微专题 三元一次方程组【9类题型】（专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级下册

微专题 三元一次方程组【9类题型】 目录 题型一、代入法解三元一次方程组 1 题型二、加减法解三元一次方程组 3 题型三、整体代换解三元一次方程组 5 题型四、参数法解三元一次方程组 9 题型五、利用解三元一次方程组求值 14 题型六、消元思想求比值 16 题型七、利用矩阵解方程组 17 题型八、利用三元一次方程组解决创新问题 20 题型九、列三元一次方程组解决生活实际问题 23 题型一、代入法解三元一次方程组 例1 三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 变式1-1 三元一次方程组的解是___________． 变式1-2方程组的解是____________． 题型二、加减法解三元一次方程组 例2 下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 变式2-1 解方程组：． 变式2-2 解方程组：． 题型三、整体代换解三元一次方程组 例3 已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式3-1已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 变式3-2若，则_____． 变式3-3三元一次方程组的解为_____________． 变式3-4已知三元一次方程组   ，求x、y、z的值． 变式3-5已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 变式3-6阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③， 把方程①代入③得：，解得， 把代入①得：，解得， 所以，方程组的解为， 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组； (2)已知正整数x，y，z满足，试求x，y，z的值． 题型四、参数法解三元一次方程组 例4 解方程组． 变式4-1解方程组： 变式4-2解方程组：． 变式4-3用简便方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 题型五、利用解三元一次方程组求值 例5 若方程组的解满足方程，则k的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 变式5-1如果方程组的解使成立，求的值． 变式5-2在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式5-3已知，当时，；当时，；当时，，求a、b、c的值． 题型六、消元思想求比值 例6 已知x、y、z满足方程组，且，则_____． 变式6-1已知方程组，则 ___________． 题型七、利用矩阵解方程组 例7 现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．我们的目标是把矩阵变成下面这种样子：，这样就直接看出方程组的解为． (1)方程组对应的矩阵为_____． (2)关于的三元一次方程组的系数排成的矩阵为，则对应的方程组为_____，若为定值．求与满足的数量关系． 变式7-1阅读材料，回答问题． 探索《九章算术》中机械化算法思想 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案． 例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：            （1）                           （2）                （3）                   （4） 将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是，第三行的方程，易解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值． (1)直接写出示例方程组的解； (2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题： （i）解方程组： （ii）已知关于的方程组：有唯一解，求的取值范围． 题型八、利用三元一次方程组解决创新问题 例8 阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程的一组“好解”；是方程组的一组“好解”． (1)求方程的所有“好解”； (2)关于，，的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由． 变式8-1综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“亲民点”． 【初步运用】 (1)下列各点：①，②，③，其中是“亲民点”的有_________（只填序号）； 【深入理解】 (2)若第四象限内的点是“亲民点”，且点D到两坐标轴的距离相等，求点D的坐标； 【能力提升】 (3) 若点与点都是“亲民点”，求k的值． 题型九、列三元一次方程组解决生活实际问题 例9 如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则______． 变式9-1甲、乙、丙三人各有糖若干粒，要求互相赠送．先由甲给乙、丙，所给的糖数等于乙、丙原来各有的糖数，依同法再由乙给甲、丙现有糖数，后由丙给甲、乙现有糖数，互送后每人恰好各有粒，原来甲、乙共有糖______粒． 变式9-2 2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 变式9-3 母亲节到了，小明计划为妈妈准备康乃馨、玫瑰、百合三种鲜花．已知购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元． (1)求康乃馨和玫瑰的单价． (2)若百合的单价为6元，花店推出活动：每购买1支玫瑰，赠送1支百合．小明计划购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），其中康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，若购买鲜花的总费用为118.8元，求所有满足条件的购买方案． 变式9-4 小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给予的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 五一优惠大促☆倡导绿色节能，“国补”不孤单☆ 活动时间：5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 变式9-5 小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 五一优惠大促 ☆倡导绿色节能，“国补”不孤单！☆ 活动时间：5月1日－7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后  满6000元的再减600元 国补后  满8000元的再减1000元 国补后  满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 变式9-6 某公司装修需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．于是需将每张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)填空：上表中， ， ； (2)如果所购的标准板材为张，按裁法一、裁法二和裁法三全部裁完，且所裁出的、两种型号的板材块数与所需块数相符．问按三种裁法各裁标准板材多少张？ 试卷第1页，共3页 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 三元一次方程组【9类题型】 目录 题型一、代入法解三元一次方程组 1 题型二、加减法解三元一次方程组 3 题型三、整体代换解三元一次方程组 5 题型四、参数法解三元一次方程组 9 题型五、利用解三元一次方程组求值 14 题型六、消元思想求比值 16 题型七、利用矩阵解方程组 17 题型八、利用三元一次方程组解决创新问题 20 题型九、列三元一次方程组解决生活实际问题 23 题型一、代入法解三元一次方程组 例1 三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用加减消元法，将三元一次方程组逐步降元，先消去一个未知数转化为二元一次方程组，再逐步求解即可得到结果． 【详解】解：， ∵得， 得，解得， 将代入①得，解得， 将代入②得，解得， ∴原方程组的解为． 变式1-1 三元一次方程组的解是___________． 【答案】 【详解】解： 将③代入①得：④， 将③代入②得：⑤， 得：，即， 将代入③得：， 将代入④得：， 则方程组的解为． 故答案为：． 变式1-2方程组的解是____________． 【答案】 【详解】解：， 由，得， 解得 ， 把代入，得， 解得 ， 把，代入，得， 解得 ， 故原方程组的解为． 题型二、加减法解三元一次方程组 例2 下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用加减消元法对方程组求解，逐步求出未知数的值即可． 【详解】解： 得： 得：， 把代入得：， 解得， 把，代入得 ， 解得 方程组的解为． 变式2-1 解方程组：． 【答案】 【分析】先将三个方程相加可得，再分别减去三个方程可得出方程组的解． 【详解】解：， ，得， 即， ，得， ，得， ，得， ∴方程组的解为． 变式2-2 解方程组：． 【答案】 【分析】用，消去z得出关于x，y的方程组，再消去y求出x，然后求出方程组的解． 【详解】解：， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入④，得，解得：， 把代入③，得，解得：， ∴原方程组的解为． 题型三、整体代换解三元一次方程组 例3 已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程组的简便求解，核心是运用整体思想，无需单独求解、、的具体值，通过将三个方程左右两边分别相加，可快速得到的值． 【详解】解：已知三元一次方程组， 将三个方程左右两边分别相加，得：， 即， 两边同时除以2，得：； 故选：C． 变式3-1已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，将代入方程组，然后相加求解即可． 【详解】解：∵是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得． 故选：A． 变式3-2若，则_____． 【答案】 【分析】将已知条件拆分为三个等式，将三个等式左右两边分别相加，即可求出所求式子的值． 【详解】解：根据题意得， ①②③得：，即， 则． 变式3-3三元一次方程组的解为_____________． 【答案】 【详解】解：， 可得， 整理得， 得， 得， 得， 因此原方程组的解为． 变式3-4已知三元一次方程组   ，求x、y、z的值． 【答案】 【详解】解：将方程组中的三个方程相加，得， 整理，得，， 又，，， ∴，，． 变式3-5已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的求解与代数式求值，核心思路是先通过方程组消元，将、、用含的代数式表示，再代入给定的等式构建关于的一元一次方程，进而求出的值． 【详解】解：已知方程组， ①+②+③，得：，即④， ④-②，得； ④-③，得； ④-①，得； ∴，解得． 变式3-6阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③， 把方程①代入③得：，解得， 把代入①得：，解得， 所以，方程组的解为， 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组； (2)已知正整数x，y，z满足，试求x，y，z的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将看作整体，依照例题求解即可； （2）将看作整体，将②变形后代入①化成，求得，得到，再根据x，y都是正整数，求解即可． 【详解】（1）解：， 由②得，即③， 将①代入③得，， 解得， 把代入①得：，解得， 所以，方程组的解为； （2）解：， 由②得，即③， 将③代入①得， 解得， ∴， ∵x，y都是正整数， ∴， ∴． 题型四、参数法解三元一次方程组 例4 解方程组． 【答案】 【分析】设，，，原方程组整理得到，设，进而用k表示出x、y、z，然后代入，求得k的值，即可解答． 【详解】解：设，，， 则原方程组变形为， 通分整理得， 设， 则， 解得，代入， 得， 解得， ∴， ∴． 变式4-1解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了比的应用，解三元一次方程组，解题的关键是正确运用连比求解． 依题可设，然后代入下面方程求解即可． 【详解】解：依题意可设， ∴， ∴， ∴ ∴原方程组的解为：． 变式4-2解方程组：． 【答案】 【分析】先设，再求出，即可得出，然后用分别减去三个方程求出方程组的解即可． 【详解】解：设，则， ∴． ∵， 即， ∴， 解得：， ∴， 由， ，得， ，得， ，得， ∴方程组的解为． 变式4-3用简便方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二元一次、三元一次方程组的简便解法，掌握整体代入、换元法、设比例系数法和加减消元法等技巧，是快速解方程组的关键． （1）观察到第一个方程可整理为，第二个方程含，用整体代入法简化计算； （2）方程组中重复出现和，用换元法设，转化为关于的方程组，简化运算； （3）连比形式的方程组，用设比例系数法，设，将用表示，代入第二个方程求解； （4）两个方程的系数差相等，用加减消元法先相减得到，再整体代入原方程快速求解． 【详解】（1）解： 将①代入②： 将代入①： 解得：​ （2）解：设 ， 方程组变为：​ ①+②： 代入②： 即 ， 解得 （3）解：设 ， 则, 代入： 代入得 ： （4）解： 由①-②得： 由①：， 代入③： ， ， 将代入③：， 解得： 题型五、利用解三元一次方程组求值 例5 若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用加减消元的思想，先将三个方程相加求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得： ， ∴， ， 将代入得： ， 解得：． 变式5-1如果方程组的解使成立，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，正确计算是解题的关键． 求出方程组的解得到的值，代入已知等式计算即可求出的值． 【详解】解：解方程组 得：， 解得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为： ，解得． 变式5-2在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：∵等式中，当时，；当时，；当时，； ∴， 解得：． 变式5-3已知，当时，；当时，；当时，，求a、b、c的值． 【答案】 【分析】将，；，；，分别代入，得到三元一次方程组，再解方程组即可． 【详解】将，；，；，分别代入 得，， 解得． 题型六、消元思想求比值 例6 已知x、y、z满足方程组，且，则_____． 【答案】 【分析】把看做是常数，可得，再分别求解x，y的值，从而可得答案． 【详解】解：，整理得：， 得：， ， 把代入①得：， ． 变式6-1已知方程组，则 ___________． 【答案】 【分析】利用加减消元法表示出，，即可解答； 【详解】解：， 得③， 得，化简得， 把代入①式，得，解得， ∴， 即． 题型七、利用矩阵解方程组 例7 现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．我们的目标是把矩阵变成下面这种样子：，这样就直接看出方程组的解为． (1)方程组对应的矩阵为_____． (2)关于的三元一次方程组的系数排成的矩阵为，则对应的方程组为_____，若为定值．求与满足的数量关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意即可写出方程组对应的矩阵； （2）由题意即可写出矩阵对应的方程组，由方程组即可得与满足的数量关系． 【详解】（1）解：由题意得，方程组对应的矩阵为：． （2）解：由题意得，矩阵对应的方程组为， 得，， ∴， ∵为定值， ∴，即． 变式7-1阅读材料，回答问题． 探索《九章算术》中机械化算法思想 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案． 例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：            （1）                           （2）                （3）                   （4） 将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是，第三行的方程，易解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值． (1)直接写出示例方程组的解； (2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题： （i）解方程组： （ii）已知关于的方程组：有唯一解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值； （2）根据材料的方法仿照解题即可． 【详解】（1）解：方程组， 由③得，， 代入②，解得， 代入①，解得， ∴方程组的解为； （2）解：（i）方程组， 仿照材料可得： 最后一个数阵对应的方程组是， 由⑥得， 代入⑤，解得， 代入④，解得， ∴方程组的解为； （ii）方程组， 仿照材料可得： 最后一个数阵对应的方程组是 ， 当，即时， 由⑥得， 代入⑤，解得， 代入④，解得， ∴方程组的解为，符合题意； ∴． 题型八、利用三元一次方程组解决创新问题 例8 阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程的一组“好解”；是方程组的一组“好解”． (1)求方程的所有“好解”； (2)关于，，的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)有，，， 【分析】（1）根据题意求得方程的所有非负整数解即可； （2）将第一个方程两边同时乘以再与第二个方程相减后得到关于，的方程，然后根据题意求得其所有非负整数解即可． 【详解】（1）解：∵方程， ∴， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴方程的所有“好解”是，，，； （2）解：， ①②，得：， 整理化简，得：， ∴， 将代入①，得：， ∴， ∵“好解”是非负整数解， ∴，，都是非负整数， 当时，恒成立， ∴， 解得：， ∴（是非负整数）， ∴可以取，，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴关于，，的方程组有“好解”，“好解”为，，． 变式8-1综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“亲民点”． 【初步运用】 (1)下列各点：①，②，③，其中是“亲民点”的有_________（只填序号）； 【深入理解】 (2)若第四象限内的点是“亲民点”，且点D到两坐标轴的距离相等，求点D的坐标； 【能力提升】 (3)若点与点都是“亲民点”，求k的值． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【分析】（1）将点代入，进行判断即可； （2）根据题意，易得，代入，进行求解即可； （3）先把代入求出的关系，再把代入，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故①，②，③，三个点均是“亲民点”； （2）解：∵第四象限内的点，到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， ∵点是“亲民点”， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵点是“亲民点”， ∴， 整理，得， ∵是“亲民点”， ∴， 整理，得， ∵， ∴， 解得． 题型九、列三元一次方程组解决生活实际问题 例9 如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则______． 【答案】1 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，以及正方体相对两个面上的文字．根据相对的两个面的代数式的值相等可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：1． 变式9-1甲、乙、丙三人各有糖若干粒，要求互相赠送．先由甲给乙、丙，所给的糖数等于乙、丙原来各有的糖数，依同法再由乙给甲、丙现有糖数，后由丙给甲、乙现有糖数，互送后每人恰好各有粒，原来甲、乙共有糖______粒． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式、三元一次方程组的应用，设甲、乙、丙原来各有糖块粒、粒、粒，根据互赠的规则可得：第三次赠送后甲有粒，乙有粒，丙有粒，根据互赠后每人恰好各有粒，可列三元一次方程组，解方程组求出原来甲、乙分别有粒和粒，相加即为原来甲、乙共有糖粒的数量． 【详解】解：设甲、乙、丙原来各有糖块粒、粒、粒， 第一次赠送后甲有粒，乙有粒，丙有粒， 第二次赠送后甲有粒，乙有粒，丙有粒， 第三次赠送后甲有粒，乙有粒，丙有粒， 互送后每人恰好各有粒， 可得：， 整理可得：， 得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 把，代入， 可得：， 解得：， ， 原来甲、乙共有糖粒． 故答案为：． 变式9-2 2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元 (2)一共有四种购买方案 (3)该班级共需花费元 【分析】（1）设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只，根据题意列出二元一次方程组，根据，都是正整数，确定方程的整数解，即可求解； （3）设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元，根据题意得出，共需花费，消去字母，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．   由题意得 解得 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只．   由题得 ， 化简得， ∴ ， 因为，都是正整数， 所以方程有4个正整数解， 分别为，，， 所以一共有四种购买方案． （3）解：设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元．   由题意得， 解得， 共需花费 （元） ， 答：该班级共需花费元． 变式9-3 母亲节到了，小明计划为妈妈准备康乃馨、玫瑰、百合三种鲜花．已知购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元． (1)求康乃馨和玫瑰的单价． (2)若百合的单价为6元，花店推出活动：每购买1支玫瑰，赠送1支百合．小明计划购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），其中康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，若购买鲜花的总费用为118.8元，求所有满足条件的购买方案． 【答案】(1) 康乃馨单价为3.6元，玫瑰单价为5.4元. (2) 满足条件的购买方案为：方案一，康乃馨22支，玫瑰4支，额外购买百合3支；方案二，康乃馨11支，玫瑰8支，额外购买百合6支. 【分析】（1）设康乃馨的单价为x元一支，玫瑰花的单价为y元一支，根据购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元，列出方程组进行求解即可； （2）根据购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），购买康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，购买鲜花的总费用为118.8元，列出三元一次方程组，得到，求解即可． 【详解】（1）解：设康乃馨的单价为x元一支，玫瑰花的单价为y元一支， 根据题意得， 解得， 答：康乃馨单价为3.6元，玫瑰单价为5.4元； （2）解：根据题意得， 消去c，并整理得，即， ∴， ∵为正整数，且， ∴或， 当时，， 当时，， 答：满足条件的购买方案为：方案一，康乃馨22支，玫瑰4支，额外购买百合3支；方案二，康乃馨11支，玫瑰8支，额外购买百合6支． 变式9-4 小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给予的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 五一优惠大促☆倡导绿色节能，“国补”不孤单☆ 活动时间：5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】(1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【分析】本题考查了方程组的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）根据国补的标准计算即可； （2）设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意列方程组并求解即可； （3）先根据国补标准计算三种电器的国补费用，再用总价减去国补、商店优惠、导购优惠的总和即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱、洗衣机、微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 变式9-5 小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 五一优惠大促 ☆倡导绿色节能，“国补”不孤单！☆ 活动时间：5月1日－7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后  满6000元的再减600元 国补后  满8000元的再减1000元 国补后  满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】(1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【分析】本题考查了方程组的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）根据国补的标准计算即可； （2）设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意列方程组并求解即可； （3）先根据国补标准计算三种电器的国补费用，再用总价减去国补、商店优惠、导购优惠的总和即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 变式9-6 某公司装修需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．于是需将每张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)填空：上表中， ， ； (2)如果所购的标准板材为张，按裁法一、裁法二和裁法三全部裁完，且所裁出的、两种型号的板材块数与所需块数相符．问按三种裁法各裁标准板材多少张？ 【答案】(1)， (2)按裁法一、裁法二和裁法三裁裁标准板材分别为张、张和张 【分析】（1）按裁法二裁剪时，块型板材块的长为，，所以无法裁出型板，按裁法三裁剪时，块型板材块的长为，，而块型板材块的长为所以无法裁出块型板，即可得出答案； （2）设按裁法一裁张，按裁法二裁张，按裁法三裁张，由题意等量关系列出一元三次方程组即可． 【详解】（1）解：按裁法二裁剪时，块型板材块的长为，， 无法裁出型板，则； 按裁法三裁剪时块型板材块的长为，， 可以裁出块型板， 而块型板材块的长为，， 无法裁出块型板，则， 故答案为：，； （2）设按裁法一裁张，按裁法二裁张，按裁法三裁张， 根据题意：， 解得：， 答：按裁法一、裁法二和裁法三裁裁标准板材分别为张、张和张． 【点睛】主要考查了三元一次方程组的应用，解答此题的关键是正确理解题意，在做题时要明缺所裁出型板材和型板材的总长度不能超过． 试卷第1页，共3页 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $