精品解析：天津市河西区2025-2026学年第二学期九年级中考一模数学试卷

河西区2025--2026学年度第二学期九年级总复习模拟（一） 数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 2. 下图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 据报道，计划于2027年竣工的“天津117大厦”项目的总建筑面积为847000平方米．将数据847000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 7. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 8. 的值等于（ ） A. 0 B. 1 C. D. 9. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 10. 如图，在平行四边形中，，连接，分别以点 ， 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点 ， ，作直线，交于点，交于点，若点恰为的中点，则下列结论一定错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，， 为射线上一点（ 与 不重合），分别以，为边，在的内部作等边和等边，连接并延长交于点 ．若，则线段的长为（ ） A. B. 5 C. D. 12. 如图，在中，，，，点从点 出发，以的速度沿边向终点 运动；动点从点 同时出发，以的速度沿边向终点 运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，；②当时， 的长度最小；③ 有两个不同的值满足面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有11个球，其中有3个红球、2个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率为______． 14. 计算的结果为______． 15. 计算的结果等于___________． 16. 将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线不经过第一象限，则的值可以是______（写出一个即可）． 17. 如图，在矩形中，点 ， 分别在边，上，且，． （1）若，则线段 的长为______； （2）若为的中点，为的中点，则线段 的长为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点 在格点上，点 在格线上，以为直径的圆上有点 和点 ，且平分． （1）若，则的大小为______； （2）若该圆上有一点 ，连接交于 ，恰好使得．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（画线不能超过10条，不要求证明）______． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、步骤） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 20. 为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中 的值为______，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1600名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间至少有的人数约为多少？ 21. 已知与相切于点 ，，，与相交于点 ， 为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当点 在的延长线上，过点 作的切线，与的延长线交于点，线段上有一点 ，且，若的半径为，求的长． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 ， ， 依次在同一条水平直线上，，，且．在 处测得世纪钟建筑顶部 的仰角为，在 处测得世纪钟建筑顶部 的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 23. 已知宿舍、书店、图书馆依次在同一条直线上，书店离宿舍，图书馆离宿舍．小华从宿舍出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达图书馆；在图书馆停留了一段时间，然后匀速骑行回到宿舍．下图中 表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小华离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填表： 小华离开宿舍的时间 小华离宿舍的距离 ②填空：小华从图书馆返回家的速度为______； ③当时，请直接写出小华离宿舍的距离关于时间 的函数解析式； （2）在小华离开图书馆之前，同宿舍的小明也从图书馆以的速度跑回宿舍，且小明比小华早离开图书馆．那么在从图书馆到宿舍的过程中，对于同一个 的值，小华离宿舍的距离为，小明离宿舍的距离为，当时，求 的取值范围（直接写出结果即可）． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点 在第一象限，的顶点，且轴，顶点 在边上． （1）填空：如图①，点 的坐标为______，点 的坐标为______； （2）将沿水平方向向右平移，得到，点 ，， 的对应点分别为，，．设．与重叠部分的面积为． ①如图②，若边，分别与边相交于点 ，点 ，当与重叠部分为四边形时，试用含有 的式子表示，并直接写出 的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线，（， ， 为常数，）． （1）当，，时，求该抛物线顶点 的坐标； （2）当时，点和点 在该抛物线上，点 为抛物线与轴的交点，且，，求点 的坐标； （3）当时，点在该抛物线上，且有点在抛物线上，点是 轴正半轴上的动点，当的最小值为时，求 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河西区2025--2026学年度第二学期九年级总复习模拟（一） 数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 下图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知该几何体的主视图为． 3. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】先估算无理数的取值范围，再利用不等式性质得到的范围，即可得出答案． 【详解】解：，，且 ， 不等式两边同时加2，可得， 因此的值在5和6之间． 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据轴对称图形的定义“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”可知：D选项是轴对称图形，其他选项都不是轴对称图形． 5. 据报道，计划于2027年竣工的“天津117大厦”项目的总建筑面积为847000平方米．将数据847000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，满足， 为整数，解题关键是正确确定和 的值． 【详解】解：将数据847000用科学记数法表示应为． 6. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分计算，最后约分得到结果． 【详解】解：∵ ∴ 7. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 【详解】解：由题意得 故选A． 8. 的值等于（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： ． 9. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论 的取值范围，比较和的大小关系即可． 【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随 的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值， ∵， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 综上，只有选项D正确， 故选：D． 10. 如图，在平行四边形中，，连接，分别以点 ， 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点 ， ，作直线，交于点，交于点，若点恰为的中点，则下列结论一定错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由作图方法可知垂直平分，则，根据线段中点的定义可推出，再由平行四边形的性质和已知条件可证明，则可证明是等边三角形，得到，由平行四边形的性质和平行线的性质可推出，据此可判断D；由等边对等角和三角形外角的性质可证明，据此可判断B；证明是等边三角形，得到， 进而可证明，据此可判断A、C． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可知垂直平分， ∴， ∵点恰为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ，， ∵， ∴，即， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ， ∴，故D选项中的结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B选项中的结论正确，不符合题意； ∵ ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，故C选项中的结论错误，符合题意； ∴， ∴， ∴，故A选项中的结论正确，不符合题意． 11. 如图，， 为射线上一点（ 与 不重合），分别以，为边，在的内部作等边和等边，连接并延长交于点 ．若，则线段的长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等的性质和判定，含特殊角的直角三角形．解题时，先证明，进而求出，然后过点 作，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点 作， ， 是等边三角形， ，，． ． 在 和 中， ， ，． ， ， ． ， ， ， ． ， ． 12. 如图，在中，，，，点从点 出发，以的速度沿边向终点 运动；动点从点 同时出发，以的速度沿边向终点 运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，；②当时， 的长度最小；③ 有两个不同的值满足面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】代入，得到与的长度，由此可判断是否相等；由勾股定理表示出的长度，再由最值求解即可；由边长表示出面积，从而求解关于t的一元二次方程，由公式法求解即可． 【详解】解：①∵点的运动速度为，点的运动速度为， 当时，，， 则， 则当时，，故①正确； ②过点N作交 于点P，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， 则在中，，， ∴， 在中，， 当时， 的长度最小，故②错误； ③， 则有，且， 可得， ∴，即，， 即 有两个不同的值满足面积为，故③正确． ∴正确结论的个数是2个． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有11个球，其中有3个红球、2个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵袋子中共有个球，其中黄球有个， ∴从袋子中随机取出个球是黄球的概率是． 14. 计算的结果为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据单项式除以单项式的计算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 15. 计算的结果等于___________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据平方差公式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键． 16. 将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线不经过第一象限，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】10（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：向下平移个单位长度后得到，此时随着 的增大而减小，且不经过第一象限， 则当 时，，解得． ∴的值可以是10 17. 如图，在矩形中，点 ， 分别在边，上，且，． （1）若，则线段 的长为______； （2）若为的中点，为的中点，则线段 的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，求出，利用勾股定理即可求解； （2）作射线，过点 作的平行线交射线于点 ，证明，得到，易证，勾股定理求出，再证明为的中位线，即可求解． 【详解】解：（1）∵在矩形中，且， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）作射线，过点 作的平行线交射线于点 ， 则， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵，矩形中， ∴， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点 在格点上，点 在格线上，以为直径的圆上有点 和点 ，且平分． （1）若，则的大小为______； （2）若该圆上有一点 ，连接交于 ，恰好使得．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（画线不能超过10条，不要求证明）______． 【答案】 ①. 38 ②. 取的中点 ，取的中点，连接交于 ，连接交于 即为所求 【解析】 【分析】（1）由角平分线定理即可求解； （2）根据题意，取的中点 ，的中点，连接交于 ，连接交于 即为所求． 【详解】解：（1） 平分，， ； （2）点 如下图： 根据格点取中点为 ，延长交格线于 ，连接与格线交于点，且为中点，连接，交于， 连接交于 ，连接并延长交于 即为所求： 为的中位线， ， ，又， ， 又为直径， ，， 又平分， ，又（同弧所对圆周角相等）， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、步骤） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 【答案】（1） （2） （3） 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下： （4） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 20. 为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中 的值为______，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1600名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间至少有的人数约为多少？ 【答案】（1），，， （2）3.1 （3）600 【解析】 【分析】（1）根据统计图、中位数及众数可进行求解； （2）根据平均数的定义可进行求解； （3）可根据样本数据，估计该校1600名学生中，每月参加志愿服务的时间至少有的学生约占，直接进行求解． 【小问1详解】 解：由统计图可知：，， ∵，， ∴这组数据的中位数为从小到大排序后的第20和第21个数据之和的平均数，即为， 参加志愿服务时间为3小时的人数是14名，人数是最多的，所以该组数据的众数是3； 【小问2详解】 解：由题意，得： ， 这组数据的平均数是3.1； 【小问3详解】 解： 在样本中，每月参加志愿服务的时间至少的学生占， 根据样本数据，估计该校1600名学生中，每月参加志愿服务的时间至少有的学生约占，有（名）． 答：该校学生每月参加志愿服务的时间至少有的人数约为600名． 21. 已知与相切于点 ，，，与相交于点 ， 为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当点 在的延长线上，过点 作的切线，与的延长线交于点，线段上有一点 ，且，若的半径为，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，推导出，得到平分，求出，则，即可解答； （2）连接，过点 作于 ，交于点，推导出四边形是矩形，，，得到，求出，得到，则，继而根据求解即可． 【小问1详解】 解：连接，如图 与相切于点 ， ， ∵， 平分， ∴． ， ． 在中，， ； 【小问2详解】 解：连接，过点 作于 ，交于点，如图 ． 是的切线， ． ， 四边形是矩形，，， ，， ． ， ， 又， ， 在中，． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 ， ， 依次在同一条水平直线上，，，且．在 处测得世纪钟建筑顶部 的仰角为，在 处测得世纪钟建筑顶部 的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】世纪钟建筑的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长 与相交于点，在Rt和中，分别求得和，再根据，列式计算求解即可． 【详解】解：如图，延长 与相交于点， 根据题意，可得， 有，，，，， 在Rt中，， ， 在中，， ． ， ． ． ． 答：世纪钟建筑的高度约为． 23. 已知宿舍、书店、图书馆依次在同一条直线上，书店离宿舍，图书馆离宿舍．小华从宿舍出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达图书馆；在图书馆停留了一段时间，然后匀速骑行回到宿舍．下图中 表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小华离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填表： 小华离开宿舍的时间 小华离宿舍的距离 ②填空：小华从图书馆返回家的速度为______； ③当时，请直接写出小华离宿舍的距离关于时间 的函数解析式； （2）在小华离开图书馆之前，同宿舍的小明也从图书馆以的速度跑回宿舍，且小明比小华早离开图书馆．那么在从图书馆到宿舍的过程中，对于同一个 的值，小华离宿舍的距离为，小明离宿舍的距离为，当时，求 的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①，，；②③当时，；当时，；当时，； （2）． 【解析】 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图象即可求出不等式的解集． 【小问1详解】 解：①小华去书店的速度为， 时小华离宿舍的距离为； 由图可知小时时，小华离宿舍的距离为； 3小时时，小华离宿舍的距离为； 小华离开宿舍的时间 小华离宿舍的距离 10 12 20 ②小华从图书馆返回宿舍的速度为， ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴； 综上，； 【小问2详解】 解：根据题意可知，小明的速度为， 小明从图书馆回去宿舍需要：（小时）， 小明出发时，（小时）， 小明到达宿舍时，（小时）， 依题意，当时，，当时，， 设的解析式为，代入，， ∴， 解得： ， ∴； 设，代入，， ∴， 解得： ， ∴； 当时，， 解得：， 如图所示，为小明的函数图象， 结合图象，当时，． 24. 在平面直角坐标系中， 为原点，等边的顶点，点 在第一象限，的顶点，且轴，顶点 在边上． （1）填空：如图①，点 的坐标为______，点 的坐标为______； （2）将沿水平方向向右平移，得到，点 ， ， 的对应点分别为，，．设．与重叠部分的面积为． ①如图②，若边，分别与边相交于点 ，点 ，当与重叠部分为四边形时，试用含有 的式子表示，并直接写出 的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）①．其中 的取值范围是．② 【解析】 【分析】（1）作于，作于，根据等边三角形的性质和含 的直角三角形的性质，可以求出 ， 到 轴，轴的距离，再根据它们所在的象限即可确定它们的坐标； （2）①先求出的面积，然后用 的代数式表示的面积，再把的面积减去的面积便得到，延长交 于点，当与重合时，得到 的最小值，当与 重合时，得到 的最大值，这样即可确定 的范围； ②根据三角形形平移过程中与正三角形重叠部分的不同形状，进行分类讨论，求出每一种情况下对应的的函数解析式，通过函数的性质，求出相应的的范围，最后便能确定的范围． 【小问1详解】 解：如图，作于，作于， ，为等边三角形， ，，， ， ∴ 的坐标为， ∵ 的坐标为，轴， ， 在中，， ， ， ∴ 的坐标为； 【小问2详解】 解：①如图： ，， ，， ，，， ， 如图：由平移性质可知， ， 是含 的直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图：延长交 于点，交 轴于 ， 则， ， 综上所述； ②第一种情况，当时，如下图： 设交 于点 ， 则，， ， ， ∵， ， ∴当时，， 当 时，， ； 第二种情况，如下图所示： 当时， ∵时，对称轴为直线， ∴当时，随 增大而减小， 当时，， 当时，， ； 第三种情况，如下图所示： 当时，设交于点， ， ， ， ， 当时，随 增大而减小， 当时，， 当时，， ； 综上所述． 25. 已知抛物线，（， ， 为常数，）． （1）当，，时，求该抛物线顶点 的坐标； （2）当时，点和点 在该抛物线上，点 为抛物线与轴的交点，且，，求点 的坐标； （3）当时，点在该抛物线上，且有点在抛物线上，点是 轴正半轴上的动点，当的最小值为时，求 的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）把解析式化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）把点A的坐标代入解析式，结合a的值可推出，再由，推出，求出点C的坐标，得到；过点 作轴于点 ，证明，得到，，则点 的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）根据题意可得抛物线的解析式为，则可求出点，且点M一定在第四象限；如图所示，取点，过点N作交直线于点T，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，则，则可得到，故当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值；如图所示，当三点共线时，过点M作轴于点S，则，证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，进而得到，由勾股定理得，则，则可得到方程，可得． 【小问1详解】 解：，，， 该抛物线的解析式为 ， 该抛物线顶点 的坐标为； 【小问2详解】 解： 点在抛物线上， ∴，，即， 又∵， ∴， ∵， ∴，即， 在中，当 时，， ∴， ； 如图所示，过点 作轴于点 ， ， ∴． ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ，， ∵， 点 的坐标为． 点 在抛物线上， ， 即， 解得，（舍）． 点 的坐标为； 【小问3详解】 解：，点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴点， ∵， ∴， ∴点M一定在第四象限； 如图所示，取点，过点N作交直线于点T，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值； 如图所示，当三点共线时，过点M作轴于点S， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵的最小值为， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $