福建省泉州第五中学2025-2026学年第二学期期中考试卷高二数学

泉州五中2025-2026学年第二学期期中考试卷高二数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 设，则方差（ ） A. B. C. D. 2. 设为随机事件，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 和互斥 C. 和相互独立 D. 3. 若定义在区间上的函数的导函数为增函数，则称为上的凹函数．下列函数中，在定义域上为凹函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 设公差不为0的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（    ） A. 9种 B. 36种 C. 64种 D. 81种 6. 已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上一动点，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 将2个不同的白球，3个不同的黑球和4个完全相同的红球排成一列，要求2个白球不相邻且3个黑球也不相邻，则不同的排法共有（ ） A. 5100种 B. 4800种 C. 4500种 D. 4200种 8. 若函数的图象与过的直线交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的4个选项中，有多项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时），则下列选项正确的有（ ） A. 第2026行中，从左到右数，第1013个数最大 B. 第2026行中，所有奇数项的和为 C. 第48行的所有数字之和被7除的余数为3 D. 10. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 函数一定有极值点 B. 函数必有对称中心 C. 存在唯一一条函数的切线与函数的图象只有一个公共点 D. 若函数有3个零点，设，则的取值范围为 11. 乒乓球，被称为中国的"国球"，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为"小球推动大球"．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束，每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，下列说法正确的是（ ） A. 三局就结束比赛的概率为 B. C. D. 最大值为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知二项式展开式中的系数为，则实数___________． 13. 若实数满足：，则的最大值为___________． 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为___________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤．） 15. 已知函数， （1）当时，，求实数的最大值； （2）若在处有极小值，求实数的值． 16. 一个袋子中有20个大小相同的小球，其中黑球10个，白球10个， （1）从中有放回地抽取4个小球作为样本，用表示样本中白球的个数，求的分布列和数学期望； （2）从中不放回地抽取10个小球作为样本，用表示样本中白球的个数，则样本中出现几个白球的可能性最大？ （要求写出推导过程）． 17. 已知椭圆的离心率，且过点， （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的上顶点为点，若直线与椭圆交于两点， （i）证明：以线段为直径的圆过点； （ii）求面积的最大值． 18. 甲同学在连续学习过程中的学习状态（认真学习或不认真学习）仅与前一天状态有关．若当天认真学习，当天完成作业的概率为0.8，且第二天继续认真学习的概率为0.8，转为不认真学习的概率为0.2；若当天不认真学习：当天完成作业的概率为0.2，且第二天继续不认真学习的概率为0.7，转为认真学习的概率为0.3．已知甲同学第1天一定认真学习，且约定：连续认真学习满3天，即可获得一次奖励． （1）求甲同学第2天完成作业的概率； （2）求甲同学在前5天的学习中，能获得奖励的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．求甲同学在前天完成作业天数的期望． 19. 已知函数 （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若函数在内有零点，求实数的取值范围； （3）若存在，使得，求证：． 泉州五中2025-2026学年第二学期期中考试卷高二数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的4个选项中，有多项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．） 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1）的最大值为； （2）. 【16题答案】 【答案】（1）分布列见解析， （2）样本中出现5个白球的可能性最大. 【17题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）9 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $