第03讲 分式方程（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本初中数学讲义聚焦分式方程核心知识点，系统梳理分式方程的概念（区分整式与分式方程）、解法（去分母化整式方程、验根及增根原因）及应用（工程、行程等实际问题），构建从概念理解到解法掌握再到实际应用的学习支架。 资料通过典例与变式题结合，强化解分式方程步骤训练，培养运算能力与推理意识。实际应用题融入生活情境，如非遗年画制作、快递分拣等，助力学生用数学语言表达现实问题，发展模型意识与应用意识。课中辅助教师高效授课，课后便于学生回顾练习，查漏补缺。

第03讲 分式方程 考点1：分式方程的概念 考点2：分式方程的解法 考点3：分式方程的应用 重点：（1）掌握分式方程的解法步骤； （2）解分式方程必须检验； （3）列简单分式方程解决实际问题。 难点★：（1）理解分式方程产生增根的原因； （2）准确进行去分母运算，不漏乘常数项； （3）实际应用题找准等量关系，正确设数列方程。 1.理解分式方程的定义，能区分整式方程与分式方程； 2.掌握解分式方程的基本步骤，熟练会去分母化为整式方程； 3.牢记解分式方程必须检验，能正确识别增根并会列、解简单的分式方程实际应用题。 知识点1：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程。 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数。 （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）。 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程。 （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程。 【题型1 分式方程定义】 【典例1】下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 知识点2：解分式方程 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。 【题型2 解分式方程】 【典例2】解方程： (1) (2) 【变式1】解方程： (1)； (2)． 【变式2】解方程： (1) (2) 、 【变式3】解方程 (1)； (2)． 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 【典例3】若关于的分式方程有增根，则该分式方程的增根为__________． 【变式1】若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为_____． 【变式2】如果关于的方程无解，那么的值是_____． 【变式3】若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 知识点3：分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义；+ 1）检验所求的解是不是所列分式方程的解。 2）检验所求的解是否符合实际意义。 答：实际问题的答案。 与分式方程有关应用题的常见类型： 【题型4 分式方程应用－工程问题】 【典例4】夹江年画与绵竹年画、梁平年画并称“四川三大年画”，年被列入第二批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为迎接年马年新春，某年画工艺传承人计划制作幅骏马年画，由于工艺进一步改进，实际每天制作的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，求实际每天制作多少幅骏马年画？ 【变式1】某乡镇计划在规定时间内种植3000棵榕树，由于志愿者的加入，实际比原计划每天多种植，结果比原计划提前5天完成种植任务．求实际每天种植多少棵榕树． 【变式2】学校新购3600册图书平均分配给A，B两个图书馆，A，B两馆分别邀请6名和9名志愿者整理新购图书上架，若每位志愿者的工作效率相同，且B馆提前2小时完成任务．求平均每人每小时整理图书的册数． 【变式3】A，B两种机器都被用来加工同种螺丝钉，A型机器比B型机器每小时多加工20个，A型机器加工800个所用时间与B型机器加工600个所用时间相等，两种机器每小时分别加工多少螺丝钉？ 【题型5 分式方程应用－行程问题】 【典例5】据报道，徐州至连云港铁路的提速改造工程已于年月日全面开工建设，工程完成后，旅客列车的平均速度比现在提高千米时，运行时间将缩短分钟，徐州站到连云港之间的行程约为千米，那么提速后旅客列车的平均速度是多少？ 【变式1】甲、乙两城市相距120千米，甲城市急需物资，乙城市紧急支援一货车物资，已知货车行驶速度是原来速度的1.5倍，从乙城市到甲城市的时间缩短了半小时，求货车提速后的速度． 【变式2】天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度． 【变式3】随着羽毛球成为当下全民健身的新风尚，甲、乙两名同学约定周末到某体育公园打羽毛球．甲选择步行前往，他家到体育公园的距离为1100米；乙选择骑自行车前往，他家到体育公园的距离为2100米，乙骑自行车的速度是甲步行速度的3倍．若两人同时到达体育公园，则甲需比乙提前8分钟出发，求甲步行的速度和乙骑自行车的速度． 【题型6 分式方程应用－销售问题】 【典例6】某商店销售两款与马相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价． 【变式1】为响应校园劳动教育，学校采购一批劳动工具，第一次花费2000元购买若干套，第二次花费1920元购买同款工具，第二次每套价格比第一次上涨，购买数量比第一次少5套．求第一次购买劳动工具每套的价格． 【变式2】为办好2026跨年音乐节无人机表演，计划租赁一批A型、B型无人机．已知单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元，且用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同． (1)设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则用4800元租赁B型无人机的数量为 架（用含x的式子表示）； (2)求一架A型无人机和一架B型无人机的单场租赁费用分别是多少元？ 【变式3】026年3月14日至27日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．求每个A种挂件的价格； 【题型7 分式方程应用－其他问题】 【典例7】五一假期期间，智慧学习小组计划到云南省博物馆参观学习，该小组原计划花360元请讲解人员进行解说，后来临时增加3名同学，总讲解费增加了60元，但人均费用变为原来的．求该学习小组的实际参观人数． 【变式1】科技兴趣小组分别编制了甲、乙两款人工智能软件． (1)用甲软件解5个同等难度方程的时间与用乙软件解2个同等难度方程的时间之和为90秒，用甲软件解3个同等难度方程的时间与用乙软件解4个同等难度方程的时间之和为96秒．求甲、乙两款软件解一个同等难度方程所用的时间各是多少秒？ (2)科技小组对甲款软轨件进行了算法优化，优化后的软件解同一个方程所用时间为优化前的，用时96秒时，优化后的软件所解方程的个数比优化前的软件多2个，求甲软件优化前与优化后解一个同等难度方程所用的时间分别是多少秒？ 【变式2】七（3）班开展“诵读经典，点亮人生”读书活动，小智和小慧读了同一本480页的名著．根据下面两个人的对话，求小慧每天读这本名著的页数． 小智：我每天读的页数是你每天读的页数的倍． 小慧：我读完这本书比你多用了4天． 【变式3】随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时．求人工每人每小时分拣多少件？ 1．下列方程不是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．分式方程的解为（     ） A． B． C． D． 3．植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式．得到一个一元一次方程，这个整式是（    ） A．x B． C． D． 5．若方程有增根，则增根为（   ）． A． B．1 C．2 D．﹣2 6．关于x的分式方程的解为，则m的值为（   ） A． B．2 C． D．1 7．方程的解是__________． 8．某工厂计划生产产品，如果每天比原计划多生产，可提前2天完成．设原计划每天生产产品，则可列方程为______． 9．题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知★，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．“★部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是______．    10．解分式方程： (1)． (2)． 11．为贯彻落实习近平总书记关于生态保护和高质量发展的重要讲话精神，龙马潭区某学校组织初一、初二两个年级学生开展植树造林活动.已知初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵.求初二年级平均每小时植树多少棵？ 12．核酸检测时需要先采集样本，采集样本结束后，再统一把样本送检测中心检验，且采集的样本和送达的样本的时间必须在小时内完成，超过小时送达，样本就会失效．已知、两个采样点到检测中心的路程分别为、，经过了解获得、两个采样点的送检车有如下信息： 信息一：采样点送检车的平均速度是采样点送检车的平均速度倍； 信息二：、两个采样点送检车行驶的时间之和为小时． 若采样点完成采集样本的时间小时，判断样本送达检测中心后会不会失效？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 分式方程 考点1：分式方程的概念 考点2：分式方程的解法 考点3：分式方程的应用 重点：（1）掌握分式方程的解法步骤； （2）解分式方程必须检验； （3）列简单分式方程解决实际问题。 难点★：（1）理解分式方程产生增根的原因； （2）准确进行去分母运算，不漏乘常数项； （3）实际应用题找准等量关系，正确设数列方程。 1.理解分式方程的定义，能区分整式方程与分式方程； 2.掌握解分式方程的基本步骤，熟练会去分母化为整式方程； 3.牢记解分式方程必须检验，能正确识别增根并会列、解简单的分式方程实际应用题。 知识点1：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程。 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数。 （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）。 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程。 （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程。 【题型1 分式方程定义】 【典例1】下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、不含有分式，不是分式方程，不符合题意； B、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； C、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； D、分母中含有x，是关于x的分式方程，符合题意． 故选：D． 【变式1】下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． 【详解】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意； 选项C，是分式方程，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 【变式2】下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A，B，D选项中的方程，分母中不含未知数，所以不是分式方程，故不符合题意； C选项方程中的分母中含未知数，是分式方程，故符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键． 【变式3】有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可． 【详解】解：①是分式方程，符合题意；②是分式方程，符合题意；③是整式方程，不符合题意；④是整式方程，不符合题意． 其中是分式方程的是①②， 故选：B． 知识点2：解分式方程 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。 【题型2 解分式方程】 【典例2】解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解； (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 经检验，当时， ∴原分式方程无解； （2）解：， ， ， ， ， 经检验，当时， ∴是分式方程的解． 【变式1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题为分式方程求解问题，解题思路是先分解分母确定最简公分母，去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后对所得根进行检验，若根使原方程分母为0则为增根，原方程无解，否则为原方程的根． 【详解】（1）解： 方程两边同乘最简公分母，得 解得 检验：当时，，因此是原方程的解． （2）解：原方程变形为 方程两边同乘最简公分母，得 展开得 移项合并得 解得 检验：当时，，因此是增根，原方程无解． 【变式2】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母得， 去括号得， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：去分母得， 去括号得， 解得， 经检验，是原方程的解． 【变式3】解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)分式方程无解 【分析】（1）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 检验，当时，， ∴分式方程的解为； （2）解：将方程整理可得：， 去分母可得：， 去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 检验，当时，， ∴分式方程无解． 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 【典例3】若关于的分式方程有增根，则该分式方程的增根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程的增根是使分母为零的根，且能使去分母后的整式方程成立是解题的关键． 分式方程的增根是使公分母为零的根，公分母为 ，因此可能增根为 或 ，代入整式方程检验， 时方程不成立， 时方程成立当 ，因此增根为 ． 【详解】解：原方程为 公分母为 ，两边乘公分母得整式方程 增根为使公分母为零的 值，即 或 当 时，代入整式方程得 ，即 ，不成立； 当 时，代入整式方程得 ，即 ，解得 ， 此时整式方程有解 ，但 使原方程分母为零，故为增根 因此该分式方程的增根为 ． 故答案为： ． 【变式1】若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为_____． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，首先将分式方程化为整式方程，求解得到x关于m的表达式，然后根据解为正数且分母不为零的条件列出不等式，求解m的取值范围． 【详解】解： 两边同乘得， 解得， ∵原方程的解为正数， ∴ 解得． 又∵分母不为0， ∴，即， ∴ 综上，且． 故答案为：且． 【变式2】如果关于的方程无解，那么的值是_____． 【答案】1 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，分式方程无解的可能情况是整式方程无解或整式方程的解为增根．本题中整式方程恒有解，因此只需令解为增根即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 整理可得：， ∴， ∴， 当时，原方程无解， 故， 解得：， 故答案为：． 【变式3】若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是根据分式方程解的情况求值，解题关键是熟练掌握解分式方程． 先解分式方程，再根据分式方程解为负数即可得解． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， 该分式方程有解，且解为负数， ，， ，， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 知识点3：分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义；+ 1）检验所求的解是不是所列分式方程的解。 2）检验所求的解是否符合实际意义。 答：实际问题的答案。 与分式方程有关应用题的常见类型： 【题型4 分式方程应用－工程问题】 【典例4】夹江年画与绵竹年画、梁平年画并称“四川三大年画”，年被列入第二批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为迎接年马年新春，某年画工艺传承人计划制作幅骏马年画，由于工艺进一步改进，实际每天制作的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，求实际每天制作多少幅骏马年画？ 【答案】实际每天制作幅骏马年画 【分析】设原计划每天制作幅骏马年画，则实际每天制作幅骏马年画，根据题意列出分式方程，据此求解即可． 【详解】解：设原计划每天制作幅骏马年画，则实际每天制作幅骏马年画， 由题可知，， 解得， 实际每天制作幅骏马年画， 答：实际每天制作幅骏马年画． 【变式1】某乡镇计划在规定时间内种植3000棵榕树，由于志愿者的加入，实际比原计划每天多种植，结果比原计划提前5天完成种植任务．求实际每天种植多少棵榕树． 【答案】300棵 【分析】设原计划每天种植x棵榕树，则实际每天种植棵榕树，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前5天完成任务，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设原计划每天种植棵榕树，则实际每天种植棵榕树， 根据题意，得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：实际每天种植300棵榕树． 【变式2】学校新购3600册图书平均分配给A，B两个图书馆，A，B两馆分别邀请6名和9名志愿者整理新购图书上架，若每位志愿者的工作效率相同，且B馆提前2小时完成任务．求平均每人每小时整理图书的册数． 【答案】50册 【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 设平均每人每小时整理图书x册，则A，B两馆每小时分别整理图书，册，再根据B馆提前2小时完成任务列出方程求解． 【详解】解：设平均每人每小时整理图书x册， 由题意得， 解得， 经检验是原方程的解，符合题意， 答：平均每人每小时整理图书50册． 【变式3】A，B两种机器都被用来加工同种螺丝钉，A型机器比B型机器每小时多加工20个，A型机器加工800个所用时间与B型机器加工600个所用时间相等，两种机器每小时分别加工多少螺丝钉？ 【答案】型机器每小时加工个螺丝钉，型机器每小时加工个螺丝钉 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设型机器每小时加工个螺丝钉，则型机器每小时加工个螺丝钉，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合型机器加工个所用时间与型机器加工个所用时间相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设型机器每小时加工个螺丝钉，则型机器每小时加工个螺丝钉． 依题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则． 答：型机器每小时加工个螺丝钉，型机器每小时加工个螺丝钉． 【题型5 分式方程应用－行程问题】 【典例5】据报道，徐州至连云港铁路的提速改造工程已于年月日全面开工建设，工程完成后，旅客列车的平均速度比现在提高千米时，运行时间将缩短分钟，徐州站到连云港之间的行程约为千米，那么提速后旅客列车的平均速度是多少？ 【答案】提速后旅客列车的平均速度是150千米/时． 【分析】设提速后旅客列车的平均速度是千米时，根据运行时间将缩短分钟再建立方程求解即可． 【详解】解：设提速后旅客列车的平均速度是千米时， ∴， 解得：，， 经检验：不符合题意，舍去， 答：提速后旅客列车的平均速度是150千米/时． 【变式1】甲、乙两城市相距120千米，甲城市急需物资，乙城市紧急支援一货车物资，已知货车行驶速度是原来速度的1.5倍，从乙城市到甲城市的时间缩短了半小时，求货车提速后的速度． 【答案】120千米/时 【分析】设货车原来的速度为x千米/时，根据题意列分式方程，然后解方程即可解答． 【详解】解：设货车原来的速度为x千米/时，则提速后的速度是千米/时． 根据题意，得 解得 经检验，是原方程的解， （千米/时）， 答：货车提速后的速度为120千米/时． 【变式2】天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度． 【答案】15千米/时 【分析】设骑车同学的速度为x千米/小时，根据“乘汽车时间+20分钟=骑自行车时间”列方程，解方程即可求解﹒此题注意单位要统一﹒ 【详解】解：设骑车同学的速度为x千米/小时﹒ 由题意得﹒ 方程两边同乘以得， 解得， 经检验是原分式方程的解﹒ 答：骑车同学的速度为15千米/时﹒ 【变式3】随着羽毛球成为当下全民健身的新风尚，甲、乙两名同学约定周末到某体育公园打羽毛球．甲选择步行前往，他家到体育公园的距离为1100米；乙选择骑自行车前往，他家到体育公园的距离为2100米，乙骑自行车的速度是甲步行速度的3倍．若两人同时到达体育公园，则甲需比乙提前8分钟出发，求甲步行的速度和乙骑自行车的速度． 【答案】甲步行的速度为50米/分钟，乙骑自行车的速度为150米/分钟 【分析】本题主要考查了分式方程在行程问题中的应用，熟练掌握根据时间差建立方程并检验解的合理性是解题的关键．设甲步行的速度为米/分钟，则乙骑自行车的速度为米/分钟．根据甲比乙提前8分钟出发且同时到达的时间差，列出分式方程求解即可． 【详解】解：设甲步行的速度为米/分钟，则乙骑自行车的速度为米/分钟． ， ， ， ， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：甲步行的速度为米/分钟，乙骑自行车的速度为米/分钟． 【题型6 分式方程应用－销售问题】 【典例6】某商店销售两款与马相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价． 【答案】A款吉祥物单价为40元，B款吉祥物单价为20元． 【分析】根据“顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同”列分式方程求解即可． 【详解】解：设B款吉祥物的单价为元，则A款吉祥物的单价为元， 根据题意列方程得， 解得， 检验∶当时，， 所以是原分式方程的解， 则， 答∶A款吉祥物单价为40元，B款吉祥物单价为20元． 【变式1】为响应校园劳动教育，学校采购一批劳动工具，第一次花费2000元购买若干套，第二次花费1920元购买同款工具，第二次每套价格比第一次上涨，购买数量比第一次少5套．求第一次购买劳动工具每套的价格． 【答案】第一次每套价格为80元． 【分析】设第一次每套价格为x元，根据题意列出分式方程，据此求解即可． 【详解】解：设第一次每套价格为x元， 由题意得， 解得：， 检验：是原方程的解且符合题意， 答：第一次每套价格为80元． 【变式2】为办好2026跨年音乐节无人机表演，计划租赁一批A型、B型无人机．已知单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元，且用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同． (1)设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则用4800元租赁B型无人机的数量为 架（用含x的式子表示）； (2)求一架A型无人机和一架B型无人机的单场租赁费用分别是多少元？ 【答案】(1) (2)一架A型无人机单场租赁费用为240元，一架B型无人机单场租赁费用为160元 【分析】（1）先表示出一架B型无人机的单价，再用总金额除以单价等于数量表示即可； （2）根据题意列出分式方程，求出解，并检验得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知租赁一架B型无人机元， ∴用4800元租赁B型无人机的数量为架； （2）解：根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴， 所以一架A型无人机单场租赁费用为240元，一架B型无人机单场租赁费用为160元． 【变式3】026年3月14日至27日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．求每个A种挂件的价格； 【答案】每个A种挂件的价格为25元 【分析】设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元，然后根据“用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个”列出方程，进而求解即可． 【详解】解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元，由题意得： ， 解得； 经检验：是原方程的解， 答：每个A种挂件的价格为25元． 【题型7 分式方程应用－其他问题】 【典例7】五一假期期间，智慧学习小组计划到云南省博物馆参观学习，该小组原计划花360元请讲解人员进行解说，后来临时增加3名同学，总讲解费增加了60元，但人均费用变为原来的．求该学习小组的实际参观人数． 【答案】15人． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设该学习小组的实际参观人数为x人，则原计划参观人数为人，利用人均费用总费用人数，结合实际人均费用变为原来的，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设该学习小组的实际参观人数为x人，则原计划参观人数为人， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该学习小组的实际参观人数为15人． 【变式1】科技兴趣小组分别编制了甲、乙两款人工智能软件． (1)用甲软件解5个同等难度方程的时间与用乙软件解2个同等难度方程的时间之和为90秒，用甲软件解3个同等难度方程的时间与用乙软件解4个同等难度方程的时间之和为96秒．求甲、乙两款软件解一个同等难度方程所用的时间各是多少秒？ (2)科技小组对甲款软轨件进行了算法优化，优化后的软件解同一个方程所用时间为优化前的，用时96秒时，优化后的软件所解方程的个数比优化前的软件多2个，求甲软件优化前与优化后解一个同等难度方程所用的时间分别是多少秒？ 【答案】(1)甲软件解一个方程用12秒，乙软件用15秒 (2)甲软件优化前解一个方程用12秒，优化后用秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用． （1）设甲软件解一个方程所用时间为x秒，乙软件解一个方程所用时间为y秒，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设甲软件优化前解一个方程所用时间为t秒，则优化后所用时间为秒，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲软件解一个方程所用时间为x秒，乙软件解一个方程所用时间为y秒， 根据题意，得 解得， 所以甲软件解一个方程用12秒，乙软件用15秒； （2）解：设甲软件优化前解一个方程所用时间为t秒，则优化后所用时间为秒， 在96秒内，优化前软件解方程个数为，优化后为 根据题意，得， 所以 即 解得 检验：是原分式方程的解， 所以优化前用12秒，优化后用秒． 【变式2】七（3）班开展“诵读经典，点亮人生”读书活动，小智和小慧读了同一本480页的名著．根据下面两个人的对话，求小慧每天读这本名著的页数． 小智：我每天读的页数是你每天读的页数的倍． 小慧：我读完这本书比你多用了4天． 【答案】小慧每天读这本名著20页 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设小慧每天读这本名著页，则小智每天读这本名著页，根据小慧读完这本书比小智多用了4天列方程，解方程求出的值，再进行检验即可得． 【详解】解：设小慧每天读这本名著页，则小智每天读这本名著页， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 答：小慧每天读这本名著20页． 【变式3】随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时．求人工每人每小时分拣多少件？ 【答案】人工每人每小时分拣60件快件． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是掌握正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程求解． 设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件， 依题意列方程：． 解得：， 经检验是原方程的解且有实际意义 所以原方程的解为 答：人工每人每小时分拣60件快件． 1．下列方程不是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解答本题的关键，分母中含有未知数的方程叫做分式方程．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A、方程分母中含未知数x，故A是分式方程； B、方程分母中含未知数x，故B是分式方程； C、方程分母中不含未知数，故C不是分式方程； D、方程分母中含未知数x，故D是分式方程； 故选：C． 2．分式方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根． 先去分母，然后转化为一元一次方程求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：为原分式方程的根， 故选：B． 3．植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是列分式方程．甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植棵树，甲班植70棵树所用的时间与乙班植50棵树所用的时间相等，可列方程，即可判断出错误的选项． 【详解】解：设甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植棵树， 根据题意，可如甲、乙两班植树时间相同，可列方程， 故选：A． 4．解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式．得到一个一元一次方程，这个整式是（    ） A．x B． C． D． 【答案】D 【分析】确定各分式的最简公分母，两边同时乘以最简公分母即可． 【详解】解：将两边同时乘以即可得到一个一元一次方程， 故选：D． 【点睛】本题考查解分式方程的步骤——化为整式方程，解题的关键是找到最简公分母． 5．若方程有增根，则增根为（   ）． A． B．1 C．2 D．﹣2 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的增根，解答本题的关键在于掌握分式方程增根的概念，使得分式方程的最简公分母为0的根即为方程的增根． 【详解】解：∵分式方程有增根，则 ∴， ∴分式方程的增根为：2． 故选：C． 6．关于x的分式方程的解为，则m的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：将代入中， 得， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的意义是解题的关键． 7．方程的解是__________． 【答案】1 【分析】本题为分式方程求解问题，解题思路为将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解一元一次方程后检验，得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时， ， 所以是原分式方程的解． 8．某工厂计划生产产品，如果每天比原计划多生产，可提前2天完成．设原计划每天生产产品，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，先根据题意得到现在计划每天生产产品，再根据提前2天完成列分式方程即可． 【详解】解：设原计划每天生产产品，则现在计划每天生产产品， 根据题意，得， 故答案为：． 9．题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知★，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．“★部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是______．    【答案】乙每小时比甲多做6个中国结 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设甲每小时做x个，乙每小时做个，根据甲乙的工作时间，可列方程． 【详解】解：被墨迹弄污的条件应是乙每小时比甲多做6个， 故答案为：乙每小时比甲多做6个中国结． 10．解分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤. （1）先去分母转化为整式方程，解出x的值，再检验即可. （2）先去分母转化为整式方程，解出x的值，再检验即可. 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得， 解得． 经检验，当时，． 故原分式方程无解． （2）解：方程的两边同乘， 得． 整理，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解． 故原分式方程的解为． 11．为贯彻落实习近平总书记关于生态保护和高质量发展的重要讲话精神，龙马潭区某学校组织初一、初二两个年级学生开展植树造林活动.已知初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵.求初二年级平均每小时植树多少棵？ 【答案】初二年级平均每小时植树200棵 【分析】本题考查分式方程解决应用问题，解题的关键是找到等量关系式．根据初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同，列式求解即可得到答案． 【详解】解：设初二年级平均每小时植树棵，则初一年级平均每小时植树棵， 根据题意，列方程得：， 解得：（棵）， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 答：初二年级平均每小时植树200棵． 12．核酸检测时需要先采集样本，采集样本结束后，再统一把样本送检测中心检验，且采集的样本和送达的样本的时间必须在小时内完成，超过小时送达，样本就会失效．已知、两个采样点到检测中心的路程分别为、，经过了解获得、两个采样点的送检车有如下信息： 信息一：采样点送检车的平均速度是采样点送检车的平均速度倍； 信息二：、两个采样点送检车行驶的时间之和为小时． 若采样点完成采集样本的时间小时，判断样本送达检测中心后会不会失效？ 【答案】采样点采集的样本不会失效 【分析】根据采样点送检车的平均速度是采样点送检车的平均速度倍，设采样点送检车的平均速度是，则采样点送检车的平均速度为，根据、两个采样点送检车行驶的时间之和为小时，由此可算出采样点送检车的平均速度，采样点送检车的平均速度，最后根据路程与速度关系算出时间，由此即可求解． 【详解】解：设采样点送检车的平均速度是，则采样点送检车的平均速度为， 依题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，即采样点送检车的平均速度是，采样点送检车的平均速度为， ∴采样点送检车的行驶时间为． ∵， ∴采样点采集的样本不会失效． 【点睛】本题主要考查路程问题，理解采样点送检车的平均速度与采样点送检车的平均速度，、两个采样点送检车行驶的时间关系，求出各自的速度和时间是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $