新疆石河子第一中学2025-2026学年高三下学期5月素养测评数学试卷

**基本信息** 该试卷聚焦高中数学主干知识，通过复数、立体几何、函数导数等模块，结合概率统计应用、圆锥曲线综合等解答题，考查数学思维的推理与运算能力及数学语言的模型表达，适配月考素养测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、集合、向量、解三角形等|基础概念与空间观念结合，如立体几何交点位置判断| |多选题|3/18|概率统计、三角函数、抛物线|选项分层设计，如正态分布与独立性判断| |填空题|3/15|三角恒等变换、二项式定理、外接球|空间几何与轨迹结合，考查抽象能力| |解答题|5/77|数列与三角函数、概率统计、立体几何探究、函数导数证明、椭圆抛物线综合|注重综合性与创新意识，如立体几何存在性问题、函数极值点证明，呼应高考命题趋势|

石河子第一中学2026届数学素养测评 试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题:每题5分，共40分。 1．设复数z满足，，复数z所对应的点位于第四象限，则（    ） A． B． C． D． 2．设集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．若双曲线：（，）的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（   ） A．EF与GH平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点一定在直线AC上 D．EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 7．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 8．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题:部分选对得部分分，每题6分，共18分。 9．下列选项正确的是（    ） A．若随机变量，，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件与互斥. D．对于随机事件与，若，，则事件与独立. 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为π B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上有3个零点和2个极值点 11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若为的准线上任意一点，则（    ） A．直线若的斜率为，则 B．的取值范围为 C． D．的余弦有最小值为 三、填空题：每题5分，共15分。 12．已知角满足，则_______. 13．若的展开式中的系数为20，则的最小值为____________. 14．在三棱锥中，已知，，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则动点的轨迹长度为____________． 四、解答题：共77分。 15．（13分）记为等差数列的前n项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)设函数，记，求数列的前21项和. 16．（15分）为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； (2)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 17．（15分）如图，四棱锥中，底面，，. (1)求平面与平面所成角的余弦值； (2)已知，分别为线段，上的动点，是否存在这样的点，，使得，，，四点共面、且该平面与平面垂直？若存在，请确定点，的位置；若不存在，请说明理由. 18．（17分）已知函数，是的导函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的极值点个数； (3)若有两个极值点，证明：. 19．（17分）已知椭圆（）和抛物线（），在，上各取两个点，这四个点的坐标为，，， (1)求，的方程； (2)若直线l过椭圆的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，直线与x轴交于点D，当的面积最大时，求直线l的方程； (3)设M是在第一象限上的点，在点M处的切线与交于P，Q两点，线段的中点为N，过原点O的直线与过点M且垂直于x轴的直线交于点R.证明：点R在定直线上. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石河子第一中学2026届数学素养测评 答案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设复数z满足，，复数z所对应的点位于第四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由复数模求参数、复数加减法的代数运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】设复数，根据已知条件求出可得答案. 【详解】设复数，因为， 所以，又，解得， 因为复数所对应的点位于第四象限，所以， 所以. 故选：B. 2．设集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据题意，，可得到，进行计算即可. 【详解】由题意可知，，所以，对于任意的，有，故需要满足， 若，则存在但，不符合条件， 综上，实数a的取值范围是. 故选：C. 3．已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据投影向量可得数量积，结合夹角公式可得答案. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，即； ，； 设向量与向量的夹角为，则， 因为，所以； 故选：D. 4．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】应用余弦定理得出，再应用面积公式计算求解. 【详解】由余弦定理得， 所以， 则的面积为. 故选：B. 5．若双曲线：（，）的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【详解】依题意，，则， 即，即，解得， 故所求渐近线方程为． 6．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（   ） A．EF与GH平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点一定在直线AC上 D．EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的线共点问题 【分析】连接，根据题意，证得且，设和相交于点，得到平面且平面，进而得到答案. 【详解】如图所示，连接，因为分别是上的点，且， 所以，且， 又因为点分别是边的中点，所以，且， 所以且，所以和相交， 设和相交于点，则平面且平面， 因为平面平面，所以点在直线上. 7．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.51 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】先由为奇函数推得，再由为偶函数推得，即得4是的一个周期，通过赋值代入求得，再由周期性即可求得答案. 【详解】因为为奇函数，所以， 令，则，即①； 因为为偶函数，所以， 令，则，即， 所以，所以，即②， 所以，所以4是的一个周期． 由① 式，取，可得，即得， 又由② 式，取，可得 故，， 由② 式，取，可得，取，可得， 故， 则. 8．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.38 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】对不等式进行变形为，进而把问题转化为函数在区间上单调增，再转化为在上成立的问题， 再通过分离参数，最后构造函数求解问题. 【详解】当时，不等式恒成立 可变形为, 设, 那么当时,有,即在区间上单调增， 在上成立，即, 设,那么, 令,得 , 令,得 , 令,得 , 所以，函数在处取得极小值，也就是最小值， ,,实数a的取值范围为. 【点睛】本题主要考查导数的应用，关键点在于：对不等式进行变形为,进而把问题转化为函数在区间上单调增是;最后，构造函数,通过导数来求极值与最值,属于较难题. 二、多选题 9．下列选项正确的是（    ） A．若随机变量，，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件与互斥. D．对于随机事件与，若，，则事件与独立. 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、二项分布的方差、指定区间的概率 【分析】对A直接根据二项分布的方差公式计算可得；对B根据正态分布的对称性求概率可得；对C直接举反例说明可得；对D根据相互独立事件的定义判断可得. 【详解】对于A，若，二项分布方差公式为， 得：，解得，故A正确； 对于B，正态分布关于对称轴对称，因此， 对于连续型正态分布，单点概率为，故： ，故B正确； 对于C，互斥事件的定义是：不可能同时发生的两个事件. 当第一次掷出点（满足事件）， 第二次掷出点时，两次点数和为奇数（满足事件），说明可以同时发生，不是互斥事件，故C错误； 对于D，事件独立的充要条件（）为即. 由得，因为，满足， 因此，事件与独立，故D正确 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为π B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上有3个零点和2个极值点 【答案】AB 【难度】0.6 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【详解】函数. 的最小正周期为，所以A正确； ，是函数图象的最高点，所以函数的图象关于直线对称，所以B正确； 当时，， 令，， 因为单调递增，且在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上先单调递增，后单调递减.C错误. 当时，， 当且仅当时，取得极大值；当且仅当时，取得极小值； 当且仅当或时，； 所以在区间上有2个零点和2个极值点，所以D错误. 11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若为的准线上任意一点，则（    ） A．直线若的斜率为，则 B．的取值范围为 C． D．的余弦有最小值为 【答案】BCD 【分析】对于抛物线的焦点弦相关问题，首先要熟悉一些二级结论，如A项，若记得焦点弦关于倾斜角的弦长公式则可以秒杀；B项熟悉“以焦点弦为直径的圆与准线相切”则可以迅速判断结论；而对于C,D两个选项，则需要将直线与抛物线方程联立，借助于韦达定理进行计算推理才可得到. 【详解】对于A选项，由题知，的斜率为，则， 代入整理得：， 设，则而；故A项错误； 对于B选项，∵以焦点弦为直径的圆与准线相切，为的准线上任意一点， 则点在以为直径的圆上或圆外， ∴， 当在直线上时，，即的取值范围为，故B项正确； 对于C选项，设，，， 设，联立,消元得：， 则 故，故C项正确； 对于D选项， ， 即的余弦的最小值为，故D项正确． 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的焦点弦的相关问题. 解决过焦点的直线与抛物线相交的相关问题，一般需要二级结论和常规方法相结合，如焦半径，焦点弦的长度公式，以焦半径为直径的圆与轴相切，以焦点弦为半径的圆与准线相切等结论需要熟悉，另外在选设直线方程时，常设成的形式便于计算解题，在代换字母时，常常通过抛物线方程代换计算较易. 三、填空题 12．已知角满足，则_______. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【详解】 ． 13．若的展开式中的系数为20，则的最小值为____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、由项的系数确定参数 【分析】求得二项式的通项公式，结合题意，求得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 当时，可得的系数，即，即， 则， 当且仅当时，即或时，等号成立， 所以的最小值为. 14．在三棱锥中，已知，，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则动点的轨迹长度为____________． 【答案】 【难度】0.38 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、立体几何中的轨迹问题 【分析】先根据外接球的体积求得外接球的半径，再根据三棱锥的体积求得点到平面的距离，得到点在平行于平面的平面上，然后求得外接球球心到平面的距离，进而得到外接球球心到点所在的平面的距离，得到点的轨迹是圆即可. 【详解】如图所示，设三棱锥外接球的半径为， 则由外接球的体积为，解得． 因为，，，所以， 所以，所以， 设点到平面的距离为， 则三棱锥的体积为，解得，即， 所以点在平行于平面的平面上． 因为，所以的外接圆的圆心为的中点，则外接圆的半径为， 所以外接球的球心到平面的距离为， 即，所以球心到点所在平面的距离为，即， 在直角中，可得， 所以点的轨迹为以为半径的圆，故动点的轨迹长度为． 四、解答题 15．记为等差数列的前n项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)设函数，记，求数列的前21项和. 【答案】(1) (2)21 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、等差数列前n项和的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）方法一：利用等差数列的通项公式和前n项和公式进行求解即可； 方法二：利用等差数列的性质和前n项和公式进行求解即可； （2）方法一：利用分组求和法进行求解即可； 方法二：判断函数的对称性，利用函数的对称性进行求解即可. 【详解】（1）方法一：设等差数列的公差为，则 解得 所以. 方法二：设等差数列的公差为， 因为是等差数列，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以. （2）方法一：因为， 所以， 所以 . 方法二：因为， 所以， 所以， 所以曲线关于点中心对称， 因为是等差数列， 所以， 因为的对称中心为， 所以， 同理可得：，, 所以. 16．为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； (2)当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； (3)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3) 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、利用二项分布求分布列、二项分布的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均值的求法求解即可； （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图，得到“滇超达人”在竞赛人数中所占的比例，即得到随机从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率，利用服从二项分布，可得其分布列及数学期望； （3）利用全概率公式可得. 【详解】（1）由频率分布直方图，这组数据的平均值为 （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图， 得到“滇超达人”在竞赛人数中的占比为， 即从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率为； 易知， 所以， ， ， . 所以X的分布列为 X的数学期望是. （3）由三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5，得在所有的“滇超达人”中随机抽选一人， 则这名学生是甲、乙、丙三校学生的概率分别是. 已知参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%， 所以根据全概率公式可得，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人， 这名学生是“滇超达人”的概率为. 17．如图，四棱锥中，底面，，. (1)求平面与平面所成角的余弦值； (2)已知，分别为线段，上的动点，是否存在这样的点，，使得，，，四点共面、且该平面与平面垂直？若存在，请确定点，的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点位于线段上的中点、点位于线段上靠近点的三等分点． 【难度】0.6 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【分析】（1）方法一：由面面角的定义确定二面角的平面角，计算即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，由面面角向量法计算求解； （2）由面面垂直的判定定理及四点共面结合相似三角形计算即可求解；方法二：由面面垂直的判定定理及空间向量共面的基本定理计算求解；方法三：建立空间直角坐标系，设，，由面面垂直向量法即空间向量共面的基本定理计算求解. 【详解】（1）方法一：因为， 所以，即 因为平面平面，所以， 又因为平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为平面与平面所成的角， 因为，所以， 即平面与平面所成角的余弦值为； 方法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示， 由已知，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，所以， 因为底面，所以平面的法向量为， 因此平面与平面所成角的余弦值为 ； （2）方法一：取线段上的中点，因为，所以， 由（1）可知平面平面，所以， 又因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 延长、交于点，连接，并延长交线段于点， 则，，，四点共面， 过点作，交延长线于点， 因为，所以① 因为，， 所以，同理可得， 所以，，故， 所以是的中点， 因为，所以② 联立①②可得，即， 所以存在这样的点，满足题意， 此时点位于线段上的中点、点位于线段上靠近点的三等分点． 方法二：取线段上的中点，因为，所以， 由（1）可知平面平面，所以， 又因为平面平面PBC，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示， ， 假设存在这样的点，使得，，，四点共面， 不妨设（其中）， 则， 因为存在唯一的有序实数对，使得， 所以， 解得，此时， 所以存在这样的点，满足题意， 此时点位于线段上的中点、点位于线段上靠近点的三等分点． 方法三：以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示， ， 假设存在这样的点，， 不妨设（其中），（其中）， 则 设平面的法向量为，则， 即， 令，则，所以， 因为平面与平面垂直， 由（1）可得平面的法向量为 由，可得，此时， 又因为，，，四点共面， 所以存在唯一的有序实数对，使得， 即， 解得，此时， 所以存在这样的点，满足题意， 此时点位于线段上的中点、点位于线段上靠近点的三等分点． 18．已知函数，是的导函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的极值点个数； (3)若有两个极值点，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为 (3)证明见解析 【难度】0.25 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究方程的根、函数极值点的辨析、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）构造函数，利用导数求解的单调性和最值，从而证得结论； （2）将问题转化为与位置关系的讨论问题，通过导数可求解出的单调性和最值，结合图象进行分析可得正负，进而得到极值点个数； （3）将所证不等式转化为证明，令，则只需证；根据极值点偏移的证明逻辑，构造函数，利用导数可证得，结合分析法可得到结论. 【详解】（1）当时，， 令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，即. （2）由题意知：定义域为，， 令，则， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，且当时，；当时，； 由此可得大致图象如下图所示， ①当，即时，与有唯一交点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有唯一的极小值点，无极大值点； ②当，即时，与交于两点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有一个极小值点，一个极大值点； ③当，即时，恒成立，即恒成立， 在上单调递减，无极值点； 综上所述：当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为. （3）由（2）知：若有两个极值点，则，此时； ， ， 要证，只需证， 即证， 只需证，即证， ，， 令，则与交于两点，其中，则， ，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 要证，只需证，即证， ，，在上单调递减，只需证， 又，只需证， 令，则， ，，，在上单调递增， ，又，， 即，原不等式得证，即. 【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 19．已知椭圆（）和抛物线（），在，上各取两个点，这四个点的坐标为，，， (1)求，的方程； (2)若直线l过椭圆的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，直线与x轴交于点D，当的面积最大时，求直线l的方程； (3)设M是在第一象限上的点，在点M处的切线与交于P，Q两点，线段的中点为N，过原点O的直线与过点M且垂直于x轴的直线交于点R.证明：点R在定直线上. 【答案】(1)， (2)或 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）先将四个点代入抛物线方程，判断哪些点在上，进而求出得到的方程，将剩余的点代入椭圆方程，结合，求出和得到的方程； （2）先求出椭圆的左焦点的坐标，设出直线的方程联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到坐标的关系，写出的坐标，令得到点的坐标，根据三角形面积公式表示出面积，求出直线的斜率，进而得到直线的方程； （3）设出点的坐标，通过抛物线切线公式求出切线的方程，联立切线与椭圆的方程，利用韦达定理求出中点的坐标，求出直线的方程，再求出过且垂直于轴的直线方程，联立这两个方程得到点的坐标，通过化简判断其是否在定直线上. 【详解】（1）抛物线满足与成正比，将四个点代入验证： 点和满足，得，故； 剩余两点、在椭圆上，代入椭圆方程： 将代入得，再代入得， 故； （2）设，，则，由题意可知直线的斜率存在，， 设直线l的方程为：， 由得：，此时， 所以，， 由直线BC的方程：得：， 令，则， 所以，此时，所以，当最大时， 的面积最大，而，即：，所以当的面积最大时， 直线l的方程为：或． （3）设，由得， 所以切线的方程为：， 设，，由得：， 由，得：，代入得：， 所以，所以， 由得：，所以点R在定直线上． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $