2026年九年级中考数学复习专题：与圆相关的求最值训练1

 

中考数学复习专题：与圆相关的求最值训练1

1．已知在中，，，点为线段上一点，连接．

(1)如图1所示，在右侧作等腰，其中，．当，时，求的值；

(2)如图2所示，在右侧作等边，连接，点是上一点，连接并延长交于点，若，猜想线段与之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)在取得最小值的条件下，点是线段上一点，将沿翻折得到，连接，点为的中点，连接．当的值最小时，连接，请直接写出此时的值．

2．如图，正方形的边长为2，点为其内一点，且点与点的距离为1，将绕点逆时针旋转得，，交于点．

(1)判断与的位置关系，并说明理由；

(2)连，求证：；

(3)直接写出点，间的最短距离．

3．在正方形中，将射线绕点顺时针旋转，得到射线，将射线绕点逆时针旋转，与射线交于点，过点作于点．

(1)根据题意补全图形；

(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明；

(3)连接，若，当线段的长度最大时，直接写出的面积．

4．在中，，是边上的高，点E是线段上一点，点F是直线上的一点，连接、，直线交直线于点G．

(1)如图1，点F在线段延长线上，若，，证明；

(2)如图2，点F在线段上，连接并延长至点H，满足，连接，若，证明：；

(3)如图3，点F在线段延长线上，若，，点Q为上一点，，连接，点I在的下方，且，，连接，点M为的中点，连接，点N为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到，连接，点P为的中点，连接，．当最大时，请直接写出的面积．

5．如图，菱形中，，分别过点作的垂线，过点作的垂线交于点．

(1)如图1，若，连接、，求的长度；

(2)如图2，若，点、点分别为、延长线上的一点，连接、，且的延长线交于点，连接，且平分，试探究、之间的数量关系；

(3)如图3，在（2）的条件下，点是线段的中点，是直线上的一个动点，将沿直线折叠，得到，连接，求的最大值．

6．[发现问题]爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：

如图①，点为坐标原点，的半径为1，点．动点在上，连结，作等边（，，为顺时针顺序），求的最大值．

[解决问题]小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接．

（1）请你找出图中与相等的线段，并说明理由；

（2）线段的最大值为 ．

[灵活运用]（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，以为旋转中心，把逆时针旋转得，连接，求长的最大值及此时点的坐标．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7．如图①，在中，，，点在上（且不与点、重合）．在的外部作等腰，使，连接，过点作平行且相等于，连接、．

(1)此时四边形为__________形；、的数量关系为___________．

(2)将绕点逆时针旋转，当点在线段上时，如图②，连接．

①此时四边形为__________形；

②、的数量关系为__________，证明你的结论．

(3)在绕点逆时针旋转一周的过程中，若，，线段长度的最大值为__________．

8．[模型建立]

如图①、②，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离．

    

[问题解决]

请就图①中为何最长进行证明．

[初步应用]

（1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为．则的半径为　　．

（2）如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是　　．

[拓展延伸]

如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连接，则线段的最大值为　　．

9．【模型建立】

如图①、②，点分别在圆外，在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离．

【问题解决】

(1)请就图①中为何最长进行证明．

(2)已知点到圆上的点的最短距离为4，最长距离为8，则圆的半径为_____________．

(3)如图③，在中，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是____________．

(4)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最大值．