精品解析：2026年重庆市鲁能巴蜀中学校中考一模数学试卷

数学 一、选择题（本大题10个小题，每个小题4分，共40分） 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形内接于，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，且，．若的面积为9，则的面积为（ ） A. 9 B. 18 C. 24 D. 36 5. 按如图所示的规律图案，其中第①个图中有1个圆点，第②个图中有4个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有10个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（ ） A. 19 B. 22 C. 25 D. 28 6. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C为x轴上一点，连接AC，BC，若△ABC的面积为4，则k的值为（ ） A. 4 B. 8 C. -4 D. -8 7. 一个不透明的盒子中装有15个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其充分摇匀，从中随机摸出一个乒乓球，记录颜色后放回．通过大量重复试验后发现摸到黄球的频率稳定在左右，估计盒子中黄球的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形的边上有一点E，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，线段，分别与对角线交于点M，N．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式M：，其中n，为正整数，，，…，均为自然数，且．下列说法： ①当，时，M的最大值为8； ②满足条件的所有二次整式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有4个； ③满足条件的所有整式M的和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每个小题4分，共24分） 11. 重庆江北国际机场为4F级民用国际机场，是中国八大区域性枢纽机场之一，据统计，某年春运期间机场客流量达到6310000人次．数据6310000用科学记数法可表示为_____． 12. 若n为正整数，且满足，则n=_____． 13. 如图，，直线分别与，交于点E，F．若，则的度数为______． 14. 若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 15. 如图，是的直径，点C在⊙O上，连接AC，OC，交⊙O于点D，交⊙O于点E，CF是⊙O的切线，交ED的延长线于点F．若，，则CD的长度为______，EF的长度为_____． 16. 如果一个四位正整数的各数位上的数字均不为0且互不相等，满足千位数字与十位数字的和比个位数字的2倍小2，百位数字比十位数字大1，则称这个四位数为“丰收数”．例如：，因为，，所以2765是“丰收数”；又如，因为，所以5321不是“丰收数”．按照这个规定，最小的“丰收数”是______；一个“丰收数”，将其千位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记．若与d的和能被a与d的差整除，且是整数，则满足条件的M的最大值是_____． 三、解答题（本大题2个小题，每个小题8分，共16分） 17. 求不等式组的所有整数解． 18. 在学习了三角形和平行四边形的相关知识后，小明进行了更深入的研究，他发现分别过平行四边形的一组对角顶点向另一组对角顶点所连线段作垂线，两个垂足与这两个对角顶点构成的四边形为平行四边形．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中，是对角线，于点E．用尺规过点D作的垂线DF，交于点F，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，① ∴ ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ∴ ∴③ ∵ ∴④ ∴四边形是平行四边形． 四、解答题（本大题7个小题，每个小题10分，共70分） 19. 为普及口腔健康知识，学校开展了爱牙护齿知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为10分制且为整数，9分及以上为特别优秀）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩是：7，8，7，10，7，8，6，7，10，9，8，6，8，7，6，8，7，7，8，6． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 7 b 众数 a 8 特别优秀所占百分比 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表中的_____，______， ______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生爱牙护齿知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七年级有学生800人，八年级有学生860人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为特别优秀的学生人数共是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 重庆作为全国知名的文旅城市，火锅文化是其城市名片之一，某工厂精准把握文旅市场需求，生产甲、乙两种火锅底料．该工厂每天生产甲种火锅底料的数量比每天生产乙种火锅底料的数量多40袋，2天时间生产的甲种火锅底料的数量比3天时间生产的乙种火锅底料的数量多20袋． （1）求该厂每天生产的甲种、乙种火锅底料的数量分别是多少袋？ （2）由于两种火锅底料都深受游客喜欢，销量大增，为了满足市场需求，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产甲种火锅底料的数量较改进前每天生产的数量增加了袋，每天生产乙种火锅底料的数量较改进前每天生产的数量增加了a袋．若生产1400袋甲种火锅底料所需的时间比生产1200袋乙种火锅底料所需的时间少5天，求a的值． 22. 如图，点E为矩形的对角线的中点，，，动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动；同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，连接，．设运动时间为x秒，且，的面积为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 2026年春节，重庆园博园举办大型水上灯会，现场布置了多处特色灯组供游客参观游玩．如图，在同一平面内，是园博园正门，是巴渝灯组，位于的正东方向公里处，是光影灯组，位于的南偏东方向上，且位于的南偏东方向上，是水幕灯组，位于的正南方向上．（参考数据：，，） （1）求点与点之间的距离（结果保留小数点后两位）； （2）甲、乙两人同时从水幕灯组出发前往正门，甲的路线为：，乙的路线为：，甲、乙两人的速度之比为，若甲到时，乙离还有公里，求点与点之间的距离（结果保留根号）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，，，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，连接与交于点D，点E是y轴上一动点，连接，．记的面积为；的面积为，当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线CA方向平移得到抛物线，抛物线经过点A，且抛物线的对称轴与x轴交于点G，点N为抛物线上一动点，若 ，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，，点D、E分别在射线、上，连接，． （1）如图1，若点D、E分别在边、上，且，，求的度数（用含的代数式表示）． （2）如图2，若点D在边上，点E，M在的延长线上（点M在点E左侧），且，，连接，，求证：． （3）如图3，若，点D、E在射线、上，且，连接．当取得最小值时，在内取一点P，连接，，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接EQ.当，且四边形的面积取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（本大题10个小题，每个小题4分，共40分） 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则进行数的大小比较求解． 【详解】∵＞1， ∴-＜-1＜0＜1， 故选：A． 【点睛】本题考查实数的大小比较，解题关键在于掌握正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小． 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解： A、该图形沿着中间竖直直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，故该图形是轴对称图形； B、该图形无法找到沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，故该图形不是轴对称图形； C、该图形无法找到沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，故该图形不是轴对称图形； D、该图形无法找到沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，故该图形不是轴对称图形； 3. 如图，四边形内接于，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合圆周角定理得，又因为四边形内接于，故，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴． 4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，且，．若的面积为9，则的面积为（ ） A. 9 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】理解题意，易得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴． 5. 按如图所示的规律图案，其中第①个图中有1个圆点，第②个图中有4个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有10个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（ ） A. 19 B. 22 C. 25 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给图形和图形中圆点的个数，发现规律：第个图形中圆点的个数为，即可解决第⑧个图中圆点的个数． 【详解】解：第①个图形中圆点的个数为； 第②个图形中圆点的个数为； 第③个图形中圆点的个数为； 第④个图形中圆点的个数为； … 以此类推：第个图形中圆点的个数为； ∴第⑧个图中圆点的个数是． 6. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C为x轴上一点，连接AC，BC，若△ABC的面积为4，则k的值为（ ） A. 4 B. 8 C. -4 D. -8 【答案】D 【解析】 【分析】设点A（a，b），则OB=b，AB=-a，根据△ABC的而积为4，可得ab=-8，即可求解． 【详解】解：设点A（a，b），则OB=b，AB=-a， 根据题意得： ， ∴， ∴ab=-8， ∵点A是反比例函数图象上的一点， ∴k=ab=-8． 故选：D 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键． 7. 一个不透明的盒子中装有15个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其充分摇匀，从中随机摸出一个乒乓球，记录颜色后放回．通过大量重复试验后发现摸到黄球的频率稳定在左右，估计盒子中黄球的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】大量重复试验中，频率稳定后可用来估计概率，再结合概率公式计算即可得到盒子中黄球的估计个数 【详解】∵大量重复试验后摸到黄球的频率稳定在左右， ∴估计摸到黄球的概率是， ∵盒子中总共有15个乒乓球， ∴估计盒子中黄球的个数为（个）． 8. 某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】这道题考的是传播问题，将每一次的传播情况分析清楚，将初始人数和后两次的传播人数加起来就是最终的总人数． 【详解】解：初始会做这道题的人数为1人， ∵第一节课，原来会的1人教会 名同学，第一节课后会做的人数为人， ∵第二节课，所有会做的 人每人教会x名同学，第二节课新增会做的人数为， ∴全班会做的总人数为初始人数加上两节课新增的人数，列方程得: ． 9. 如图，在正方形的边上有一点E，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，线段，分别与对角线交于点M，N．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作交于点Q，过点M作交于点P，根据已知条件设，，则，证明，得出，，利用勾股定理，等腰直角三角形的性质，折叠的性质及正切的定义表示出相关线段的长度，最终可求得结果． 【详解】解：如图，过点E作交于点Q，过点M作交于点P， ∵， ∴， 设，，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，， ∵是正方形的对角线， ∴， 在中，， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∵沿直线翻折得到， ∴，即， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 10. 已知整式M：，其中n，为正整数，，，…，均为自然数，且．下列说法： ①当，时，M的最大值为8； ②满足条件的所有二次整式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有4个； ③满足条件的所有整式M的和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】结合整式的概念，根据给定条件分类讨论，逐个验证三个说法的正确性即可． 【详解】解：由题意，为正整数，可得可取，逐个验证： ①当时， ∵， ∴， 其中为正整数，为自然数， ， 时，，  最大为，此时，故①正确； ②当是二次整式时，， ∵， ∴， 为正整数，为自然数， 所有二次整式为：， 判断恒非负性：，，，共4个满足恒非负，剩余两个均存在使值为负，故②正确； ③计算所有整式的和：  时，所有整式和为；  时，所有整式和为；  时，所有整式和为；  时，仅整式； 相加得：，故③正确． 综上，三个说法都正确，正确个数为． 故选：D． 二、填空题（本大题6个小题，每个小题4分，共24分） 11. 重庆江北国际机场为4F级民用国际机场，是中国八大区域性枢纽机场之一，据统计，某年春运期间机场客流量达到6310000人次．数据6310000用科学记数法可表示为_____． 【答案】 【解析】 【详解】科学记数法的表示形式为，其中，为整数。对于数 ，确定 ，满足 ；原数的整数位数为，因此；因此． 12. 若n为正整数，且满足，则n=_____． 【答案】 4 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴． 13. 如图，，直线分别与，交于点E，F．若，则的度数为______． 【答案】45 【解析】 【分析】根据对顶角相等得到，根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：由图可知，， ∵， ∴． 14. 若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先理解题意，结合，得出，又因为，故，则，再进行分类讨论，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当时，则，整理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 当时， ∵， ∴ 则，此为矛盾，此种情况不成立，舍去． ∴的值为． 15. 如图，是的直径，点C在⊙O上，连接AC，OC，交⊙O于点D，交⊙O于点E，CF是⊙O的切线，交ED的延长线于点F．若，，则CD的长度为______，EF的长度为_____． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】利用直径所对圆周角为直角，结合三角函数与勾股定理求边长，借助三角形相似算出垂线段长，再由垂径定理求得．作辅助线构造直角，利用切线、平行线及角度等量关系，证得线段相等，设未知数结合勾股定理列方程求值，再利用圆周角等量转换，最后依托勾股定理求解． 【详解】解：， ． 是的直径， ． 在中， ， ． 由勾股定理可得， ． 设，垂足为， ，为直径， ． ，， ， ， ， ． 在中， ， ． 延长交于点． 是的切线 ， ， 连接． 是直径， ， ∴， ． ∵， ， ∵ ∴ ． ． ∴平分， ． 设． 在中 ． ∴． ， ． 在中， ， 即． 解得． ．， ， ． ， ∴， 连接， ∵为直径， 在中，， ∴， ∴， ∴， ． ， ， ． 在中， ， ． 由勾股定理得： 解得． 16. 如果一个四位正整数的各数位上的数字均不为0且互不相等，满足千位数字与十位数字的和比个位数字的2倍小2，百位数字比十位数字大1，则称这个四位数为“丰收数”．例如：，因为，，所以2765是“丰收数”；又如，因为，所以5321不是“丰收数”．按照这个规定，最小的“丰收数”是______；一个“丰收数”，将其千位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记．若与d的和能被a与d的差整除，且是整数，则满足条件的M的最大值是_____． 【答案】 ①. 1654 ②. 8326 【解析】 【分析】第一空要找到最小的“丰收数”，需要根据“丰收数”的定义，结合各数位上数字的取值范围和大小关系，逐步确定千位、百位、十位和个位上的数字； 第二空先根据“丰收数”的定义表示出M和，进而求出，再结合与d的和能被a与d的差整除，以及是整数等条件，确定满足条件的M的最大值． 【详解】解：因为“丰收数”是四位正整数且各数位上数字均不为0且互不相等，要使这个四位数最小，千位数字应尽可能小，所以千位上数字； 设十位数字为c，个位数字为d，由“千位数字与十位数字的和比个位数字的2倍小2”可得， 把代入得，即， 因为各数位上数字均不为0且互不相等，且c，d为整数，d最小取2， 此时，与千位数字重复，不符合要求； d取3时，，c与d相等，不符合要求； d取4时，，符合要求． 由“百位数字比十位数字大1”，十位数字，所以百位数字； 所以最小的“丰收数”是1654； ∵， ∴ ， 又∵， ∴， 则 ． 已知与d的和能被a与d的差整除，即为整数， 又为除数，且，， 由是整数， ∴能被4整除， ∴或， 当时，， 又千位数字，且各数位数字不为0、互不相等，所以a只能取1，此时，但，数字重复，不符合“各数位数字互不相等”的要求，因此时不存在符合条件的“丰收数”； 当时，，，， ∵， ∴， ∴， 当最大取9时，，，， 此时， ，，14不能被3整除，不符合题意； 当最大取8时，，，， 此时， ，，12能被2整除，符合题意； 此时, 所以满足条件的M的最大值是8326． 三、解答题（本大题2个小题，每个小题8分，共16分） 17. 求不等式组的所有整数解． 【答案】所有整数解为0，1，2 【解析】 【分析】先分别算出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后结合整数解的概念进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴由得； ∴由得； ∴不等式组的解集为， ∴该不等式组的所有整数解为0，1，2． 18. 在学习了三角形和平行四边形的相关知识后，小明进行了更深入的研究，他发现分别过平行四边形的一组对角顶点向另一组对角顶点所连线段作垂线，两个垂足与这两个对角顶点构成的四边形为平行四边形．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中，是对角线，于点E．用尺规过点D作的垂线DF，交于点F，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，① ∴ ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ∴ ∴③ ∵ ∴④ ∴四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）用尺规过点D作的垂线DF，交于点F，连接，即可； （2）证明，得到，然后由得到，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：如图，DF，，即为所求； 【小问2详解】 解：证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形． 四、解答题（本大题7个小题，每个小题10分，共70分） 19. 为普及口腔健康知识，学校开展了爱牙护齿知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为10分制且为整数，9分及以上为特别优秀）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩是：7，8，7，10，7，8，6，7，10，9，8，6，8，7，6，8，7，7，8，6． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 7 b 众数 a 8 特别优秀所占百分比 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表中的_____，______， ______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生爱牙护齿知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七年级有学生800人，八年级有学生860人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为特别优秀的学生人数共是多少？ 【答案】（1） （2）八年级学生爱牙护齿知识竞赛的成绩较好，理由见详解 （3）名 【解析】 【分析】（1）结合出现次数最多的分数是众数，先把数据从小到大排序后，位于中间位置的数为中位数，进行分析，即可作答． （2）在平均数相同的情况下，根据中位数，众数以及特别优秀所占百分比进行分析，即可作答． （3）运用样本估计总体列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：观察七年级20名学生的竞赛成绩，7分出现的次数最多， ∴众数； 观察八年级20名学生竞赛成绩，从小到大排序，中位数是排在第名和第名之间， 且第名的分数为7分，第名的分数为分， ∴中位数． 依题意，． 【小问2详解】 解：八年级学生爱牙护齿知识竞赛的成绩较好，理由如下： 由（1）得，， ∵， 即在相同的平均数下，八年级学生的成绩的中位数，众数以及特别优秀所占百分比都高于七年级学生的成绩． ∴八年级学生爱牙护齿知识竞赛的成绩较好． 【小问3详解】 解：依题意，（名）， 估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为特别优秀的学生人数共名． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先运算单项式乘多项式，多项式乘多项式，通分括号内，再运算除法，加减法，整理得原式，又因为，故计算得出，最后把代入计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 21. 列方程解下列问题： 重庆作为全国知名的文旅城市，火锅文化是其城市名片之一，某工厂精准把握文旅市场需求，生产甲、乙两种火锅底料．该工厂每天生产甲种火锅底料的数量比每天生产乙种火锅底料的数量多40袋，2天时间生产的甲种火锅底料的数量比3天时间生产的乙种火锅底料的数量多20袋． （1）求该厂每天生产的甲种、乙种火锅底料的数量分别是多少袋？ （2）由于两种火锅底料都深受游客喜欢，销量大增，为了满足市场需求，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产甲种火锅底料的数量较改进前每天生产的数量增加了袋，每天生产乙种火锅底料的数量较改进前每天生产的数量增加了a袋．若生产1400袋甲种火锅底料所需的时间比生产1200袋乙种火锅底料所需的时间少5天，求a的值． 【答案】（1）该厂每天生产甲种火锅底料100袋，乙种火锅底料60袋 （2）12 【解析】 【分析】（1）设每天生产乙种火锅底料的数量为未知数，根据题干给出的数量关系列一元一次方程即可求解； （2）根据改进后的日产量变化，结合时间差的关系，列出分式方程，求解并检验即可得到的值． 【小问1详解】 解：设该厂每天生产乙种火锅底料袋，则每天生产甲种火锅底料袋， 根据题意列方程得： 解得， 则， 答：该厂每天生产甲种火锅底料100袋，乙种火锅底料60袋； 【小问2详解】 解：由（1）可得该厂每天生产甲种火锅底料100袋，乙种火锅底料60袋； 改进后每天生产甲种火锅底料 袋，每天生产乙种火锅底料 袋， 根据题意列方程得：， 解得， 检验：当时， ， 因此是原方程的解． 22. 如图，点E为矩形的对角线的中点，，，动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动；同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，连接，．设运动时间为x秒，且，的面积为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）画图见解析，当时，随着x的增大而增大，当时随着x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）分和求出关于x的函数表达式，再根据题意求出关于x的函数表达式即可； （2）利用两点法画出函数图象，再根据函数图象写出函数的一条性质即可； （3）根据函数图象解答即可． 【小问1详解】 解∶作于M，于，于F， ． 四边形为矩形， ，，． ，，，． 点E为矩形的对角线的中点， ，． （秒） 当时， ； 当时， ． ， ． ，即． ． 【小问2详解】 解：函数，的图象如下： 由函数图象可知，当时，随着x的增大而增大，当时随着x的增大而减小；（答案不唯一） 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，x的取值范围． 23. 2026年春节，重庆园博园举办大型水上灯会，现场布置了多处特色灯组供游客参观游玩．如图，在同一平面内，是园博园正门，是巴渝灯组，位于的正东方向公里处，是光影灯组，位于的南偏东方向上，且位于的南偏东方向上，是水幕灯组，位于的正南方向上．（参考数据：，，） （1）求点与点之间的距离（结果保留小数点后两位）； （2）甲、乙两人同时从水幕灯组出发前往正门，甲的路线为：，乙的路线为：，甲、乙两人的速度之比为，若甲到时，乙离还有公里，求点与点之间的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）1.04公里 （2）公里 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，在中，解直角三角形得，在中，解直角三角形得，利用参考数据求近似值即可； （2）根据（1）解直角三角形得，，进而得，设公里，由题意推导得甲、乙两人的路程之比为，进而得，过点作于点，在中，解直角三角形得，，得，在中，根据勾股定理得，列出关于的方程，求解即可得点与点之间的距离． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 由题意得，，， ， 在中，，， 公里， 在中，， （公里）， 答：与点之间的距离约为1.04公里； 【小问2详解】 解：由（1）得， 在中，公里， 在中，，公里， （公里）， 设公里， 甲、乙两人的速度之比为， 甲、乙两人的路程之比为， 由题意得，甲的路程为：，乙的实际路程为：， ，解得， 如图，过点作于点， 由题意得，， 在中，， （公里），（公里）， ， 在中，，即， 解得（舍）， 答：点与点之间的距离为公里． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，，，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，连接与交于点D，点E是y轴上一动点，连接，．记的面积为；的面积为，当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线CA方向平移得到抛物线，抛物线经过点A，且抛物线的对称轴与x轴交于点G，点N为抛物线上一动点，若 ，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），的最小值为． （3）的坐标为：或，过程见解析． 【解析】 【分析】（1）求解，，，进一步求解解析式即可； （2）如图，过作轴交于，设，则，证明，可得，当时，取得最大值，，即当取得最大值时，点P的坐标为，如图，作于，，且为延长线上的点，作交于，交轴于，此时，此时值最小，再进一步求解即可； （3）求解平移后的抛物线为，抛物线的对称轴为直线，，延长交轴于，过作于，求解，可得，在轴上取点，且，延长交新抛物线于，同理取，连接并延长交新的抛物线于，此时符合题意，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即，即， 设抛物线为：， ∴， 解得：， ∴抛物线为： ． 【小问2详解】 解：如图，过作轴交于， ∵，， 设直线为，则， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴ ， ∵轴， ∴， ∴， ∵， 当时，取得最大值， ∴， 记的面积为；的面积为， ∴， ∴当取得最大值时，点P的坐标为， 如图，作于，，且为延长线上的点，作交于，交轴于， ∴， ， ∴ ， 此时，此时值最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：如图，将抛物线沿射线方向平移得到抛物线， ∴抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，抛物线经过点A， ∴平移后的抛物线为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 延长交轴于，过作于， ∵，， 同理可得：直线为， ∴， ∴ ， ∴， 而，则， ∴， ∵ ，当 时， ∴ ， ∴， 在轴上取点，且，延长交新抛物线于， ∴， ∴， 同理可得的解析式为：， 令， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 同理取，连接并延长交新的抛物线于， 此时符合题意， 同理可得：的解析式为：， 同理可得：， 综上：的坐标为：或． 25. 在中，，，点D、E分别在射线、上，连接，． （1）如图1，若点D、E分别在边、上，且，，求的度数（用含的代数式表示）． （2）如图2，若点D在边上，点E，M在的延长线上（点M在点E左侧），且，，连接，，求证：． （3）如图3，若，点D、E在射线、上，且，连接．当取得最小值时，在内取一点P，连接，，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接EQ.当，且四边形的面积取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，进而解题； （2）将线段绕点逆时针旋转至线段，连接、，过点作交于点，证明以及四边形为平行四边形，进而证明； （3）在延长线上取点，使，连接，过点作交于点，证明，得到，结合轴对称的性质找到其最小值，证明此时为等边三角形，根据旋转的性质证明，推出点的轨迹，将最小转化成求最大，过点作交于点， 结合计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，将线段绕点逆时针旋转至线段，连接、，过点作交于点， 则有，， ∴， ∴； 由（1）知为等边三角形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，； ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即且， ∴四边形为平行四边形， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在延长线上取点，使，连接，过点作交于点， ∵，， ∴，即； ∵， ∴，； 由（2）知，， 在和中， ∴， ∴， ∴， 即要使最小，如图（只研究），，，过点作，作点关于直线的对称点，连接， 则， 而，， ∴， ∴，当且仅当、、三点共线时取到最小值， 此时点在图中的点处，点在图中的点处； ∵点为中点，， ∴为的中位线， ∴点为的中点， ∴，， 即点的位置如下图所示： 其中，则，同理可得，即， ∴， ∵， ∴为等边三角形；在此图基础上找到线段，如下： 由旋转知，， ∴， ∵为定值，要使最小，则要最大； 由旋转知，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 设， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即为定值； 又也为定值， ∴点的轨迹是图中的，其中， ∴为等腰直角三角形， 由图可知当交于点时，点距离最远，即最大； ∵，， ∴，， 过点作交于点， 则，， ∴，， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $