第02讲 分式运算（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本讲义聚焦初中数学分式运算核心知识点，系统梳理分式乘除、乘方、同分母加减、最简公分母与通分、异分母加减的运算法则，构建从基础运算到混合运算、化简求值的递进学习支架，帮助学生形成完整知识体系。 该资料以分层题型设计为亮点，典例与变式结合强化运算能力，融入行程、增长率等实际应用题培养应用意识。练习题覆盖基础到综合，课中辅助教师突破通分、符号处理等难点，课后助力学生规范运算、查漏补缺，提升推理意识与数学表达能力。

第02讲 分式运算 考点1：分式的乘除 考点2：分式的乘方 考点3：同分母分式加减 考点4：最简公分母与通分 考点5：异分母分式加减 重点：（1）分式乘除、加减的基本运算法则； （2）分式混合运算的规范步骤； （3）分式化简求值。 难点★：（1）分式加减中通分的准确计算； （2）混合运算中因式分解、约分、符号处理的综合运用； （3）化简求值时忽略原式分母有意义的取值限制。 1.掌握分式的乘除、乘方、加减运算法则； 2.熟练会找最简公分母进行通分，能正确进行分式混合运算； 3.会规范化简分式并求值。 知识点1：分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点2：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）。 ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹（，n是正整数） 【题型1 分式的乘法运算】 【典例1】化简的结果为______． 【变式1】计算： ＝_____． 【变式2】计算：_________． 【变式3】计算：______． 【题型2 分式的除法运算】 【典例2】化简：的结果是______． 【变式1】计算：（1）_____________；（2）_____________． 【变式2】化简：÷＝_____． 【变式3】计算：______． 【题型3 分式的乘除法混合运算】 【典例3】计算．． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1) (2) 【变式3】计算： (1)； (2)． 知识点3：同分母分式相加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表示： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误。 （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式。 【题型4 同分母分式的加减】 【典例4】计算的结果是______． 【变式1】计算：________． 【变式2】计算__________． 【变式3】计算：___________． 知识点4：最简公分母与通分 1.最简公分母 定义：几个分式通分时，取所有分母的最简公共分母，叫作最简公分母。简单说：最小、最简单，能被所有分母整除的整式 找最简公分母两大类型方法： （1）分母是单项式 系数部分：取所有系数的最小公倍数 字母部分：取所有出现的字母，每个字母取最高次数 （2）分母是多项式（重点必考） 第一步：先因式分解，把分母全部化成乘积形式第二步：找所有不同因式，相同因式取最高次第三步：相乘在一起，就是最简公分母 2.通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫作分式的通分 【题型5 最简公分母】 【典例5】分式和 的最简公分母为_________． 【变式1】分式，的最简公分母是________． 【变式2】分式、的最简公分母是______，通分为______． 【变式3】分式与的最简公分母是_______________． 知识点5：异分母分式相加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 上述法则可用式子表示： . 注意： （1）异分母的分式相加减，先通分是关键。通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法。 （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式。 【题型6 异分母分式的加减】 【典例6】计算________． 【变式1】化简：________． 【变式2】化简：_____． 【变式3】化简 ___________ 【题型7 分式的加减法的实际应用】【典例7】小强上山和下山的路程都是s千米，上山的速度为千米/时，下山的速度为千米/时， 则小强上山和下山的平均速度为（    ） A．千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时 【变式1】某工厂接到一个订单，生产x套防护服，原计划每天生产y套．为了将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【变式2】2020年、2021年、2022年某地的森林面积（单位：）分别是a，b，c，2022年与2021年相比，森林面积增长率提高了（    ） A． B． C． D． 【变式3】从甲地到乙地的距离是s千米，一辆汽车以a千米/时的速度从甲地开往乙地，然后立即以b千米/时的速度从乙地返回甲地，则汽车往返所需的时间是（调头时间忽略不计）（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【题型8 分式的加减乘除法混合运算】 【典例8】化简：． 【变式1】化简：． 【变式2】化简： (1) (2) 【变式3】． 【题型9 分式化简求值】 【典例9】先化简，再求值：，其中． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 1．计算的结果是（   ） A． B． C．2 D． 2．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果等于（   ） A． B．a C．1 D． 4．分式的最简公分母是（　） A． B． C． D． 5．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则表示的值的点落在数轴上的位置位于（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 7．如果，那么代数式的值是（ ） A． B． C． D． 8．计算的结果是____． 9．计算：_______． 10．计算： (1)； (2)； (3)． 11．化简：． 12．先化简，再求值：，其中． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 分式运算 考点1：分式的乘除 考点2：分式的乘方 考点3：同分母分式加减 考点4：最简公分母与通分 考点5：异分母分式加减 重点：（1）分式乘除、加减的基本运算法则； （2）分式混合运算的规范步骤； （3）分式化简求值。 难点★：（1）分式加减中通分的准确计算； （2）混合运算中因式分解、约分、符号处理的综合运用； （3）化简求值时忽略原式分母有意义的取值限制。 1.掌握分式的乘除、乘方、加减运算法则； 2.熟练会找最简公分母进行通分，能正确进行分式混合运算； 3.会规范化简分式并求值。 知识点1：分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点2：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）。 ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹（，n是正整数） 【题型1 分式的乘法运算】 【典例1】化简的结果为______． 【答案】 【分析】根据分式的乘法法则可进行求解． 【详解】解：原式=； 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式1】计算： ＝_____． 【答案】 【分析】根据分式的乘法运算即可求解． 【详解】解：原式= 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘法运算法则． 【变式2】计算：_________． 【答案】 【分析】直接约分即可得出结果． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式3】计算：______． 【答案】y 【分析】通过提公因式法，约分化简即可． 【详解】解：原式 故答案为：y． 【点睛】本题主要考查的是分式化简，掌握提公因式法是解题的关键． 【题型2 分式的除法运算】 【典例2】化简：的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查分式的除法，将分式的除法转化为分式的乘法，同时将分式的分子、分母进行因式分解，然后进行约分得到最简分式．掌握相应的运算法则、公式是解题的关键． 【详解】解： ， 即的结果是． 故答案为：． 【变式1】计算：（1）_____________；（2）_____________． 【答案】 【分析】根据分式的除法计算法则求解即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的除法计算，正确计算是解题的关键． 【变式2】化简：÷＝_____． 【答案】 【分析】先进行因式分解，把除法变成乘法，进行约分即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】此题考查了分式的除法运算，熟练掌握除法法则是解题的关键． 【变式3】计算：______． 【答案】2 【分析】先把各个分式的分子、分母因式分解，根据分式的除法法则、约分法则计算即可． 【详解】解： =2 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式的化简，熟练掌握约分，灵活进行因式分解是解题的关键． 【题型3 分式的乘除法混合运算】 【典例3】计算．． 【答案】 【分析】根据分式的乘除运算求解即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了分式的乘除运算，涉及了平方差公式，解题的关键是掌握分式的乘除运算法则． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题考查分式的乘除运算．分式的除法运算实质上是乘法运算．掌握分式的乘法运算法则是解题关键． 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式乘除运算，解题的关键是熟练掌握分式乘除混合运算法则，准确计算． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据分式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 知识点3：同分母分式相加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表示： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误。 （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式。 【题型4 同分母分式的加减】 【典例4】计算的结果是______． 【答案】 【详解】解：． 【变式1】计算：________． 【答案】/ 【分析】本题考查了同分母分式的减法，分式的化简，掌握其运算规则是解题的关键．根据题意，分母不变，分子相减，然后将分子进行因式分解，约分化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】计算__________． 【答案】 1 【分析】本题主要考查分式的加减运算，根据同分母分式减法法则，分子相减，分母不变． 【详解】解：． 故答案为：1． 【变式3】计算：___________． 【答案】1 【分析】本题考查同分母分式的加法运算．先根据同分母分式加法法则将分子相加，再合并同类项化简分子，最后约分得到结果． 【详解】解：． 故答案为：1． 知识点4：最简公分母与通分 1.最简公分母 定义：几个分式通分时，取所有分母的最简公共分母，叫作最简公分母。简单说：最小、最简单，能被所有分母整除的整式 找最简公分母两大类型方法： （1）分母是单项式 系数部分：取所有系数的最小公倍数 字母部分：取所有出现的字母，每个字母取最高次数 （2）分母是多项式（重点必考） 第一步：先因式分解，把分母全部化成乘积形式第二步：找所有不同因式，相同因式取最高次第三步：相乘在一起，就是最简公分母 2.通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫作分式的通分 【题型5 最简公分母】 【典例5】分式和 的最简公分母为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．观察两个分式的分母，利用公因式即可求解． 【详解】解： 的分母为：， 的分母为：， 两个分式的最简公分母为：． 故答案为：． 【变式1】分式，的最简公分母是________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了最简公分母的确定，根据三定法：系数：最小公倍数，字母：所有字母，指数：最高次幂，确定最简公分母，即可． 【详解】解：分式，的最简公分母是． 故答案为：． 【变式2】分式、的最简公分母是______，通分为______． 【答案】 、 【分析】本题考查了最简公分母和通分，先对分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义可得出最简公分母，最后根据所得的最简公分母通分即可，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴分式、的最简公分母是， ∴，， 故答案为：；、． 【变式3】分式与的最简公分母是_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简公分母，将两个分式的分母进行因式分解，即可求解． 【详解】解：的分母为，分解因式可得， 的分母为，分解因式可得， 因此分式与的最简公分母是． 故答案为：． 知识点5：异分母分式相加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 上述法则可用式子表示： . 注意： （1）异分母的分式相加减，先通分是关键。通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法。 （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式。 【题型6 异分母分式的加减】 【典例6】计算________． 【答案】 【分析】本题考查异分母分式加法，通过找到公分母，将两个分式通分后合并，化简分子得到结果． 【详解】解： 故答案为：． 【变式1】化简：________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 将分母因式分解为，然后通分合并分式，最后约分得到最简结果。 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】化简：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查分式化简；先通分，再进行加减，最后约分化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式3】化简 ___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握异分母分式加减运算法则，是解题的关键． 根据异分母分式加减运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型7 分式的加减法的实际应用】【典例7】小强上山和下山的路程都是s千米，上山的速度为千米/时，下山的速度为千米/时， 则小强上山和下山的平均速度为（    ） A．千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，分式的加减运算，根据题意列出代数式是解题的关键． 先表示出上山时间与下山时间，然后根据总路程除以总时间，即可求解． 【详解】解：依题意，上山所用时间为：，下山所用时间为：， ∴小强上山和下山的平均速度为， 故选：D． 【变式1】某工厂接到一个订单，生产x套防护服，原计划每天生产y套．为了将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】B 【分析】本题考查列代数式的知识，根据工作时间工作总量工作效率，表示出原计划所用时间，以及现在所用时间，利用原计划所用时间现在所用时间，即可解题． 【详解】解：由题意得，原计划所用时间为：天， 现在所用时间为：天， 工厂完成这个订单的时间比原计划提前天， 故选：B． 【变式2】2020年、2021年、2022年某地的森林面积（单位：）分别是a，b，c，2022年与2021年相比，森林面积增长率提高了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示出两年的增长率，然后求差，进行分式的减法运算即可． 【详解】解：2021年的增长率是：， 2022年的增长率是：， 则2022年与2021年相比，森林面积的增长率提高了：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了列代数式，分式加减运算，正确表示出增长率和掌握分式加减运算法则是解题关键． 【变式3】从甲地到乙地的距离是s千米，一辆汽车以a千米/时的速度从甲地开往乙地，然后立即以b千米/时的速度从乙地返回甲地，则汽车往返所需的时间是（调头时间忽略不计）（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】根据时间=路程÷速度，计算出去的时间和返回的时间，再根据往返所需的时间=去的时间+返回的时间，列出式子计算即可． 【详解】解：由题意，得往返所需的时间为：小时， 故选：C． 【点睛】本题考查分式加法的应用，掌握往返所需的时间=去的时间+返回的时间是解题的关键． 【题型8 分式的加减乘除法混合运算】 【典例8】化简：． 【答案】 【分析】先把括号里面的通分相加，然后再根据分式的除法法则进行计算． 【详解】解： ． ． 【变式1】化简：． 【答案】 【分析】先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算，并化为最简． 【详解】解：原式 ． 【变式2】化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算除法，再计算加法即可； （2）先计算括号内的，再计算除法，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算、完全平方公式、平方差公式等知识，掌握好分式混合运算的法则是关键． 根据分式混合运算的法则进行化简即可． 【详解】解：原式 ． 【题型9 分式化简求值】 【典例9】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算括号内的减法，再计算括号外的除法，然后进行约分化简，最后将代入化简后的式子中进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】先化简原分式，再将代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的运算法则将原式化简，再将代入即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ． 当时，原式． 1．计算的结果是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘法运算，需将分子与分母分别相乘后约分简化． 【详解】解：， 故选：A． 2．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，利用分式的乘法法则解答即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 3．计算的结果等于（   ） A． B．a C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握同分母分式的加减法则是解题的关键．根据同分母分式加减法则计算即可得解． 【详解】解： , 故选：C； 4．分式的最简公分母是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 先变形得到，然后根据最简公分母的定义进行判断即可． 【详解】解：， 的最简公分母为， 故选：D ． 5．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式除法计算，约分，异分母分式加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 6．已知，则表示的值的点落在数轴上的位置位于（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值，能正确把变形为是解此题的关键．代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置． 【详解】解：， ， ， 落在段①， 故选：A 7．如果，那么代数式的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简所求的式子，再根据，可以得到，然后代入化简后的式子即可． 【详解】解： ， ， ， 原式， 故选：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键． 8．计算的结果是____． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式加减法的运算法则是解题的关键． 分母相同，将分子直接相减即可． 【详解】解：． 故答案为：1． 9．计算：_______． 【答案】a 【分析】根据分式的除法法则计算即可． 【详解】解：原式==a， 故答案为：a． 【点睛】本题考查的是分式的乘除法，分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 10．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的乘除运算． （1）根据分式的乘法运算法则计算即可； （2）由分式的除法运算法则计算即可； （3）先分别对各分式的分子分母因式分解，然后再运用分式的乘除的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 11．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 根据分式的加减乘除混合运算法则解答即可． 【详解】解： ． 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键．先计算括号内的运算，把除法转化为乘法，约分后可得到答案． 【详解】解：原式 当时，原式． 学科网（北京）股份有限公司 $