第3节 平面向量的数量积及应用 课件-2027届高三数学一轮复习

第3节　平面向量的数量积及应用 课标要求 1. 理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. 2. 了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3. 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 4. 能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角. 目录/ CONTENTS 考点一 平面向量的数量积 01 考点二 投影向量 02 考点三 平面向量数量积的应用 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 平面向量的数量积 目 录 1. 向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 ＝a， ＝b， 则 ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角. ∠AOB　 2. 平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 ⁠ 叫做向量a与b的数量积，记作a·b，若a＝（x1，y1），b＝（x2， y2），其坐标表示为a·b＝ ⁠. 提醒：（1）a·b是数量； （2）零向量与任一向量的数量积为0. ｜a｜｜b｜ cos θ　 x1x2＋y1y2　 高中总复习·数学 目 录 3. 向量数量积的运算律 （1）a·b＝b·a； （2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）； （3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c. 结论：平面向量数量积运算的常用公式 （1）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2； （2）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2c·b； （3）（a＋b）·（a－b）＝｜a｜2－｜b｜2. 高中总复习·数学 目 录 题组练透 1. 已知向量a，b夹角的余弦值为－ ，且｜a｜＝4，｜b｜＝1，则（a －b）·（b－2a）＝（　　） A. －36 B. －12 C. 6 D. 36 √ 解析： 　（a－b）·（b－2a）＝a·b－2a2－b2＋2a·b＝3a·b－b2－ 2a2＝3×4×1×（ － ）－1－2×16＝－36.故选A. 高中总复习·数学 目 录 2. 〔一题多解〕（2023·全国乙卷6题）正方形ABCD的边长是2，E是AB 的中点，则 · ＝（　　） A. B. 3 C. 2 D. 5 √ 解析： 　法一　由题意知， ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝－ ＋ ，所以 · ＝（ ＋ ）·（－ ＋ ）＝ － ｜ ｜2，由题意知｜ ｜＝｜ ｜＝2，所以 · ＝4 －1＝3.故选B. 高中总复习·数学 目 录 法二　以点A为坐标原点， ， 的方向分别为x，y轴的正方向建立 平面直角坐标系，则E（1，0），C（2，2），D（0，2），则 ＝ （1，2）， ＝（－1，2）， · ＝－1＋4＝3.故选B. 高中总复习·数学 目 录 3. 已知向量 ＝（－1，2）， ＝（2，t），且 · ＝6，则t＝ （　　） A. 4 B. C. 2 D. √ 解析： 　 ＝ － ＝（3，t－2），又 · ＝6，所以 · ＝ －1×3＋2×（t－2）＝6，解得t＝ .故选D. 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·湖北黄冈模拟）已知等腰直角△ABC的斜边AB长为2，设 ＝ a， ＝b， ＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝（　　） A. 6 B. －6 C. 4 D. －4 √ 解析： 　∵（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝0， ∴a·b＋b·c＋c·a＝－ ＝－4.故选D. 高中总复习·数学 目 录 练后悟通 计算平面向量数量积的主要方法 （1）利用定义：a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞； （2）利用坐标运算：若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋ y1y2； （3）利用基底法求数量积. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 投影向量 目 录 如图，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，过点M作直线ON的 垂线，垂足为M1，则 就是向量a在向量b上的投影向量，记为 ＝｜a｜ cos ＜a，b＞· ＝ · . 提醒：｜a｜ cos ＜a，b＞称为a在b上的投影数量，数量积a·b的几何 意义：a·b等于a在b上的投影数量与｜b｜的积. 高中总复习·数学 目 录 （1）已知向量a，b满足a＝（1， ），a⊥（a＋2b），则b在a 上的投影向量的坐标为 ⁠； 解析： 由题设a·（a＋2b）＝a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，则a·b＝－2， 所以b在a上的投影向量为 · ＝ ·（1， ）＝（ － ，－ ）. （ － ，－ ） 高中总复习·数学 目 录 （2）若向量a，b满足｜b｜＝3，a·b＝－9，则a在b上的投影向量 是 ⁠. 解析： a在b上的投影向量是｜a｜ cos ＜a，b＞· ＝ · ＝ × ＝－b. －b 高中总复习·数学 目 录 规律方法 投影向量的两种求法 （1）用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量； （2）利用公式，向量a在向量b上的投影向量为｜a｜· cos ＜a，b ＞· . 提醒　a在b上的投影向量与b在a上的投影向量的区别. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）（2026·山东泰安模拟预测）已知向量a＝（－3，1），b＝（－ 1，2），则a－2b在b上的投影向量坐标为（　D　） A. （ ， ） B. （ － ，－ ） C. （－1，2） D. （1，－2） D 解析： 因为a－2b＝（－3，1）－2（－1，2）＝（－1，－3），则 （a－2b）·b＝－1×（－1）＋（－3）×2＝－5，｜b｜＝ ＝ ，故a－2b在b上的投影向量为 · ＝ ·（－1，2）＝（1，－2）.故选D. 高中总复习·数学 目 录 解析：由a＝（1， ）得｜a｜＝2，因为a在b上的投影向量为 · ＝－2b，所以a·b＝－2｜b｜2，因为（a－b）·（a－3b） ＝｜a｜2－4a·b＋3｜b｜2＝15，所以22＋8｜b｜2＋3｜b｜2＝15，解 得｜b｜2＝1，所以a·b＝－2. （2）若向量a，b满足a＝（1， ），（a－b）·（a－3b）＝15，且a 在b上的投影向量为－2b，则a·b＝（　B　） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 B 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 平面向量数量积的应用 目 录 已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ. 向量表示 坐标表示 模 ｜a｜＝ ｜a｜＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ 高中总复习·数学 目 录 向量表示 坐标表示 a⊥b的充要 条件 a·b＝0 ⁠ ｜a·b｜与｜ a｜｜b｜的 关系 ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜ （当且仅当a∥b时等号成 立） ｜x1x2＋y1y2｜≤ x1x2＋y1y2＝0　 高中总复习·数学 目 录 角度1　向量的垂直 （1）〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b ＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　D　） A. －2 B. －1 解析： 法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－ 4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2.故选D. D 法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4 （0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所 以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解 得x＝2.故选D. C. 1 D. 2 高中总复习·数学 目 录 （2）已知平面单位向量m，n满足m⊥（m－2n），则（m＋2n）·m ＝（　A　） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 解析：由m⊥（m－2n），则m·（m－2n）＝m2－2m·n＝0，即2m·n ＝m2＝1，则（m＋2n）·m＝m2＋2m·n＝1＋1＝2.故选A. A 高中总复习·数学 目 录 规律方法 有关向量垂直的两类题型 高中总复习·数学 目 录 角度2　向量的模 （1）（2025·全国Ⅱ卷12题）已知平面向量a＝（x，1），b＝（x－ 1，2x），若a⊥（a－b），则｜a｜＝ ⁠； 解析： a－b＝（1，1－2x），根据a⊥（a－b），得a·（a－b）＝x＋ 1－2x＝1－x＝0，所以x＝1，所以｜a｜＝ . 　 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕设a，b为单位向量，且｜a＋b｜＝1，则｜a－b｜ ＝ ⁠. 解析：法一　∵a，b为单位向量，且｜a＋b｜＝1，∴（a＋b）2＝1， ∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－ ，∴｜a－b｜2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1 －2× ＝3，∴｜a－b｜＝ . ​ 高中总复习·数学 目 录 法二　如图，设 ＝a， ＝b，利用平面向量的平行四 边形法则得 ＝a＋b，∵｜a｜＝｜b｜＝｜a＋b｜＝ 1，∴△OAC为正三角形，∴｜ ｜＝｜a－b｜＝2× ×｜a｜＝ . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求平面向量的模的两种方法 高中总复习·数学 目 录 角度3　向量的夹角 （1）（2026·江苏盐城模拟）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝ 2，｜a－b｜＝ ，则a，b的夹角为（　A　） A. B. C. D. 解析： 因为｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜a－b｜＝ ，所以｜a－b｜2＝ a2－2a·b＋b2＝5－2a·b＝5，故a·b＝0，所以a⊥b，即a，b的夹角为 .故选A. A 高中总复习·数学 目 录 （2）已知向量a＝（5，5），b＝（λ，1），若a＋b与a－b的夹角是锐 角，则实数λ的取值范围为 ⁠. 解析：由题可得（a＋b）·（a－b）＞0，即a2－b2＞0，52＋52＞λ2＋ 12，∴－7＜λ＜7，若a＋b＝k（a－b），则 解得 综上，λ的取值范围为（－7，1）∪（1，7）. （－7，1）∪（1，7） 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 求平面向量的夹角的方法 2. a，b的夹角与a，b的关系 （1）两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立； （2）两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋ 2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（　B　） A. B. C. D. 1 解析： 因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b， 又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从 而｜b｜＝ .故选B. B 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕已知单位向量a，b的夹角为120°，则以下说法正确的是 （　ABC　） A. a·b＝－ B. ｜a＋b｜＝1 C. （a＋2b）⊥a D. cos ＜a－b，b＞＝ ABC 高中总复习·数学 目 录 解析： 对于A，a2＝b2＝1，a·b＝1×1× cos 120°＝－ ，A正确； 对于B，因为（a＋b）2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2×（ － ）＝1，所 以｜a＋b｜＝1，B正确；对于C，因为（a＋2b）·a＝a2＋2a·b＝1＋ 2×（ － ）＝0，所以（a＋2b）⊥a，C正确；对于D，因为（a－ b）·b＝a·b－b2＝－ －1＝－ ，（a－b）2＝a2＋b2－2a·b＝3，所以 cos ＜a－b，b＞＝ ＝ ＝－ ，D错误.故选A、B、C. 高中总复习·数学 目 录 （3）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝ ＜b，c＞，则t＝ ⁠. 解析： 由题意得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t） ＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜ b，c＞，所以 cos ＜a，c＞＝ cos ＜b，c＞，即 ＝ ， 即 ＝3＋t，解得t＝5. 5 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：45分钟，满分：71分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1. （2026·安徽池州模拟）已知向量a，b满足｜a｜＝1，a·（a－2b） ＝2，则a·b＝（　　） A. － B. － C. D. √ 解析： 由a·（a－2b）＝a2－2a·b＝1－2a·b＝2，所以a·b＝－ . 故选A. 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·北京大兴模拟）已知平面向量a＝（1，2），b＝（2，m）， 若（a＋b）⊥（a－b），则实数m＝（　　） A. －1 B. 1 C. －1或1 D. 4 √ 解析： 因为a＝（1，2），b＝（2，m），所以a＋b＝（3，m＋ 2），a－b＝（－1，2－m）.因为（a＋b）⊥（a－b），所以（a＋ b）·（a－b）＝0，所以－3＋（m＋2）（2－m）＝0.解得m＝±1.故 选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·广东广州模拟）已知向量a，b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜ b｜＝4，则｜a－b｜＝（　　） A. 3 B. C. 4 D. 2 √ 解析： 　｜a－b｜＝ ＝ ＝ ＝2 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 已知向量a与b的夹角为 ，｜a｜＝3，｜b｜＝2，则a在b上的投影 向量为（　　） A. － b B. － b C. b D. b √ 解析： 　a在b上的投影向量为｜a｜ cos · ＝3·（ － ）· ＝－ b.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. （2026·山东德州模拟）平面向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝1，且 （3a－2b）·（a＋b）＝9，则向量a，b的夹角为（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　平面向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝1，且（3a－2b）·（a ＋b）＝9，所以3a2＋a·b－2b2＝9，即得12＋a·b－2＝9，a·b＝－1， 设向量a，b的夹角为θ，则2×1× cos θ＝－1， cos θ＝－ ，θ∈[0，π]， 则向量a，b的夹角为 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝2，则下列结论正确的 有（　　） A. （2a＋3b）⊥（2a－3b） B. 若a·b＝6，则a∥b C. a在b方向上的投影向量为 （a·b）b D. 若｜a＋2b｜＝ ，则a与b的夹角为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，因为（2a＋3b）·（2a－3b）＝4a2－9b2＝4｜a｜ 2－9｜b｜2＝4×9－9×4＝0，所以（2a＋3b）⊥（2a－3b），故A正 确；对于B，因为a·b＝6，所以a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ＝3×2× cos θ＝ 6⇒ cos θ＝1，因为0≤θ≤π⇒θ＝0⇒a∥b，故B正确；对于C，a在b方向上 的投影向量为 ·b＝ （a·b）b，故C错误；对于D，因为｜a＋2b｜＝ ，所以｜a＋2b｜＝ ⇒a2＋4a·b＋4b2＝9＋24× cos ＜a，b＞ ＋16＝13⇒ cos ＜a，b＞＝－ ，因为0≤＜a，b＞≤π，所以a与b的夹 角为 ，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 已知向量a与b不共线，且a·b≠0，若c＝a－ ，则向量a与c 的夹角为 ⁠. 解析：因为c＝a－ ，所以a·c＝a2－ ＝a2－｜a｜2＝ 0，所以向量a与c的夹角为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 在四边形ABCD中， ＝（3，－1）， ＝（2，m）， ⊥ ， 则该四边形的面积是 ⁠. 解析：由题意可得 · ＝3×2－m＝0，解得m＝6，所以四边形的面 积为 ｜ ｜·｜ ｜＝ × · ＝10. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 已知平面向量a，b，c，a＝（－1， ），b＝（ ，－1），c是 非零向量，且c与a，b的夹角相等，则c的坐标可以为 .（只 需写出一个符合要求的答案） 解析：设c＝（x，y），x≠0，y≠0，由题意可得 ＝ ， ∵｜a｜＝｜b｜＝2，∴a·c＝b·c，即（a－b）·c＝0，∴－（1＋ ）x＋（ ＋1）y＝0，解得x＝y.∴c＝（x，x），x≠0.∴c＝ （1，1）. （1，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，（a＋b）·b＝8.则｜a＋b｜ ＝ 　​ 　　；向量a与a＋b的夹角的余弦值为 　​ 　　. 解析：依题意，（a＋b）·b＝a·b＋b2＝a·b＋9＝8，a·b＝－1，所 以｜a＋b｜＝ ＝ ＝ ＝ .a·（a＋b）＝a2＋a·b＝4－1＝3，设向量a与a＋b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ . ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. （2026·江苏南京模拟）平面向量a与b相互垂直，已知a＝（6，－ 8），｜b｜＝5，且b与向量（1，0）的夹角是钝角，则b＝（　　） A. （－3，－4） B. （4，3） C. （－4，3） D. （－4，－3） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　设b＝（x，y），则由题意得 即 解得 或 设c＝（1，0），当b＝（4， 3）时， cos ＜b，c＞＝ ＝ ＞0，又因为向量的夹角范围为[0， π]，故此时夹角为锐角，舍去；当b＝（－4，－3）时， cos ＜b，c＞＝ ＝－ ＜0，故此时夹角为钝角，符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 已知平面向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝－a·b＝2，且c2－a·c －b·c＝2，则a·c的取值范围是（　　） A. [1－2 ，1＋2 ] B. [1－2 ，1＋2 ] C. [－ ，3 ] D. [1－ ，3 ] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为｜a｜＝｜b｜＝－a·b＝2，所以 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ .又＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝ .不妨令 a＝（2，0），b＝（－1， ），设c＝（m，n），则由c2－a·c－b·c ＝2可得m2＋n2－2m＋m－ n＝2，即m2＋n2－m－ n＝2，整理可 得（ m－ ）2＋（ n－ ）2＝3，所以（ m－ ）2≤3，解得 － ≤m≤ ＋ ，所以a·c＝2m∈[1－2 ，1＋2 ].故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 · 的值 为 ； · 的最大值为 ⁠. 解析：如图，建立平面直角坐标系，则D（0，0），A （0，1），B（1，1），C（1，0）.设E（x，1），那么 ＝（x，1），又 ＝（0，1），∴ · ＝1.∵ ＝（1，0），∴ · ＝x.∵正方形的边长为1，∴x的 最大值为1，故 · 的最大值为1. 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. 已知在平面直角坐标系xOy中，点A（－1，－2），B（2，3），C （－2，－1）.若实数t满足（ －t ）· ＝0，则t＝ ；以 线段AB，AC为邻边的平行四边形的面积为 ⁠. － 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：由题设知 ＝（－2，－1）， －t ＝（3＋2t，5＋t）， 由（ －t ）· ＝0，得－2（3＋2t）－（5＋t）＝0，解得t＝－ .由题意得 ＝（3，5）， ＝（－1，1）， cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ＝ ， sin ＜ ， ＞＝ ＝ ，所以S△ABC＝ ｜ ｜·｜ ｜ sin ＜ ， ＞＝ × × × ＝4.故平行四边形的面积S＝2S△ABC ＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $