精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年下学期九年级数学练习（一）

2026年重庆八中初三数学下期一模试题 数学练习（一） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（　　） A. 1 B. C. D. 2 2. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，表示数，的点在数轴上，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（　　） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 C. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 6. 如图，在中，，将直角边绕点逆时针旋转至，连接，且，，三点共线，若，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 7 7. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点在对角线上，且，点在上，连结，，且，连结交于，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n，，为正整数，且．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式M共有7种； ②满足条件的所有整式M中一次项系数的最大值为6； ③不存在这样的整式M，使得当时，M的值为奇数． 其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算:cos45°= ________________ 12. 一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为___________． 13. 两个人做游戏：每个人都从，，这三个数中随机选择一个写在纸上，则两人所写的两个数绝对值相等的概率为___________． 14. 若关于的一元二次方程的两个实数根为，则的最小值为___________． 15. 如图，在中，和为直径，弧等于弧，连接，过点的切线交的延长线于点，若的半径为，则的值为___________，的值为___________． 16. 对于一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，如果百位与个位数字之和满足小于千位数字，不小于十位数字，则称这个数为“夺冠数”，则最大的“夺冠数”为___________；对于“夺冠数”，将其百位与十位数字交换，其余数字不变，所得新数记为，将其十位与个位交换，其余数字不变，所得新数记为，记．例：当时，，对于一个“夺冠数”，若能被24整除，是一个完全平方数，则满足条件的“夺冠数”为___________． 三、解答题（共9个小题，17-18题每小题8分，19-25题每小题10分，共86分）， 17. 求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式①，得___________ 解不等式②，得___________ 所以原不等式组的解集为___________ 因此满足原不等式组的所有整数解为___________ 18. 在复习正方形的相关知识后，某小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，取的中点，连接，过作的垂线，交于点，交于点．则点也是线段的中点． （1）用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． （2）根据（1）中所作图形，某小组发现点也是线段的中点，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：四边形是正方形， ． ， （①___________）， 又 ②___________ 又， ， 在与中， ， ． ③___________ 为中点， ， 又④___________， ， 点是线段的中点． 19. 为了解、两款饮水机的用户体验情况，小淇随机调查了购买、两款饮水机的各名用户，记录下他们的体验评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（体验评分用表示，共分为三个等级：差评，中评，好评），下面给出了部分信息． 购买款饮水机的名用户体验评分：，，，，，，，，，． 购买款饮水机的名用户体验评分中“中评”等级包含的所有数据为：，，，，，． 购买两款饮水机的被调查用户体验评分统计表 类别 平均数 众数 中位数 方差 购买款饮水机的被调查用户体验评分 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_______，_______，_______； （2）根据以上数据，你认为哪款饮水机用户体验情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若购买款饮水机的用户有名，购买款饮水机的用户有名，估计对、两款饮水机好评的用户共有多少名？ 20. 先化简，再求值： ，其中． 21. 列方程解应用题： 某校在商场购进两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了2500元，购买品牌篮球花费了2000元，且购买品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的2倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花30元． （1）问购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进两种品牌篮球共60个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了10%，品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买两种品牌篮球的总费用不超过3640元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？ 22. 如图，在中，．动点从点出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，同时点以相同的速度从点出发沿射线运动．设运动时间为秒，的面积为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，画出函数的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 如图，四边形是某小区步道，点A，B，C，D在同一平面内，点B在点A的南偏东方向，点D在点A的正东方向，点C在点B的正东方向，点A在点C的北偏西方向，且A、C两地相距300米．（参考数据： ， ， ） （1）求A、B两地的距离（结果保留根号）； （2）小昆从点B出发沿步行到终点A，同时小萱从点A出发，沿步行到终点D，小昆与小萱步行的速度之比为，当他们首次相距100米时，求此时小萱与点A的距离（结果保留整数）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，过作交轴于点，线段在直线上移动且，当取得最大值时，求此时点的坐标及的周长的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点的对应点为点，平移后的新抛物线的对称轴上有一点，点为新抛物线上一动点，若，请直接写出点的坐标，并写出求的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，，为边上一点，连接． （1）如图1，若，过作交其延长线于点，，，求线段的长． （2）如图2，若，延长至点，连接使，连接，点为线段上一点，连接，取中点，连接，若，猜想与之间的数量关系，并证明． （3）如图3，若，，将绕点逆时针旋转得线段，连接，在直线上取一点，连接，当最小时，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆八中初三数学下期一模试题 数学练习（一） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式． 根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是． 故选：B 2. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式． ∵选项A中的根指数为3，是三次根式， ∴A不符合要求． ∵选项B中的被开方数，式子无意义， ∴B不符合要求． ∵选项C中的被开方数可能小于0，此时式子无意义， ∴不是一定为二次根式，C不符合要求． ∵对任意实数，都有， ∴，根指数为2，满足二次根式的定义，一定是二次根式， ∴D符合要求． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据提公因式法、平方差公式，判断分解结果是否符合要求，即结果为整式乘积形式且分解彻底． 【详解】解：A、，故A错误； B、，原分解未分解彻底，故B错误； C、，分解符合要求，故C正确； D、因式分解的结果需为几个整式乘积的形式，不是乘积形式，不符合因式分解定义，故D错误． 4. 如图所示，表示数，的点在数轴上，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴确定a，b的正负号以及绝对值大小关系．由数轴可知，，然后依次对选项进行分析即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，，． 5. 下列说法正确的是（　　） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 C. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊平行四边形的判定定理即可判断. 【详解】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误，不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，符合题意； C、对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故错误，不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的判定，解题的关键是熟知矩形、菱形、正方形的判定定理. 6. 如图，在中，，将直角边绕点逆时针旋转至，连接，且，，三点共线，若，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质求出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据得出，根据等角对等边得出，进而可得答案． 【详解】解：∵将直角边绕点逆时针旋转至，且，，三点共线， ，． ． ，， ，． ． ． ． 7. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的指数判断数的量级，再比较同量级数的系数即可得到结果． 【详解】解：， A、B对应的数都小于C和D对应的数； 指数相同时，系数， 最小的数是． 8. 如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出的度数，再根据切线的性质得到，最后利用四边形内角和定理求出的度数． 【详解】解：与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， 是的两条切线， ，， ， 在四边形中， ． 9. 如图，在正方形中，点在对角线上，且，点在上，连结，，且，连结交于，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查正方形性质、等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、勾股定理；用几何推理 + 相似 + 勾股解题，关键是先证 F 为中点，再用相似得线段比，易错点是比例关系看错、勾股计算错误． 先由正方形对角线得角，结合证 F 是中点；再由得，推出，算出；最后用勾股定理求，化简得出比值． 【详解】 过 E 作于 M． 正方形中是对角线，， 设，则，， 正方形边长． 由是等腰直角三角形， ，． 由， ， ，即F是中点． 正方形中， 故，相似比， ． 由， ​， 又， ． 在中，，， 由勾股定理： ． 故选：B． 10. 已知整式，其中n，，为正整数，且．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式M共有7种； ②满足条件的所有整式M中一次项系数的最大值为6； ③不存在这样的整式M，使得当时，M的值为奇数． 其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目给定条件，对三个说法逐一验证，利用枚举和奇偶性性质推导即可． 【详解】解：验证①：当时，，满足， ∵为正整数， ∴，解得， ∴可取1，2，3，4，共4种不同整式，故①错误； 验证②：要使最大，需其余系数和最小，所有系数均为正整数，且最小为1（，其余）， 当时，共3个系数， 满足，，取最小，， 得，符合所有条件， 若，则其余系数和为，但至少有2个其余系数，和至少为，矛盾，故②正确； 验证③：当时，设为偶数次项系数和，为奇数次项系数和， 则，且， ∵，8和均为偶数， ∴必为偶数，不可能为奇数，故③正确， 综上所述，正确的说法有2个． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算:cos45°= ________________ 【答案】1 【解析】 【分析】将cos45°=代入进行计算即可. 【详解】解：cos45°= 故答案为：1. 【点睛】此题考查的是特殊角的锐角三角函数值，掌握cos45°=是解决此题的关键. 12. 一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是，边形的内角和为，结合已知的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 依题意得 ， 解得， 即这个多边形的边数是． 13. 两个人做游戏：每个人都从，，这三个数中随机选择一个写在纸上，则两人所写的两个数绝对值相等的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图，得出所有等可能的结果，再找出满足两人所写两个数绝对值相等的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两人所写两个数绝对值相等的结果有种， ∴两人所写的两个数绝对值相等的概率为． 14. 若关于的一元二次方程的两个实数根为，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得，再通过根的判别式，求得的取值范围即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为， ∴，， ∴， ∴当时，取最小值为，即的最小值为． 15. 如图，在中，和为直径，弧等于弧，连接，过点的切线交的延长线于点，若的半径为，则的值为___________，的值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用得等圆心角，连接得，再由圆周角定理得，从而证得，由相似三角形求出，再利用垂径定理和勾股定理求出和进一步求出，过作，由矩形的性质求出，用勾股定理求出，最后连接，利用同角的余角相等证得，由得，求出和． 【详解】解：连接, ， ， ， 又， ， ， ， ， 交于， ， ， ， ， ， ； 过点作于点，由垂径定理，， 在中，， ， ， ， 是切线， ，即， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， 连接，， 是切线，是直径， 即， 在中，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的性质，以及勾股定理；构造辅助线是解题的关键． 16. 对于一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，如果百位与个位数字之和满足小于千位数字，不小于十位数字，则称这个数为“夺冠数”，则最大的“夺冠数”为___________；对于“夺冠数”，将其百位与十位数字交换，其余数字不变，所得新数记为，将其十位与个位交换，其余数字不变，所得新数记为，记．例：当时，，对于一个“夺冠数”，若能被24整除，是一个完全平方数，则满足条件的“夺冠数”为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设四位数为，由定义得，要数最大，千位取9，此时；百位最大取7，，十位最大取8，即可得到最大的“夺冠数”；根据题意将化简为，则，需被24整除，得为或或或，结合为完全平方数，进行判断求解即可． 【详解】解：设四位“夺冠数”为， 由题意得，， ∵要使四位数最大， ∴千位取最大值9，此时； 百位尽可能大：若，则，不满足， ∴最大取7，； ∴， ∵十位尽可能大，且， ∴， ∴最大的“夺冠数”为9781； 由题意得，百位与十位交换得； 十位与个位交换得， ∴ ， ∴， ∴ ， 由题意得，能被24整除， 又∵， ∴， ∴的可能值为，逐一验证： 当时，（时舍去）； 当时，（时舍去）； 当时，（时舍去）； 当时，（时舍去）； ∴4组可能的为：或或或， ∵是完全平方数， ∴当为时，（为正整数）， 仅时， 由题意得， 解得，与矛盾，舍去； 当为时，， 仅时， 由题意得， 解得， ∴，得到数； 当为时，， ∵11是质数， ∴无符合条件的整数（），舍去． 当为时，， 仅时， 由题意得， 解得，舍去． 综上所述，最大的“夺冠数”为；满足条件的“夺冠数”为． 【点睛】本题核心是新定义的代数转化与分类讨论，先化简得到的整除条件，再结合完全平方数与“夺冠数”定义逐一验证，关键是代数式化简与列举验证的结合． 三、解答题（共9个小题，17-18题每小题8分，19-25题每小题10分，共86分）， 17. 求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式①，得___________ 解不等式②，得___________ 所以原不等式组的解集为___________ 因此满足原不等式组的所有整数解为___________ 【答案】，，，． 【解析】 【分析】按照解不等式组的步骤解不等式，再写出整数解即可． 【详解】解： 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集为， 因此满足原不等式组的所有整数解为． 18. 在复习正方形的相关知识后，某小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，取的中点，连接，过作的垂线，交于点，交于点．则点也是线段的中点． （1）用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． （2）根据（1）中所作图形，某小组发现点也是线段的中点，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：四边形是正方形， ． ， （①___________）， 又 ②___________ 又， ， 在与中， ， ． ③___________ 为中点， ， 又④___________， ， 点是线段的中点． 【答案】（1） 解：垂线如下： （2） 证明：四边形是正方形， ． ， （①垂线的定义）， 又， ②， 又， ， 在与中， ， ， ③， 为中点， ， 又④， ， 点是线段的中点． 【解析】 【分析】（1）根据作垂线的方法画图即可． （2）根据正方形的性质以及全等三角形的判定结合证明步骤完成证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 为了解、两款饮水机的用户体验情况，小淇随机调查了购买、两款饮水机的各名用户，记录下他们的体验评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（体验评分用表示，共分为三个等级：差评，中评，好评），下面给出了部分信息． 购买款饮水机的名用户体验评分：，，，，，，，，，． 购买款饮水机的名用户体验评分中“中评”等级包含的所有数据为：，，，，，． 购买两款饮水机的被调查用户体验评分统计表 类别 平均数 众数 中位数 方差 购买款饮水机的被调查用户体验评分 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_______，_______，_______； （2）根据以上数据，你认为哪款饮水机用户体验情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若购买款饮水机的用户有名，购买款饮水机的用户有名，估计对、两款饮水机好评的用户共有多少名？ 【答案】（1），， （2） 解：∵款体验评分的中位数为，大于款的中位数， ∴款一半以上用户的体验评分更高，款饮水机用户体验情况更好． （3）名 【解析】 【分析】（1）分别按照众数，中位数定义可求出、的值，求出款评分中“好评”的人数，即可求出的值； （2）比较、款评分的中位数即可得答案； （3）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：∵购买款饮水机的名用户体验评分中分出现次，次数最多， ∴购买款饮水机的名用户体验评分的众数是分，即， ∵购买款饮水机的名用户体验评分中“差评”的人数占， ∴“差评”的人数为（人）， ∴购买款饮水机的名用户体验评分从小到大排列的第和第位的数据为，， ∴购买款饮水机的名用户体验评分的中位数为，即， 购买款饮水机的名用户体验评分中“好评”的人数为（人）， ∴“好评”的人数占调查人数的， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：款名用户中“好评”的有人， ∴名用户中“好评”的人数为（人）， 款名用户中“好评”的有人， ∴名用户中“好评”的人数为（人）， ∴“好评”用户总数为（人）， 答：对、两款饮水机好评的用户共有名． 20. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分式的加减乘除运算法则和因式分解，化简即可，再根据特殊角的三角函数值，计算出，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 21. 列方程解应用题： 某校在商场购进两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了2500元，购买品牌篮球花费了2000元，且购买品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的2倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花30元． （1）问购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进两种品牌篮球共60个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了10%，品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买两种品牌篮球的总费用不超过3640元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？ 【答案】（1）购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元 （2）该校此次最多可购买20个B品牌篮球 【解析】 【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解； （2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买A品牌的篮球个，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解； 【小问1详解】 解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元， 则可得， 解得， 经检验，是原方程的解， （元）， 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元； 【小问2详解】 解：设该校可购买个B品牌篮球，则购买A品牌的篮球个， 则可得， 解得， 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球． 22. 如图，在中，．动点从点出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，同时点以相同的速度从点出发沿射线运动．设运动时间为秒，的面积为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，画出函数的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2） 解：按照描点、连线画出函数图像如下： 函数的性质：当时，y随x增大而增大；时，y随x的增大而减小． （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据题意，分和两种情况分别求出分段函数解析式，根据面积比得到； （2）按照描点、连点的步骤画出两个函数图像，然后再结合函数图像写出函数的一条性质写出即可； （3）根据两个函数图像的交点，先估计当时x的取值，再结合函数图像写出解集即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴； 如图：当点P在上，即时，，边上的高为， ∴，即； 如图：当点P在上，即时，，边上的高为， ∴，即； 综上； 如图：由题意可得：，过B作于D，则是和的高， ∴，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由函数图像可知：当时，或， ∴当时，或． 23. 如图，四边形是某小区步道，点A，B，C，D在同一平面内，点B在点A的南偏东方向，点D在点A的正东方向，点C在点B的正东方向，点A在点C的北偏西方向，且A、C两地相距300米．（参考数据： ， ， ） （1）求A、B两地的距离（结果保留根号）； （2）小昆从点B出发沿步行到终点A，同时小萱从点A出发，沿步行到终点D，小昆与小萱步行的速度之比为，当他们首次相距100米时，求此时小萱与点A的距离（结果保留整数）． 【答案】（1）米 （2）当他们首次相距100米时，此时小萱与点的距离约为米 【解析】 【分析】（1）过点作于点，解直角三角形即可求得，； （2）设他们首次相距100米时，小昆在点，小萱在点，过点作于点，分别求得，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， 依题意，（米）， ∴（米）， ∴（米）； 【小问2详解】 解：如图，设他们首次相距100米时，小昆在点，小萱在点，过点作于点， ∴米， ∵小昆与小萱步行的速度之比为， ∴， 设米，则米，米， 在中，， ∴米，米， ∴米， 在中，， ∴， 整理得，， 解得：（不是第一次相距100米，舍去）， ∴（米）， 答：当他们首次相距100米时，此时小萱与点的距离约为米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，过作交轴于点，线段在直线上移动且，当取得最大值时，求此时点的坐标及的周长的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点的对应点为点，平移后的新抛物线的对称轴上有一点，点为新抛物线上一动点，若，请直接写出点的坐标，并写出求的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或． 【解析】 【分析】（1）将代入得到关于a、c的二元一次方程组求解即可解答； （2）利用坐标与图形以及勾股定理可得，易得，如图：过D作于F，则，进而得到，即；再求出直线的函数解析式为， 设点，则，，，，易得 ；再根据二次函数的性质可确定点p的值，进而确定点P的坐标；如图：过P作，在上截取，此时四边形是平行四边形可得，则求出最小值即可；点是P向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的，即；如图：作点P关于直线的对称点，连接，，易得当共线时，有最小值，即的最小值为；再求出的坐标，最后运用两点间距离公式求出的长，进而求出的周长的最小值； （3）先说明将抛物线向右平移3个单位长度、向上平移3个单位长度得到新抛物线，即新抛物线；易得、；再说明，如图：过F作轴于L，则，易得；再分当点G在右侧和左侧两种情况作答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴分别交于， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图：过D作于F，则， ∴，即， ∴， 设直线的函数解析式为， 则，解得：， ∴直线的函数解析式为， 设点，则，， ∴，， ∴ ， ∴当时，最小，此时，； 要求的周长的最小值，即求的最小值，即求出的最小值， 如图：过P作，在上截取，此时四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值， ∵， ∴，即， 如图：过P作轴，过作轴， ∵， ∴， ∴， ∴点是P向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的，即； 如图：作点P关于直线的对称点，连接，， ∴， ∵， ∴当共线时，有最小值，即的最小值为， ∵点P与点关于直线对称， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． 【小问3详解】 解：∵， ∴，即， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴将抛物线向右平移3个单位长度、向上平移3个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线， ∴平移后的对称轴为，即 ∵点的对应点为点， ∴， 如图：过H作轴于I，则，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图：当点G在右侧时， ∵， ∴， ∴， 设，如图：过G作于K，则， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴； 如图：当点G在左侧时，如图：过H作对称轴的垂线交对称轴于J，则，在对称轴上取一点，使得，连接交新抛物线于， ∴，， ∴，即，解得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 则，解得：， ∴直线的函数解析式为， 联立，解得：或（不合题意舍弃）， ∴． 综上，点G的坐标为或． 25. 如图，在中，，为边上一点，连接． （1）如图1，若，过作交其延长线于点，，，求线段的长． （2）如图2，若，延长至点，连接使，连接，点为线段上一点，连接，取中点，连接，若，猜想与之间的数量关系，并证明． （3）如图3，若，，将绕点逆时针旋转得线段，连接，在直线上取一点，连接，当最小时，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2），证明如下： 如图，延长到点H，使，连接，，， ∴， ∵，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图，过点H作交延长线于点I， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴点A，C，B，E四点共圆， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求解； （2）如图，延长到点H，使，连接，，，证明出，得到，，然后证明四边形是平行四边形，过点H作交延长线于点I，再证明，得到，然后证明出点A，C，B，E四点共圆，得到，最后证明出是等边三角形，进而求解即可； （3）首先证明出，得到，点E在射线上运动，当时，的长度最小，过点B作交的延长线于点M，然后证明出，得到，，求出，得到点Q在以E为圆心，为半径的圆上运动，在上取点N，使，连接，，证明出，得到，，判断出当点Q在线段上时，取得最小值，即的长度，如图，过点C作于点J，过点Q作于点K，过点B作于点R，然后利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点C逆时针旋转到， ∴是等边三角形，， ∵将绕点逆时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E在射线上运动， ∴如图，当时，的长度最小， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点B作交的延长线于点M， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由折叠得，， ∴点Q在以E为圆心，为半径的圆上运动， 如图，在上取点N，使，连接，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点Q在线段上时，取得最小值，即的长度，如图，过点C作于点J，过点Q作于点K，过点B作于点R， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $