第5章 分式基础巩固自测卷-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

**基本信息** 第5章分式基础巩固自测卷，120分钟120分，覆盖分式定义、运算、方程等核心知识点，通过基础题与文化、科技情境创新题结合，适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|分式意义、约分、分式值变化|结合《四元玉鉴》文化情境，考查抽象能力| |填空题|4/12|分式值为0、规律探究|通过数式规律培养创新意识| |解答题|8/72|分式方程应用、新定义（雅中式）|无人机竞速问题体现模型意识，新定义题发展推理能力|

第5章 分式基础巩固自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1. 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列式子中是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的定义即可判断． 【详解】解：、是整式，不符合题意； 、是整式，不符合题意； 、是整式，不符合题意； 、是分式，符合题意． 2．要使分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式有意义要求分母不为0，据此列不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件为分母不等于0， ∴， 解得：． 3．计算的结果是（    ） A．3 B．a C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减运算，解题思路是先变形统一分母，再根据同分母分式加法法则计算，约分后得到结果 【详解】解：∵ ∴ 4．下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了约分，判断分式变形是否正确等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 依据分式的基本性质，即分子分母同时除以它们的公因式，且分子为多项式时不能随意拆分，逐一分析选项即可． 【详解】解：分子无公因式， 不能直接约去中的， 故A错误； 当时，， 故B错误； 的分子分母公因式为，同时除以得， 故C正确； 的公因式为，约去后得， 故D错误， 故选：C． 5．如果，那么的值等于（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式，由已知条件化简得到的值，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 故选：D 6．如果把分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值（ ） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，利用分式的基本性质将原式中的和都扩大倍，然后约分即可． 【详解】解：把分式中的和都扩大到原来的倍得， 可知分式的值不变 故选：B． 7．小明的一次课堂练习如下：则他做对的题有（   ） 判断题，对的打“√”，错的打“” 代数式，都是分式（） 当时，分式无意义（√） 若分式的值为0，则（√） 式子从左到右变形正确（√） 分式是最简分式（√） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义、分式无意义的条件、分式值为0的条件、分式的基本性质及最简分式的判定，解题关键是掌握以上相关概念．本题需逐一判断每个小题的正误，再统计小明做对的题目数量即可求解． 【详解】解：①∵分母不含字母，不是分式， ∴原题说法错误，小明判断“×”正确． ②∵当时，分母，分式无意义， ∴原题说法正确，小明判断“√”正确． ③∵分式值为0需分子为0且分母不为0， 由得， 但时分母，不满足条件， 故，原题说法错误，小明判断“√”错误． ④∵分式变形需分子分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，此处是加2，不符合分式基本性质，变形错误，小明判断“√”错误． ⑤∵分子与分母无公因式， ∴该分式是最简分式，原题说法正确，小明判断“√”正确． 综上，小明做对的题目有3个，故选B． 8．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布每尺文，根据题意可列方程是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式，熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解题的关键． 根据题意直接列出方程即可． 【详解】解：设绫布每尺文，则罗布每尺文， 根据题意得：， 故选：B． 9．解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的解法，去分母转化为整式方程的过程．解分式方程的关键是确定最简公分母并去分母，方程两边同乘公分母，即可转化为整式方程． 【详解】解：原方程为， 将分母变形为，原方程可改写为：， 确定最简公分母为，两边同乘，得：． 故答案选：C． 10．把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的通分，需先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，给每个分式的分子分母同乘相应因式，逐一验证选项即可找出错误项．据此判断即可得答案． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， ∴最简公分母为，故A选项正确； ∴，故B选项正确； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误． ∴故选：D． 11．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 12．有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为，，总电阻阻值为R，三者之间的关系为，若已知，，则用．、表示R是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对等式右边进行通分，求出和之后，再根据倒数的性质求出R的表达式． 【详解】解：∵， ． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．计算________． 【答案】 【详解】解： ． 14．若分式的值为0，则________． 【答案】2 【分析】根据分式值为0的条件即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， ∴． 15．若关于的分式方程的解为，则的值为___________． 【答案】3 【分析】已知分式方程的解，将解代入原分式方程，即可计算得到的值. 【详解】解：将代入分式方程， 得， 整理得， 解得， 经检验，满足题意． 16．观察下列一组数：，，，，……根据该组数的排列规律，可推断出第12个数是_____． 【答案】 【分析】由分子1、2、3、4、5、…，即可得出第n个数的分子为n；分母为3、5、7、9、11、…，即可得出第n个数的分母为，据此即可解答． 【详解】解：∵分子1、2、3、4、5、…， ∴第n个数的分子为n， ∵3、5、7、9、11、…， ∴第n个数的分母为， ∴第n个数是． ∴第12个数是． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，熟记分式的加减、乘除的法则是解决此题的关键． （1）先化为同分母分式减法，再计算化简即可； （2）将分式的分子和分母因式分解，根据分式的除法法则，计算即可． 【详解】（1）解： （2） 18．（8分）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 解得：， 经检验：是原方程的解； （2）去分母得：， 去括号得：， 解得：， 经检验：是原方程的增根，原方程无解． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 19．（8分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，正确化简是解题的关键． 20．（8分）小亮到某水果店买草莓．第一次花了60元．几天后水果店搞促销，草莓每千克降价4元，小亮花48元买到了和第一次一样多的草莓．求小明第一次购买时草莓的单价． 【答案】20元/千克 【分析】设小明第一次购买时草莓的单价为元/千克．根据小亮花48元买到了和第一次一样多的草莓，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小明第一次购买时草莓的单价为元/千克． 由题意，得．解得． 经检验，是原方程的解． 答：小明第一次购买时草莓的单价为20元/千克． 【点睛】本题考查分式方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 21．（10分）列方程解下列问题：用程序控制甲、乙两架无人机，进行竞速比赛赛前练习，当甲无人机到达终点时，乙无人机离终点还差．已知甲无人机的平均速度为． (1)求乙无人机的平均速度； (2)如果两架无人机重新开始比赛，甲从起点向后退，两架无人机同时出发，甲依然先到达终点，请调整甲的平均速度，使两架无人机能同时到达终点，求调整后甲的平均速度． 【答案】(1)乙无人机的平均速度为 (2)调整后甲的平均速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用； （1）设乙无人机的平均速度为，以甲到达终点的时间为等量关系列方程求解即可； （2）设调整后甲的平均速度为，根据两无人机同时到达终点，建立方程求解． 【详解】（1）解：设乙无人机的平均速度为， 由题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 答：乙无人机的平均速度为； （2）解：设调整后甲的平均速度为， 由题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 答：调整后甲的平均速度为． 22．（10分）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式______． (3)当的值为整数时，求整数的值． 【答案】(1)真 (2) (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解真分式与假分式定义及假分式化为真分式的方法是解决问题的关键． （1）由材料中真分式的定义直接判断即可得到答案； （2）由材料中将假分式化为带分式的方法计算即可得到答案； （3）由（2）知，当的值为整数时，是整数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由真分式定义，在分式中，对于只含有一个字母的分式，分子的次数小于分母的次数，可知分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：， 故答案为：； （3）解：由（2）知， 当的值为整数时，是整数， 的取值是的因数， 即取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，整数的值为． 23．（10分）马年春节联欢晚会上，宇树智能机器人的表演震惊全场，某车企迅速在甲、乙两个车间引入宇树智能机器人，引入后，甲、乙两个车间同时生产了天，共生产了辆汽车，已知甲车间平均每天的生产量是乙车间平均每天的生产量的两倍． (1)求甲、乙两车间平均每天各生产多少辆汽车； (2)为了进一步提升生产效率，两车间都进行了技术改进，甲车间平均每天多生产辆汽车，乙车间平均每天多生产辆汽车，两车间同时开始生产，结果甲车间生产辆汽车与乙车间生产辆汽车用时相同，求的值． 【答案】(1)甲车间平均每天生产辆汽车，乙车间平均每天生产辆汽车 (2)的值是 【分析】（1）设乙车间平均每天生产辆汽车，则甲车间平均每天生产辆汽车，根据题意列出方程，并求解即可； （2）根据用时相同列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：设乙车间平均每天生产辆汽车，则甲车间平均每天生产辆汽车， 根据题意，得， 解得， ∴． 答：甲车间平均每天生产辆汽车，乙车间平均每天生产辆汽车． （2）解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：的值是． 24．（10分）我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 例如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，请求出E所代表的代数式． 【答案】(1)C不是D的“雅中式” (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将两式作差并计算后进行判断即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴不是D的“雅中式”； （2）解：∵分式，，P是Q的“雅中式”， 且P关于Q的“雅中值”是2， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 分式基础巩固自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1. 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列式子中是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．要使分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A．3 B．a C． D． 4．下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如果，那么的值等于（    ） A．3 B．2 C．1 D． 6．如果把分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值（ ） A．扩大到原来的3倍B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 7．小明的一次课堂练习如下：则他做对的题有（   ） 判断题，对的打“√”，错的打“” 代数式，都是分式（） 当时，分式无意义（√） 若分式的值为0，则（√） 式子从左到右变形正确（√） 分式是最简分式（√） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布每尺文，根据题意可列方程是（　　） A． B． C．1 D． 9．解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（   ） A． B． C． D． 10．把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 11．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 12．有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为，，总电阻阻值为R，三者之间的关系为，若已知，，则用．、表示R是（   ） A． B． C． D． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．计算________． 14．若分式的值为0，则________． 15．若关于的分式方程的解为，则的值为___________． 16．观察下列一组数：，，，，……根据该组数的排列规律，可推断出第12个数是_____． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) (2) 18．（8分）解方程 (1) (2) 19．（8分）先化简，再求值：，其中，． 20．（8分）小亮到某水果店买草莓．第一次花了60元．几天后水果店搞促销，草莓每千克降价4元，小亮花48元买到了和第一次一样多的草莓．求小明第一次购买时草莓的单价． 21．（10分）列方程解下列问题：用程序控制甲、乙两架无人机，进行竞速比赛赛前练习，当甲无人机到达终点时，乙无人机离终点还差．已知甲无人机的平均速度为． (1)求乙无人机的平均速度； (2)如果两架无人机重新开始比赛，甲从起点向后退，两架无人机同时出发，甲依然先到达终点，请调整甲的平均速度，使两架无人机能同时到达终点，求调整后甲的平均速度． 22．（10分）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式______． (3)当的值为整数时，求整数的值． 23．（10分）马年春节联欢晚会上，宇树智能机器人的表演震惊全场，某车企迅速在甲、乙两个车间引入宇树智能机器人，引入后，甲、乙两个车间同时生产了天，共生产了辆汽车，已知甲车间平均每天的生产量是乙车间平均每天的生产量的两倍． (1)求甲、乙两车间平均每天各生产多少辆汽车； (2)为了进一步提升生产效率，两车间都进行了技术改进，甲车间平均每天多生产辆汽车，乙车间平均每天多生产辆汽车，两车间同时开始生产，结果甲车间生产辆汽车与乙车间生产辆汽车用时相同，求的值． 24．（10分）我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 例如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，请求出E所代表的代数式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $