专题05 复数的三角形式五大题型（高效培优专项训练）数学人教B版高一必修第四册

专题05 复数的三角形式 题型一：复数的代数形式化为三角形式 题型二：复数的三角形式化为代数形式 题型三：求辐角主值 题型四：复数三角形式乘除运算 题型五：复数三角形式乘除运算的几何意义 题型一：复数的代数形式化为三角形式 1．复数化成三角形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】复数对应的点为，. 设复数的辐角为，则. 因为点在第四象限，所以的一个值为. 所以复数化成三角形式为. 故选：C. 2．将复数的代数形式化为三角形式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）． （2）． 3．下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， ， 故A，C，D错误，B正确． 故选：B 4．复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【详解】， 故选：C. 5．欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则的实部为_____． 【答案】/ 【详解】依题意，， 所以的实部为． 故答案为： 题型二：复数的三角形式化为代数形式 6．将复数化为代数形式为_________． 【答案】 【详解】． 7．________(用代数形式表示)． 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 8．已知向量对应的复数为，把绕原点O按顺时针方向旋转后，再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数为________(用代数形式表示)． 【答案】 【详解】对应的复数为. 故答案为：. 9．把下列复数表示成代数形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） （2） （3） （4）． 10．如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转，得到，则对应的复数为________（用代数形式表示）. 【答案】 【详解】根据复数乘法的性质，将逆时针旋转得到的对应的复数，等于将对应的复数乘以，所以向量对应的复数为 ， 故答案为：. 11．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）． 【答案】 【详解】， 对应向量绕原点O按顺时针方向旋转， 所对应的复数为. 题型三：求辐角主值 12．求下列复数的模和辐角主值． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】 【详解】（1），又， 点在第二象限，所以． （2），又， 点在第四象限，所以． 13．复数的辐角主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得， 即复数为， ． 故选：D. 14．的三角形式为_____________（要求辐角为辐角主值）． 【答案】 【详解】由题意得 ， 此复数的辐角为，，则为辐角主值，符合题意， 故的三角形式为. 故答案为：. 15．（多选）设的辐角主值为，则的辐角可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】． 又，， ，，， ，， ． 的辐角主值为，则的辐角可以是或． 故选：AC． 16．任意复数（，为虚数单位）都可以的形式，其中，该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为______． 【答案】/ 【详解】， 所以辐角主值为． 故答案为：. 17．设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意设，， 所以有， 即 所以，即， 则， 故选：D. 18．求复数的辐角主值． 【答案】 【详解】 故复数的辐角主值是. 故答案为： 题型四：复数三角形式乘除运算 19．棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由棣莫弗公式，. 20．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以 . 故选：C. 21．（多选）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，，， A选项，，所以A选项正确； B选项，，所以B选项错误； C选项，，所以C选项正确； D选项，，所以D选项正确. 22．计算：. 【答案】 【详解】 . 23．计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 . （2）原式. （3） . 24．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】左边 右边． 所以原等式成立． 题型五：复数三角形式乘除运算的几何意义 25．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 又，， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 26．设，把复数在复平面上对应的向量按照顺时针方向旋转后得到复数为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据乘法的几何意义可得： ， 整理得到： ， 故， 故选：B. 27．点（4，5）绕点（1，1）顺时针旋转60度，所得的点的坐标为 __． 【答案】 【详解】解：不妨设 A（1，1），B（4，5），则 ， 在复平面对应的复数为， 则顺时针旋转 60°，则， ， ， 因此， 从而可得点． 故答案为： 28．已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转_____得到（填最小正角）． 【答案】/90° 【详解】因，则， 设将向量按逆时针方向旋转角，可得到复数对应的向量， 则由，化简得：， 故有，解得，故得， 依题意求最小正角，则. 故答案为：. 29．在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为______． 【答案】 【详解】由题意，复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转， 可得， 所以，所得的向量对应的复数虚部为. 故答案为：. 30．如图，复平面内的是等边三角形，它的两个顶点A，B的坐标分别为，求点C的坐标. 【答案】C坐标为 【解析】将坐标原点平移至，在新坐标系求出对应复数的三角形式，应用乘法的几何意义，求出对应复数的坐标，即可求出点在新坐标系中的坐标，再根据坐标平移关系，可求出结论 【详解】解：将原点0平移至A点，建立平面直角坐标系，则 ， 将绕点A顺时针方向旋转得 ， ∴在原平面直角坐标系xOy中， 点C坐标为，即. 【点睛】本题考查复数乘法的几何意义的应用，考查计算能力，属于中档题. 31．设复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点O按顺时针方向旋转，得到的向量为，求向量所对应的复数．（结果用复数的代数形式表示） 【答案】 【详解】复数的三角形式是， 依题意，向量对应的复数是: ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 复数的三角形式 题型一：复数的代数形式化为三角形式 题型二：复数的三角形式化为代数形式 题型三：求辐角主值 题型四：复数三角形式乘除运算 题型五：复数三角形式乘除运算的几何意义 题型一：复数的代数形式化为三角形式 1．复数化成三角形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将复数的代数形式化为三角形式． (1) (2) 3．下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 4．复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 5．欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则的实部为_____． 题型二：复数的三角形式化为代数形式 6．将复数化为代数形式为_________． 7．________(用代数形式表示)． 8．已知向量对应的复数为，把绕原点O按顺时针方向旋转后，再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数为________(用代数形式表示)． 9．把下列复数表示成代数形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转，得到，则对应的复数为________（用代数形式表示）. 11．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）． 题型三：求辐角主值 12．求下列复数的模和辐角主值． (1)； (2)． 13．复数的辐角主值为（   ） A． B． C． D． 14．的三角形式为_____________（要求辐角为辐角主值）． 15．（多选）设的辐角主值为，则的辐角可以是（   ） A． B． C． D． 16．任意复数（，为虚数单位）都可以的形式，其中，该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为______． 17．设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ） A． B． C． D． 18．求复数的辐角主值． 题型四：复数三角形式乘除运算 19．棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 20．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 21．（多选）设，，，则（    ） A． B． C． D． 22．计算：. 23．计算下列各式： (1)； (2)； (3). 24．求证：． 题型五：复数三角形式乘除运算的几何意义 25．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 26．设，把复数在复平面上对应的向量按照顺时针方向旋转后得到复数为，那么（    ） A． B． C． D． 27．点（4，5）绕点（1，1）顺时针旋转60度，所得的点的坐标为 __． 28．已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转_____得到（填最小正角）． 29．在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为______． 30．如图，复平面内的是等边三角形，它的两个顶点A，B的坐标分别为，求点C的坐标. 31．设复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点O按顺时针方向旋转，得到的向量为，求向量所对应的复数．（结果用复数的代数形式表示） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $