平面向量的数量积及其应用课件-2027届高三数学一轮复习

第五章　平面向量、复数 第3节　平面向量的数量积及其应用 1.理解平面向量数量积的含义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 课标要求 1.平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. (2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量_______________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝____________________. 规定:零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.  |a||b|cos θ |a||b|cos θ 3 (3)投影向量 如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θe. 4 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积:a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模:|a|＝. (3)夹角:cos θ＝. (4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 5 3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 4.平面几何中的向量方法 三步曲:(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 6 常用结论与微点提醒 1.有关向量夹角的两个结论 已知非零向量a，b. (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0; 若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0; 若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 7 常用结论与微点提醒 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2; (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2; (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 8 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是.(　　) (2)向量a与b的夹角为θ，a在b上的投影向量为(|a|cos θ).(　　) (1)两个向量夹角的范围是[0，π]. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 √ × 9 (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　) (4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　) (4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos<a，b>＝|a||c|·cos<a，c>，所以向量b和c不一定相等. × √ 10 2.(人教A必修二P35例11改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，设a，b的夹角为θ，则cos θ＝____________.  cos θ＝＝－. - 11 3.(苏教必修二P47T12改编)已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若(a＋kb)⊥(a－kb)，则实数k＝____________.  由题意知(a＋kb)·(a－kb)＝a2－k2b2＝9－16k2＝0，解得k＝±. ± 12 4.(北师大必修二P113练习T2(2)改编)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则(2a－b)·(a＋3b)＝____________.  84 (2a－b)·(a＋3b) ＝2|a|2＋5a·b－3|b|2 ＝2×36＋5×6×4×－3×16＝84. 13 例1 (1)(2026·秦皇岛模拟)在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD的中点，若·，则·＝(　　) A. B.- C. D.- B 考点一　数量积的计算 如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 设AB＝2a，则A(0，0)，B(2a，0)，C(2a，2a)， D(0，2a)，P(2a，a)，Q(a，2a)， 可得＝(2a，2a)，＝(2a，a)，＝(2a，0)，＝(－a，2a)， 因为·＝4a2＋2a2＝6a2＝， 可得a2＝，所以·＝－2a2＝－. (2)(2025·天津卷)△ABC中，D为AB中点，＝a，＝b，则＝_________(用a，b表示);若||＝5，AE⊥CB，则·＝________.  a+b ＝()＝＝a＋b. ∵||＝5，∴25＝， 即900＝a2＋16b2＋8a·b，① 易得＝b－a， ∵⊥，∴·＝0，即·(b－a)＝0， -15 得4b2－a2－3a·b＝0，② 由①②得2 700＝80b2－5a2， ∴16b2－a2＝540， ∴·· ＝(a2－8b2＋2a·b) ＝ ＝(a2－16b2) ＝×(－540)＝－15. 感悟提升 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义:a·b＝|a||b|cos<a，b>; (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2; (3)利用基底法求数量积; (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义. 训练1 (1)(2026·苏锡常镇调研)已知平面向量a，b是两个单位向量，a在b上的投影向量为b，则a·(a＋b)＝(　　) A.1 B. C. D. B 由题意得|a|＝|b|＝1， b，解得a·b＝， 故a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋. (2)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，则·＝____________.  0 法一　·＝()·()＝·· ·· ＝0＋||||cos ＋||||cos ＋0＝－＝0. 法二　建立平面直角坐标系，如图，则A(0，2)， C， N，F(0，0)， 则， ， 则·＝－＝0. 角度1　夹角与垂直 例2 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 D 考点二　数量积的应用 法一　因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b. 因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b2＝4＋x2，a·b＝x， 得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0， 解得x＝2，故选D. 法二　因为a＝(0，1)，b＝(2，x)， 所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4). 因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0， 所以2×2＋x(x－4)＝0， 所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D. (2)(2023·全国甲卷)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos<a－c，b－c>＝(　　) A.－ B.－ C. D. D 因为向量|a|＝|b|＝1，|c|＝， 且a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，等式两边同时平方得c2＝a2＋b2＋2a·b， 即2＝1＋1＋2a·b，解得a·b＝0. 法一　a－c＝a－(－a－b)＝2a＋b， b－c＝b－(－a－b)＝a＋2b， 所以(a－c)·(b－c) ＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝4， 且|a－c|＝|2a＋b|＝， |b－c|＝|a＋2b|＝， 所以cos<a－c，b－c>＝. 法二　如图，令向量a，b的起点均为O，终点分别为A，B，以分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则a＝(1，0)，b＝(0，1)， c＝－a－b＝(－1，－1)， 所以a－c＝(2，1)，b－c＝(1，2)， 则cos<a－c，b－c>＝. 角度2　平面向量的模 例3 (2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝______.   由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3， 即2a·b＝a2＋b2－3.① 由|a＋b|＝|2a－b|， 得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2， 整理得，3a2－6a·b＝0， 结合①，得3a2－3(a2＋b2－3)＝0， 整理得，b2＝3，所以|b|＝. 感悟提升 1.求平面向量的模的方法 (1)公式法:利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2;(2)几何法:利用向量的几何意义. 2.求平面向量的夹角的方法 (1)定义法:cos θ＝;(2)坐标法. 3.两个向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0). 训练2 (1)(多选)(2026·汉中模拟)已知向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则(　　) A.a＋2b＝(3，1) B.|a|＝ C.cos<a，b>＝ D.a在b方向上的投影向量坐标是 BD 对于A，a＋2b＝(1，2)＋(2，－2)＝(3，0)，错误; 对于B，|a|＝，正确; 对于C，cos<a，b>＝＝－，错误; 对于D，a在b方向上的投影向量坐标是|a|cos<a，b>··b＝－·(1，－1)＝，正确. (2)已知a，b为单位向量，且|3a－5b|＝7，则a与a－b的夹角为____________.  因为a，b为单位向量， 由|3a－5b|＝7，所以(3a－5b)2＝49， 得9a2－30a·b＋25b2＝49，即9－30a·b＋25＝49， 得a·b＝－，设a与a－b的夹角为θ， 则cos θ＝＝， 又θ∈[0，π]，所以θ＝. (3)(2024·新高考Ⅱ卷改编)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b， 则|b|＝____________.  由(b－2a)⊥b， 得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b. 将|a＋2b|＝2的两边同时平方， 得a2＋4a·b＋4b2＝4， 即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4， 解得|b|2＝，所以|b|＝. 例4 (2026·湖北新高孝协作体联考)对任意两个非零平面向量a和b，定义:a⊕b＝，a☉b＝.若平面向量a，b满足|a|>|b|>0，且a⊕b和a☉b都在集合中，则a⊕b＝____________，cos<a，b>＝____________.  考点三　平面向量的新定义问题 或 设a与b的夹角为θ，因为a⊕b和a☉b都在集合中， 所以其取值集合为， 因为|a|>|b|>0， 所以|a2|＋|b|2>2|a||b|，则a⊕b＝<， 因为cos θ≤1，即a􀱇b<≤， 所以a⊕b<，所以a􀱇b＝. 因为a⊕b<，即>，所以cos θ>， 因为|a|>|b|>0， 所以a☉b＝>cos θ>， 即a☉b＝或1. 当a⊕b＝且a☉b＝，即时， 可得a·b＝|b|2，|a|＝|b|， 此时cos<a，b>＝; 当a⊕b＝且a☉b＝1，即＝1时， 可得a·b＝|b|2，|a|＝|b|， 此时cos<a，b>＝. 综上所述，cos<a，b>＝. 感悟提升 平面向量背景下的新定义问题，通常基于平面向量的方向性和大小，引入新的运算规则或概念.解题时，首先要准确理解新定义的本质， 明确其涉及的向量运算和性质.接着，将新定义应用到具体的题目情境中，通过向量的加法、减法、数乘、数量积等运算，推导出所需的结论.最终，通过综合应用平面向量的基础知识和新定义，解决这类复杂而有趣的数学问题. 训练3 (多选)(2026·河南名校大联考)如图，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，其中θ∈(0，π)，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量＝a＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量在夹角为θ的坐标系xOy中的坐标，记为a＝(x，y)(θ)，则下列结论正确的是( 　　) ABD A.若a＝(1，2，则|a|＝ B.若a＝(1，，b＝(3，－2，则a⊥b C.若对任意的λ∈R，|5e1－λe2|的最小值为，则θ＝ D.若对任意的θ∈(0，π)，都有|e1－λe1|≥|e1－e2|恒成立，则实数λ∈(－∞， －3]∪[1，＋∞) 对于A，|a|＝ ＝ ＝，故A正确; 对于B，a·b＝(e1＋e2)·(3e1－2e2)＝3－4＋(－2＋3)＝0，即a⊥b，故B正确; 对于C，|5e1－λe2|的最小值为，则5e1在e2方向上的投影向量的长度为， 即cos θ＝±，可得θ＝，故C错误; 对于D，将|e1－λe2|≥|e1－e2|两边平方，得1＋λ2－2λcos θ≥2－2cos θ， 即∀θ∈(0，π)，λ2－1≥2(λ－1)cos θ， 即2(λ－1)cos θ－λ2＋1≤0， 由于∀θ∈(0，π)，cos θ∈(－1，1)， 故 解得λ≤－3或λ≥1， 综上，λ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故D正确. 一、单选题 1.(2025·新高考Ⅱ卷改编)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝(　　) A. B. C.1 D. B 由题意得a－b＝(1，1－2x)， 又a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝x＋1－2x＝1－x＝0， 解得x＝1，所以|a|＝. 2.(2026·厦门质检)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，则a·b＝(　　) A.0 B.2 C.2 D.2 B 由|a－b|＝2得a2－2a·b＋b2＝4， ∵|a|＝|b|＝2，∴4－2a·b＋4＝4， 即a·b＝2. 3.(2026·合肥模拟)已知向量e1＝(1，0)，e2＝(1，)，设a＝4e1＋e2，b＝3e1－e2，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. C 因为e1＝(1，0)，e2＝(1，)， 所以a＝4e1＋e2＝(5，)， b＝3e1－e2＝(2，－)， 所以a·b＝10－3＝7，|a|＝＝2，|b|＝， 设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝， 又θ∈[0，π]，所以θ＝， 即a与b的夹角为. 4.(2026·西安模拟)已知平面向量a，b是两个单位向量，若a－2b的模为，则b在a上的投影向量是(　　) A.a B.b C.a D.b C 依题意，|a－2b|＝， 则a2－4a·b＋4b2＝3， 而|a|＝|b|＝1，解得a·b＝， 所以b在a上的投影向量是a＝a. 5.(2026·烟台模拟)在△ABC中，AB＝2AC＝6，∠BAC＝60°，＝3，则||＝(　　) A. B. C. D.2 C 在△ABC中，AB＝2AC＝6，∠BAC＝60°，＝3，所以， 则||＝＝. 6.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB为其外接圆的直径，且AB＝2AD＝2，P为边BC的中点，则·＝(　　) D 由题意，∠BAD＝60°，建立平面直角坐标系如图， A.－ B.－2 C.－ D.－ 则A(0，0)，B(2，0)，C，D， 所以P，所以， 又，所以·＝－. 7.(2026·安徽江南十校联考)在平面四边形ABCD中，····，则平面四边形ABCD的形状为(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.矩形或菱形 A 因为··，所以·()＝0， 同理·()＝0，·()＝0，·()＝0， 所以∥∥， 所以平面四边形ABCD的形状为平行四边形. 二、多选题 8.(2026·重庆诊断)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是(　 　) A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c B.(a·b)·c＝a·(b·c) C.a·b≤|a||b| D.|a－b|≤|a|＋|b| ACD 根据数量积的分配律可知A正确; B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确; C中，根据数量积的定义可知a·b＝|a||b|cos<a，b>≤|a||b|，故C正确; D中，|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0， 故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确. 9.(2026·成都诊断)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，则下列结论正确的为(　　 ) ACD A.·＝－ B. C.·· D.||＝|| 由正八边形的几何性质知，每个中心角为， ||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝1，D正确; ∴·＝||·||cos＝－，A正确; 是方向相反的向量，B错误; ·＝||·||cos＝cos， ·＝||·||cos＝cos， ··，C正确. 三、填空题 10.物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式:W＝F·S(其中W是功，F是力，S是位移).一物体在力F1＝(2，4)和F2＝(－5，3)的作用下，由点A(1，0)移动到点B(2，4)，在这个过程中这两个力的合力对物体的所做的功等于____________.  25 因为F1＝(2，4)，F2＝(－5，3)， 所以F1＋F2＝(－3，7)， 又A(1，0)，B(2，4)，所以＝(1，4)， 故W＝(F1＋F2)·＝－3＋7×4＝25. 11.(2026·北京昌平区模拟)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则a·b＝____________;(2a＋b)·c＝_______________.  0 -5 如图，建立平面直角坐标系， 则a＝(1，－1)，b＝(1，1)，c＝(－1，2)， 所以a·b＝1－1＝0，2a＋b＝(2，－2)＋(1，1)＝(3，－1)，(2a＋b)·c＝－3－2＝－5. 12.(2026·北京人大附中统练)定义平面向量的一种运算a☉b＝|a＋b|×|a－b|×sin<a，b>，其中<a，b>是a与b的夹角，给出下列命题: ①若<a，b>＝90°，则a☉b＝a2＋b2;②若|a|＝|b|，则(a＋b)☉(a－b)＝4a·b;③若|a|＝|b|，则a☉b≤2|a|2;④若a＝(1，2)，b＝(－2，2)，则(a＋b)☉b＝.其中真命题的序号是____________.  对于①，若<a，b>＝90°，则|a＋b|＝|a－b|，a·b＝0， 则a☉b＝|a＋b|×|a－b|＝|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2，故①正确; 对于②，若|a|＝|b|，则(a＋b)⊥(a－b)， 则(a＋b)与(a－b)的夹角为90°， 则(a＋b)☉(a－b)＝|(a＋b)＋(a－b)|×|(a＋b)－(a－b)|sin 90°＝4|a||b|，故②错误; 对于③，若|a|＝|b|，则a☉b≤|a＋b|×|a－b| ＝·＝≤2|a|2，故③正确; 对于④，若a＝(1，2)，b＝(－2，2)， 则a＋b＝(－1，4)，a＋2b＝(－3，6)， 则cos<a＋b，b>＝，sin<a＋b，b>＝， 则(a＋b)☉b＝|a＋2b|×|a|×sin<a＋b，b> ＝3××≠，故④错误. 四、解答题 13.已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝4，a·(b－a)＝2. (1)求向量a与b的夹角; 设向量a与b的夹角为θ， ∵|a|＝，|b|＝4， ∴a·(b－a)＝a·b－a2＝|a||b|cos θ－a2＝4cos θ－2＝2， ∴cos θ＝， ∵0≤θ≤π，∴θ＝.∴向量a与b的夹角为. (2)若|ta－b|＝2，求实数t的值. ∵|ta－b|＝2，由(1)知a·b＝4， ∴t2a2－2ta·b＋b2＝2t2－8t＋16＝8， 即t2－4t＋4＝0，解得t＝2. 14.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，＝λ，BC＝2AB＝2AD＝2. 分别以的方向为x轴、y轴的正方向，点B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， (1)若⊥，求实数λ的值; 所以A(0，1)，C(2，0)，D(1，1)，E(λ，1)， 所以＝(2，－1)， ＝(λ，1)， 因为⊥， 所以·＝2λ－1＝0， 所以λ＝. (2)若λ＝，求与的夹角θ的余弦值. 当λ＝时，||＝，||＝， 因为·＝2λ－1＝， 所以cos θ＝. 故的夹角θ的余弦值为. $