精品解析：2026年天津市滨海新区九年级学业质量调查试卷（一）数学

2026年滨海新区九年级学业质量调查试卷（一） 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分，考试时间100分钟． 答卷前，请务必将自己的考点校、姓名、考生号、座位号填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. 13 C. D. 3 2. 如图是一个由6个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 4. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 　 5. 2025年5月29日，我国行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，对近地小行星2016HO3进行探测与采样．该小行星与地球的最近距离约为，将数据18000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是我国古代数学著作，其中有一道题：“今有牛五、羊二，直金十两：牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点D在边 上，以点C为圆心，小于线段长为半径画弧，分别交线段， 于点E，F，连接；以点D为圆心，线段长为半径画弧，交线段 于点G；以点G为圆心，线段长为半径画弧，该弧交以点D为圆心，线段长为半径所画弧于点H，作射线 交于点I，则的大小为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，， ，将绕点B逆时针旋转，得到 ，旋转角为．点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，延长 交边于点F，连接，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 四边形中， ， ，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边 ，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边 向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时， ；②当时，的最大面积为；③当t为 和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有11个球，其中有7个绿球，4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为________． 14. 计算的结果为______． 15. 计算的结果为________． 16. 若一次函数（m为常数）的图象经过第二、三、四象限，则m的值可以是___（写出一个即可）. 17. 如图，四边形是正方形，点E是边 上一动点（点A，B除外），点F在正方形内部． 是直角三角形，，点G在 的延长线上， 的延长线与 的延长线交于点H，若点E为的中点， ，则的长为________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，内接于圆，且顶点在格点上，点 在格线上，为圆的直径． （）的度数为______； （）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，在上画出一点 ，使，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 20. 为了响应“书香校园”建设活动，鼓励学生多读书，读好书，某校九年级开展了一次课外阅读时间调查．学校随机抽查了该校九年级a名学生，统计他们每周课外阅读时间（单位：h），并根据调查的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为________，图①中的m值为________，统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的众数和中位数分别为________和________； （2）求统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校九年级共有学生400名，估计该校九年级学生每周课外阅读的时间大于的人数约为多少？ 21. 已知 是 的直径，，是 的弦． （1）如图①，若E为的中点， ，求 和的大小； （2）如图②，若是 的直径，过点D作 的切线交 延长线于点C，连接． ，，求的长． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量校园附近一座信号塔的高度． 某校研究性学习小组设计了一个方案：如图，该信号塔 垂直于水平地面，其前方有一段台阶，台阶顶端D距离地面的高度，点E，C，A在同一条水平直线上，且．在点C处测得塔顶B的仰角为，又在台阶顶端D处测得塔顶B的仰角为． （1）求线段的长； （2）求信号塔 的高度（结果取整数）．参考数据：， ． 23. 已知小华家、超市、书店依次在同一条直线上，超市离小华家，书店离小华家，小华从家骑车匀速骑行到书店，在那里停留了，之后又匀速步行到超市，在超市停留了后，用了匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间 2 10 55 90 小华离开家的距离 3 ②填空；书店到超市的距离为________； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于x的函数解析式； （2）当小华从书店出发前往超市时，同时小华的哥哥也从书店出发，以的速度匀速步行直接回家，从书店到家过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，菱形 的顶点，，，连接 ． （1）填空：如图①，点B的坐标为________，点H的坐标为________； （2）将菱形 沿水平方向向右平移，得到菱形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，菱形与矩形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边，分别与相交于点M，点N，且菱形与矩形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线 （b，c为常数， ）． （1）当， 时，求该抛物线顶点P的坐标； （2）点和点B为抛物线与x轴两个交点，（点A在点B的左侧），点C为抛物线与y轴的交点． ①当 时，求b的值； ②若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，E为y轴正半轴上的一点，过点E作抛物线对称轴的垂线，垂足为F，连接，，当的最小值为时，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年滨海新区九年级学业质量调查试卷（一） 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分，考试时间100分钟． 答卷前，请务必将自己的考点校、姓名、考生号、座位号填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. 13 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数加法法则，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，即可得出结果． 【详解】∵，， ， ∴结果取正号，则． 2. 如图是一个由6个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主视图是从正面看得到的平面图形，根据几何体的排列确定每一列小正方形的个数． 【详解】从正面看，该几何体共有3列，从左到右每列小正方形的个数分别为1，1，2， ∴主视图底层有3个小正方形，最右侧上层有1个小正方形， ∴主视图是A项． 3. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】D 【解析】 【分析】先确定的取值范围，再通过不等式性质得到的范围． 【详解】∵， ∴， 即， 不等式三边同时加1，得：， 即， ∴的值在5和6之间． 4. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 　 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 5. 2025年5月29日，我国行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，对近地小行星2016HO3进行探测与采样．该小行星与地球的最近距离约为，将数据18000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，解题关键是正确确定a和n的值． 【详解】将18000000的小数点向左移动7位，得到满足的a值1.8，即 ， ∴． 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先代入特殊角的三角函数值后按实数运算法则计算即可． 【详解】原式 ． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，将各点横坐标代入解析式求出对应y值，再比较大小即可得到结果． 【详解】∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标分别代入解析式得：，，， ∵， ∴． 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分合并化简即可得到结果． 【详解】原式 ． 9. 《九章算术》是我国古代数学著作，其中有一道题：“今有牛五、羊二，直金十两：牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找出两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组． 【详解】设每头牛值金x两，每只羊值金y两，题目中5头牛、2只羊共值金10两， 可得方程， ∵2头牛、5只羊共值金8两， ∴可得方程， ∴可列方程组为． 10. 如图，在中，，，点D在边 上，以点C为圆心，小于线段 长为半径画弧，分别交线段， 于点E，F，连接；以点D为圆心，线段长为半径画弧，交线段 于点G；以点G为圆心，线段长为半径画弧，该弧交以点D为圆心，线段长为半径所画弧于点H，作射线 交 于点I，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图过程证明，从而得到，进而判断，最后利用平行线的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 11. 如图，中，， ，将绕点B逆时针旋转，得到 ，旋转角为．点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，延长 交边 于点F，连接，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，从而判断选项A；过点B作 于点H，作于点G，利用 证明，进而利用证明，可判断C；利用四边形内角和及全等三角形性质可判断D；通过计算平行所需的旋转角的值判断B． 【详解】解：由旋转的性质知，， ， 故A正确； 过点B作 于点H，作于点G， ， ， 、， 在和中， ， ， ，， 在 和中， ， ， ， 故C正确； 、， ， 在四边形中，， ， ， 故D正确； 若，则或， ， ， 当时，旋转角或， ，不一定为或， 不一定平行于 ， 故B不一定正确． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、四边形内角和、平行线的性质，熟练掌握相关性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 12. 四边形中， ， ，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边 ，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边 向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时， ；②当时，的最大面积为；③当t为 和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】当时，点M在上，求出， ，可判断①；当时，点M在 上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；先将代入的面积表达式求出结果，再由可推断点M在上，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：当时，， ∵点M的运动轨迹是，以的速度运动， ， ∴点M在 上的运动时间为， 当时，点M在上， ∴， ∴，故①错误； 当时， ，， ， ∴， 当时，的面积取得最大值，故②错误； 当时，， 当时，， 而点M此时在上， ∴，故③正确， 综上所述，正确的结论有③，共1个． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有11个球，其中有7个绿球，4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由概率=所求情况数与总情况数之比，直接利用概率公式求解即可． 【详解】∵不透明袋子中装有11个球，其中有7个绿球，4个红球，这些球除颜色外无其他差别， ∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率为． 14. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可得解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，熟记同底数幂的除法法则是解题的关键． 15. 计算的结果为________． 【答案】18 【解析】 【分析】利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 若一次函数（m为常数）的图象经过第二、三、四象限，则m的值可以是___（写出一个即可）. 【答案】 （答案不唯一，符合 任意值均可） 【解析】 【分析】根据已知条件，推得，，即可求解． 【详解】∵一次函数（m为常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴， 即 故的值可以是小于0的任意值． 故答案为： （答案不唯一，符合 任意值均可）． 【点睛】本题主要考查一次函数图象经过的象限和参数的关系，属于基础题． 17. 如图，四边形是正方形，点E是边 上一动点（点A，B除外），点F在正方形内部． 是直角三角形，，点G在 的延长线上， 的延长线与 的延长线交于点H，若点E为的中点， ，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形性质和直角三角形性质，通过互余关系证明，结合证明，从而得到和 ；利用点E为的中点及三角形中位线定理求出点F到的距离和水平位置，最后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ， ， ∴，， ∵ 是直角三角形，， ∴ 是等腰直角三角形，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵点H，E，F三点共线， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ， 如图，过点F作交于点M， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴ 是的中位线， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 在中，． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，内接于圆，且顶点在格点上，点 在格线上， 为圆的直径． （）的度数为______； （ ）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，在上画出一点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. ； ②. 取圆与格线的交点，连接，与 相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形 为矩形，所以 ，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出 的中点，连接 ，与圆相交于点，连接 ，由垂径定理可得，即可得，故点为所求 【解析】 【分析】（）根据圆周角定理即可求解； （ ）取圆与格线的交点，连接，与 相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形 为矩形，所以 ，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出 D的中点，连接 ，与圆相交于点，连接 ，由垂径定理可得 ，即可得，故点为所求； 本题考查了圆周角的性质，矩形的性质，正方形的性质，垂径定理，掌握正方形和矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵ 为圆的直径， ∴ ， 故答案为：； （ ）如图，取圆与格线的交点，连接，与 相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形 为矩形，所以 ，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出 的中点，连接 ，与圆相交于点，连接 ，由垂径定理可得，即可得，故点为所求， 故答案为：取圆与格线的交点，连接，与 相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形 为矩形，所以 ，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出 的中点，连接 ，与圆相交于点，连接 ，由垂径定理可得，即可得，故点为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 【答案】（1） （2） （3） 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示如图： （4） 【解析】 【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，最后利用数轴表示解集即可． 【小问1详解】 解：解不等式①， ，得． 【小问2详解】 解：解不等式②， ，得 ． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为 ． 20. 为了响应“书香校园”建设活动，鼓励学生多读书，读好书，某校九年级开展了一次课外阅读时间调查．学校随机抽查了该校九年级a名学生，统计他们每周课外阅读时间（单位：h），并根据调查的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为________，图①中的m值为________，统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的众数和中位数分别为________和________； （2）求统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校九年级共有学生400名，估计该校九年级学生每周课外阅读的时间大于的人数约为多少？ 【答案】（1）50，24，3，3 （2）统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的平均数为2.88 （3）估计该校九年级学生每周课外阅读的时间大于的人数约为248人 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图可知，（人），每周课外阅读的时间的学生有12人，占 ，从而求出m的值，再根据众数、中位数的定义即可求出众数，中位数； （2）根据算术平均数的定义进行求解即可； （3）用400乘以每周阅读的时间大于的人数所占比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，（人）， ∴， 在统计的这组学生每周课外阅读的时间数据中，共有50人，其中第25、26个人均为， ∴中位数为， 在统计的这组学生每周课外阅读的时间数据中，的人数最多，为16人， ∴众数为3． 【小问2详解】 解：观察条形统计图可知，这组每周阅读时间数据的平均数为， ∴统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的平均数为2.88． 【小问3详解】 解：该校九年级学生每周课外阅读的时间大于的人数（人）， ∴估计该校九年级学生每周课外阅读的时间大于的人数约为248人． 21. 已知 是的直径，，是的弦． （1）如图①，若E为的中点， ，求 和的大小； （2）如图②，若是的直径，过点D作的切线交 延长线于点C，连接 ． ，，求 的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角和圆周角定理得到 ，再根据E为的中点，得到，即可求解； （2）根据切线的性质结合圆周角定理推出，求出，利用含30度角直角三角形的特征得到，，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵ 是的直径， ∴， 在中， ， ∴， ∵ 与 都是所对的圆周角， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵ 是的直径， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵ 是的切线，是直径， ∴，即 ， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∵， ， 在中，． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量校园附近一座信号塔的高度． 某校研究性学习小组设计了一个方案：如图，该信号塔 垂直于水平地面，其前方有一段台阶，台阶顶端D距离地面的高度，点E，C，A在同一条水平直线上，且．在点C处测得塔顶B的仰角为，又在台阶顶端D处测得塔顶B的仰角为． （1）求线段 的长； （2）求信号塔 的高度（结果取整数）．参考数据：， ． 【答案】（1）线段 的长为 （2）信号塔 的高度约为 【解析】 【分析】（1）根据计算即可； （2）过点D作 交 于点F，在 中，设，推出，，在 中，结合计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ∴， 在中，，，， ∴， ∴线段 的长为． 【小问2详解】 解：如图，过点D作 交 于点F， 在 中，设， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在 中，，， ∴， 即， 解得， 即， ∴信号塔 的高度约为． 23. 已知小华家、超市、书店依次在同一条直线上，超市离小华家，书店离小华家，小华从家骑车匀速骑行到书店，在那里停留了，之后又匀速步行到超市，在超市停留了后，用了匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间 2 10 55 90 小华离开家的距离 3 ②填空；书店到超市的距离为________； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于x的函数解析式； （2）当小华从书店出发前往超市时，同时小华的哥哥也从书店出发，以的速度匀速步行直接回家，从书店到家过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①0.6，3，1.6；②1.4；③当时，小华离家的距离y关于x的函数解析式 （2） 【解析】 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，由书店离小华家的距离减去超市离小华家的距离即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【小问1详解】 解：①小华在最初的内的速度为， 当时，， 当 时， ， 当时，； ②书店到超市的距离为； ③由图象可知，当时，， 当时，图象经过点，， 设函数解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴函数解析式为， ∴当时，小华离家的距离y关于x的函数解析式． 【小问2详解】 解：小华的哥哥从书店到家所用时间为， ∴小华的哥哥从书店出发时的时间为，到家的时间为， ∴小华的哥哥离家的距离与x之间的函数图象经过点，， 设与x之间的函数关系式为， 将点，代入得： ，解得， ∴与x之间的函数关系式为：， ∴小华的哥哥离家的距离与x之间的函数图象如下： 当时，令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意， ∴当时，． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，菱形 的顶点，，，连接 ． （1）填空：如图①，点B的坐标为________，点H的坐标为________； （2）将菱形 沿水平方向向右平移，得到菱形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，菱形与矩形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边，分别与相交于点M，点N，且菱形与矩形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解； （2）①由题意易得，由（1）证得是等边三角形，利用正切的定义求得，通过三角形面积公式求得的表达式，进而得到S与t的关系式，此时要使菱形与矩形重叠部分为五边形，则t的取值范围是 ； ②根据得出时S有最大值，再将 代入表达式进行计算，最后结合图象讨论时的S，通过计算并对 时的S值进行比较，确定出S的最小值，从而得出S的取值范围． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，且，， ∴， ， ∴； 如图，连接，交于点K， ∵四边形 是菱形，且，，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， 由（1）知，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ； ②当时，， 由可知，当 时，， 当时，如图，设，分别交 于点T，S，交 于点R， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当 时，S有最小值， ∴S的取值范围是． 25. 已知抛物线 （b，c为常数， ）． （1）当， 时，求该抛物线顶点P的坐标； （2）点和点B为抛物线与x轴两个交点，（点A在点B的左侧），点C为抛物线与y轴的交点． ①当 时，求b的值； ②若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，E为y轴正半轴上的一点，过点E作抛物线对称轴的垂线，垂足为F，连接 ，，当的最小值为时，求b的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线顶点式，进而得到顶点坐标； （2）①利用待定系数法求出，则抛物线解析式为，利用抛物线对称轴得到点 坐标，令 得到点 坐标，利用两点间距离公式求出、 ，列出等式求解即可； ②将点代入抛物线解析式求出点 坐标，根据垂直于对称轴得到，作点 关于轴的对称点，则，进而得到，将点 向左平移个单位长度得到，求出点坐标，证明四边形是平行四边形，进而得到，当、 、三点共线时，取得最小值，最小值为，据此列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当， 时，抛物线解析式为， 则抛物线顶点P的坐标为； 【小问2详解】 解：①将点代入抛物线 得：， ， 抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为， 点和点B为抛物线与x轴两个交点， ， ， ， 令 得：， ， 、， ， ， 解得；或， ， 的值为； ②将点代入抛物线得： ， ， 由①知，抛物线的对称轴为， 垂直于对称轴， ， 作点 关于轴的对称点，连接，则， 、， 轴与轴互相垂直， 轴垂直平分， ， 将点 向左平移个单位长度得到，连接、 ，即， 垂直于对称轴、， 垂直于对称轴、， 、， 四边形是平行四边形， ， ， 当、 、三点共线时，取得最小值，最小值为，即， ， 整理得：， 解得：或（舍去）， 的值为． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质、两点间距离公式、利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $