第01讲 分式及其基本性质（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本讲义聚焦分式及其基本性质核心知识点，系统梳理分式的定义、有意义及值为0的条件，逐步过渡到分式基本性质、最简分式与约分，构建从概念理解到性质应用再到运算化简的学习支架。 资料通过典例与变式题结合的题型设计，如分式定义辨析、值为0条件判断等，培养学生抽象能力与推理意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过针对性练习查漏补缺，强化知识应用。

第01讲 分式及其基本性质 考点1：分式的相关概念 考点2：分式的基本性质 考点3：最简分式﹑分式约分 重点：（1）理解分式的概念； （2）掌握分式有意义、值为零的条件； （3）分式的基本性质及简单应用。 难点★：（1）分式值为0时分子为0且分母不为0的双重条件； （2） 运用分式基本性质时不漏看隐含限制条件。 1. 了解分式概念，能区分整式与分式； 2.掌握分式有意义、值为0的条件； 3.理解并会用分式的基本性质做简单变形。 知识点1：分式的相关概念 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子分式。其中A叫作分子，B叫作分母。 1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2.分式有意义的条件：B≠0； 3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 【题型1 分式的定义】 【典例1】下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的定义判断选项即可，需注意是常数，不是表示未知数的字母． 【详解】解：A、是整式，A不符合要求． B、的分母含有字母，符合分式定义，B符合要求． C、的分母是常数，属于整式，C不符合要求． D、中是常数，分母不含字母，属于整式，D不符合要求． 【变式1】下列式子中是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的定义，对于两个整式A、B，其中B中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：A、的分母不含字母，不是分式，故该选项不符合题意； B、的分母不含字母，不是分式，故该选项不符合题意； C、的分母不含字母，不是分式，故该选项不符合题意； D、的分母含字母，是分式，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】下式子，，，，中，分式有_________个 【答案】3 【分析】根据分母中是否含有字母为标准判断即可． 【详解】∵ ，中，分母不含字母， ∴不是分式； ∵中，分母中含有字母a,b， ∴是分式； ∵中，分母中含有字母y， ∴是分式； ∵中，分母中含有字母x， ∴是分式； 共有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式的识别，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 【变式3】下请任意写出一个分式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母，据此即可作答． 【详解】解：依题意，任意写出一个分式：， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型2 分式有意义的条件】 【典例2】若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不为零，列出不等式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， 分母， 解得． 【变式1】下若分式有意义，则的取值范围是_____________． 【答案】 【详解】解：∵分式有意义， ∴ 解得：． 【变式2】下若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，关键点是分母不能为零． 分式有意义的条件是分母不为零，因此需使分母 ，求解即可． 【详解】解：∵分式 有意义， ∴分母 ， 即 ， ∴． 故选：A． 【变式3】下无论取什么值时，下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零，据此逐项判断即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、当 时，分母，此时分式无意义， ∴该分式不一定有意义，该选项不合题意； 、∵分母为 ， ∴该分式一定有意义，该选项符合题意； 、当 时，分母，此时分式无意义， ∴该分式不一定有意义，该选项不合题意； 、当 时，分母，此时分式无意义， ∴该分式不一定有意义，该选项不合题意； 故选：． 【题型3 分式值为零的条件】 【典例3】使分式等于0的x的值为（   ） A．1 B．0 C． D．不存在 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为零的条件，要使分式的值为0，需满足分子为0且分母不为0这两个条件，据此分别分析分子和分母，进而确定x的值． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵当时，分母， ∴满足条件， 故选：A． 【变式1】下若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为0的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式的值为0需分子为0且分母不为0． 【详解】解：∵ 分式值为0， ∴ 分子 且分母 . 解 得 . 当 时，分母 ，分式无意义； 当 时，分母 ，分式有意义. ∴ . 故选：C． 【变式2】下要使分式的值为0，则与应满足的条件是________． 【答案】且 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 【变式3】下若分式的值为0，则x的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件为分子为零、分母不为零是解题的关键．根据分式为零的条件进行计算即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 故答案为：． 知识点2：分式的基本性质 1.分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫作分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）。 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式。其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件。 （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化。例如：，在变形后，字母的取值范围变大了。 2.对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数。 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数。分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用。 【题型4 判断分式变形是否正确】 【典例4】下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是关键．分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质判断即可． 【详解】解：选项A，，A错误，不符合题意； 选项B，，符合分式的基本性质，B正确，符合题意； 选项C，的分子为，不能直接约分为，C错误，不符合题意； 选项D，分子分母同时加2，不符合分式的基本性质，D错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1】下下列式子从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的化简和变形规则是解题关键． 根据分式的基本性质，逐一判断各选项的变形是否正确． 【详解】解：A．，∴A错误； B．，∴B正确； C．，∴C错误； D．不能约分为，因为，∴D错误． 故选：B． 【变式2】下下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，分式的化简等知识，逐项计算验证，A、B、C均不成立，D选项化简后成立． 【详解】解：A：∵，， ∴ ，而， ∴，A错误． B：∵， ∴，而， ∴，B错误． C：左边分式分子分母同乘10，得 ，右边为， ∵分母不同， ∴除非，否则不相等，C错误． D：， ∵左边右边， ∴D正确． 故选：D． 【变式3】下不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①___________；②___________； ③___________；④___________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的三个符号（分子，分母，分式本身）任意改变其中两个不改变分式的值进行变形即可. 【详解】解：①； ②； ③； ④． 故答案为： ，，， 【题型5 分式的性质】 【典例5】如果把分式中和的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，先将a和b都扩大2倍代入分式，再根据分式的基本性质进行化简，最后与原分式进行比较即可． 【详解】解：∵a和b都扩大2倍， ∴， ∴分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 【变式1】下如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大9倍 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分子和分母同时扩大相同的倍数（非零），分式的值不变是解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵原分式为，当和都扩大3倍时，新分式为 ， ∴分式的值不变． 故选C． 【变式2】下已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，掌握分式的性质是解题关键．将分式中的和同时扩大2倍后，新分式是原分式的2倍，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 则新分式为， 故答案为：． 【变式3】下如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值为，则原分式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，用代替分式中的即可运算求解，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∴， 即原分式的值为， 故答案为：． 知识点3：最简分式﹑分式约分 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫作分式的约分。如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫作最简分式 【题型6 最简分式】 【典例6】下列各项是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简分式的定义，解题的关键是判断分子分母是否有公因式． 最简分式是指分子和分母没有公因式的分式,通过检查每个选项是否可约分，即可判断． 【详解】解：选项A：，分子4和分母有公因数4，可约分为，不是最简分式； 选项B：，分子和分母有公因式b，可约分为，不是最简分式； 选项C：，分子y和分母没有公因式，是最简分式。 选项D：， ，与分子有公因式，可约分为，不是最简分式； 故选：C． 【变式1】下下列分式中是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式．通过检查各选项分子和分母的公因式情况即可判断． 【详解】A．，故不是最简分式； B．，分子与分母无公因式（平方和不能因式分解），故是最简分式； C．，故不是最简分式； D．，故不是最简分式． 故选：B． 【变式2】下把下列分式化为最简分式： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的约分，以及化为最简分式； （1）约去分子分母的公因式即可； （2）约去分子分母的公因式即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：． （2）； 故答案为：． 【变式3】下琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是___________． 【答案】 【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ∴， 故答案为：． 【题型7 约分】 【典例7】约分：______；______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的约分， 先确定分子和分母的公因式，再约去公因式即可. 【详解】解：； . 故答案为：. 【变式1】约分： （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式． （1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：；． 【变式2】化简：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式化简，根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】约分：______． 【答案】 【分析】本题主要考查约分，解题的关键是掌握约分的概念．先将分式的分子与分母分别进行分解因式，再约去公因式即可． 【详解】解：， 故答案为： 【题型8 分式求值】 【典例8】若，则的值______． 【答案】 【分析】由条件可知，将代入所求分式计算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式1】下已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】将所求代数式拆分变形，再把已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 【变式2】下已知，则__________． 【答案】 【分析】对已知等式利用等式的基本性质变形，整理得到所求分式的值． 【详解】解：， ， ， ． 【变式3】下已知，则分式的值为______． 【答案】 【分析】先根据已知等式得到a与b的数量关系，再通过代入消元将分式转化为只含单一字母的式子，最后依据分式的基本性质约分求值． 【详解】解：∵ ∴，且（若，则，与矛盾） 将代入，得 故答案为：． 1．要使分式有意义，x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0），求解的取值范围． 【详解】解：分式有意义， 分式的分母不能为，可得， 解得． 2．下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，需依据“形如（A、B为整式，且B中含有字母）的式子是分式”这一概念判断各选项 【详解】∵分式的定义是形如（A、B是整式，且B中含有字母）的式子， ∴对各选项逐一分析： A选项的分母是常数5，不含字母，属于整式，不是分式； B选项的分母是含有字母x的整式，符合分式定义，是分式； C选项的分母是常数2，是常数，属于整式，不是分式； D选项是多项式，属于整式，不是分式， 故选：B 3．将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质，找出分子分母的公因式，约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 4．下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，判断每个分式是否还能约分，分子与分母没有公因式的即为最简分式． 【详解】解：A项：，不是最简分式，不符合题意； B项：，不是最简分式，不符合题意； C项：，不是最简分式，不符合题意； D项：是最简分式，符合题意． 故选：D． 5．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，根据已知条件可设，，代入到化简后直接得出结果. 【详解】解：∵， ∴设，， ∴. 故选：A 6．如果把分式中的和都扩大为原来的10倍，那么分式的值（    ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不变 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的基本性质，把分式中的x和y都扩大为原来的倍，求出比值，然后与之前分式的值对比，即可得出答案． 【详解】解：分式中的x和y都扩大为原来的倍，形成的新分式为： ， 即分式的值不变． 故选：D． 7．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可. 【详解】解：． 故选：C 8．下列分式变形正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质．熟悉分式的约分法则是解题的关键． 选项变号时出现错误，选项分子分母未同时除以，选项误把看作，选项分子、分母同时除以，变形正确． 【详解】对于选项：∵，而，两者分母不同，∴ 不相等； 对于选项： ∵与，分子中的未发生变化，∴分子分母未同时除以，∴等式不成立； 对于选项： ∵，∴变形正确； 对于选项：∵ ，除非，但，∴等式不成立． 故选：． 9．化简分式：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简． 通过约去分子和分母的公因式进行化简即可． 【详解】解：原分式为， 分子和分母的公因式为， 约分后得． 故答案为：． 10．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查已知比例式求代数式的值，由已知比例关系设参数表示变量，再代入所求表达式化简. 【详解】解：由 ，设 ，（）， 则 . 故答案为. 11．化简：___________． 【答案】 【分析】分子分母因式分解后约分即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了分式的化简，熟练掌握因式分解和分式的基本性质是解题的关键． 12．若，则分式的值为________． 【答案】 【分析】首先得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ． 13．照相机成像应用了一个重要原理，即（），其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离．一架照相机已固定，那么就要依靠调整来使成像清晰．用焦距的相机，拍摄离镜头的距离的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离是_______． 【答案】 【分析】本题考查分式求值，读懂题意是解决问题的关键． 根据题意，将已知焦距和物体距离代入公式计算即可得到答案． 【详解】解：当，时， 代入，得， 则 ， ， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 分式及其基本性质 考点1：分式的相关概念 考点2：分式的基本性质 考点3：最简分式﹑分式约分 重点：（1）理解分式的概念； （2）掌握分式有意义、值为零的条件； （3）分式的基本性质及简单应用。 难点★：（1）分式值为0时分子为0且分母不为0的双重条件； （2） 运用分式基本性质时不漏看隐含限制条件。 1. 了解分式概念，能区分整式与分式； 2.掌握分式有意义、值为0的条件； 3.理解并会用分式的基本性质做简单变形。 知识点1：分式的相关概念 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子分式。其中A叫作分子，B叫作分母。 1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2.分式有意义的条件：B≠0； 3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 【题型1 分式的定义】 【典例1】下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列式子中是分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下式子，，，，中，分式有_________个 【变式3】下请任意写出一个分式：______． 【题型2 分式有意义的条件】 【典例2】若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【变式1】下若分式有意义，则的取值范围是_____________． 【变式2】下若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下无论取什么值时，下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 分式值为零的条件】 【典例3】使分式等于0的x的值为（   ） A．1 B．0 C． D．不存在 【变式1】下若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式2】下要使分式的值为0，则与应满足的条件是________． 【变式3】下若分式的值为0，则x的值为_____． 知识点2：分式的基本性质 1.分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫作分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）。 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式。其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件。 （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化。例如：，在变形后，字母的取值范围变大了。 2.对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数。 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数。分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用。 【题型4 判断分式变形是否正确】 【典例4】下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下下列式子从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①___________；②___________； ③___________；④___________． 【题型5 分式的性质】 【典例5】如果把分式中和的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不能确定 【变式1】下如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大9倍 【变式2】下已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值为________． 【变式3】下如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值为，则原分式的值为______． 知识点3：最简分式﹑分式约分 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫作分式的约分。如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫作最简分式 【题型6 最简分式】 【典例6】下列各项是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下下列分式中是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】下把下列分式化为最简分式： （1）______； （2）______． 【变式3】下琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是___________． 【题型7 约分】 【典例7】约分：______；______． 【变式1】约分： （1）________； （2）________． 【变式2】化简：______． 【变式3】约分：______． 【题型8 分式求值】 【典例8】若，则的值______． 【变式1】下已知，则代数式的值为________． 【变式2】下已知，则__________． 【变式3】下已知，则分式的值为______． 1．要使分式有意义，x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 3．将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 5．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．如果把分式中的和都扩大为原来的10倍，那么分式的值（    ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不变 7．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 8．下列分式变形正确的是（    ）. A． B． C． D． 9．化简分式：______． 10．若，则的值为_______． 11．化简：___________． 12．若，则分式的值为________． 13．照相机成像应用了一个重要原理，即（），其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离．一架照相机已固定，那么就要依靠调整来使成像清晰．用焦距的相机，拍摄离镜头的距离的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离是_______． 学科网（北京）股份有限公司 $