精品解析：2026年重庆一中初2026年九年级下学期期第一次模拟测试数学试题卷

2026年重庆一中初2026届初三下期第一次模拟测试 数学试题卷 （考生注意：本试题共25个小题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2026的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：2026的相反数是． 2. 下列马年剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、找不到任何一条直线使图形沿其折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形； 选项B、找不到任何一条直线使图形沿其折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形； 选项C、沿中间竖直直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形； 选项D、找不到任何一条直线使图形沿其折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某一批导弹的杀伤半径 B. 调查某电视栏目的收视率 C. 调查某辆将要使用的轻轨列车的零部件质量 D. 调查某一批新能源汽车的使用寿命 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的选择，需根据调查特点，结合全面调查适用条件，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、调查导弹杀伤半径的过程具有破坏性，不适合全面调查，故A不符合要求； 选项B、调查电视栏目收视率，调查范围广工作量大，不适合全面调查，故B不符合要求； 选项C、轻轨列车零部件质量关系行车安全，要求每个零件都必须合格，需要对所有零件检查，故C最适合采用全面调查； 选项D、调查新能源汽车使用寿命的过程具有破坏性，不适合全面调查，故D不符合要求． 4. 如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的半径相等得到是等腰三角形，利用三角形内角和定理求出圆心角的度数，再根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ． 5. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ） A. 64 B. 72 C. 81 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知图形得出第个图形中正方形的个数为，据此求解可得． 【详解】解：图①中正方形的个数， 图②中正方形的个数， 图③中正方形的个数， 则第个图形中正方形的个数为， 故第⑨个图案中正方形的个数为． 6. 根据国家知识产权局在2026年1月新闻发布会上的正式通报，2025年中国共授权发明专利万件，同比减少．将数据972000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为，满足，为整数，解题只需确定和的值即可． 【详解】解：． 7. 若点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用反比例系数小于0时，函数经过二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：， 反比例函数经过第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ， ． 8. 中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司2023年盈利4000万元，2025年盈利6760万元，且从2023年到2025年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，根据题意，可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，理清增长次数，根据初始盈利和最终盈利的关系列方程即可，找准间隔年数是解题关键． 【详解】解：设每年盈利的年增长率为， 2023年盈利为万元，从2023年到2025年共增长次， 2024年盈利为万元，2025年盈利为万元， 又2025年盈利为万元， 可列方程为：． 9. 如图，点在正方形的边上，连接交对角线于点，过点作交于点，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于，于，可得，再证明，得到，设，则， 即得，，，又由得，得到，进而得，，，利用勾股定理得，，最后代入计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，于， ∵四边形是正方形，  ，  ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形， ，， ， ，  ，  ，  ，  ，  又，  ，  ，  设，则，  ∴，， ∴， ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  在中，，  在中，， ． 10. 已知整式，其中为正整数，为整数，为非零整数，若，且，下列说法正确的个数为（ ） 在所有满足条件的整式中，单项式共有个； 存在个的值，使得满足条件的整式为四项式； 若关于的方程有两个实数根，则满足条件的整式有个； 满足条件的所有整式共有个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】当时，，，，，可判断，要使得满足条件的整式为四项式，则一定有项非零整数，没有满足条件的整式，可判断，当时，由得到，，，，由根的判别式可判断，根据题意，分情况讨论，可得满足条件的整式，可判断． 【详解】解：当时，， ∴， 又∵，且为正整数， ∴，，，， ∴正确； 要使得满足条件的整式为四项式，则一定有项非零整数， ∵，且， ∴只能是四个非零系数的绝对值为，与系数大小顺序的条件相矛盾， ∴不存在，使得满足条件的整式为四项式， ∴错误； 当时，，且， ∴，，，， 即，，，， ∵ ∴，，，， 其中的有：，， ∴正确； 当时，且， ∴，，，，，，，，，，，，有个， 当时，，且， ∴，，，，有个， 当时，，且， ∴，有个； 当时，无法满足，且， ∴共有个， ∴错误． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 若为正整数，且满足，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】利用无理数估计方法进行求解即可． 【详解】解：， ， 即， 为正整数， ． 12. 如图，，，，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据垂直的定义求出，进而求出的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 13. 不透明的袋中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从中任意摸出1个球，则两次都摸到白球的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有等可能的结果，再利用概率公式即可求解． 【详解】解：设袋中的球为：红球、白球1、白球2， 画出树状图如下： 由树状图可知，所有等可能的结果共有种，两次都摸到白球的结果有种， 根据概率公式计算得：两次都摸到白球的概率为． 14. 若实数同时满足，则的值为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】先结合算术平方根的非负性得出，再根据得出，然后代入，算出，最后代入数值到计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴，（舍去） 故， ∴ ∴． ∴． 15. 如图，菱形中，是边上一点，连接．以为直径的与相切于点，分别交于点，连接．若，，则点到线段的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，过作于点，由圆周角定理可得，通过切线的性质可得是的切线，，然后证明，，所以，，则，，设，则，根据勾股定理得，解得，则，，，又，，从而可得，，由圆周角定理得，则有，即，代入求得，点到线段的距离为． 【详解】解：如图，连接，，过作于点， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴点到线段的距离为． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“久久数”，例如：四位数2754，因为，所以是“久久数”．则最小的“久久数”是_____；一个“久久数”，将其千位数字和十位数字调换位置，百位数字和个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，若与是整数，则满足条件的的值是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先理解“久久数”的定义，确定出为0到9的整数，且，再根据最小，确定出最小为1，最小为0，即可求解；由题意可得，将表示出来，再表示出，，根据与是整数确定出满足的关系，进而求解． 【详解】解：根据“久久数”定义可得，，，为大于等于1的整数， 由最小的“久久数”可得，，解得，， 可得最小的“久久数”为； 由“久久数”可得，，， 由可得，， ， ， ， ， 由与是整数可得能够被19整除， 能够被23整除， 又∵， ∴能够被整除， ∴能够被整除， 又∵为0到9的整数， ∴，即， 将代入可得， 则能够被19整除，得到，解得， ∴，，， 则． 【点睛】本题是新定义问题，理解“久久数”的定义，得到满足的关系是关键． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤． 17. 解不等式组： 解：解不等式①得：_____． 解不等式②得：_____． 在同一条数轴上表示不等式①、②的解集为： 所以原不等式组的解集为：_____． 【答案】 ；； ； 【解析】 【详解】解： 解不等式①， ， 故解不等式①得：； 解不等式②， ， 故解不等式②得：； 所以原不等式组的解集为：． 18. 如图，是的中线，交的延长线于点． （1）请用尺规作图：过点作于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证明： 是的中线 ①_____ 在和中 ③_____ ④_____ 四边形是平行四边形． 【答案】（1） 如图即为所求； （2）；；； 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）通过证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 4月23日是“世界读书日”，每年的这一天，世界一百多个国家都会举办各种各样的庆祝活动．为庆祝“世界读书日”，某校组织了“共读一本名著”活动，并举行了名著阅读知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，均在75分以上，其分为五个等级：A：；B：；C：；D：；E：，其中记为优秀），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：77，84，85，89，90，90，95，95，95，100． 八年级10名学生的竞赛成绩在D组中的数据为：91，93，90，92． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 90 90 中位数 90 众数 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，n=______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有800名学生、八年级有1000名学生参加了此次竞赛，估计该校七，八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生共有多少名？ 【答案】（1）；95；40 （2） 七、八年级平均数相同，八年级的中位数大于七年级的中位数，说明八年级整体竞赛成绩更好； （3）1180 【解析】 【分析】（1）利用中位数、众数的定义进行计算即可； （2）利用平均数、中位数、众数进行比较即可； （3）根据“样本估计总体”进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级10名学生的竞赛成绩中，95出现次数最多，则众数； 八年级共10名学生，D组有4人，占比，则； 由扇形统计图可知，八年级竞赛成绩A组有人、B组有1人、C组有1人，D组有4人， 则中位数位于D组， 将D组的数据从小到大排列为：90，91，92，93， 则中位数为， 故答案为：；95；40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： （名） 答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生共有1180名． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据平方差公式，多项式乘以多项式，分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，然后计算整式与分式的运算；最后根据零指数幂和负整数指数幂求得字母的值代入求解． 【详解】解：     ∵ ∴原式 21. 列方程解下列问题： 马年春晚舞台上惊艳全网的歌咏创意秀节目《贺花神》，其创作灵感源自故宫博物院珍藏的一件清代白玉月令组配，这套玉佩由十三件玉牌组成——12片花瓣和1片“六环式活心”花蕊．某校“非遗手工”课程组40名学生买了铝箔纸材料包复刻“月令组配”．已知一个学生在一节课堂中可单独完成8张花瓣制作或2张花蕊制作． （1）应如何分工，才能使一节课堂中完成的“月令组配”的花瓣和花蕊配成套？ （2）该手工复刻非常成功，学校决定再次购买一批材料包和画框向全校师生推广“月令组配”制作并展览．已知学校花费了4000元购买材料包和6000元购买画框，材料包和画框的数量一样多，且画框的单价比材料包单价的2倍少5元，请问材料包的单价是多少元？ 【答案】（1） 安排30名学生制作花瓣，10名学生制作花蕊 （2） 材料包的单价是10元 【解析】 【分析】（1）“配成套”意味着花瓣数量与花蕊数量的比为，设做花瓣的学生人，做花蕊的学生人，根据总人数和配套比例列方程组求解； （2）设材料包单价为未知数，根据“数量一样多”建立等式，即材料包数量画框数量． 【小问1详解】 解：设安排名学生制作花瓣，名学生制作花蕊，根据题意，得：  ， 解得，​​ 答：安排名学生制作花瓣，名学生制作花蕊； 【小问2详解】 解：设材料包的单价为元，则画框的单价为元， 根据题意，得：  ，​ 解得，, 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：材料包的单价为元． 22. 如图，在矩形中，是边的中点，是边上一点且满足，连接、．现将以每秒1个单位长度的速度沿射线方向，从点出发水平向左运动得到，当点运动到点时，停止运动．设运动时间为秒，记点与点的距离为，的面积为与矩形重叠部分的面积为． （1）请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】（1）； （2）当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大；当时，最小；（写出一条即可） （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当点在点F左侧时，当点在点F右侧时，分别写出函数解析式即可；根据平移得出，，，从而得出，证明，得出，求出，得出，即可得出答案； （2）先列表，然后描点，画出和的函数图象即可，根据一次函数性质写出函数的一条性质即可； （3）根据函数图象得出时，x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴当点在点F左侧时，， 当点在点F右侧时，， 综上；； ∵矩形中，，点E为的中点， ∴， 根据平移可得：，，， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：列表： x 0 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 0 1 2 0 1 4 9 描点，连线，如图所示： 函数的一条性质：当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大；当时，最小； 【小问3详解】 解：根据函数图象可得，当时，的函数图象在的函数图象下面，因此当时，． 23. 为指引航船在黑夜和气候恶劣时能够安全抵达港口，某海域在港口所在平面设置了、、三个灯塔．如图，位于北偏西，位于北偏东，在正北方向20海里处，且在南偏西方向，在南偏东方向．（参考数据：） （1）求的长度．（结果保留根号） （2）甲、乙两艘巡逻船分别从、同时出发沿、往进行匀速巡逻，甲船的速度与乙船速度之比为，当两艘船的距离为15海里时，船员可以互相交流巡逻情况，请问甲船离开港口多少海里时，两艘船可以开始交流情况？（结果保留小数点后一位） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点A作，交延长线于点E，易证明四边形是矩形，进而得到，在中，、，据此求解即可； （2）设两船出发小时后，甲船到达处，乙船到达处，两船可以开始交流情况．过点作于点，则，根据甲船的速度与乙船速度之比为，得到、，在中，、，在中，利用勾股定理列方程，求出的值，从而求出的值． 【小问1详解】 解：过点A作，交延长线于点E， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， （海里）， （海里）， 海里， （海里）； 【小问2详解】 解：设两船出发小时后，甲船到达处，乙船到达处，两船可以开始交流情况． 过点作于点，则海里， ， 在中，， （海里）， 甲船的速度与乙船速度之比为， ，， （海里），（海里）， 在中， ， （海里）， （海里）， （海里）， 在中，， ， 解得：或（舍去）， （海里）， 即甲船离开港口约海里时，两艘船可以开始交流情况． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．其中，，对称轴为直线，连接、． （1）求抛物线的解析式： （2）如图1，过点作交轴于点，点为直线下方抛物线上一动点，连接交于点，点为直线上一动点，连接、、．当取得最大值时，求点坐标及的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，直线与抛物线交于点，连接．将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】（1） （2）； （3）点的横坐标为或， ∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴平移方式为向左平移2个单位，再向下平移2个单位， ∴新抛物线的解析式为， ∵直线的解析式为， 与抛物线联立得：， 解得：或（舍去）， 当时，， ， 作交直线于点， ， ， ， 当点K在y轴右边时，作交抛物线于点，交直线于点， ， ， ， ， ， 则该直线符合题意， 设直线的解析式为， 将、代入得：， 解得：， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 直线的解析式为， 与抛物线联立得：， 解得：或（舍去）， 点的横坐标为； 当点K在y轴左边时，记为，设直线与x轴交于点E，作点关于直线的对称点F，作直线交抛物线于点，连接 ∴，即点即为所求 ∵直线的解析式为， ∴当时， 解得 ∴ 设 由对称得，， ∴， ∴ 解得 ∴ ∵ ∴可得直线的解析式为 ∴联立得， 解得或（舍去）， ∴点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据题意求出点坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先求出直线的解析式，根据，求出直线的解析式，进而得到点坐标；设出点坐标，过作的垂线，利用求出的最大值，将转化为，利用垂线段最短，找到最小值的情况； （3）先求出点坐标，计算出和的度数，进而得到的度数，根据抛物线平移的方向和距离，求出新抛物线的解析式；分情况讨论的位置，利用角度关系，求出直线的解析式，再与新抛物线解析式联立，求解得到K点的横坐标． 【小问1详解】 解：对称轴为直线， ， ， 抛物线， ， ， ， ， 将点、代入抛物线得： ， 解得：， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知：抛物线， ，对称轴为直线， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 过点P作轴交于点D，过点P作于点E， ，， 在中，， ， ， ， 当最大时，有最大值， ，， 可得直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，的最大值为， 当时，， ， 过点Q作于点F， ， ， ， 过点P作于点，交于点， ， 当P、、三点共线时，有最小值，即， ， ， 即的最小值为； 【小问3详解】 略 25. 在中，，，为平面内一点． （1）如图1，点在上，是上一点，连接、，过点作于点，若，，，求的长； （2）如图2，点在上，是上一点，连接并延长交的延长线于点，是上一点，连接，满足，，连接，过点作于点．若，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明： （3）如图3，为内的动点，，以、为邻边构造平行四边形，连接、．是内一动点，是直线上一个动点，将点绕着的中点逆时针旋转到点，若，当和同时取得最小值时，连接、，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质先求出、的长度，过点作于点，利用三角函数定义求出、相关线段长度，利用勾股定理求解即可； （2）在上取一点M，使得，连接，将沿翻折得到，连接，设与交于点，易证明，设，易得到、、、四点共圆，进而得到是等腰直角三角形，利用勾股定理证明即可； （3）根据题意可得，点在以点为圆心，长为半径的上运动，点G在直线上运动时，点在直线上运动，作交于点P，将绕点F逆时针旋转至，连接交于点Q，易证明，得到是等腰直角三角形，则，当时，有最小值，此时点与点重合，将绕点顺时针旋转至，得到是等边三角形，即，当、、M、D、H共线时，有最小值，证明是以为顶角的等腰三角形，过点A作于点R，在中，、，利用勾股定理求出和长，利用进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ∵在中，， ，， ∵在中，， ， ， ∵在中，， ， ， ， ∴在中，由勾股定理得： ； 【小问2详解】 解：，证明如下： 在上取一点M，使得，连接，将沿翻折得到，连接，设与交于点， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， 、、、四点共圆， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； 【小问3详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ∴在中，， ∴， ， 在下方作以为斜边的等腰直角三角形， 则点在以点为圆心，长为半径的上， 是等腰直角三角形， ，， ， 作交于点P，将绕点F逆时针旋转至，作直线交于点Q， ，，， ， ， ， 点G在直线上运动时，点在直线上运动， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 当时，有最小值，此时点与点重合， 将绕点顺时针旋转至， ，，， 是等边三角形， 、， ， 当、、M、D、H共线时，有最小值， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 如图，在中，过点A作于点R， ， 在中，， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ，， ∴ 是等腰三角形， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、翻折的性质，正确作出辅助线，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆一中初2026届初三下期第一次模拟测试 数学试题卷 （考生注意：本试题共25个小题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2026的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 下列马年剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某一批导弹的杀伤半径 B. 调查某电视栏目的收视率 C. 调查某辆将要使用的轻轨列车的零部件质量 D. 调查某一批新能源汽车的使用寿命 4. 如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ） A. 64 B. 72 C. 81 D. 100 6. 根据国家知识产权局在2026年1月新闻发布会上的正式通报，2025年中国共授权发明专利万件，同比减少．将数据972000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 若点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司2023年盈利4000万元，2025年盈利6760万元，且从2023年到2025年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，根据题意，可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在正方形的边上，连接交对角线于点，过点作交于点，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为正整数，为整数，为非零整数，若，且，下列说法正确的个数为（ ） 在所有满足条件的整式中，单项式共有个； 存在个的值，使得满足条件的整式为四项式； 若关于的方程有两个实数根，则满足条件的整式有个； 满足条件的所有整式共有个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 若为正整数，且满足，则_____． 12. 如图，，，，则的度数为_____． 13. 不透明的袋中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从中任意摸出1个球，则两次都摸到白球的概率为_____． 14. 若实数同时满足，则的值为_____． 15. 如图，菱形中，是边上一点，连接．以为直径的与相切于点，分别交于点，连接．若，，则点到线段的距离为_____． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“久久数”，例如：四位数2754，因为，所以是“久久数”．则最小的“久久数”是_____；一个“久久数”，将其千位数字和十位数字调换位置，百位数字和个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，若与是整数，则满足条件的的值是_____． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤． 17. 解不等式组： 解：解不等式①得：_____． 解不等式②得：_____． 在同一条数轴上表示不等式①、②的解集为： 所以原不等式组的解集为：_____． 18. 如图，是的中线，交的延长线于点． （1）请用尺规作图：过点作于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证明： 是的中线 ①_____ 在和中 ③_____ ④_____ 四边形是平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 4月23日是“世界读书日”，每年的这一天，世界一百多个国家都会举办各种各样的庆祝活动．为庆祝“世界读书日”，某校组织了“共读一本名著”活动，并举行了名著阅读知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，均在75分以上，其分为五个等级：A：；B：；C：；D：；E：，其中记为优秀），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：77，84，85，89，90，90，95，95，95，100． 八年级10名学生的竞赛成绩在D组中的数据为：91，93，90，92． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 90 90 中位数 90 众数 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，n=______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有800名学生、八年级有1000名学生参加了此次竞赛，估计该校七，八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生共有多少名？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 马年春晚舞台上惊艳全网的歌咏创意秀节目《贺花神》，其创作灵感源自故宫博物院珍藏的一件清代白玉月令组配，这套玉佩由十三件玉牌组成——12片花瓣和1片“六环式活心”花蕊．某校“非遗手工”课程组40名学生买了铝箔纸材料包复刻“月令组配”．已知一个学生在一节课堂中可单独完成8张花瓣制作或2张花蕊制作． （1）应如何分工，才能使一节课堂中完成的“月令组配”的花瓣和花蕊配成套？ （2）该手工复刻非常成功，学校决定再次购买一批材料包和画框向全校师生推广“月令组配”制作并展览．已知学校花费了4000元购买材料包和6000元购买画框，材料包和画框的数量一样多，且画框的单价比材料包单价的2倍少5元，请问材料包的单价是多少元？ 22. 如图，在矩形中，是边的中点，是边上一点且满足，连接、．现将以每秒1个单位长度的速度沿射线方向，从点出发水平向左运动得到，当点运动到点时，停止运动．设运动时间为秒，记点与点的距离为，的面积为与矩形重叠部分的面积为． （1）请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 23. 为指引航船在黑夜和气候恶劣时能够安全抵达港口，某海域在港口所在平面设置了、、三个灯塔．如图，位于北偏西，位于北偏东，在正北方向20海里处，且在南偏西方向，在南偏东方向．（参考数据：） （1）求的长度．（结果保留根号） （2）甲、乙两艘巡逻船分别从、同时出发沿、往进行匀速巡逻，甲船的速度与乙船速度之比为，当两艘船的距离为15海里时，船员可以互相交流巡逻情况，请问甲船离开港口多少海里时，两艘船可以开始交流情况？（结果保留小数点后一位） 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．其中，，对称轴为直线，连接、． （1）求抛物线的解析式： （2）如图1，过点作交轴于点，点为直线下方抛物线上一动点，连接交于点，点为直线上一动点，连接、、．当取得最大值时，求点坐标及的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，直线与抛物线交于点，连接．将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 25. 在中，，，为平面内一点． （1）如图1，点在上，是上一点，连接、，过点作于点，若，，，求的长； （2）如图2，点在上，是上一点，连接并延长交的延长线于点，是上一点，连接，满足，，连接，过点作于点．若，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明： （3）如图3，为内的动点，，以、为邻边构造平行四边形，连接、．是内一动点，是直线上一个动点，将点绕着的中点逆时针旋转到点，若，当和同时取得最小值时，连接、，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $