专题05二元一次方程组易错必刷题型专练(25大题型共计75道题)2025-2026学年沪教版五四制六年级数学下册

专题05二元一次方程组易错必刷题型专练 题型01.二元一次方程组的定义 题型02.二元一次方程的解 题型03.二元一次方程组的判定 题型04.二元一次方程组的解的判定 题型05.错解复原问题 题型06.方程组相同解问题 题型07.代入消元法 题型08.加减消元法 题型09.二元一次方程组的特殊解法 题型10.构造方程组求解 题型11.由方程组解的情况求参数 题型12.二元一次方程组的实际应用 题型13.二元一次方程组的几何应用 题型14.方案选择问题 题型15.行程问题 题型16.工程问题 题型17.数字问题 题型18.年龄问题 题型19.分配问题 题型20.销售利润问题 题型21.和差倍分问题 题型22.几何问题 题型23.图表信息问题 题型24.古代问题 题型25.三元一次方程组的定义及解 易错必刷题型01.二元一次方程组的定义 易错点：忽略“整式方程”“含未知数的项次数为1”的条件，误把含分母（含未知数）、乘积项的方程当成二元一次方程。 1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．是关于的二元一次方程，则实数________． 3．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型02.二元一次方程的解 易错点：误以为二元一次方程只有一组解，忽略“无数组解”的特点；检验解时漏代回原方程。 4．下列二元一次方程中，有一个解是的方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知是方程的解，则________． 6．关于，的二元一次方程均可以变形为的形式（其中，，均为常数且，），规定：(，，)为方程的“关联系数”． (1)二元一次方程的“关联系数”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的“关联系数”为，若为该方程的一组解，且，均为正整数，求，的值． 易错必刷题型03.二元一次方程组的判定 易错点：对“二元”理解错误（如含三个未知数的方程组）；误把不是一次的方程纳入方程组。 7．下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 8．下列方程组中属于二元一次方程组的有（    ） （1）（2）（3）（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 易错必刷题型04.二元一次方程组的解的判定 易错点：只代入其中一个方程检验，忽略“需同时满足两个方程”的核心要求。 10．方程组的解（    ）方程的解． A．一定是 B．一定不是 C．不一定是 D．以上都不对 11．有四组数：①②③④其中，______是方程的解，______是方程的解，______是方程组的解（填写序号）． 12．二元一次方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型05.错解复原问题 易错点：错解复原时，不知道“错解只满足未看错的方程”；复原后忘记检验原方程组的解。 13．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值___________． 14．解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 15．甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得 (1)甲把m错看成了什么？乙把n错看成了什么？ (2)试求原方程组的解． 易错必刷题型06.方程组相同解问题 易错点：不知道先联立不含参数的方程求公共解；求参数时代入错误的方程。 16．若二元一次方程组和同解，则可通过解方程组 ___________求得这个解． 17．若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 18．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 易错必刷题型07.代入消元法 易错点：变形方程时漏乘系数；代入消元时符号处理错误（如负号漏变）；消元不彻底导致计算混乱。 19．将方程变形为用含x的式子表示y，那么______． 20．已知，下图中任意三个“○”中的式子之和均相等，那么a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 21．用适当的方法解下列方程组． (1)； (2) 易错必刷题型08.加减消元法 易错点：方程同乘系数时常数项漏乘；加减消元时，符号运算错误；未消元彻底导致计算混乱。 22．已知  ，则_________． 23．用加减消元法解二元一次方程组，下面解法不正确的是（    ） A．①②，消去x B．①②，消去y C．①②，消去y D．①②，消去x 24．解方程组： (1)； (2)． 易错必刷题型09.二元一次方程组的特殊解法 易错点：换元法中设元错误；整体代入时，未找到整体关系；复杂方程组中不会选择最优解法。 25．已知方程组，则___________． 26．已知关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 27．阅读下列解方程组的方法，然后解决问题． 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法比较简便． 解：由①②，得，所以．③ 将③，得．④ ②，得，将代入③，得，所以原方程组的解是 (1)请采用上面的方法解方程组 (2)已知关于的方程组，该方程组的解为___________． 易错必刷题型10.构造方程组求解 易错点：根据题意列方程组时，等量关系找错；未知数设错（如单位不统一）。 28．写出一个解为的二元一次方程组：__________． 29．若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 30．对于有理数，规定新运算：，其中、是常数，已知，，求的比值． 易错必刷题型11.由方程组解的情况求参数 易错点：忽略“分母不为0”的条件；把“无数解”和“无解”的比例关系搞反。 31．若关于的方程组的解满足，则___________． 32．已知关于，的方程组，下列四个结论中正确的是（  ） ①当时，该方程组的解也是方程的解； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④不论取什么数，的值始终不变． A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④ 33．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)当时，求方程组的解； (2)当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，求a的值； (3)无论a取什么数，的值始终不变，直接写出这个值． 易错必刷题型12.二元一次方程组的实际应用 易错点：等量关系找错（如和差倍分理解错误）；单位不统一（如元与角、米与千米混用）。 34．为响应“数字校园”建设，某校采购一批智能答题器和错题打印机，用于课堂教学，已知采购2台智能答题器和3台错题打印机共花费1480元，采购4台智能答题器和1台错题打印机共花费1840元．若设1台智能答题器的价格为元，1台错题打印机的价格为元，则可列方程组为________． 35．龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是，杯顶高与杯身高之和是，设杯身高为，底座高为，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 36．某校420名师生利用春假到皖南进行两天研学活动，客车公司有两种车型可以供选择： 车型 座位数（个/辆） 租金（元/天） 甲种 30 360 乙种 50 400 经计算，学校计划租用10辆客车，满足每辆车正好坐满，且每人都有座位，问学校需向客车公司支付多少元？ 易错必刷题型13.二元一次方程组的几何应用 易错点：周长、面积公式记错；几何关系理解错误（如长方形长和宽的关系）。 37．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 38．如图是用4个相同的长方形与1个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1，设长方形的两邻边长分别为x，y，且x与y的比是，下列关系式错误的是（   ） A． B． C． D．， 39．在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 易错必刷题型14.方案选择问题 易错点：未考虑未知数的正整数解；漏数可行方案；忽略题目中的限制条件。 40．某公司要将一批货物运往某地，打算租用甲、乙两种货车，以前租用这两种货车的信息如下表： 第一次 第二次 甲种货车的辆数 2 5 乙种货车的辆数 3 6 累计运货量/t 15.5 35 现打算租用4辆甲种货车和7辆乙种货车，可一次刚好运完这批货物，则这批货物共有______t． 41．某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元．求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆． 42．长沙市某学校组织七年级学生开展“红色研学”活动，前往韶山毛泽东同志纪念馆参观．旅行社推出两种研学大巴车：45座中型客车和60座大型客车． (1)已知租用2辆中型客车和3辆大型客车共需费用6900元，租用3辆中型客车和1辆大型客车共需费用5100元．每辆中型客车和大型客车的租用费用分别是多少元？ (2)本次研学共有师生945人，旅行社推出优惠方案：租车总数量超过15辆时，所有车辆的租用费用均打九折．学校计划租用中型客车和大型客车共19辆，且刚好坐满所有车辆，请问按照优惠方案，学校本次租车共需要支付多少元？ 易错必刷题型15.行程问题 易错点：相遇/追及问题的路程关系搞反；顺水/逆水速度公式记错；单位时间与路程不匹配。 43．已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时，那么甲乙两地的公路长（    ） A． B． C． D． 44．连接两地的高速公路全长为420km，一辆小汽车和一辆客车分别从，两地同时出发，相向而行，经过2.5h相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶了70km。为了求出小汽车、客车的平均速度，请你列出相应的方程组． 45．已知一辆快车长，一辆慢车长，若两车同向而行，快车从追上慢车到离开慢车共用；若两车相向而行，快车从与慢车相遇到离开慢车共用．求两车的速度． .易错必刷题型16.工程问题 易错点：工作效率、工作时间、工作量的关系搞混；总工作量未设为1；合作效率计算错误。 46．某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 47．虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 48．某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 易错必刷题型17.数字问题 易错点：多位数的表示方法错误（如两位数写成 ab 而非 10a+b ）；数字与数值的关系搞混。 49．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 50．有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 51．幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 易错必刷题型18.年龄问题 易错点：忽略“年龄差不变”的特点；计算时未同步增长年龄。 52．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 53．在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在______岁时，将为奶奶贺白寿． 54．一名学生问老师：“您今年多大？”老师说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了。”问：老师、学生今年多大了． 易错必刷题型19.分配问题 易错点：分配后剩余/不足的等量关系列反；未知数设反导致方程列错。 55．春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 56．王老师买了一批图书准备分给某班的学生阅读，若每名学生分3本书，则剩余18本书，若每名学生发4本书，则还少22本书．则这批书有多少本？ 57．丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 易错必刷题型20.销售利润问题 易错点：利润、利润率公式记错；成本、售价、折扣的关系理解错误。 58．小丹准备购进两种类型的便携式风扇出售．已知2台型风扇和1台型风扇进价共36元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元，则型风扇进货的单价是_________元，型风扇进货的单价是_________元． 59．某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价元/套 300 x 售价元/套 y 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元利润=售价-进价求表中x、y的值． 60．某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品零售单价之和是元． 信息2：按零售单价购买甲商品3件和乙商品件共需支付元． (1)根据情境中的信息，求出甲、乙两种商品的单价． (2)恰逢“”活动，乙商品降价销售，已知乙商品的成本为元，求此时的盈利率． 易错必刷题型21.和差倍分问题 易错点：“倍分”关系列反；多个量之间的和差关系找错。 61．学校合唱队男生人数是女生人数的，后来调入3名女生，这时男生人数与女生人数的比是，学校合唱队原来有多少名同学？ 62．“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解1棵种树苗、4棵种树苗的售价共计130元；2棵种树苗、3棵种树苗的售价共计160元． (1)求，两种树苗每棵的售价分别为多少元？ (2)若学校某班计划用400元购进以上两种树苗（两种树苗均要购买，且400元全部用完），问该班有几种购买方案，请通过计算列举出来． 63．某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子，帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的，问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ 易错必刷题型22.几何问题 易错点：利用三角形、平行线、多边形角度边长关系列式，角度关系找错、图形性质用错 64．如图，四个一样的长方形和一个小的正方形拼成了一个大的正方形．若大正方形的面积是36平方米，小正方形的面积是4平方米，则长方形的宽为______米． 65．如图，长方形由7个正方形组成，正方形的边长为，正方形B的边长为．求此长方形的面积． 66．学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案： (1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长； (2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积． 易错必刷题型23.图表信息问题 易错点：不会从图表中提取关键数据；图表信息理解错误（如折线图、表格数据看错）。 67．课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分．    68．某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 69．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 易错必刷题型24.古代问题 易错点：文言文题意理解偏差；等量关系转化错误（如鸡兔同笼类问题的头数、脚数关系）。 70．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：今有黄金八枚，白银一十三枚，称之重，适等．交易其一，金轻九两．问金、银一枚各重几何？大意是说：八枚黄金与十三枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻九两，问：每枚黄金、白银重量各为多少？设一枚黄金的重量为两，一枚白银的重量为两，则所列方程组为__________． 71．鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有20头，下有54足，问雉、兔各几何？”翻译过来就是：鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿，问鸡和兔各几只？（列方程组解答） 72．我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两”．问客人数和银两分别是多少？ 易错必刷题型25.三元一次方程组的定义及解 易错点：消元时步骤混乱，消错未知数；三元转二元后，解二元一次方程组时计算错误；忘记代回求第三个未知数。 73．请写出三元一次方程的一组解：________． 74．下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 75．解三元一次方程组： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05二元一次方程组易错必刷题型专练 题型01.二元一次方程组的定义 题型02.二元一次方程的解 题型03.二元一次方程组的判定 题型04.二元一次方程组的解的判定 题型05.错解复原问题 题型06.方程组相同解问题 题型07.代入消元法 题型08.加减消元法 题型09.二元一次方程组的特殊解法 题型10.构造方程组求解 题型11.由方程组解的情况求参数 题型12.二元一次方程组的实际应用 题型13.二元一次方程组的几何应用 题型14.方案选择问题 题型15.行程问题 题型16.工程问题 题型17.数字问题 题型18.年龄问题 题型19.分配问题 题型20.销售利润问题 题型21.和差倍分问题 题型22.几何问题 题型23.图表信息问题 题型24.古代问题 题型25.三元一次方程组的定义及解 易错必刷题型01.二元一次方程组的定义 易错点：忽略“整式方程”“含未知数的项次数为1”的条件，误把含分母（含未知数）、乘积项的方程当成二元一次方程。 1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：由二元一次方程的定义可知，四个方程中只有A选项中的方程是二元一次方程， 故选：A． 2．是关于的二元一次方程，则实数________． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟知概念是关键； 根据二元一次方程的定义：只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程求解即可． 【详解】解：因为是关于的二元一次方程， 所以， 解得； 故答案为：1． 3．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握方程含有2个未知数，且每个未知数的系数不等于0且次数等于1是解题的关键． 根据二元一次方程的定义得到关于m、n的方程组求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴，解得：． 故选D． 易错必刷题型02.二元一次方程的解 易错点：误以为二元一次方程只有一组解，忽略“无数组解”的特点；检验解时漏代回原方程。 4．下列二元一次方程中，有一个解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，分别把代入四个选项中计算即可判断求解，掌握二元一次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入方程得， 左边右边， ∴不是方程的解； 、把代入方程得， 左边右边， ∴不是方程的解； 、把代入方程得， 左边右边， ∴不是方程的解； 、把代入方程得， 左边右边， ∴是方程的解； 故选：． 5．已知是方程的解，则________． 【答案】2 【分析】先将代入求出的值，再代入中求解． 【详解】解：将代入方程中， 得， 即， 则． 6．关于，的二元一次方程均可以变形为的形式（其中，，均为常数且，），规定：(，，)为方程的“关联系数”． (1)二元一次方程的“关联系数”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的“关联系数”为，若为该方程的一组解，且，均为正整数，求，的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解二元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）把x、y的系数都化为整数，再根据“关联系数”的定义可得答案； （2）根据“关联系数”的定义可得，再根据二元一次方程的解的定义得到，据此解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：整理得， ∴二元一次方程的“关联系数”为； （2）解：∵关于，的二元一次方程的“关联系数”为， ∴， ∵为该方程的一组解， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都为正整数， ∴当时，； 当时，； ∴或． 易错必刷题型03.二元一次方程组的判定 易错点：对“二元”理解错误（如含三个未知数的方程组）；误把不是一次的方程纳入方程组。 7．下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：共含两个未知数，每个方程都是整式方程，每个方程中未知数的次数都为1，据此逐一验证选项即可. 【详解】解：∵ 二元一次方程组需要满足三个条件：①方程组总共含有两个未知数；②每个方程都是整式方程；③每个方程中未知数的次数为1． 对各选项判断如下： A 选项中第二个方程不是整式方程，故A 选项不符合要求； B 选项中方程组共含两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数次数都为1，符合二元一次方程组定义，故B选项符合要求； C 选项中方程组共含三个未知数，不符合二元一次方程组定义，故C选项不符合要求； D 选项中第二个方程的项次数为2，不符合二元一次方程组定义，故D选项不符合要求． 8．下列方程组中属于二元一次方程组的有（    ） （1）（2）（3）（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的识别，熟练掌握二元一次方程组的概念是解题的关键；根据二元一次方程组的定义：方程组中共含有两个未知数，且每个方程的次数为1的整式方程组，逐一判断即可． 【详解】解：（1）含三个未知数，不属于二元一次方程组，不符合题意． （2）含两个未知数，且每个方程均为一次整式方程，符合题意． （3）含两个未知数，且每个方程均为一次整式方程，符合题意． （4）第一个方程含二次项，不符合题意． 综上，符合条件的有（2）和（3），共2个； 故选：B． 9．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次． 【详解】解：A、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、该方程组的第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意； D、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 易错必刷题型04.二元一次方程组的解的判定 易错点：只代入其中一个方程检验，忽略“需同时满足两个方程”的核心要求。 10．方程组的解（    ）方程的解． A．一定是 B．一定不是 C．不一定是 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了方程组的解的定义（方程组的解是使方程组中所有方程都成立的未知数的值 ），熟练掌握该定义是解题的关键．根据方程组的解的定义，判断方程组的解与其中一个方程的解的关系，即方程组的解需同时满足方程组里的两个方程，所以必然满足其中一个方程． 【详解】解：对于方程组， ∵方程组的解是能使方程组中两个方程同时成立的未知数的值， ∴方程组的解一定满足其中的每一个方程， 而是方程组中的第一个方程， ∴方程组的解一定是方程的解． 故选：A ． 11．有四组数：①②③④其中，______是方程的解，______是方程的解，______是方程组的解（填写序号）． 【答案】 ②③④ ①④ ④ 【分析】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，代入方程，看看是否两边相等即可，根据二元一次方程组的解的定义得出即可． 【详解】解：①②③④中， 把①代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以①不是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以②是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以③是方程的解， 把④其代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即②③④是方程的解； 把①代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以①是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以②不是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以③不是方程的解， 把④代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即①④是方程的解； ∴④是方程组的解． 故答案为：②③④，①④，④． 12．二元一次方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将各选项中，的值代入原方程，取方程左边方程右边的选项即可． 【详解】、当时，方程左边右边，此选项符合题意； 、当时，方程左边右边，此选项不符合题意，排除； 、当时，方程左边右边，此选项不符合题意，排除； 、当时，方程左边右边，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 易错必刷题型05.错解复原问题 易错点：错解复原时，不知道“错解只满足未看错的方程”；复原后忘记检验原方程组的解。 13．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值___________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，将代入方程中可求得，将代入方程中可求得，代入所求式子即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：将代入方程中可得，， 解得：， 将代入方程中可得， 解得：， ∴， 故答案为：． 14．解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】正确解满足原方程组所有方程，小童只看错c，因此其解满足第一个方程，据此列出方程求解、、，再计算即可． 【详解】解：∵小郑的解是原方程组的正确解， ∴代入原方程组得， 解得，， ∵小童只看错，因此满足， ∴代入得， 整理得， 联立得方程组， 解得：，， ∴． 15．甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得 (1)甲把m错看成了什么？乙把n错看成了什么？ (2)试求原方程组的解． 【答案】(1)甲把m错看成了2，乙把n错看成了1 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，二元一次方程解的定义： （1）把代入中求出m的值，把代入求出n的值即可得到答案； （2）根据题意可得甲的结果满足②，则是方程的解，同理可得是方程的解，据此求出m、n的值，然后得到正确的原方程组，再解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解： 把代入中得，解得， 把代入中得，解得， ∴甲把m错看成了2，乙把n错看成了1； （2）解：∵甲解题看错了①中的m， ∴甲的结果满足②， ∴是方程的解， ∴， ∴， 同理可得是方程的解， ∴， ∴； ∴原方程组为 解得． 易错必刷题型06.方程组相同解问题 易错点：不知道先联立不含参数的方程求公共解；求参数时代入错误的方程。 16．若二元一次方程组和同解，则可通过解方程组 ___________求得这个解． 【答案】 【分析】找到两个不含参数的方程，组成新的方程组即可． 【详解】解：因为两方程组有相同的解， 所以方程组的解必然适合两方程组． 故答案为：． 【点睛】本题考查同解方程组．解题的关键是找到两个不含参数的方程，组成新的方程组． 17．若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，由于所给两个方程组的解相同，那么先利用加减消元法对第二个方程组进行求解，从而得到x和y的值； 再将所得x和y的值代入含有a的方程中，进而通过解方程组就能得到a的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组和同解， ∴把代入，得， 解得：， 故选：B． 18．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．根据方程组和方程组的解相同，由得到，把的值分别代入，求得的值． 【详解】解：由解得， 将，代入中，得，即； 将，代入中，得，即； 所以，． 易错必刷题型07.代入消元法 易错点：变形方程时漏乘系数；代入消元时符号处理错误（如负号漏变）；消元不彻底导致计算混乱。 19．将方程变形为用含x的式子表示y，那么______． 【答案】 【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数，把当作常数，解关于的方程，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 20．已知，下图中任意三个“○”中的式子之和均相等，那么a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】由图中任意三个“〇”中的式子之和均相等，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】依题意，得： , 解得 21．用适当的方法解下列方程组． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用代入消元法求解； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 因此方程组的解为； （2）解： 得：， ∴即③， 得：， 把代入得：， 因此方程组的解为． 易错必刷题型08.加减消元法 易错点：方程同乘系数时常数项漏乘；加减消元时，符号运算错误；未消元彻底导致计算混乱。 22．已知  ，则_________． 【答案】5 【分析】将方程组中的两个方程的左右两边分别相加，整理后即可求出的值． 【详解】解： 得，即， ∴． 23．用加减消元法解二元一次方程组，下面解法不正确的是（    ） A．①②，消去x B．①②，消去y C．①②，消去y D．①②，消去x 【答案】B 【分析】计算每个操作后目标未知数的系数，判断是否能消去目标未知数即可． 【详解】解：原方程组为， 对A，得，得， 两式相减后的系数为，可消去， A正确； 对B，得，得， 两式相加后的系数为，不能消去， B不正确； 对C，得，得， 两式相减后的系数为，可消去， C正确； 对D，得，得， 两式相加后的系数为，可消去， D正确； 综上，答案选B． 24．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 把代入得：， 解得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：； （2）解： 得：， 解得：， 把代入得：， 解得： ∴方程组的解为：． 易错必刷题型09.二元一次方程组的特殊解法 易错点：换元法中设元错误；整体代入时，未找到整体关系；复杂方程组中不会选择最优解法。 25．已知方程组，则___________． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，掌握二元一次方程组解的计算方法是关键． 【详解】解：， 得，， ∴， 等式两边同时乘以得，， 故答案为：5 ． 26．已知关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察两个方程组可得：由第一个方程组到第二个方程组就是换成，换成，代入数据即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 27．阅读下列解方程组的方法，然后解决问题． 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法比较简便． 解：由①②，得，所以．③ 将③，得．④ ②，得，将代入③，得，所以原方程组的解是 (1)请采用上面的方法解方程组 (2)已知关于的方程组，该方程组的解为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题例进行解题即可； （2）根据题例进行解题即可． 【详解】（1）解：， ，得． ∴③． 将，得， ，得． 把代入③，得， ∴原方程组的解为； （2）解：， ，得， ， 将，得， ，得． 解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 易错必刷题型10.构造方程组求解 易错点：根据题意列方程组时，等量关系找错；未知数设错（如单位不统一）。 28．写出一个解为的二元一次方程组：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据给定的解，构造两个二元一次方程，使得解满足方程即可． 【详解】解：计算，得到方程； 计算，得到方程． 因此，方程组为． 故答案为（答案不唯一） 29．若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【答案】B 【分析】根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解． 本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键． 【详解】解：∵ 且 ， 又∵ ， ∴ ， 解得 故选：B． 30．对于有理数，规定新运算：，其中、是常数，已知，，求的比值． 【答案】 【分析】根据新运算定义列二元一次方程组，解方程组求出、的值，进而求出的比值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴． 易错必刷题型11.由方程组解的情况求参数 易错点：忽略“分母不为0”的条件；把“无数解”和“无解”的比例关系搞反。 31．若关于的方程组的解满足，则___________． 【答案】 【分析】通过得：，把代入求解即可. 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， 解得：． 32．已知关于，的方程组，下列四个结论中正确的是（  ） ①当时，该方程组的解也是方程的解； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④不论取什么数，的值始终不变． A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】通过对原方程组进行整体加减运算，可将结论中的表达式用含 的代数式表示，进而判断结论的正误． 【详解】解：原方程组为 判断①：当时，方程组变为 解得 将解代入得 故①错误； 判断②：对原方程组，由得 若，则，解得，是有理数， 故②正确； 判断③：对原方程组，由得， 若，则，解得， 故③错误； 判断④：对原方程组，由得 得，即无论取何值，的值恒为， 故④正确； 因此正确结论为②④． 33．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)当时，求方程组的解； (2)当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，求a的值； (3)无论a取什么数，的值始终不变，直接写出这个值． 【答案】(1)原方程组的解为 (2) (3)这个值为3 【分析】（1）把代入方程组，运用加减消元法解答即可； （2）解方程组，用含的代数式分别表示方程组的解，再根据方程组的解x，y的值互为相反数列方程求出的值即可； （3）把方程组的解代入可得结论． 【详解】（1）解：当，方程组变形为 ， 得，， 解得：， 把代入①中得：， 所以，原方程组的解为； （2）解：解原方程组得， 因为x，y的值互为相反数， 所以， 即， 解得：； （3）解：∵， ∴， 无论a取什么数，的值始终不变. 这个值为3． 易错必刷题型12.二元一次方程组的实际应用 易错点：等量关系找错（如和差倍分理解错误）；单位不统一（如元与角、米与千米混用）。 34．为响应“数字校园”建设，某校采购一批智能答题器和错题打印机，用于课堂教学，已知采购2台智能答题器和3台错题打印机共花费1480元，采购4台智能答题器和1台错题打印机共花费1840元．若设1台智能答题器的价格为元，1台错题打印机的价格为元，则可列方程组为________． 【答案】 【分析】根据题目给出的两个总费用的等量关系，分别列出方程，组成二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得． 35．龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是，杯顶高与杯身高之和是，设杯身高为，底座高为，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干中的相等关系列方程组即可． 【详解】解：设杯身高为，底座高为， 根据杯身高与底座高之和是，可得：， 杯身高占总高的， 总高为， 杯顶高与杯身高之和是， 又杯顶高与杯身高之和是， ， 可列方程组为． 36．某校420名师生利用春假到皖南进行两天研学活动，客车公司有两种车型可以供选择： 车型 座位数（个/辆） 租金（元/天） 甲种 30 360 乙种 50 400 经计算，学校计划租用10辆客车，满足每辆车正好坐满，且每人都有座位，问学校需向客车公司支付多少元？ 【答案】7680元 【详解】解：设学校租用甲种客车辆，乙种客车辆，由题意得， ， 解得． （元）． 学校需要支付的费用为7680元． 易错必刷题型13.二元一次方程组的几何应用 易错点：周长、面积公式记错；几何关系理解错误（如长方形长和宽的关系）。 37．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形，找到合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：小长方形的长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 38．如图是用4个相同的长方形与1个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1，设长方形的两邻边长分别为x，y，且x与y的比是，下列关系式错误的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】B 【分析】结合“x与y的比是”，可得，整理可得，即可判断选项A；由图形可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，结合“大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1”可得，即可判断选项C；将进行整理，可得，即可判断选项B；将与联立并求解，进而可知，，可判断选项D． 【详解】解：根据题意，x与y的比是，即， 整理可得，故选项A正确，不符合题意； 由图形可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为 ∵大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1， ∴，故选项C正确，不符合题意； 对于，等号右侧去括号，得， 移项，合并同类项，可得，故选项B错误，符合题意； 将与联立， 可得，解得， ∴，，故选项D正确，不符合题意． 39．在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是通过观察图形，找出大长方形的长和宽与小长方形的长、宽之间的等量关系． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据图形中的等量关系，得， 解得 答：小长方形的长为8，宽为2． 易错必刷题型14.方案选择问题 易错点：未考虑未知数的正整数解；漏数可行方案；忽略题目中的限制条件。 40．某公司要将一批货物运往某地，打算租用甲、乙两种货车，以前租用这两种货车的信息如下表： 第一次 第二次 甲种货车的辆数 2 5 乙种货车的辆数 3 6 累计运货量/t 15.5 35 现打算租用4辆甲种货车和7辆乙种货车，可一次刚好运完这批货物，则这批货物共有______t． 【答案】33.5 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意，寻找等量关系是解题的关键； 设甲种货车可运输货物，乙种货车可运输货物，根据表格中所提供的信息列二元一次方程组， 求出两种货车每次的载重吨数，再根据题中所给数据列式计算即可． 【详解】解：设甲种货车可运输货物，乙种货车可运输货物， 由题知，， 解方程组得 用4辆甲种货车和7辆乙种货车可运输货物． 故答案为：33.5． 41．某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元．求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆． 【答案】 租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 【分析】设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； 【详解】解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆， 根据题意得：， 解得：， 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． 42．长沙市某学校组织七年级学生开展“红色研学”活动，前往韶山毛泽东同志纪念馆参观．旅行社推出两种研学大巴车：45座中型客车和60座大型客车． (1)已知租用2辆中型客车和3辆大型客车共需费用6900元，租用3辆中型客车和1辆大型客车共需费用5100元．每辆中型客车和大型客车的租用费用分别是多少元？ (2)本次研学共有师生945人，旅行社推出优惠方案：租车总数量超过15辆时，所有车辆的租用费用均打九折．学校计划租用中型客车和大型客车共19辆，且刚好坐满所有车辆，请问按照优惠方案，学校本次租车共需要支付多少元？ 【答案】(1)每辆中型客车的租用费用为1200元，每辆大型客车的租用费用为1500元 (2)学校本次租车需支付22140元 【分析】（1）设每辆中型客车和大型客车的租用费用分别为x，y元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设租用中型客车a辆，租用大型客车辆，根据题意列一元一次方程求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设每辆中型客车和大型客车的租用费用分别为x，y元， 根据题意，得， 解得， 答：每辆中型客车的租用费用为1200元，每辆大型客车的租用费用为1500元； （2）解：设租用中型客车a辆，租用大型客车辆， 根据题意，得， 解得． 租用中型客车13辆，租用大型客车6辆， 因为， 所以所有车辆的租用费用均打九折， 共需花费为元， 故学校本次租车需支付22140元． 易错必刷题型15.行程问题 易错点：相遇/追及问题的路程关系搞反；顺水/逆水速度公式记错；单位时间与路程不匹配。 43．已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时，那么甲乙两地的公路长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设从甲到乙中，上坡路长为，下坡路长为，根据“车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时”列方程组求解即可． 【详解】解：设从甲到乙中，上坡路长为，下坡路长为， 根据题意，得， 化简得， 两式相加，得， ∴， 即甲乙两地的公路长， 故选：B． 44．连接两地的高速公路全长为420km，一辆小汽车和一辆客车分别从，两地同时出发，相向而行，经过2.5h相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶了70km。为了求出小汽车、客车的平均速度，请你列出相应的方程组． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准数量关系列方程组是解题的关键． 设小汽车的平均速度为，客车的平均速度为，根据数量关系列方程即可． 【详解】解：设小汽车的平均速度为，客车的平均速度为． 根据题意，得 45．已知一辆快车长，一辆慢车长，若两车同向而行，快车从追上慢车到离开慢车共用；若两车相向而行，快车从与慢车相遇到离开慢车共用．求两车的速度． 【答案】快车速度为，慢车速度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设快车的速度为，慢车的速度为，根据同向行驶快车比慢车多行驶的距离是快车车长，相向行驶时，从相遇到离开，两车所走距离之和为两车车身之和，从而列出方程组求解即可． 【详解】解：设快车的速度为，慢车的速度为， 由题意得，， 解得：． 答：快车的速度为，慢车的速度为． .易错必刷题型16.工程问题 易错点：工作效率、工作时间、工作量的关系搞混；总工作量未设为1；合作效率计算错误。 46．某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【答案】无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意列出方程组并接方程组即可． 【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩， 根据题意得：， 解得：， 所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务． 47．虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． （1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：小泓和小智两位同学提出的解题思路如下： ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： 故答案为：①；②． （2）若选择① 则， 解得 答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道160米． 若选择② 则， 解得 甲整治的河道长度：米；乙整治的河道长度：米． 48．某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹 (2)快递车的总配送路程是千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键； （1）设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意得， 解得： 答：每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹； （2）解：设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意得 解得： 答：快递车的总配送路程是千米 易错必刷题型17.数字问题 易错点：多位数的表示方法错误（如两位数写成 ab 而非 10a+b ）；数字与数值的关系搞混。 49．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字问题与二元一次方程组，根据等量关系列方程是解题的关键； 设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 50．有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 【答案】原来两位数为41． 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系． 设个位数字是x，十位数字是y，根据题意即可列出二元一次方程组进行求解． 【详解】解：设原数的个位数字是x，十位数字是y． 根据题意，得， 解得． 故原来两位数为41． 51．幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)或或，补全幻方见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意并列出方程是解题的关键． （1）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，即可； （2）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程组，即可； （3）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，再结合m，a为正整数，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得： ， 解得：； （3）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ∵m，a为正整数， ∴或或， 当时， 第三行的三个数从左到右依次为13，8，15，第三列三个数从上到下依次为11，10，15， 每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都36， ∴第二行的三个数从左到右依次为14，12，10， ∴第一列三个数从上到下依次为11，12，13， ∴第一行的三个数从左到右依次为11，14，11， 11 14 11 12 12 10 13 8 15 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下： 15 10 11 8 12 16 13 14 9 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下 21 4 11 2 12 22 13 20 3 易错必刷题型18.年龄问题 易错点：忽略“年龄差不变”的特点；计算时未同步增长年龄。 52．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 由“10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍”可知，由“10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍”可知，进而列方程组即可． 【详解】解：设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，由题意可得： 故选：B 53．在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在______岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 54．一名学生问老师：“您今年多大？”老师说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了。”问：老师、学生今年多大了． 【答案】老师今年24岁，学生今年12岁． 【分析】设老师现在的年龄是x，学生现在的年龄是y，不论怎么样变化年龄差是不会变的，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是x，学生现在的年龄是y， 解得：， 答：老师现在的年龄是24，学生现在的年龄是12． 【点睛】本题二元一次方程组的应用，考查学生的理解题意能力，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 易错必刷题型19.分配问题 易错点：分配后剩余/不足的等量关系列反；未知数设反导致方程列错。 55．春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 【答案】这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系，准确列方程组进行计算是解题关键．设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可求解． 【详解】解：依题意，22.5吨千克克， 设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶， 由题意得 ， 解得 ， 答：这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶． 56．王老师买了一批图书准备分给某班的学生阅读，若每名学生分3本书，则剩余18本书，若每名学生发4本书，则还少22本书．则这批书有多少本？ 【答案】这些书有138本 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设这批书有x本，该班共有y名学生，根据“若每名学生分3本书，则剩余18本书，若每名学生发4本书，则还少22本书”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设这批书有x本，该班共有y名学生， 根据题意得：， 解得：， 答：这些书有138本． 57．丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 【答案】12个 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面， 由题意得， 解得． （个）或（个） 答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 易错必刷题型20.销售利润问题 易错点：利润、利润率公式记错；成本、售价、折扣的关系理解错误。 58．小丹准备购进两种类型的便携式风扇出售．已知2台型风扇和1台型风扇进价共36元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元，则型风扇进货的单价是_________元，型风扇进货的单价是_________元． 【答案】 10 16 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，明确题意，找出等量关系列出方程组是解题的关键． 根据题干信息，设、型风扇的进货的单价分别为、元，根据等量关系列二元一次方程组解答即可． 【详解】解：设型风扇的进货单价为元，型风扇的进货单价为元， 由题意，得： 解得： 故型风扇的进货单价为元，型风扇的进货单价为元． 故答案为：①10；②16． 59．某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价元/套 300 x 售价元/套 y 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元利润=售价-进价求表中x、y的值． 【答案】x的值为60，y的值为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 答：x的值为60，y的值为 60．某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品零售单价之和是元． 信息2：按零售单价购买甲商品3件和乙商品件共需支付元． (1)根据情境中的信息，求出甲、乙两种商品的单价． (2)恰逢“”活动，乙商品降价销售，已知乙商品的成本为元，求此时的盈利率． 【答案】(1)甲商品的单价为元，乙商品的单价为元； (2)此时的盈利率为． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系． （1）设甲商品的单价为元，乙商品的单价为元，根据信息1和信息2中的等量关系，列方程组，求解即可； （2）根据题意，可得乙商品的售价，从而可得乙商品的利润，代入盈利率公式计算即可． 【详解】（1）解：设甲商品的单价为元，乙商品的单价为元， 根据题意可得，， 解得，， 答：甲商品的单价为元，乙商品的单价为元． （2）解：设盈利率为， 根据题意可得，， 解得，， 答：此时的盈利率为． 易错必刷题型21.和差倍分问题 易错点：“倍分”关系列反；多个量之间的和差关系找错。 61．学校合唱队男生人数是女生人数的，后来调入3名女生，这时男生人数与女生人数的比是，学校合唱队原来有多少名同学？ 【答案】学校合唱队原来有11名同学 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设学校合唱队原来有名女同学，名男同学，根据学校合唱队男生人数是女生人数的，后来调入3名女生，这时男生人数与女生人数的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设学校合唱队原来有名女同学，名男同学， 由题意得：， 解得：， ， 答：学校合唱队原来有11名同学． 62．“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解1棵种树苗、4棵种树苗的售价共计130元；2棵种树苗、3棵种树苗的售价共计160元． (1)求，两种树苗每棵的售价分别为多少元？ (2)若学校某班计划用400元购进以上两种树苗（两种树苗均要购买，且400元全部用完），问该班有几种购买方案，请通过计算列举出来． 【答案】(1)A，B两种树木每棵的售价分别为50元，20元 (2)答：共有以下3种购买方案：方案1：A种树木购进2棵，B种树木购进15棵；方案2：A种树木购进4棵，B种树木购进10棵；方案3：A种树木购进6棵，B种树木购进5棵． 【分析】本题考查了二元一次方程整数解和二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意设未知数，列出方程或方程组； （1）设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设A，B两种树木分别购进a棵和b棵，列出方程，再求正整数解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得； 答：A，B两种树木每棵的售价分别为50元，20元． （2）解：设A，B两种树木分别购进a棵和b棵， 根据题意，得，即， ∵两种树木均要购买，且a，b均为正整数， ∴或或， 答：共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进2棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进4棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进6棵，B种树木购进5棵． 63．某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子，帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的，问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ 【答案】男生人、女生人 【分析】设该兴趣小组有男生人、女生人，根据题意的两个等量关系得出方程组，解出即可得出答案． 【详解】解：设该兴趣小组有男生人、女生人， 根据题意得：解这个方程组得： 经检验符合实际， 答：该兴趣小组有男生人、女生人． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是仔细审题，得出方程组． 易错必刷题型22.几何问题 易错点：利用三角形、平行线、多边形角度边长关系列式，角度关系找错、图形性质用错 64．如图，四个一样的长方形和一个小的正方形拼成了一个大的正方形．若大正方形的面积是36平方米，小正方形的面积是4平方米，则长方形的宽为______米． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的几何应用，根据题意选取合适的量设未知数并列出方程组，是本题的解题关键． 设长方形的宽为x米，长为y米，根据大正方形的面积是36平方米，小正方形的面积是4平方米可列出方程组 ，求解x即可得到答案． 【详解】解：设长方形的宽为x米，长为y米，则由图可知大正方形边长为米，小正方形边长为米； 大正方形的面积为36平方米，小正方形的面积为4平方米， ∴大正方形的边长为6米，小正方形的边长为2米， ， 解得：； 长方形的宽为2米． 故答案为：． 65．如图，长方形由7个正方形组成，正方形的边长为，正方形B的边长为．求此长方形的面积． 【答案】长方形的面积为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意得到，解得，进而即可求出长方形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得到， 解得， 长方形的面积． 答：长方形的面积为． 66．学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案： (1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长； (2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积． 【答案】(1)大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）设大正方形纸片的边长为，小正方形纸片的边长为，得到，解得，即可得到答案； （2）设重叠部分小正方形的边长为，得到，解得，求出阴影部分的面积为． 【详解】（1）解：设大正方形纸片的边长为，小正方形纸片的边长为， 根据题意，得 解得， 大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为； （2）解：设重叠部分小正方形的边长为， 根据题意，得． 解得， 阴影部分的面积为． 易错必刷题型23.图表信息问题 易错点：不会从图表中提取关键数据；图表信息理解错误（如折线图、表格数据看错）。 67．课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分．    【答案】小丽的5次飞镖总分为37分 【分析】设A区域每次中镖得分，B区域每次中镖得分，根据图示列二元一次方程组，解之即可. 【详解】解：设A区域每次中镖得分，B区域每次中镖得分． 依题意得， 解得， 小丽：（分） 答：小丽的5次飞镖总分为37分． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 68．某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 69．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)一共有3种填法；填写见解析 【分析】（1）根据题意列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据题意列出关于a、b的方程组，解方程组即可； （3）根据题意列出关于m、n的二元一次方程，求出整数解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：根据题意得：， 即， ∵m，n为正整数， ∴，，， ∴共有3种填法；    【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程或方程组． 易错必刷题型24.古代问题 易错点：文言文题意理解偏差；等量关系转化错误（如鸡兔同笼类问题的头数、脚数关系）。 70．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：今有黄金八枚，白银一十三枚，称之重，适等．交易其一，金轻九两．问金、银一枚各重几何？大意是说：八枚黄金与十三枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻九两，问：每枚黄金、白银重量各为多少？设一枚黄金的重量为两，一枚白银的重量为两，则所列方程组为__________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组，根据题目给出的两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：八枚黄金与十三枚白银重量相等，得 ， 互换一枚，黄金重： ， 白银重： ， 互换一枚，黄金比白银轻 9 两，得 ， 方程组为 ． 71．鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有20头，下有54足，问雉、兔各几何？”翻译过来就是：鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿，问鸡和兔各几只？（列方程组解答） 【答案】鸡只，兔只． 【分析】本题考查二元一次方程组的鸡兔同笼问题，找出等量关系并根据生活常识列出方程组是解题关键．根据“上有20头，下有54足”，得出关于、的二元一次方程组，解之即得． 【详解】解：设鸡只，兔只， 由题意得：，解得：， 答：鸡只，兔只． 72．我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两”．问客人数和银两分别是多少？ 【答案】共有名客人，两银子 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，设共有名客人，两银子，根据每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两，构建方程组即可．解题的关键是理解题意，正确列出方程组． 【详解】解：设共有名客人，两银子， 由题意可得， 解得， 答：共有名客人，两银子． 易错必刷题型25.三元一次方程组的定义及解 易错点：消元时步骤混乱，消错未知数；三元转二元后，解二元一次方程组时计算错误；忘记代回求第三个未知数。 73．请写出三元一次方程的一组解：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三元一次方程的解，熟练掌握该知识点是解题的关键．写出合适的答案即可． 【详解】解：当时，那么符合题意； 故答案为：． 74．下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用加减消元法对方程组求解，逐步求出未知数的值即可． 【详解】解： 得： 得：， 把代入得：， 解得， 把，代入得 ， 解得 方程组的解为． 75．解三元一次方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 利用加减消元法解三元一次方程组即可得． 【详解】解：， 由②③得：，即④， 由①④得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 将，代入②得：， 解得， 则方程组的解为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $