精品解析：河北石家庄市赵县2025-2026学年度第二学期期中学业质量检测八年级数学

2025-2026学年度第二学期期中学业质量检测 八年级数学（ZX） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡相应位置上． 2.答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3.答非选择题时，用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷上作答无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 2，3，4 B. ，3，5 C. 5，12，13 D. 6，8，9 3. 最简二次根式能与合并，则的值是（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 4. 如图，在平行四边形ABCD中，∠B=64°，则∠D等于（ ） A. 26° B. 64° C. 32° D. 116° 5. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ） A. 25 B. 49 C. 81 D. 100 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 8. 如图，在中，，点D为边的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，则菱形的周长等于（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 4 10. 如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A. B. 6 C. D. 12 12. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边长分别是．如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如果式子（a≥0，b≥0）成立，则有．请按照此性质化简，使被开方数不含完全平方的因数：=_______． 14. 如图，在正方形的外侧，作等边，则_______． 15. 如图（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是______． 16. 如图，两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向两镇供水，铺设水管的费用为每千米万元，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，则最低费用是_____________万元． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：“”，其中“”部分印刷不清楚． ………………第一步 …………第二步 …………………………第三步 ……………………………………第四步 （1）若“”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第______步开始出错的，正确的结果应该是______； （2）若原式的计算结果为，求“”代表的数． 18. 如图所示，已知四边形是平行四边形． （1）按要求尺规作图：作的平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）． （2）若，求的度数． 19. 已知，． （1）求，的值； （2）若的整数部分为，的小数部分为，求的值． 20. 为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地内进行绿化改造，，，，，． （1）若要在，两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为；求花费多少元？ （2）如果种植草皮的费用是元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？ 21. 小明借助没有刻度的直尺，按照如下图所示的顺序作出了四边形． （1）求证：平分． （2）若，求四边形的面积． 22. 如图，嘉嘉和小高星期六来到郊外放风筝，为了测得风筝离地面的垂直高度，他们测量得到下面的数据（图中所有点在同一平面内）： ①嘉嘉握住风筝线的手点到的距离； ②假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，牵引风筝的线； ③嘉嘉握住风筝线的手点距离地面的高度． （1）求风筝距离地面的高度的长； （2）嘉嘉想把手中剩余的7m长的线放完，要想让风筝保持原有的位置，嘉嘉需往后退多少米？ 23. 在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有知识】由于，由此得到在数轴上表示对应的点的方法，如图1． （1）【运用知识】请在图2的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）内 ①画出顶点在格点的，其，，； ②求出的面积． （2）【拓展探究】 ①在图3中，设，，轴，轴，于点C，则______，______，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式； ②如图4，平面直角坐标系中有两点，，P为x轴上任一点，则的最小值为______． 24. 综合与实践：折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧． 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为24，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． （2）类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． （3）拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中学业质量检测 八年级数学（ZX） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡相应位置上． 2.答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3.答非选择题时，用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷上作答无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、不是最简二次根式，不符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 2，3，4 B. ，3，5 C. 5，12，13 D. 6，8，9 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：“如果三角形的三条边满足，则这个三角形为直角三角形”，由此选出答案． 【详解】解：A、，故不能组成直角三角形，不符合题意； B、，故不能组成直角三角形，不符合题意； C、，故能组成直角三角形，符合题意； D、，故不能组成直角三角形，不符合题意． 3. 最简二次根式能与合并，则的值是（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是关键． 根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式能合并，则它们的被开方数必须相同，题目中要求能与合并，因此的被开方数必须等于3，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式能与合并， ∴和是同类二次根式， ∴， 解得，， 故选：D． 4. 如图，在平行四边形ABCD中，∠B=64°，则∠D等于（ ） A. 26° B. 64° C. 32° D. 116° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可判断. 【详解】∵平行四边形的对角相等， 故∠D=∠B=64° 故选B. 【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知其对角分别相等. 5. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ） A. 25 B. 49 C. 81 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意． B、与不是同类二次根式，故不能合并，故B不符合题意． C、原式，故C不符合题意． D、原式，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算． 7. 若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理．先根据非负数的性质求出m与n的长，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意得，，， 解得：，， ∵，是直角三角形的两直角边， ∴直角三角形的第三条边长为． 故选D． 8. 如图，在中，，点D为边的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可得的长度，再根据是直角三角形的中线即可解答． 【详解】由题意可知，， 又，且点D为边的中点， ． 故选：A． 9. 如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，则菱形的周长等于（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理可求AB的长，由菱形的性质可求解． 【详解】解：∵A，B两点的坐标分别是（3，0），， ∴OB＝，OA＝3， ∴AB＝， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝， ∴菱形ABCD的周长等于＝4×＝8， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键． 10. 如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理求出DE，即可得出CD的长． 【详解】解：如图所示： ∵AD=AB=2， ∴， ∴CD=； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键． 11. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A. B. 6 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，掌握菱形的性质、勾股定理是解本题的关键． 根据面积等式求线段长度等知识，先求出菱形的面积，再利用勾股定理求出的长，利用菱形面积为面积的两倍求出即可． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， 于点E， ， ， ， ． 故选：A． 12. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边长分别是．如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，由题意可知，大正方形的面积为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出，即可求出小正方形的面积． 【详解】解：∵大正方形的面积是25， ∴， 又∵， ∴， ∴小正方形的面积为， 故选：A． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如果式子（a≥0，b≥0）成立，则有．请按照此性质化简，使被开方数不含完全平方的因数：=_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题需先根据式子（a≥0，b≥0）成立，再根据，即可求出的值． 【详解】解：∵（a≥0，b≥0）成立， 则有， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，在解题时要能灵活应用二次根式的乘法的法则是本题的关键． 14. 如图，在正方形的外侧，作等边，则_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了正方形和等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是关键．根据正方形和等边三角形的性质得到，，得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 15. 如图（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是______． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理的应用以及垂线段最短分析甲图，根据三角形的三边关系分析乙图，从而做出判断． 【详解】解：图甲中，∵， ∴三角形是直角三角形， 再根据垂线段最短，可知， ∴图甲可验证； 图乙中，根据三角形的两边之和大于第三边可得， ∴，即， ∴无法验证． 16. 如图，两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向两镇供水，铺设水管的费用为每千米万元，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，则最低费用是_____________万元． 【答案】78 【解析】 【分析】本题考查了轴对称字段路径，矩形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 如图所示，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则，根据两点之间线段最短得到是所求最短路径，如图所示，过点作，延长交于点，四边形是矩形，根据勾股定理得到千米，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接交于点，连接， ∵对称， ∴，千米， ∴，根据两点之间线段最短得到是所求最短路径， 如图所示，过点作，延长交于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，千米，，则千米， ∴千米， ∴千米， ∵铺设水管的费用为每千米万元， ∴（万元）， 故答案为：78 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：“”，其中“”部分印刷不清楚． ………………第一步 …………第二步 …………………………第三步 ……………………………………第四步 （1）若“”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第______步开始出错的，正确的结果应该是______； （2）若原式的计算结果为，求“”代表的数． 【答案】（1）二，； （2）． 【解析】 【分析】（）嘉淇的运算过程第二步出错，按照先计算乘除，再计算减法求解即可； （）由题意得到方程，再解方程即可． 【小问1详解】 他是从第二步开始出错的， 正确解法： ， 故答案为：二，； 【小问2详解】 解：若原式的计算结果为， 则， ∴． 18. 如图所示，已知四边形是平行四边形． （1）按要求尺规作图：作的平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——角平分线的作法，平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等： （1）根据作已知角的平分线的作法解答，即可； （2）由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，即可求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形 平分 19. 已知，． （1）求，的值； （2）若的整数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】（）先求出，，的值，再利用完全平方公式变形求值即可； （）根据，则，所以，从而可得，，然后代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 20. 为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地内进行绿化改造，，，，，． （1）若要在，两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为；求花费多少元？ （2）如果种植草皮的费用是元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？ 【答案】（1）铺设这条鹅卵石路的最低花费为元 （2）整块空地上种植草皮共需投入元 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （1）如图，连接，再利用勾股定理先求解，从而可得答案； （2）先利用勾股定理的逆定理证明，可得整块空地的面积为：，再计算总费用即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵铺设成本为， ∴铺设这条鹅卵石路的花费为（元）． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴整块空地的面积为：， ∵种植草皮的费用是元， ∴整块空地上种植草皮共需投入（元）． 21. 小明借助没有刻度的直尺，按照如下图所示的顺序作出了四边形． （1）求证：平分． （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：直尺对边平行， ， 四边形是平行四边形， 又直尺的宽度相同， 点B到的距离等于点C到的距离， ， ， 四边形是菱形， 平分． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形，菱形的判定和性质，含含角的直角三角形的性质，勾股定理的计算，掌握菱形的判定和性质是关键． （1）根据题意得到四边形是平行四边形，因为点B到的距离等于点C到的距离，得到，四边形是菱形，由此即可求解； （2）如图，连接，交于点O，根据菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理得到，结合菱形面积的计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点O， 四边形是菱形，， ，， ， ， ， ， ， ． 22. 如图，嘉嘉和小高星期六来到郊外放风筝，为了测得风筝离地面的垂直高度，他们测量得到下面的数据（图中所有点在同一平面内）： ①嘉嘉握住风筝线的手点到的距离； ②假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，牵引风筝的线； ③嘉嘉握住风筝线的手点距离地面的高度． （1）求风筝距离地面的高度的长； （2）嘉嘉想把手中剩余的7m长的线放完，要想让风筝保持原有的位置，嘉嘉需往后退多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据勾股定理求出，再根据，即可求解； （2）根据勾股定理求出，由即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，， ∴ 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴四边形为矩形， ∴ ∴ ∴风筝距离地面的高度的长为 【小问2详解】 如图，由题意可知： 在中，由勾股定理得，（m） ∴ ∴嘉嘉需往后退 23. 在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有知识】由于，由此得到在数轴上表示对应的点的方法，如图1． （1）【运用知识】请在图2的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）内 ①画出顶点在格点的，其，，； ②求出的面积． （2）【拓展探究】 ①在图3中，设，，轴，轴，于点C，则______，______，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式； ②如图4，平面直角坐标系中有两点，，P为x轴上任一点，则的最小值为______． 【答案】（1） ①如图所示，即为所求； ②． （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）①根据勾股定理，结合数轴即可得出结论； ②根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式即可得到结论； （2）①根据题意列出代数式即可； ②利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值． 【小问1详解】 解：①略； ②， ， 的面积； 【小问2详解】 ①轴，轴，， ，， 故答案为：，； ②如图，作点关于轴对称的点，连接，直线与轴的交点即为所求的点． ∵， ∴， ， ， 即的最小值为． 24. 综合与实践：折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧． 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为24，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． （2）类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． （3）拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 【答案】（1）4；12 （2）16 （3）42 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质求出好完美矩形的面积即可； （2）根据折叠的性质和矩形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （3）连接，根据折叠的性质证出四边形是平行四边形，设，则，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长． 【小问1详解】 解：由折叠可知，，， ∴， 根据折叠可知：，，， ∵， ∴完美矩形的面积为： ； 【小问2详解】 解：由折叠可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长； 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， 由折叠可得：点和分别是和的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴矩形的周长． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $