专题1.2平行线的性质与判定、图形的平移复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年浙教版数学七年级下学期.

专题1.2平行线的性质与判定、图形的平移复习讲义 （浙教版新教材） 高效复习◆重点 精准区分平行线的判定与性质，掌握二者逻辑关系，杜绝定理混用。 熟练识别三线八角，灵活运用定理完成角度计算、几何证明；掌握平行线标准作图方法。 熟记图形平移的核心性质，可解决平移相关周长、面积、线段计算及基础作图题。 规范几何推理书写，建立“位置关系↔数量关系”的几何思维，攻克本章高频易错题型。 核心题型◆归纳 题型1平行线的性质 题型2平行线的判定 题型3根据平行线的性质求角的度数 题型4平行线的性质在生活中的应用 题型5根据平行线的判定与性质求角度 题型6根据平行线的判定与性质证明 题型7图形的平移 题型8利用平移的性质求解 题型9平移作图 题型10利用平移解决实际问题 题型11平移综合题（几何变换） 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、平行线的判定：（由角定线） 补充判定定理：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 知识点二、平行线的性质：（由线定角） 知识点三、判定与性质核心区分（高频易错） 类别 已知条件 推导结论 核心口诀 平行线判定 角相等/互补 两直线平行 角定线 平行线性质 两直线平行 角相等/互补 线定角 易错点：无“两直线平行”前提，严禁直接使用同位角、内错角相等！证明平行用判定，已知平行求角用性质，不可混用。 知识点四、 图形的平移 1.平移定义与要素 定义：平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离的图形变换（如下图）. 两大核心要素：平移方向、平移距离（方向任意，不局限水平/竖直） 2.平移核心性质（满分重点） 形状大小不变：平移前后图形全等，仅位置发生改变； 对应点连线：对应点所连线段平行（或共线）且相等； 对应边角：对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等。 3.平移常考应用 利用平移拼接、转化图形，快速求解不规则图形的周长、面积，简化复杂线段计算。 题型解析◆精准备考 题型1平行线的性质 1．将一块含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的方式放置，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，由题意得， ∴， ∵直尺两边平行， ∴． 2．如图，，若，则________． 【答案】/60度 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到，可计算出，然后由，根据平行线的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，点、分别在线段、上，连接，若，，是的角平分线.试说明：． 解：∵是的角平分线， ∴________（________）， 又∵（已知）， ∴（________）， ∴________（内错角相等，两直线平行）， ∴（________）， 又∵（已知）， ∴（________）， ∴________.（________）． 【答案】；角平分线的定义；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；；同位角相等，两直线平行． 【分析】根据角平分线定义可得，进而可得，据此再根据平行线的判定定理可得出； 根据平行线的性质可得，所以有，再根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 题型2平行线的判定 1．如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当（   ）时，木条与平行（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：如图， 木条转动时． 当时，． ∴当时，木条a与b平行． 2．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是________．（填写所有正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查同一平面内直线的位置关系，解题关键是掌握平行线与垂线的相关性质，根据性质逐一判断每个结论即可． 【详解】解：①如果，，根据一条直线垂直于平行线中的一条，也垂直于另一条，可得，故①正确； ②如果，，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得，故②正确； ③如果，，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得，故③错误； ④如果，，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得，故④正确． 综上，①②④正确． 3．在横线上填上适当的内容，完成下面的推理过程． 已知直线，，，的位置如图所示，，，试说明：． 解：∵（____________）， （______________）， ∴________=________（同角的补角相等）， 又∵（已知）， ∴_______（等量代换）， ∴____________（_________________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，先结合，，得出，又因为，故，最后由内错角相等，两直线平行得出． 【详解】解：∵（已知）， （平角的定义）， ∴（同角的补角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行） 题型3根据平行线的性质求角的度数 1．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折（这种现象在物理上称为光的折射），与交于点D．若，光线射入水中偏折的角度（）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角相等，平行线的性质以及角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 2．如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为______度． 【答案】 【分析】过点作，可得，即得，又由平行线的推论得，得到，再根据平角的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，直线与被直线所截，与，分别交于M，N，且，． (1)证明：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直的定义和邻补角的定义可得，结合已知可得，即可得出结论； （2）由角平分线的定义结合邻补角的定义可得，根据可得，结合求解方程组即得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）解：平分， ， ， ， ， ， 即， 又， ，， ， ， ． 题型4平行线的性质在生活中的应用 1．一辆汽车的行驶路线如图所示，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次左拐 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质；两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么，这两次拐弯应是方向相反，角度相同，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，而两直线平行同位角相等， ∴这两次拐弯应是方向相反，角度相同，且由图可知拐弯的角度为锐角， ∴选项B第一次右拐，第二次左拐符合题意． 故选：B． 2．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与垂直，当发光的灯管恰好与平行时，，，则的度数为_____． 【答案】125°/125度 【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用，正确作出辅助线并熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图：过点C作，过点D作，根据得出，再根据平行线的性质求出的度数，进而完成解答． 【详解】解：如图：过点C作，过点D作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 题型5根据平行线的判定与性质求角度 1．2026年米兰冬季奥林匹克运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，已知，点在点的右侧，平分，平分，，所在直线交于点，． （1）___________． （2）若，则的度数是___________（用含的式子表示） 【答案】 25 【分析】（1）根据角平分线的定义即可得到答案； （2）过点E作，由角平分线的定义得到，再证明，则由平行线的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵平分，， ∴； （2）如图，过点E作， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数． (1)阅读并补充下面解答过程： 解：过点作， ___________，___________， ， ． (2)上述证明过程，了解并发现了“在解决几何时，适当地添加辅助线，可以有效地解决问题．”尝试解答下列问题： ①如图2，将直角三角板的顶点放在两平行线之间，，，探究与的数量关系，并说明理由； ②如图3，，，判断与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②． 【分析】（1）利用平行线的性质即可证明； （2）①作，利用平行线的判定和性质即可得到； ②作，，利用平行线的判定和性质即可得到． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， ； （2）解：①；理由如下： 作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②．理由如下： 作，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 题型6根据平行线的判定与性质证明 1．如图，下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A、若，根据同位角相等，两直线平行，可得，故本选项结论正确，不符合题意； B、若，根据内错角相等，两直线平行，可得，故本选项结论正确，不符合题意； C、若，根据两直线平行，同旁内角互补，可得，故本选项结论正确，不符合题意； D、若，根据两直线平行，同旁内角互补，可得，无法得出，故本选项结论不正确，符合题意． 2．潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置，常用于潜水艇，坑道和坦克内观察敌情．如图，潜望镜中的两面镜子和是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，，请利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线平行，将证明过程补充完整． 证明：∵， （______）． ∵，， （______）． ∵______，____________， ，（______）． ______． （______）． 【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；；；；；；内错角相等，两直线平行 【分析】读懂每步推理，结合平行线的判定与性质即可完成． 【详解】证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，， ∴，（等量代换） ∵，， ∴，， ∴， ∴．（内错角相等，两直线平行） 3．如图，点E，F分别是，上的点．已知，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，，垂足为A，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）首先由平行线的性质得到，等量代换得到，即可得到； （2）首先求出，然后得到，然后根据角平分线的定义得到，最后利用平行线的性质求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴． 题型7图形的平移 1．下列每组图形中，将右面的图形平移后可以得到左面的图形的一组是（   ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】根据平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，即可判断出答案． 【详解】解：A、两图形不全等，故本选项不符合题意； B、两图形是轴对称关系，故本选项不符合题意； C、两图形是旋转对称关系，故本选项不符合题意； D、将右面的图形平移后可以得到左面的图形，故本选项符合题意． 2．如图，将沿着射线方向平移，得到．若的周长是19，四边形的周长是24，则平移的距离是____． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是解本题的关键． 根据平移，得到，结合三角形和四边形的周长进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 的周长是， 四边形的周长是， ， 即平移的距离是． 故答案为：． 3．如图，在的方格纸中，点，，，都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上，并填空． (1)将图1中向右平移______格，再向上平移______格，使得点恰好与点重合，在图1中画出平移后的图形． (2)将图2中向右平移______格，再向上平移______格，使得点恰好落在平移后的三角形内部（不含边），在图2中画出平移后图形． 【答案】(1)1，3；平移后的图形见解析 (2)3，2；平移后的图形见解析 【分析】（1）按照经过平移后点恰好与点重合的平移规则，即可完成答案及作图； （2）根据题意可知内部唯一的一个格点，经平移后于点重合，即可找到平移规则及平移后的图形． 【详解】（1）解：∵点经过向右平移1格，再向上平移3格，恰好与点重合， ∴将向右平移1格，再向上平移3格，可得到对应的图形如图所示； （2）解：∵画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上，且使得点恰好落在平移后的三角形内部（不含边），而内部的格点只有唯一的一个， ∴将向右平移3格，再向上平移2格，可得到对应的图形如图所示． 题型8利用平移的性质求解 1．如图，两个直角三角形重叠在一起，沿点到点的方向将其中一个平移到的位置，，，，平移距离为12，则阴影部分的面积为（    ） A．190 B．191 C．195 D．192 【答案】D 【分析】先判断出阴影部分面积等于梯形的面积，再根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：由平移的性质可知，，， ， 阴影部分的面积， 平移距离为12， ， ，， ， 阴影部分的面积为：． 2．如图，的边长为3，把沿方向平移2个单位长度，得到，连接，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 / 【分析】本题考查了平移的性质与三角形面积的计算，解题的关键是利用平移前后图形的高不变，先求出三角形的高，再计算阴影部分面积；易错点是混淆平移距离与线段长度，误将的长度直接作为阴影部分的底边长． 先根据平移的性质，结合的面积求出的高，再计算阴影部分的底边长，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：由平移的性质可知，，与的高相等，设高为． 解得 故答案为：． 3．如图，将沿射线方向平移得到，点位于点和点之间． (1)如果，，求移动的距离的长． (2)与是否平行？并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据平移的性质可得，再由边长的关系求解即可． （2）根据平移的性质判断即可． 【详解】（1）解：∵将沿方向平移得到， ， ， 即， 又，， ， ． （2）解：，理由如下： 是将沿方向平移得到的， ． 题型9平移作图 1．如图，在边长为1的正方形网格中，将周长为12的格点三角形ABC向右平移，得到三角形DEF（点A、B、C分别对应点D、E、F），则四边形AEFC的周长和面积分别为（    ） A．10，14 B．14，10 C．22，20 D．20，22 【答案】D 【分析】先画出平移图形，利用平移性质，得出四边形AEFC的边长，再由周长与面积公式求解． 【详解】解：如图， 因△ABC周长为12，则AB=3，BC=4，AC=5， 又由图知AD=4， 由平移性质，得CF=AD=4，DE=AB=3，EF=BC=4， ∴AE=AD+DE=7， ∴四边形AEFC的周长=AE+EF+FC+AC=7+4+4+5=20， 四边形AEFC的面积=（AE+FC）BC=(7+4)×4=22． 故选：D． 【点睛】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是银题的关键． 2．如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为______； ②当时，区域内的整点个数为______． 【答案】 3 3 【分析】本题主要考查了平移作图，根据题意画出平移后的图形是解题的关键． ①将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可； ②将图中正方形向左平移6.5个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可． 【详解】解：①当时，将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3； 解：①当时，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3． 故答案为：3,3 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形向上平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度，平移后得到三角形，其中直线l上的点是点A的对应点． (1)画出平移后得到的三角形； (2)三角形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点，即可； （2）利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2） 解：三角形的面积． 题型10利用平移解决实际问题 1．如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移性质得到绿化区的总长是，根据长方形的面积公式计算即得． 【详解】解：绿化区的面积是：． 2．如图是一个零件的示意图，每一转角处都是直角，边长数据如图所示，则该零件的周长是______． 【答案】32 【详解】解：由平移的性质知：该零件的周长是． 3．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)草地的面积为．理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，长方形面积的计算，掌握通过平移转化图形，将不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． （1）模仿图②的折线形式，设计一条有两个折点的折线，向右平移1个单位后连接端点，形成封闭图形； （2）剩余面积为大长方形面积减去阴影面积，阴影部分可通过平移转化为宽为，长为的长方形，面积为 b，因此剩余面积均为； （3）用平移法将小路左侧的草地向右平移个单位，拼成新的长方形，计算新长方形的面积即为草地面积． 【详解】（1）解：（答案不唯一）如图所示． （2）解：大长方形面积：都是； 阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是，长是，所以阴影面积都是； 剩余面积：大长方形面积−阴影面积； ∴． 故答案为：；   ； ． （3）解：草地的面积为． 理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移个单位长度， 得到一个新长方形，它的长为，宽为，故其面积是． 题型11平移综合题（几何变换） 1．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接．则下列结论： ①，； ②； ③四边形的周长是18； ④； ⑤点到的距离为2.4． 其中正确结论的个数有（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】设AC与DE的交点为H，根据平移的性质可得，然后可得，过点A作AG⊥BC于点G，则AG即为点A到BC的距离，然后利用等积法可进行求解． 【详解】解：设AC与DE的交点为H，如图所示： ∵，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接， ∴根据平移的性质知，，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴四边形的周长为 ，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 过点A作AG⊥BC于点G，则AG即为点A到BC的距离，如图， ∵， ∴，故⑤正确； ∴正确的个数有5个； 故选A． 【点睛】本题主要考查平移的性质及平行线的性质与判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，将折线向右平移得到折线，则折线在平移过程中扫过的面积是______． 【答案】6 【分析】利用平移的性质可判断四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，然后由平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD，根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵平移折线AEB，得到折线CFD， ∴四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形， ∴折线AEB在平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD =AO•EF+BO•EF =EF（AO+BO） =EF•AB =[2-（-1）]×[1-（-1）] =6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形-平移，熟练掌握平移的性质：把一个图形整体沿某一直线移动，得到新图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等是解决问题的关键． 3．如图，图形在方格（小正方形的边长为个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．例如：点按“平移量”（向右平移个单位，向上平移个单位）可平移到点；点按“平移量”可平移到点．    (1)填空：点按“平移量”（________，________）可平移到点； (2)若把图中三角形依次按“平移量”平移得到三角形． ①请在图中画出三角形（在答题卡上画图并标注）； ②观察三角形的位置，其实三角形也可按“平移量”（________，_______）直接平移得到三角形． 【答案】(1)， (2)①作图见详解；②， 【分析】（1）根据材料提示的“平移量”的方法“左移为负，右移为正，上移为正，下移为负”，结合图形与坐标，由此即可求解； （2）①将图形按平移量平移即可求解；②结合图示分析即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，点向右移动个单位，向上平移个单位可平移到点， ∴平移量为， 故答案为：，． （2）解：①三角形依次按“平移量”平移得到三角形，即先向右移动个单位，向下平移个单位，再向左移动个单位，向上平移个单位得到三角形，如图所示，    ②根据网格中三角形与三角形的位置可得，将三角形向右移动个单位，向下平移个单位得到三角形， ∴平移量为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查图形平移的规律，理解图示，掌握平移的规律，平移作图的方法是解题的关键． 过关检测◆提升 一、单选题 1．观察下面的图案，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移前后图形的大小，形状，方向都不变，只是位置发生改变，进行判断即可． 【详解】解：观察可知，A，B，D的图案的方向与题干的图案方向不同，只有选项C的图案可以通过平移得到． 2．下列图形中，能由得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项中，由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项符合题意； B、C、D这三个选项中，由，都不能得到 ． 3．机器人“夸父”是我国全运会历史上首个人形机器人火炬手．如图是“夸父”在传递火炬时的平面示意图．若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得 ，从而求出 的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质可得，再利用邻补角的性质解答即可求解． 【详解】解：如图，∵直尺的对边平行，， ， ． 5．如图是一个物理实验的截面示意图，其中与表示互相平行的板面，绳子的一端与木杆的一端相连，另一端点固定在上．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点N作，得出，求出，即可得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点N作， ， ， ，， ∴， ∴，， ． 二、填空题 6．在同一平面内有条线，，…，，如果，，，，……，那么直线与的位置关系是________． 【答案】平行 【分析】先根据垂直与平行的性质推导直线与后续直线的位置关系，总结位置关系的循环规律，再根据规律计算得到与的位置关系． 【详解】解：根据平行线和垂直的性质，推导与前若干条直线的位置关系如下： 由，，可得， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 以此类推，可知与各直线的位置关系按照“垂直，垂直，平行，平行”为一个周期循环，周期为， 从开始，直线是第条直线，计算得， 余数为，对应周期中第三个位置关系，即平行． 7．如图，一张长为，宽为的长方形白纸中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，平移后得一个矩形，一边长为，另一边长为，再根据面积相减即可，解题的关键是将图形平移得到一个新的矩形，用原矩形的面积减去平移后的面积即可． 【详解】解：将阴影部分的右边平移至右边可构成一个矩形，用原来矩形的面积减去平移后得到矩形的面积， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 8．如图，街道与平行，其中一个拐角，则另一个拐角的度数为_______． 【答案】/150度 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得答案． 【详解】解：∵街道与平行，即， ∴． 9．光在不同介质中的传播速度不同，因此当光从水中射向空气时，会发生折射，且在水中平行的光线射向空气中后也互相平行．如图，容器水平放置，平行光线，从水中射向空气时发生折射，已知，，则________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵光线在空气中也平行，.， ∴, ∵液面和底面平行，， ∴, ∴． 10．如图，线段和表示两面镜子，且直线直线，光线经过镜子反射到镜子，最后反射到光线．光线反射时，，，下列结论： ①直线直线； ②的平分线所在直线与的平分线所在直线平行； ③的平分线所在直线垂直于直线； ④如果，那么． 其中正确的是______（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据，，得出，即可证明；如图，分别是的平分线与的平分线，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，即可证明；根据角平分线的定义以及平角的定义可得，结合可得，根据得出，根据平角的定义得出，即，即可得出． 【详解】解：， ， 又，， ， 又，， ， ，∴结论①正确； 如图，分别是的平分线与的平分线 ∴， ∵ ∴ ∴即 ∴，故②正确 ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴，故③正确 ∵， ∴ ∴，即 ∵， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 三、解答题 11．如图：完成说理填空． (1)若，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ ， ____________（____________）， (2)若，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ ， ____________（____________）， (3)若，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ ， ____________（____________）． 【答案】(1) ，，内错角相等，两直线平行， (2) ，，同旁内角互补，两直线平行 (3) ，，平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行进行判断即可； （2）根据同旁内角互补，两直线平行进行判断即可； （3）根据平行于同一条直线的两条直线平行进行判断即可． 【详解】（1）解：， （内错角相等，两直线平行）； （2）解：， （同旁内角互补，两直线平行）； （3）解：， （平行于同一条直线的两条直线平行）． 12．如图，，求度数． 小明的思路是：过点作，如图2，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，求得的度数为______度； (2)如图3，，点在射线上运动，，，当点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请证明你的结论． (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出间的数量关系．（本题的解答过程不需要写理由．） 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)当点在直线左侧时，；当点在直线右侧时， 【分析】（1）根据平行线的判定和性质求解； （2）过点作，根据平行线的判定和性质证明； （3）分两种情况进行讨论，根据平行线的判定和性质求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：，证明如下： 如图3所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点在直线左侧时， 如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点在直线右侧时， 如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，当点在直线左侧时，；当点在直线右侧时，． 13．如图，在三角形中，点D在边上，为的角平分线，，与相交于点O，且． (1)判断和的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，得到，角平分线的定义和对顶角相等，推出，即可得证； （2）设，得到，，进而得到，再根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在方格纸内将经过一次平移后得到．图中标出了点B的对应点．    (1)补全根据下列条件，利用网格点和三角板画图； (2)的面积为 　 　； (3)求线段平移过程中扫过的面积S． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3)16 【分析】（1）根据平移的意义作图； （2）根据割补法求面积； （3）先确定扫过的图形是平行四边形，再根据割补法求面积． 【详解】（1）即为所求；    （2）的面积为：， 故答案为：8； （3）AB扫过的图形是平行四边形，面积为和面积的和， 所以． 【点睛】本题考查了作图的应用和设计，掌握割补法求面积是解题的关键． 15．劳动教育是发挥劳动的育人功能，对学生进行热爱劳动、热爱劳动人民的教育活动．昆明某中学准备在校园里整理一块边长为的正方形空地． (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路．求此方案中草坪种植的面积（即阴影部分的面积）； (2)方案二：在这块空地上修建一个长与宽的比为，面积为的白菜地．在这块空地上能否修建出符合要求的白菜地？请说明理由． 【答案】(1) (2)故在这块空地上不能修建出符合要求的白菜地 【分析】（1）通过平移拼接，将含小路的草坪转化为边长的正方形，计算面积即可； （2）按长宽比设未知数，求出所需白菜地的实际长，与空地边长比较判断是否可行． 【详解】（1）解：根据题意可知，草坪种植的面积为． （2）解：设白菜地的长为，则宽为， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 则白菜地的长为，宽为， ，， ，则， 故在这块空地上不能修建出符合要求的白菜地． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2平行线的性质与判定、图形的平移复习讲义 （浙教版新教材） 高效复习◆重点 精准区分平行线的判定与性质，掌握二者逻辑关系，杜绝定理混用。 熟练识别三线八角，灵活运用定理完成角度计算、几何证明；掌握平行线标准作图方法。 熟记图形平移的核心性质，可解决平移相关周长、面积、线段计算及基础作图题。 规范几何推理书写，建立“位置关系↔数量关系”的几何思维，攻克本章高频易错题型。 核心题型◆归纳 题型1平行线的性质 题型2平行线的判定 题型3根据平行线的性质求角的度数 题型4平行线的性质在生活中的应用 题型5根据平行线的判定与性质求角度 题型6根据平行线的判定与性质证明 题型7图形的平移 题型8利用平移的性质求解 题型9平移作图 题型10利用平移解决实际问题 题型11平移综合题（几何变换） 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、平行线的判定：（由角定线） 补充判定定理：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 知识点二、平行线的性质：（由线定角） 知识点三、判定与性质核心区分（高频易错） 类别 已知条件 推导结论 核心口诀 平行线判定 角相等/互补 两直线平行 角定线 平行线性质 两直线平行 角相等/互补 线定角 易错点：无“两直线平行”前提，严禁直接使用同位角、内错角相等！证明平行用判定，已知平行求角用性质，不可混用。 知识点四、 图形的平移 1.平移定义与要素 定义：平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离的图形变换（如下图）. 两大核心要素：平移方向、平移距离（方向任意，不局限水平/竖直） 2.平移核心性质（满分重点） 形状大小不变：平移前后图形全等，仅位置发生改变； 对应点连线：对应点所连线段平行（或共线）且相等； 对应边角：对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等。 3.平移常考应用 利用平移拼接、转化图形，快速求解不规则图形的周长、面积，简化复杂线段计算。 题型解析◆精准备考 题型1平行线的性质 1．将一块含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的方式放置，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，若，则________． 3．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，点、分别在线段、上，连接，若，，是的角平分线.试说明：． 解：∵是的角平分线， ∴________（________）， 又∵（已知）， ∴（________）， ∴________（内错角相等，两直线平行）， ∴（________）， 又∵（已知）， ∴（________）， ∴________.（________）． 题型2平行线的判定 1．如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当（   ）时，木条与平行（   ） A． B． C． D． 2．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是________．（填写所有正确的序号） 3．在横线上填上适当的内容，完成下面的推理过程． 已知直线，，，的位置如图所示，，，试说明：． 解：∵（____________）， （______________）， ∴________=________（同角的补角相等）， 又∵（已知）， ∴_______（等量代换）， ∴____________（_________________________）． 题型3根据平行线的性质求角的度数 1．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折（这种现象在物理上称为光的折射），与交于点D．若，光线射入水中偏折的角度（）为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为______度． 3．如图，直线与被直线所截，与，分别交于M，N，且，． (1)证明：； (2)若平分，，求的度数． 题型4平行线的性质在生活中的应用 1．一辆汽车的行驶路线如图所示，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次左拐 2．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与垂直，当发光的灯管恰好与平行时，，，则的度数为_____． 3．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 题型5根据平行线的判定与性质求角度 1．2026年米兰冬季奥林匹克运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，点在点的右侧，平分，平分，，所在直线交于点，． （1）___________． （2）若，则的度数是___________（用含的式子表示） 3．如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数． (1)阅读并补充下面解答过程： 解：过点作， ___________，___________， ， ． (2)上述证明过程，了解并发现了“在解决几何时，适当地添加辅助线，可以有效地解决问题．”尝试解答下列问题： ①如图2，将直角三角板的顶点放在两平行线之间，，，探究与的数量关系，并说明理由； ②如图3，，，判断与的关系，并说明理由． 题型6根据平行线的判定与性质证明 1．如图，下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置，常用于潜水艇，坑道和坦克内观察敌情．如图，潜望镜中的两面镜子和是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，，请利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线平行，将证明过程补充完整． 证明：∵， （______）． ∵，， （______）． ∵______，____________， ，（______）． ______． （______）． 3．如图，点E，F分别是，上的点．已知，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，，垂足为A，，求的度数． 题型7图形的平移 1．下列每组图形中，将右面的图形平移后可以得到左面的图形的一组是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将沿着射线方向平移，得到．若的周长是19，四边形的周长是24，则平移的距离是____． 3．如图，在的方格纸中，点，，，都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上，并填空． (1)将图1中向右平移______格，再向上平移______格，使得点恰好与点重合，在图1中画出平移后的图形． (2)将图2中向右平移______格，再向上平移______格，使得点恰好落在平移后的三角形内部（不含边），在图2中画出平移后图形． 题型8利用平移的性质求解 1．如图，两个直角三角形重叠在一起，沿点到点的方向将其中一个平移到的位置，，，，平移距离为12，则阴影部分的面积为（    ） A．190 B．191 C．195 D．192 2．如图，的边长为3，把沿方向平移2个单位长度，得到，连接，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为__________． 3．如图，将沿射线方向平移得到，点位于点和点之间． (1)如果，，求移动的距离的长． (2)与是否平行？并说明理由． 题型9平移作图 1．如图，在边长为1的正方形网格中，将周长为12的格点三角形ABC向右平移，得到三角形DEF（点A、B、C分别对应点D、E、F），则四边形AEFC的周长和面积分别为（    ） A．10，14 B．14，10 C．22，20 D．20，22 2．如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为______； ②当时，区域内的整点个数为______． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形向上平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度，平移后得到三角形，其中直线l上的点是点A的对应点． (1)画出平移后得到的三角形； (2)三角形的面积为______． 题型10利用平移解决实际问题 1．如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图是一个零件的示意图，每一转角处都是直角，边长数据如图所示，则该零件的周长是______． 3．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 题型11平移综合题（几何变换） 1．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接．则下列结论： ①，； ②； ③四边形的周长是18； ④； ⑤点到的距离为2.4． 其中正确结论的个数有（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，在平面直角坐标系中，将折线向右平移得到折线，则折线在平移过程中扫过的面积是______． 3．如图，图形在方格（小正方形的边长为个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．例如：点按“平移量”（向右平移个单位，向上平移个单位）可平移到点；点按“平移量”可平移到点．    (1)填空：点按“平移量”（________，________）可平移到点； (2)若把图中三角形依次按“平移量”平移得到三角形． ①请在图中画出三角形（在答题卡上画图并标注）； ②观察三角形的位置，其实三角形也可按“平移量”（________，_______）直接平移得到三角形． 过关检测◆提升 一、单选题 1．观察下面的图案，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．下列图形中，能由得到的是（   ） A． B． C． D． 3．机器人“夸父”是我国全运会历史上首个人形机器人火炬手．如图是“夸父”在传递火炬时的平面示意图．若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图是一个物理实验的截面示意图，其中与表示互相平行的板面，绳子的一端与木杆的一端相连，另一端点固定在上．若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在同一平面内有条线，，…，，如果，，，，……，那么直线与的位置关系是________． 7．如图，一张长为，宽为的长方形白纸中阴影部分的面积是______． 8．如图，街道与平行，其中一个拐角，则另一个拐角的度数为_______． 9．光在不同介质中的传播速度不同，因此当光从水中射向空气时，会发生折射，且在水中平行的光线射向空气中后也互相平行．如图，容器水平放置，平行光线，从水中射向空气时发生折射，已知，，则________． 10．如图，线段和表示两面镜子，且直线直线，光线经过镜子反射到镜子，最后反射到光线．光线反射时，，，下列结论： ①直线直线； ②的平分线所在直线与的平分线所在直线平行； ③的平分线所在直线垂直于直线； ④如果，那么． 其中正确的是______（填序号） 三、解答题 11．如图：完成说理填空． (1)若，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ ， ____________（____________）， (2)若，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ ， ____________（____________）， (3)若，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ ， ____________（____________）． 12．如图，，求度数． 小明的思路是：过点作，如图2，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，求得的度数为______度； (2)如图3，，点在射线上运动，，，当点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请证明你的结论． (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出间的数量关系．（本题的解答过程不需要写理由．） 13．如图，在三角形中，点D在边上，为的角平分线，，与相交于点O，且． (1)判断和的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 14．如图，在方格纸内将经过一次平移后得到．图中标出了点B的对应点．    (1)补全根据下列条件，利用网格点和三角板画图； (2)的面积为 　 　； (3)求线段平移过程中扫过的面积S． 15．劳动教育是发挥劳动的育人功能，对学生进行热爱劳动、热爱劳动人民的教育活动．昆明某中学准备在校园里整理一块边长为的正方形空地． (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路．求此方案中草坪种植的面积（即阴影部分的面积）； (2)方案二：在这块空地上修建一个长与宽的比为，面积为的白菜地．在这块空地上能否修建出符合要求的白菜地？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $