9.2.4总体离散程度的估计 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

讲课人： 日期： 9.2.4 总体离散程度的估计 学习目标 学习目标 核心素养 1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差）. 数学运算 2.理解离散程度参数的统计含义. 数学抽象 复习回顾 1.如何计算一组数据的第P百分位数？ 2.如何计算一组数据的平均数、中位数、众数？ 原始数据 直方图 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任意角α 的 终边与单位圆交于点P1 . (1) 作 P1 关于原点的对称点 P2 , 以 。P2 为 终边的角β与角α有什么关系？ 角 β, α 的三角函 数值之间有什么关系？ (2) 如果作P1 关于x 轴（或S轴） 的对称点 P3 （或 P4 ), 那么又可以得到什么结论？ 新课引入 问题：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 探索新知 通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7. 从这个角度看，两名运动员之间没有差别.但从图中看，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定. 10 环数 频率 4 5 6 7 8 9 （甲） 10 环数 频率 4 5 6 7 8 9 （乙） 如何度量成绩的这种差异呢？ 探索新知 一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到 甲命中环数的极差=10-4=6， 乙命中环数的极差=9-5=4. 可以发现甲的成绩波动范围比乙的大. 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少. 思考：根据上述的问题，思考一下极差的优缺点. 如何度量上述成绩的这种差异呢？ 极差越大，数据越分散，越不稳定 极差越小，数据越集中，越稳定 探索新知 思考：还有哪些特征量可以描述数据离散程度？ 可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度. 若射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远； 相反，若射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远. 如何定义？ 探索新知 假设一组数据是x1, x2,…, xn，用 表示这组数据的平均数. 我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即 可以得到这组数据x1, x2,…, xn到 的“平均距离”为 作为xi到 的“距离”. 想一想，为什么用“平均距离”刻画离散程度，用“总距离”行吗？ 行，但是不如“平均距离”更直观．“平均距离”具有无偏性,有效性,一致性的特点. 探索新知 探索新知 标准差的取值范围是非负值；标准差为0的一组数据都相等． 标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？ 探索新知 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差． 在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的．就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差． 思考：标准差与数据的离散程度或波动幅度有怎样的关系？ 探索新知 你能归纳计算方差的基本步骤吗？ ①计算平均值 ②计算每个数据与平均值的差的平方 ③将所有平方相加 ④将上述平方和除以数据个数 探索新知 思考：对于“如何对两位运动员的射击情况作出评价”的问题，你能用上面学习过的方法进行评价吗？ 我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，计算可得 s甲=2, s乙≈1.095. 由s甲>s乙 可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小．由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定. 如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置．如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则可以选甲． 小试牛刀 B 探索新知 例6：在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？ 解:把男生样本记为x1, x2,…, x23，其平均数记为 方差记为 把女生样本记为y1，y2，…，y27，其平均数记为 方差记为 把总样本数据 的平均数记为 方差记为 探索新知 根据方差的定义，总样本方差为 因此， 由 可得 同理可得 ① 探索新知 由 根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为 把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得 总样本的方差为51.4862，据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862. 探索新知 归纳总结：分层随机抽样的方差 探索新知 性质与规律 探索新知 方差= 每个小矩形的面积乘以（小矩形底边中点的横坐标-平均数）之和 频率分布直方图估计方差与标准差 课堂检测 B 当堂监测 B 当堂监测 D 当堂监测 C 课堂检测 5、某学校三年级一班有40人,将其随机平均分成两组,两组学生其中一次考试的成绩情况如表: 　　统计量 组别　　 平均成绩 标准差 第一组 90 6 第二组 80 4 求全班成绩的平均数和标准差. 课堂检测 课堂检测 还有没有别的计算方法？ 课堂小结 总体离散程度的估计 极差、方差和标准差的概念 样本方差、标准差的计算公式 课后作业 课本第215页课后习题（15分钟） 分层作业基础练（20分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： Sheet2 Sheet2 0.2 0.1 0 0.3 0.1 0.2 0.1 Sheet1 x 4 5 6 7 8 9 10 类别 1 0.2 0.1 0 0.3 0.1 0.2 0.1 类别 2 2.5 4.4 2 类别 3 3.5 1.8 3 类别 4 4.5 2.8 5 Sheet2 Sheet2 0 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 0 Sheet1 x 4 5 6 7 8 9 10 类别 1 0 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 0 类别 2 2.5 4.4 2 类别 3 3.5 1.8 3 类别 4 4.5 2.8 5 如果总体中所有个体的变量值分别为 ，总体平均数为 ，则称 为总体方差， 为总体标准差. 与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式，如果总体的 个变量值中，不同的值共有 （ ）个，不妨记为 ，其中 出现的频数为 ，则总体方差为 如果一个样本中个体的变量值分别为 ，样本平均数为 ，则称 为样本方差， 为样本标准差. 1.某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4，9.4，9.4，9.6，9.7，则该射手成绩的极差和方差分别是( ) A.0.2，0.127 B.0.3，0.016 C.0.4，0.080 D.0.3，0.216 解析：由题意得，该射手在一次训练中五次射击的成绩的极差为 ，平均值为 ，所以该射手成绩的方差 ，故选B. 如果 的平均数为 ，那么 的平均数是 ； 数据 与数据 的方差相等； 如果 的方差为 ，那么 的方差为 . 2.已知一组样本数据 , ,···, 的方差为10,且 .设 ，则样本数据 , ,···, 的方差为（ ） A.9.5 B.10.5 C.9.75 D.10.25 解析：设样本数据 ， ，···， 的平均数为 ，则 ， 设样本数据 ， ，···， 的平均数为 ，因为 ，所以 ，所以 . 3.小明在跨境电商平台上从国外购买了几件商品，这些商品的价格如果按美元计，则平均数为20，方差为50，如果按人民币计（汇率按1美元=7元人民币），则平均数和方差分别为( ) A.20，50 B.140，350 C.140，700 D.140，2450 解析：由题意知这些商品的价格如果按人民币计算，价格是按美元计算的价格的7倍，故按人民币计，则平均数和方差分别为 ， ，故选：D. 4.样本数据 ， ，···， 的平均数 ，方差 ，则样本数据 ， ，···， 的平均数､方差分别为( ) A.4,1 B.9,2 C.9,4 D.2,1 解析：由题设 ， ，所以 ， .故选:C. 解:设第一组20名学生的成绩为xi(i=1,2,…,20), 第二组20名学生的成绩为yi(i=1,2,…,20), 依题意有=(x1+x2+…+x20)=90, =(y1+y2+…+y20)=80, 故全班成绩的平均数为 (x1+x2+…+x20+y1+y2+…+y20) =×(90×20+80×20)=85. 设第一组学生成绩的标准差为s1,第二组学生成绩的标准差为s2, 则=(++…+-20), =(++…+-20)(此处,=90,=80), 又设全班40名学生成绩的标准差为s, 全班成绩的平均数为(=85),故有 s2=(++…++++…+-40) =(20+20+20+20-40) =×(62+902+42+802-2×852)=51. 所以s=.所以全班成绩的平均数为85分,标准差为. $