精品解析：宁夏中卫市海原县第一中学2025-2026学年高三下学期考前质检数学试题

2025-2026学年高三下学期第四次质检数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数为纯虚数，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出 ，即可求出结果. 【详解】由复数是纯虚数，得，解得， 则，，所以. 故选：D 2. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】求解分式不等式可得：， 求解函数的定义域可得：， 结合交集的定义可得：. 本题选择C选项. 3. 已知直线的一个方向向量为，向量，若与是共线向量，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程，可得，利用向量共线的坐标表示可求. 【详解】取，由可得，解得． 故选：A. 4. 函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出相位的范围，结合余弦函数的性质列出不等式求解即得. 【详解】由，得， 由的图象在区间上恰有一个对称中心，得， 所以. 故选：C 5. 某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设相应事件,根据题意利用全概率公式运算求解即可. 【详解】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，， 设“学生肥胖”为事件B，则，， 由全概率公式可得， 所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为. 故选：A 6. 已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的切线的性质可求得，结合抛物线方程计算可得点横坐标，即可得点到的准线的距离. 【详解】如图所示： 设切点为Q，则， 则， 设，则由两点间距离公式得到， 解得，因为，所以， 因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为. 故选：A. 7. 已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作辅助线，找到二面角的平面角，利用相关线段长度，结合二面角的余弦值求出的长度，再利用勾股定理求出正三棱锥的高，设外接球半径为，根据外接球的性质，结合勾股定理列出关于的方程，求解出，最后利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接. 由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则. 因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，， 所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 故选：C. 8. 已知，若正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到函数为奇函数，结合函数单调性得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】定义域为R， 又， 所以为奇函数， ， 又， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 时，，但此时， 由于等号成立时的值不同，故恒成立， 所以在R上单调递增， 所以，即，故， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 记为数列的前项和，已知（为常数），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. 设，则 D. 设，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】 对于A，当时，，于是，故A错误； 对于B,， 两式相减得， 可知是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C正确； 对于D，令，则在上恒成立， 因此在上单调递增，所以， 即可得当时，， 于是，故，故D正确． 10. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（ ） A. 当时小球达到最高点 B. 小球在开始振动时的位置离平衡位置的距离为 C. 小球往复运动一次经过的时间为秒 D. 当时，小球向上运动 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AB：代入求函数值，结合题意即可判断；对于C：根据正弦型函数的周期性分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以当时小球位于平衡位置，故A错误； 对于选项B：因为， 所以小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为，故B正确； 对于选项C：因为，所以小球往复运动一次经过的时间为秒，故C正确； 对于选项D：因为，则， 且正弦函数在上单调递减，所以当时，小球向下运动，故D错误. 11. 设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ） A. 若且，则双曲线的两条渐近线的方程是 B. 若，则的面积等于 C. 若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 D. 以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切 【答案】BCD 【解析】 【分析】将且，带入方程求解渐近线方程即可判断A；，结合双曲线的定义求解即可判断B；把点坐标代入的方程，然后计算离心率的取值范围即可判断C；画图，两圆的圆心距是的中位线，两圆的半径之和，故两圆外切，即可判断D. 【详解】当且时，的渐近线斜率为，选项A错误； ，故选项B正确； 把点坐标代入的方程得： ，选项C正确； 如图，两圆的圆心距是的中位线， 两圆的半径之和，故两圆外切，选项D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据导数的几何意义以及极值点的性质求，并结合单调性检验即可. 【详解】因为，则， 由题意可得，解得， 则函数，， 令，解得或；令，解得， 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取到极大值，即，符合题意， 所以. 13. 的展开式中的系数为________． 【答案】 【解析】 【详解】的展开式中的项为：， 所以的展开式中的系数为. 14. 在数列中，，．数列满足（）.若是公差为2的等差数列，则的通项公式为______，的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据等差数列通项公式求出的通项公式，再通过累加法求出的通项公式，进而求出的最小值． 【详解】因为，，， 则， 且是公差为2的等差数列，所以． 又因为， 当时，， 且， 则， 且符合上式，所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：；． 四．解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 李华参加一次招聘考试，已知共有8道题目，他只能答对其中5道. 若随机抽取3道让李华回答，规定至少要答对其中2道才能通过考试. （1）记为李华答对的题目数，求的分布列及数学期望； （2）求李华能通过考试的概率. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列的求法及期望公式求解即可； （2）利用互斥事件和的概率公式求解. 【小问1详解】 由已知可得的所有可能取值为0，1，2，3. ，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为. 【小问2详解】 因为至少答对其中2道才能通过考试， 所以通过考试包括答对2道题和答对3道题两种情况， 这两种情况是互斥的， 由（1）知， ，， 所以. 所以李华能通过考试的概率为. 16. 已知菱形中，，，为中点，如图一所示，现将沿着折起，使得点到达点，如图二所示． （1）当时，证明：平面平面； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 在菱形中，由，得是正三角形，由为中点，得， 在图二中，，由，得， 又平面，因此平面，由，得平面， 又平面，所以平面平面. （2）． 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质，线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）取中点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面，取的中点为，连接，由，得为正三角形， 则，作，则平面，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17. 如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，. （1）已知，且 （i）当时，求的面积； （ii）若，求. （2）已知，且，求AC的最大值. 【答案】（1）（i）；（ii）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）利用余弦定理结合已知求出，再借助等腰三角形性质求出面积；（ii）利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答. （2）连接，由已知结合余弦定理可得，，再利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式求解作答. 【小问1详解】 （i）设，在中，由余弦定理得，解得， 在中，，则底边上的高， 所以的面积. （ii）设，依题意，， 则，，即，而， 所以. 【小问2详解】 连接，中，，， 由余弦定理得， 则，，设，在中，， 于是，在中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以AC的最大值是. 【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 18. 已知椭圆的离心率为分别是椭圆的右顶点，上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点不在轴上，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） （i）设直线的方程为，其中，且， 联立方程组， 整理得， 所以. 所以 ， 故为定值. （ii）. 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率和得出椭圆方程； （2）（i）先设直线的方程，并与椭圆方程联立得到关于的不等式，再由韦达定理得出结论；（ii）先由直线与的斜率关系得到的面积等于2倍的的面积，故问题转化为求面积的最大值；因为，由三角形面积公式，只需求出点到直线的距离的最大值即可；当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值，由与椭圆相切求出直线的方程，再由两平行线间距离公式得出的最大值，最后得出结论. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为， 所以，即； 因为， 又， 解得， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略. （ii）直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点，直线的方程为， 令，得，故； 由（i）可知，故，所以点是线段的中点， 故的面积，其中为点到直线的距离. 显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值. 设直线的方程为，即， 联立， 整理得，由，解得. 所以平行直线与之间的距离为， 即的最大值为， 此时的面积为， 所以的面积的最大值为. 19. 已知函数 . （1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值; （2）设，若函数在区间为严格递减函数时，求实数的取值范围; （3）对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）严格单调递减即，对导函数参数分离，构造新函数求解； （3）有2个极值点等价于导函数有2个零点，并运用韦达定理对代数式作变换，构造新函数，根据新函数的单调性求解. 【小问1详解】 ， 则，， 在点的切线过原点， ，即，解得； 【小问2详解】 . 则，函数在上严格单调递减， 转化为，即对上的任意实数恒成立， 令，则， 由 得，由得， 由得，在上单调递增，在上单调递减， 又当时.时，，， 当时，，故实数a的取值范围是； 【小问3详解】 ，函数有2个极值点等价于在时有2个零点； 即 在上有两个不同的根， ，解得， 不等式恒成立，即， 又 ， 令， 所以，又恒成立， 即在区间单调递减， ； 综上，（1），（2）实数a的取值范围是，（3）的取值范围是. 【点睛】本题的难点在于对不等式作出代数变换，由2个变量 转化为一个变量a，由a得范围来确定的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期第四次质检数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数为纯虚数，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 2. 已知集合，，则 A. B. C. D. 3. 已知直线的一个方向向量为，向量，若与是共线向量，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 8 4. 函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 7. 已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 记为数列的前项和，已知（为常数），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. 设，则 D. 设，则 10. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（ ） A. 当时小球达到最高点 B. 小球在开始振动时的位置离平衡位置的距离为 C. 小球往复运动一次经过的时间为秒 D. 当时，小球向上运动 11. 设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ） A. 若且，则双曲线的两条渐近线的方程是 B. 若，则的面积等于 C. 若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 D. 以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____． 13. 的展开式中的系数为________． 14. 在数列中，，．数列满足（）.若是公差为2的等差数列，则的通项公式为______，的最小值为______． 四．解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 李华参加一次招聘考试，已知共有8道题目，他只能答对其中5道. 若随机抽取3道让李华回答，规定至少要答对其中2道才能通过考试. （1）记为李华答对的题目数，求的分布列及数学期望； （2）求李华能通过考试的概率. 16. 已知菱形中，，，为中点，如图一所示，现将沿着折起，使得点到达点，如图二所示． （1）当时，证明：平面平面； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值． 17. 如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，. （1）已知，且 （i）当时，求的面积； （ii）若，求. （2）已知，且，求AC的最大值. 18. 已知椭圆的离心率为分别是椭圆的右顶点，上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点不在轴上，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值. 19. 已知函数 . （1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值; （2）设，若函数在区间为严格递减函数时，求实数的取值范围; （3）对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $