则另一个根为，根据韦达定理，得，，解得，， 所以复数是关于的方程即的一个根，故D正确． 6．（25-26高一下·河北衡水·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的最小值为1 D．若是关于的方程的根，则 【答案】ACD 【分析】对于A，设，代入共轭复数计算，结合复数的模可得；对于B，设，，利用复数相等求解；对于C，根据不等式 确定；对于D，由根与系数关系求解. 【详解】对于A，设， ，选项A正确； 对于B，设，， ， 所以，若且， 则，选项B错误； 对于C，， ，所以的最小值为1，选项C正确； 对于D，是关于的方程的根， 则也是方程的根， ，，选项D正确. 7．（25-26高一下·浙江·期中）（多选）下列命题中正确的是（   ） A．若复数，则 B．若复数，则z的虚部是 C．已知，是关于x的方程的一个根，则 D．若复数z满足，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】应用共轭复数的定义及复数乘法判断A，由复数的乘法、乘方运算化简，并确定虚部判断B，由实数方程复数根的性质及韦达定理求参数值判断C，由复数模的几何性质确定的轨迹为圆，结合圆的几何性质求距离最小值判断D. 【详解】A：由题设，正确， B：，虚部为，错误， C：由题设，是方程的另一个复数根， 则，即，故，正确， D：由，则对应点在以为圆心，2为半径的圆上， 而表示圆上点到点的距离，且点在圆内，    故其最小值为，正确. 8．（25-26高二下·浙江温州·期中）（多选）已知复数，则以下说法正确的是（   ） A．复数的虚部为 B．的模为 C．的共轭复数 D．是方程的一个根 【答案】BCD 【分析】化简复数，利用虚部定义可判断A，利用复数模长公式可判断B，利用共轭复数的定义可判断C，将代入方程计算可判断D。 【详解】复数， 所以复数的虚部为，故A错误； ，故B正确， 的共轭复数，故C正确； 由于， 所以是方程的一个根，故D正确. 9．（25-26高一下·浙江·期中）设，复数． (1)若是实数，求； (2)若是关于的方程的一个根，求的值． 【答案】(1)3；(2)或 【分析】（1）根据复数的除法和复数概念可得，再由复数模的计算公式计算求解； （2）将复数代入方程，根据复数相等列方程组计算求解即可. 【详解】（1） ， 因为是实数，于是，则，即， 所以 ； （2）因为复数 是关于的方程的一个根， 所以 ，整理得 ， 所以，解得或 当时，； 当时，． 10．（25-26高一下·云南昭通·期中）计算 (1)； (2)； (3)已知，求复数z． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【详解】（1）． （2）原式． （3）设，则， 所以，即， 则，解得或， 故或． 11．（25-26高一下·浙江台州·期中）设复数，． (1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1） 因为是实数， 所以，即， 所以； （2）， 因为是纯虚数，所以，解得， 所以，． 12．（25-26高一下·河南漯河·期中）（1）求方程在复数范围内的解； （2）若，求和. 【答案】（1）或（2）， 【分析】（1）根据判别式求解方程即可； （2）先计算，再将拆为，即可借助计算. 【详解】（1），因为，所以， 所以或； （2）因为，， 所以； 因为，所以. 13．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知是关于的方程的一个根，其中，． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题可知是方程的另外一个根，再利用韦达定理求解； （2）根据复数的乘法计算，再根据纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】（1）解：是关于的方程的一个根， 是方程的另外一个根， ，解得， ； （2）解：， 又是纯虚数， ， 解得． 14．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知复数满足，且（i为虚数单位）. (1)若是方程的一个复根，求p和q的值； (2)若复数在复平面上的对应点在第二象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设，，则， 由题可知：，解得，故， 因为是方程的一个复根， 所以将代入可得， 化简可得， 由题可知，， 因此，解得. （2）（2）因为， 所以在复平面对应的点为， 由题可知，在第二象限， 因此，解得. 15．（25-26高一下·海南海口·月考）已知复数为虚数. (1)若是关于的方程的一个根，求. (2)若是实数，求复数的模； 【答案】(1)；(2)2 【分析】（1）由是方程的一个根得，利用求根公式即可求解. （2）是实数得，即可求复数的模. 【详解】（1）由是方程的一个根， 由，所以. （2）由复数为虚数，则， 又， 因为是实数，所以，即， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2 复数的运算 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 复数的加减运算 考点一：复数的加法 1、加法法则：设，（）是任意两个复数，规定 。即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数。 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，即，，，，则。 2、加法运算律：对任意的，都有， （1）交换律：； （2）结合律：。 考点二：复数的减法 1、相反数：已知复数（），根据复数加法的定义，存在唯一的复数，使。其中叫做的相反数． 2、减法法则：规定两个复数的减法法则，设，（）是任意两个复数，则。即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数。 考点三：复数加法与减法的几何意义 1、复数可以用向量来表示，已知复数（），（） 其对应的向量，，如图1，且和不共线， 以和为两条邻边作平行四边形， 根据向量的加法法则，对角线所对应的向量， 而所对应的坐标是，这正是两个复数之和 所对应的有序实数对。 2、复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数与向量 等于）对应，这就是复数减法的几何意义。 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差； （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则； （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行。 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：。 题型一：复数加减法的代数运算 复数加减法的运算法则： 设，（）是任意两个复数，则 ，. 1．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）计算（为虚数单位）的结果是（   ） A．3 B． C． D．1 2．（25-26高一下·福建厦门·月考）已知复数，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）若，则______ 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值：； 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）计算； （2）计算． 6．（24-25高一下·广西南宁·月考）计算： (1) (2) (3) 题型二：复数加减法的几何意义 复数加、减法几何意义的应用技巧： (1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算。 (2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则。 1．（2025高一下·全国·专题练习）在复平面内，已知复数满足，且，求. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，设及分别与复数及复数对应，计算，并在复平面内作出对应的向量． 3．（2025高一·全国·专题练习）设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 题型三：根据复数加减法的运算结果求参数 先根据加减法进行运算，再根据复数特征列方程（组）或不等式（组）. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海长宁·一模）已知复数z和，则下列说法正确的是（   ） A．一定是实数 B．一定是虚数 C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数 3．（25-26高一下·新疆·期中）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____． 4．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知复数满足，则_____． 5．（25-26高二下·浙江衢州·期中）已知复数，，，是虚数单位，若，则___________． 考点02 复数的乘除法运算 考点一：复数的乘法法则 1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把换成，并把最后结果写成（）的形式。设，（），则。显然两个复数的积仍是复数。 2、复数乘法的运算律：对于任意，有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立． 3、复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立。即对复数和自然数有，，，；。 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立． 考点二：复数的乘法运算 有如下性质：，，，， 从而对于任何，都有， 同理可证，，。 这就是说，如果，那么有，，，。 由此可进一步得，，，，。 考点三：复数的除法运算 规定两个复数除法的运算法则： 在进行复数除法运算时，通常先把写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果。 【注意】（1）两个复数相除（除数不为），所得的商仍是一个复数。 （2），是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段。 （3）实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似。 （4）代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开。 题型一：复数代数形式的乘法运算 （1）两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤 ①首先按多项式的乘法展开． ②再将换成－1. ③然后再进行复数的加、减运算． （2）常用公式 ①． ②． ③. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（25-26高一下·江苏·期中）设复数． (1)若，求、的值． (2)若与复数是互为共轭复数，求. 3．（25-26高一下·浙江·期中）已知复数，，，. (1)若，求m的值； (2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，求m的范围. 题型二：复数的乘方 （1）的周期性要记熟，即（），即为周期的循环。 （2）记住以下结果，可提高运算速度；①，；②，；③。　 1．（2026·河南焦作·模拟预测）复数的实部为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏·期中）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知复数，则z的虚部为（   ） A．3 B．3i C． D． 4．（25-26高一下·山西阳泉·期中）已知是虚数单位，则=___________. 5．（2026·宁夏银川·三模）已知复数，其中为虚数单位，则复数的模为________. 6．（25-26高一下·浙江温州·期中）___________． 题型三：复数的除法运算 根据复数的除法法则进行运算即可. 1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高三下·安徽·期中）已知是复数的共轭复数，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（湖北楚天协作体2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题）在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（新疆乌鲁木齐地区2025-2026学年高三下学期第三次质量监测数学（问卷））复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·安徽合肥·期中）已知复数，其中是虚数单位，则（   ） A．1 B． C．2 D． 6．（25-26高三下·湖北随州·月考）设复数，是z的共轭复数，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）若，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ） A．i B．i C． D． 8．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，为纯虚数． (1)求a和； (2)设，求复数w． 题型四：根据复数乘除法的结果求参数 先根据乘除法进行运算，再根据复数特征列方程（组）或不等式（组）. 1．（24-25高二下·广东阳江·月考）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025高三·全国·专题练习）若复数的实部与虚部的和为3，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）的虚部为__________. 4．（2025·广东·模拟预测）（多选）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A．的实部为3 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 考点03 复数范围内解方程 考点一：复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解 设方程的根为，将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。 题型一：复数范围内求方程的根 根据求根公式求解即可. 1．（25-26高一下·浙江温州·期中）已知是关于的方程的一个根，则实数、的和（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山西阳泉·期中）（多选）已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．复数z的虚部为-4 C．若对应的向量为，i对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程的一个根，则 3．（湖南永州市2026届高三第三次模拟考试数学试卷）（多选）已知复数，则（    ） A． B．的虚部为 C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．为方程的一个根 4．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知为虚数单位，复数. (1)当实数取何值时，是纯虚数? (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值. 5．（25-26高一下·安徽安庆·月考）已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 1．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则向量表示的复数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北十堰·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3). 5．（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）（多选）若复数满足，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．复数是关于的方程的一个根 6．（25-26高一下·河北衡水·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的最小值为1 D．若是关于的方程的根，则 7．（25-26高一下·浙江·期中）（多选）下列命题中正确的是（   ） A．若复数，则 B．若复数，则z的虚部是 C．已知，是关于x的方程的一个根，则 D．若复数z满足，则的最小值为 8．（25-26高二下·浙江温州·期中）（多选）已知复数，则以下说法正确的是（   ） A．复数的虚部为 B．的模为 C．的共轭复数 D．是方程的一个根 9．（25-26高一下·浙江·期中）设，复数． (1)若是实数，求； (2)若是关于的方程的一个根，求的值． 10．（25-26高一下·云南昭通·期中）计算 (1)； (2)； (3)已知，求复数z． 11．（25-26高一下·浙江台州·期中）设复数，． (1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求． 12．（25-26高一下·河南漯河·期中）（1）求方程在复数范围内的解； （2）若，求和. 13．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知是关于的方程的一个根，其中，． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 14．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知复数满足，且（i为虚数单位）. (1)若是方程的一个复根，求p和q的值； (2)若复数在复平面上的对应点在第二象限，求实数的取值范围. 15．（25-26高一下·海南海口·月考）已知复数为虚数. (1)若是关于的方程的一个根，求. (2)若是实数，求复数的模； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $