专题03 分式方程（七大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

专题03 分式方程（七大题型） 【题型1 分式方程定义】....................................................................................................1 【题型2 解分式方程】..........................................................................................................1 【题型3 根据分式方程解的情况求值】............................................................................2 【题型4 分式方程应用－工程问题】.....................................................................................3 【题型5 分式方程应用－行程问题】.....................................................................................4 【题型6 分式方程应用－销售问题】.....................................................................................6 【题型7 分式方程应用－其他问题】.....................................................................................8 【题型1 分式方程定义】 1.下列方程中是分式方程的是（） A． B． C． D． 2.下列是关于x的分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3.下列方程中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 4．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是关于x的分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 解分式方程】 5.解下列分式方程： (1); (2)． 6.解方程 (1) (2) 7.解方程： (1); (2)． 8.解方程： (1)． (2)． 9.解方程 (1) (2) 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 10.若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 11.若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 12.若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 13．若关于的分式方程的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 14.定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 15.若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 【题型4 分式方程应用－工程问题】 16.为落实乡村快递配送，某物流园分别投入型无人配送车与型无人配送车承担快递转运任务。已知型无人车运送件快递所用的时间与型无人车运送件快递所用的时间相等，且型无人车每小时比型无人车多运送件。求型无人配送车每小时可运送多少件快递。 17.某智能手机代工厂接到生产万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部？ 18.某市为缓解交通拥堵现象，决定修一条市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，则原计划完成这项工程需用多少个月？ 19.山西聚焦能源革命，推进晋北采煤沉陷区“风光储”一体化新能源基地建设。某工程队承接了基地内240组光伏板安装工程，为响应“提速转型”号召，在实际施工时优化技术，在确保工程质量的前提下每天安装的光伏板组数是原计划的1.5倍，结果提前2天完成了全部安装任务。问原计划每天安装光伏板多少组？ 20.某区计划修建一条长36千米的高速公路，拟由甲、乙两个工程队联合完成。已知甲工程队每天比乙工程队每天少修路0.3千米，甲工程队单独完成修路任务所需天数是乙工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍。 （1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）已知甲工程队每天的修路费用为18万元，乙工程队每天的修路费用为24万元，若先由甲工程队单独修路若干天，再由甲、乙两个工程队联合修路，恰好30天完成修路任务，则共需修路费用多少万元？ 【题型5 分式方程应用－行程问题】 21.某校师生到离校处参加义务植树活动，部分师生骑自行车出发，后，其余师生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的3倍，全体师生同时到达，分别求自行车与汽车的平均速度。 22.轮船在顺水中航行所需的时间和在逆水中航行所需的时间相同。已知水流的速度是，求轮船在静水中的速度。 23.自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂蚁不服气，于是它给乌龟下了一封挑战书。比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知乌龟的速度是蚂蚁的倍，它比蚂蚁提前半分钟跑到终点，请你求出它们各自的速度。 挑战书 乌龟先生： 我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始跑到相距米的大柳树下，比赛枪声响后，先到达终点的是冠军。 蚂蚁 24.列方程（组）解应用题：奥林匹克森林公园南园（奥森南园）是深受北京长跑爱好者追捧的跑步地点。小华和小萱相约去奥森南园跑步踏青，奥森南园有5千米和3千米的两条跑道（如图所示）。小华选择了5千米的路线，小萱选择了3千米的路线，已知小华平均每分钟比小萱平均每分钟多跑100米，两人同时出发，结果同时到达终点。请问小萱每分钟跑多少千米？ 25.随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起、新能源汽车产业进入加速发展的新阶段。目前，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算？”是消费者关心的话题之一．下面是某品牌的纯电新能源汽车与燃油车的部分相关信息： 纯电新能源汽车 燃油车 电池容量：90千瓦时 电价：元/千瓦时 油箱容积：48升 油价：8元/升 （1）设纯电新能源汽车的续航里程为x千米，若燃油车的续航里程是纯电新能源汽车的倍，则纯电新能源汽车每千米行驶费用为 元，燃油车每千米行驶费用为 元；（用含x的代数式表示） （2）在（1）的条件下，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源汽车高元，请分别求出这两款车的续航里程。 【题型6 分式方程应用－销售问题】 26.列分式方程解应用题： 2026年春节联欢晚会的吉祥物由“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马组成，与晚会主题“骐骥驰骋势不可挡”相呼应，有马到成功、前程似锦的寓意，深受大家喜欢。某商场第一次用2400元购进一批“骐骥驰骋”四骏马玩具套装，很快售完；该商场第二次购进该玩具套装时，进价降低了20%，同样用2400元购进的数量比第一次多20套，求第一次购进的玩具套装每套的进价是多少元？ 27.普洱被誉为“中国咖啡之都”。某经销商从当地采购了甲、乙两种咖啡，甲种咖啡用了20000元，乙种咖啡用了19200元，甲种咖啡的采购数量比乙种咖啡多50千克，乙种咖啡的采购单价是甲种咖啡的1.2倍，求甲、乙两种咖啡的采购单价。 28.飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型。已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元。 （1）每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完。该航模店共获利润多少元？ 29.为厚植数学人文底蕴，传承中外算学精髓，某校特设数学典籍阅览室，专门珍藏《九章算术》，《几何原本》等经典名著。为此，学校计划添置甲、乙两种书柜。已知每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.2倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用7200元购买的乙种书柜数量多5个，分别求每个甲、乙书柜的价格。 30.为了满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如下表：若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价。 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：x元/个 单价：1.5x元/个 【题型7 分式方程应用－其他问题】 31.近年来，城市马拉松成为一道亮丽的风景线，越来越多的人走出家门，参与运动，用脚步丈量城市，以汗水诠释热爱，在沿途风景中感受城市的发展与活力。某市2025年城市马拉松报名期间，平均每天的报名人数是2024年平均每天报名人数的1.6倍，报名人数达到10万人所用的时间比2024年少6天，求2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数。 32.我省的黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁等都是中国名茶。随着科技的发展，机器人参与了采茶工作，已知每台机器人每小时的采茶量比一名熟练采茶工的2倍还多1千克，且每台机器人采摘25千克茶叶与一名熟练采茶工采摘10千克茶叶所需要的时间相同。设一名熟练采茶工每小时采茶量为千克。 （1）每台机器人每小时采茶量为___________千克； （2）若每台机器人每天工作8小时，则每台机器人每天采茶多少千克？ 33.为迎接2024年龙年春节的到来，某工厂计划安排甲、乙两车间生产11040个龙年福字。根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产240个福字，甲车间单独先工作4天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产600个福字。 （1）从开始加工到完成这批福字一共需要多少天？ （2）由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间。改进后甲、乙两车间每天生产的福字数量之比为，且改进工艺后乙车间比甲车间提前8天完成剩下生产任务，问改进工艺后甲车间每天生产多少个福字？ 34.太原锣鼓是山西省太原市传统音乐，国家级非物质文化遗产之一．太原锣鼓由有着悠久历史的社鼓演变传承而来，以铙、钹的特有声响取胜，风格强健有力、层次分明，动作劲烈舒展、粗犷阳刚，节奏激越鲜明，表演场面蔚为壮观。节日期间，锣鼓队名队员计划分成若干组进行表演，后又有名新队员加入，新队员加入后，组数比原来多4组，每组比原来减少1名队员，求原来每组有几名队员？ 35.某合作社推进智慧农业转型，将西瓜种植从普通大棚升级为智能大棚。智能大棚搭载物联网温湿度传感器、水肥一体化滴灌系统与智能补光设备，可实现环境参数自动调控与精准种植。升级后，平均每公顷西瓜的产量增加了．已知升级前用普通大棚种植收获西瓜的土地，改用智能大棚种植后总产量增加了．求该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分式方程（七大题型） 【题型1 分式方程定义】....................................................................................................1 【题型2 解分式方程】..........................................................................................................3 【题型3 根据分式方程解的情况求值】............................................................................6 【题型4 分式方程应用－工程问题】.....................................................................................10 【题型5 分式方程应用－行程问题】.....................................................................................12 【题型6 分式方程应用－销售问题】.....................................................................................16 【题型7 分式方程应用－其他问题】.....................................................................................19 【题型1 分式方程定义】 1.下列方程中是分式方程的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式方程的定义，正确把握相关定义是解题关键。 直接利用分式方程的定义分析得出答案。 【详解】解：A、是一元一次方程，故此选项错误； B.，是一元一次方程，故此选项错误； C.是一元二次方程，故此选项错误； D.，是分式方程，正确。 故选：D． 2.下列是关于x的分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）。 【详解】解：A、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意； B.分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意； C.分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意； D.分母中含未知数，是分式方程，符合题意； 故选：D． 3.下列方程中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】未知数在分母中的有理方程是分式方程，根据分式方程的定义可得答案。 【详解】解：是一元一次方程，故A不符合题意； 是二元一次方程，故B不符合题意； 是一元一次方程，故C不符合题意； 符合分式方程的定义，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查分式方程的定义，理解分式方程的定义为解题的关键。 4．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是关于x的分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分母中含有未知数的方程叫作分式方程，判断即可。 【详解】解：①分母中不含有未知数，是整式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③不是等式，故不是方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程。 ⑤分母中不含有未知数，故不是分式方程； ⑥分母中不含有未知数，故不是分式方程； 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键。 【题型2 解分式方程】 5.解下列分式方程： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 无解 【分析】（1）去分母，方程两边同乘以，化成整式方程，解这个整式方程，最后检验； （2）去分母，方程两边同乘以，化成整式方程，解这个整式方程，最后检验。 【详解】（1）解： 方程两边同乘以，得： , 解这个整式方程得： , 经检验：是原分式方程的解； (2) 方程两边同乘以，得： , 解这个整式方程得： , 经检验：是增根，原分式方程无解。 6.解方程 (1) (2) 【答案】(1) （2）原方程无解 【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答。 （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答。 【详解】（1）解：去分母得到， 解得， 检验：将代入， ∴是分式方程的解。 （2）解：化为， 去分母，得， 解得， 检验：将代入，得 则是分式方程的增根， 故原方程无解。 7.解方程： (1); (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）方程两边同乘最简公分母，转化为一元一次方程，然后解方程并检验即可； （）方程两边同乘最简公分母，转化为一元一次方程，然后解方程并检验即可。 【详解】（1）解：， , , , , 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：； （2）解：， , , , , , 检验：当时，， ∴是原分式方程的解。 8.解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) （2）原方程无解 【分析】（1）先去分母，将分式方程化为整式方程，求解后再进行检验； （2）先将分母变形统一，再去分母化为整式方程，求解后检验，注意增根的判断。 【详解】（1）解：方程两边同乘（，得：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 检验：当时，， 是原方程的解； （2）解：原方程可变形为：， 方程两边同乘（，得：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 解得：， 检验：当时，，分式无意义， 原方程无解。 9.解方程 (1) (2) 【答案】(1) （2）原方程无解 【分析】（1）方程两边同时乘，去分母可得方程，解一元一次方程求出，再代入原分式方程检验是否增根； （2）方程两边同时乘以，去分母可得方程，解方程求出，再代入原分式方程检验是否增根。 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘， 可得：， 解得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解； （2）解：， 方程两边同时乘以， 可得：， 解得：， 检验，当时，， 是原分式方程的增根， 原分式方程无解。 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 10.若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于m的表达式，再结合解为负数，且分式方程分母不为0，确定m的取值范围。 【详解】解：∵原方程为 ，且 ∴方程变形为 两边同乘得 整理得 解得 ∵方程的解为负数 ∴ ∵，∴ ， 解得 又∵分式方程分母不为0，即 ∴，解得 ∵，恒成立 ∴m的取值范围是 11.若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出的表达式，再结合分式方程的解为正数且分式有意义的条件，列出不等式求解即可得到的取值范围。 【详解】原方程变形为 ， ∴ , ∴ , 解得， ∵分式方程的解为正数，且分式要有意义， ∴ 解不等式得且． 12.若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先求解原分式方程，再根据关于x的分式方程有增根得到的值，求解即可。 【详解】解：解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴, 即， 解得：． 13．若关于的分式方程的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的解，将代入原方程可得到关于的一元一次方程，求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键。 【详解】解：∵原分式方程的解为，且时原方程各分母均不为， ∴将代入原方程得： 即 两边同乘去分母得： 去括号得： 移项并合并同类项得： ∴, 故选：． 14.定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的含参数问题，新定义问题，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键。 根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解。 【详解】解：∵ ∴ 解得， ∵解为非负数， ∴ ∴, ∵, ∴，即， ∴, ∴且． 故选：B． 15.若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，分式方程无解即方程有增根，分母为零的情况，化简方程后，解出x关于m的表达式，当解为增根时方程无解即可求出m的值。 【详解】解：∵原方程：， 两边同乘（假设）： , ∴, 即， 由于分母，当时方程有增根，无解， ∴, 解得， 故当时方程无解， 故选D． 【题型4 分式方程应用－工程问题】 16.为落实乡村快递配送，某物流园分别投入型无人配送车与型无人配送车承担快递转运任务。已知型无人车运送件快递所用的时间与型无人车运送件快递所用的时间相等，且型无人车每小时比型无人车多运送件。求型无人配送车每小时可运送多少件快递。 【答案】型无人配送车每小时可运送件快递 【分析】本题可通过设未知数，根据“型无人车运送件快递所用的时间与型无人车运送件快递所用的时间相等”这一等量关系，列出分式方程求解，最后检验方程的根是否符合题意。 【详解】解：设型无人配送车每小时可运送件快递， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的根。 答：型无人配送车每小时可运送件快递。 17.某智能手机代工厂接到生产万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部？ 【答案】每月实际生产智能手机万部。 【分析】设原计划每月生产智能手机万部，则实际每月生产智能手机万部，根据工作时间工作总量工作效率结合提前个月完成任务，列出分式方程，即可求解。 【详解】解：设原计划每月生产智能手机万部，则实际每月生产智能手机万部， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：每月实际生产智能手机万部。 18.某市为缓解交通拥堵现象，决定修一条市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，则原计划完成这项工程需用多少个月？ 【答案】原计划完成这项工程需用28个月 【分析】设原计划完成这项工程需用x个月，列分式方程解答。 【详解】解：设原计划完成这项工程需用x个月， 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意。 答：原计划完成这项工程需用28个月。 19.山西聚焦能源革命，推进晋北采煤沉陷区“风光储”一体化新能源基地建设。某工程队承接了基地内240组光伏板安装工程，为响应“提速转型”号召，在实际施工时优化技术，在确保工程质量的前提下每天安装的光伏板组数是原计划的1.5倍，结果提前2天完成了全部安装任务。问原计划每天安装光伏板多少组？ 【答案】40组 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键。设原计划每天安装光伏板x组，根据“每天安装的光伏板组数是原计划的1.5倍，结果提前2天完成了全部安装任务”列方程求解即可。 【详解】解：设原计划每天安装光伏板x组。 依题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意。 答：原计划每天安装光伏板40组。 20.某区计划修建一条长36千米的高速公路，拟由甲、乙两个工程队联合完成。已知甲工程队每天比乙工程队每天少修路0.3千米，甲工程队单独完成修路任务所需天数是乙工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍。 （1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）已知甲工程队每天的修路费用为18万元，乙工程队每天的修路费用为24万元，若先由甲工程队单独修路若干天，再由甲、乙两个工程队联合修路，恰好30天完成修路任务，则共需修路费用多少万元？ 【答案】(1）甲工程队每天修路0.6千米，乙工程队每天修路0.9千米 （2）共需修路费用1020万元 【分析】（1）可设乙每天修路x千米，则甲每天修路千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可； （2）设甲单独修路a天，则可表示出甲乙合修路的天数，从而构造一元一次方程，求出甲的单独修路天数和甲乙合修路天数，于是可以求出总费用。 【详解】（1）解：设乙每天修路x千米，则甲每天修路千米， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， ∴, 答：甲工程队每天修路0.6千米，乙工程队每天修路0.9千米； （2）解：设甲单独修路a天，则甲乙合修天，由题意可得， , 解得， 共需修路费用（万元）。 答：共需修路费用1020万元。 【题型5 分式方程应用－行程问题】 21.某校师生到离校处参加义务植树活动，部分师生骑自行车出发，后，其余师生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的3倍，全体师生同时到达，分别求自行车与汽车的平均速度。 【答案】自行车的平均速度为，汽车的平均速度为 【分析】设自行车的平均速度为，依题意列出分式方程并求出x的值，再检验是否符合题意，即可解答。 【详解】解：设自行车的平均速度为，依题意，得 , 解得， 经检验，是原方程的解， ∴汽车的平均速度为． 答：自行车的平均速度为，汽车的平均速度为． 22.轮船在顺水中航行所需的时间和在逆水中航行所需的时间相同。已知水流的速度是，求轮船在静水中的速度。 【答案】 轮船在静水中的速度为． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为， 依题意得： , , , , , 即轮船在静水中的速度为． 23.自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂蚁不服气，于是它给乌龟下了一封挑战书。比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知乌龟的速度是蚂蚁的倍，它比蚂蚁提前半分钟跑到终点，请你求出它们各自的速度。 挑战书 乌龟先生： 我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始跑到相距米的大柳树下，比赛枪声响后，先到达终点的是冠军。 蚂蚁 【答案】蚂蚁的速度为米/分，乌龟的速度为米/分 【分析】本题考查了分式方程的应用，设蚂蚁的速度为米/分，则乌龟的速度为米/分，根据题意列出方程求出的值即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键。 【详解】解：设蚂蚁的速度为米/分，则乌龟的速度为米/分， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴, 答：蚂蚁的速度为米/分，乌龟的速度为米/分。 24.列方程（组）解应用题：奥林匹克森林公园南园（奥森南园）是深受北京长跑爱好者追捧的跑步地点。小华和小萱相约去奥森南园跑步踏青，奥森南园有5千米和3千米的两条跑道（如图所示）。小华选择了5千米的路线，小萱选择了3千米的路线，已知小华平均每分钟比小萱平均每分钟多跑100米，两人同时出发，结果同时到达终点。请问小萱每分钟跑多少千米？ 【答案】 【分析】根据他们的速度之间关系假设未知数，再根据两人所用的时间相同，列方程求解。 【详解】设小萱的速度为米/分，则小华的速度为米/分， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴米/分=0.15千米/分钟 小萱的速度为0.15千米/分。 25.随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起、新能源汽车产业进入加速发展的新阶段。目前，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算？”是消费者关心的话题之一．下面是某品牌的纯电新能源汽车与燃油车的部分相关信息： 纯电新能源汽车 燃油车 电池容量：90千瓦时 电价：元/千瓦时 油箱容积：48升 油价：8元/升 （1）设纯电新能源汽车的续航里程为x千米，若燃油车的续航里程是纯电新能源汽车的倍，则纯电新能源汽车每千米行驶费用为 元，燃油车每千米行驶费用为 元；（用含x的代数式表示） （2）在（1）的条件下，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源汽车高元，请分别求出这两款车的续航里程。 【答案】(1)， （2）纯电新能源汽车的续航里程为300千米，燃油车的续航里程为480千米 【分析】本题考查列代数式，利用分式方程解决实际问题； （1）燃油车每千米行驶费用等于每箱油总价除以总里程，纯电新能源车每千米行驶费用等于电池满容量总费用除以总里程； （2）燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多元和（1）中结果列方程求出x值，即可分别求出这两款车的每千米行驶费用，注意解分式方程检验。 【详解】（1）解：设纯电新能源汽车的续航里程为x千米，则燃油车的续航里程1.6x千米， ∴纯电新能源汽车每千米行驶费用为（元）， 燃油车每千米行驶费用为（元）， （2）解：由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴, 答：纯电新能源汽车的续航里程为300千米，燃油车的续航里程为480千米。 【题型6 分式方程应用－销售问题】 26.列分式方程解应用题： 2026年春节联欢晚会的吉祥物由“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马组成，与晚会主题“骐骥驰骋势不可挡”相呼应，有马到成功、前程似锦的寓意，深受大家喜欢。某商场第一次用2400元购进一批“骐骥驰骋”四骏马玩具套装，很快售完；该商场第二次购进该玩具套装时，进价降低了20%，同样用2400元购进的数量比第一次多20套，求第一次购进的玩具套装每套的进价是多少元？ 【答案】30元 【分析】先设出第一次每套玩具套装的进价，再根据进价降低比例表示出第二次的进价，利用“总价÷单价=数量”得到两次购进的数量，根据第二次购进数量比第一次多20套列出方程，求解检验后得到结果。 【详解】解：设第一次购进的玩具套装每套的进价是元，则第二次购进时每套的进价为（元， 根据题意，得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：第一次购进的玩具套装每套的进价是30元。 27.普洱被誉为“中国咖啡之都”。某经销商从当地采购了甲、乙两种咖啡，甲种咖啡用了20000元，乙种咖啡用了19200元，甲种咖啡的采购数量比乙种咖啡多50千克，乙种咖啡的采购单价是甲种咖啡的1.2倍，求甲、乙两种咖啡的采购单价。 【答案】甲种咖啡的采购单价为80元/千克，乙种咖啡的采购单价为96元/千克 【分析】设甲种咖啡的采购单价为x元/千克，则乙种咖啡的采购单价为元/千克，根据题意列出分式方程求解即可。 【详解】解：设甲种咖啡的采购单价为x元/千克，则乙种咖啡的采购单价为元/千克； 由题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴（元/千克）， 答：甲种咖啡的采购单价为80元/千克，乙种咖啡的采购单价为96元/千克。 28.飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型。已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元。 （1）每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完。该航模店共获利润多少元？ 【答案】(1）每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元 （2）该航模店共获利润1050元 【分析】（1）设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元，根据购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个列出分式方程，据此求解即可； （2）分别计算出两种模型的销售额，减去成本，即可求解。 【详解】（1）解：设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， , 答：每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元； （2）解：“天宫”模型数量：个， “神舟”模型数量：个， “天宫”模型销售额：元， “神舟”模型前个销售额：元， 剩下5个“神舟”模型打八折：元， ∴总销售额：元， 总成本为3000元，所以总利润：元。 29.为厚植数学人文底蕴，传承中外算学精髓，某校特设数学典籍阅览室，专门珍藏《九章算术》，《几何原本》等经典名著。为此，学校计划添置甲、乙两种书柜。已知每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.2倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用7200元购买的乙种书柜数量多5个，分别求每个甲、乙书柜的价格。 【答案】 每个甲种书柜价格为192元，每个乙种书柜价格为160元 【分析】解：设每个乙种书柜的价格为元，根据每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.2倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用7200元购买的乙种书柜数量多5个，列出分式方程进行求解即可。 【详解】解：设每个乙种书柜的价格为元，则每个甲种书柜的价格为元， 根据题意，得 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ; 答：每个甲种书柜价格为192元，每个乙种书柜价格为160元。 30.为了满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如下表：若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价。 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：x元/个 单价：1.5x元/个 【答案】单枪新能源充电桩的单价为元，双枪新能源充电桩的单价为元 【分析】根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果。 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴, ∴单枪新能源充电桩的单价为元，双枪新能源充电桩的单价为元。 【题型7 分式方程应用－其他问题】 31.近年来，城市马拉松成为一道亮丽的风景线，越来越多的人走出家门，参与运动，用脚步丈量城市，以汗水诠释热爱，在沿途风景中感受城市的发展与活力。某市2025年城市马拉松报名期间，平均每天的报名人数是2024年平均每天报名人数的1.6倍，报名人数达到10万人所用的时间比2024年少6天，求2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数。 【答案】2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为1万人 【分析】设2024年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为x万人，2025年为万人，根据所给数量关系列分式方程，解方程即可。 【详解】解：设2024年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为x万人，则2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为万人， 由题意得．                 解得，                     经检验，是原方程的解，且符合实际， ,                     答：2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为1万人。 32.我省的黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁等都是中国名茶。随着科技的发展，机器人参与了采茶工作，已知每台机器人每小时的采茶量比一名熟练采茶工的2倍还多1千克，且每台机器人采摘25千克茶叶与一名熟练采茶工采摘10千克茶叶所需要的时间相同。设一名熟练采茶工每小时采茶量为千克。 （1）每台机器人每小时采茶量为___________千克； （2）若每台机器人每天工作8小时，则每台机器人每天采茶多少千克？ 【答案】(1) （2）每台机器人每天采茶40千克 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）列分式方程求解。 【详解】（1）解：根据题意得，每台机器人每小时采茶量为千克； （2）解：由题意得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际情况。 （千克）。 答：每台机器人每天采茶40千克。 33.为迎接2024年龙年春节的到来，某工厂计划安排甲、乙两车间生产11040个龙年福字。根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产240个福字，甲车间单独先工作4天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产600个福字。 （1）从开始加工到完成这批福字一共需要多少天？ （2）由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间。改进后甲、乙两车间每天生产的福字数量之比为，且改进工艺后乙车间比甲车间提前8天完成剩下生产任务，问改进工艺后甲车间每天生产多少个福字？ 【答案】(1)16天 (2)360个 【分析】（1）设从开始加工到完成这批福字一共需要x天，等量关系式：甲天完成的福字数乙天完成的福字数，据此列方程求解即可； （2）设改进工艺后甲车间每天生产个福字，乙车间每天生产个福字，列分式方程求解即可。 【详解】（1）解：设从开始加工到完成这批福字一共需要x天， 由题意得， 解得； 答：从开始加工到完成这批福字一共需要16天。 （2）解：设改进工艺后甲车间每天生产个福字，乙车间每天生产个福字。 4天后，甲、乙还各需加工：（个）； 根据题意得， 解得； 经检验：是所列方程的解，且符合题意， （个）； 答：改进工艺后甲车间每天生产360个福字。 34.太原锣鼓是山西省太原市传统音乐，国家级非物质文化遗产之一．太原锣鼓由有着悠久历史的社鼓演变传承而来，以铙、钹的特有声响取胜，风格强健有力、层次分明，动作劲烈舒展、粗犷阳刚，节奏激越鲜明，表演场面蔚为壮观。节日期间，锣鼓队名队员计划分成若干组进行表演，后又有名新队员加入，新队员加入后，组数比原来多4组，每组比原来减少1名队员，求原来每组有几名队员？ 【答案】原来每组有名队员 【分析】设原来每组x人，根据题意新队员加入后每组为人，以“新队员加入后，组数比原来多4组”为等量关系列方程求解即可，注意分式方程要检验所求出的解是否为原方程的增根。 【详解】解：设原来每组x人，则新队员加入后每组为人， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， 答：原来每组有名队员。 35.某合作社推进智慧农业转型，将西瓜种植从普通大棚升级为智能大棚。智能大棚搭载物联网温湿度传感器、水肥一体化滴灌系统与智能补光设备，可实现环境参数自动调控与精准种植。升级后，平均每公顷西瓜的产量增加了．已知升级前用普通大棚种植收获西瓜的土地，改用智能大棚种植后总产量增加了．求该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是多少？ 【答案】该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键。 依据题意，设该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是，则升级前平均每公顷产量为，从而，进而计算可以得解。 【详解】解：设该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是，则升级前平均每公顷产量为， 依题意得：，解得． 经检验：是原方程的解，且符合实际意义。 答：该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $